数学答案
一、单选题
1．已知数列 an 为等比数列，若 a1 2， a5 32，则a3的值为（ ）
A． 8 B．8 C．16 D． 16
【答案】B
【分析】利用等比数列通项公式直接求解即可.
【详解】设数列 a 4 4 2n 的公比为q，则 a5 a1q 2q 32， q2 4， a3 a1q 2 4 8 .
故选：B.
2 a
．已知向量 ,b 满足 | a | 1,| b | 4 a ，且 ×b = 2，则 a与b 的夹角 为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
2 3 4 6
【答案】B
1
【分析】利用向量夹角余弦公式求出 cos ，得到答案.
2
【详解】∵ | a | 1,| b | 4，且 a ×b = 2，
cos a b 2 1
a b 1 4 2 ，
∵ 0, π ，
∴
π
.
3
故选：B.
5
3．在 x 2 的展开式中， x2的系数为（ ）
A． 10 B．10 C． 80 D．80
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出 x2的系数.
5
【详解】在 x 2 的展开式中， x2项为C1 45( x) ( 2)1 10x2 ，
所以 x2的系数为 10 .
故选：A
4．已知抛物线C： y2 x的焦点为 F，A， B是抛物线C上关于其对称轴对称的两点，
若 AF⊥OB，O为坐标原点，则点 A的横坐标为（ ）
试卷第 1页，共 17页
{#{QQABaQgAogiAQpBAARgCEQFQCAAQkAECCAoOQAAIIAABSQFABAA=}#}
A 5
5 5 5
． B． C． D．
2 4 2 8
【答案】B
【分析】
设 A a2 ,a a 0 ，根据向量垂直列式求解即可.
1
【详解】由题意可知： F , 04
，
设 A a2 ,a a 0 ，则 B a2 , a 1 2，可得 AF a , a ,OB a2 , a ，
4
AF OB 1 a2 AF OB a2 a2因为 ，则 0 a2
5
，解得 ，
4 4
A 2
5
即点 的横坐标为 a .
4
故选：B.
5．在 ABC中，角A， B，C的对边分别为 a，b， c，且 cos A b ，则 ABC的形状
c
为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．锐角三角形
【答案】A
【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得.
【详解】因为 cos A
b
，由正弦定理可得 cos A
sin B
，
c sinC
所以 sinC cos A sinB sin A C ，
即 sinC cos A sin AcosC cos AsinC，
所以 sin AcosC 0，又 A 0, π ，所以 sin A 0，
π
所以 cosC 0，又C 0, π ，所以C ，
2
即 ABC为直角三角形.
故选：A
2 3 2
6 a 5 5 5．设 ＝ 3 ，b＝
2 ，c＝ 2 ，则 a，b，c的大小关系是( )
5 5 5
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
【答案】A
y (2 x
2
【详解】试题分析：∵函数 )5 是减函数，∴
c b；又函数 y x5 在 (0, )上是增
试卷第 2页，共 17页
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函数，故 a c .从而选 A
考点：函数的单调性.
7．已知正四棱台 ABCD A1B1C1D1的上 下底面边长分别为1和 2，且 BB1 DD1，则该
棱台的体积为（ ）
A 7 2 7 2
7 7
． B． C． D．
2 6 6 2
【答案】B
【分析】根据正棱台的几何特点，结合已知条件，求得棱台的高，再求棱台体积即可.
【详解】对正四棱台 ABCD A1B1C1D1，连接D1B1,DB，取D1B1,DB中点分别为O,H，
连接OH ,D1H ，如下所示：
因为 ABCD A1B1C1D1为正四棱台，则四边形 ABCD,A1B1C1D1均为正方形，且OH垂直于
上下底面，DD1 BB1 ，
易知D1B1 // BH ，D1B1 BH 2，故四边形D1B1BH为平行四边形，则 BB1 //D1H ，且
BB1 D1H ，
因为DD1 BB
1
1，则DD1 D1H ，又DD1 BB1 D1H，且DH DB 2，2
D D2 D H 2 DH 2 2D H 2由 1 1 ，即 1 2，解得D1H 1；
由OH 面 A1B1C1D1，D1O 面 A1B1C1D1，则OH D1O；
2
则OH D H 2 DO2 12
2 2
1 1 ，
2
2
又正方形 A1B1C1D1的面积为1，正方形 ABCD的面积为 4，
1
故正四棱台 ABCD A1B1C1D1的体积V 1 4 1 4 2 7 2 .3 2 6
故选：B.
试卷第 3页，共 17页
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x e 1 lnx ax xeax 1 x 1 ,1 8．若关于 的不等式 在 内有解，则正实数 a的取值范 2
围是（ ）
1 1
A． 0,2 2ln2 B． , e C． 0,4 D． , e
e 2e
【答案】A
ax ax
【分析】将由不等式转化为 e 1 ln xe xe 1，令 t xeax，得到 e 1 ln t t 1，
a
令函数 f t
1
e 1 lnt t 1 a，问题转化为存在 t e2 ,e ，使得 f t 0，利用导数
2
1 a
求得函数 f t 的单调性，结合 f 1 0, f e 0，得到 e 2 e且 ea 1，即可求解.
2
【详解】由不等式 e 1 lnx ax xeax 1 e 1 ln xeax，即 xeax 1，
令 t xeax，即有 e 1 ln t t 1，
又由 a 0，所以函数 t xeax在 x 0, 上单调递增，
1 ax 1
a
a
因为 x ,1 ，所以 t xe e
2 ,e ，
2 2
a
令 f t e 1
lnt t 1 1，问题转化为存在 t e2 ,e
a
，使得 f t 0，
2
e 1 t
因为 f t ，令 f t 0，可得0 t e 1；令 f t 0，得 t e 1，
t
所以 f t 在 0, e 1 上单调递增，在 e 1, 上单调递减，
又因为 f 1 0, f e e 1 lne e 1 0，所以当1 t e时， f t 0，
a a
若存在 t
1
e2 ,e
a
，使得 f t 0 1成立，只需 e2 e且 a2 e 1， 2
解得0 a 2 2ln2，因为a 0，所以 a 0,2 2ln2 .
故选：A.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常
用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确
定参数的取值范围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数
试卷第 4页，共 17页
{#{QQABaQgAogiAQpBAARgCEQFQCAAQkAECCAoOQAAIIAABSQFABAA=}#}
形结合求解.
结论拓展：与 ex和 ln x相关的常见同构模型
① aea b ln b ea ln ea b ln b，构造函数 f x x ln x g x xex或 ；
ea b ea b x ex
② a ，构造函数 f x 或 g x ；a ln b ln e ln b ln x x
③ ea a b x ln b ea ln ea b ln b，构造函数 f x x ln x或 g x e x .
二、多选题
5i
9．已知 z满足 z 1 i z ，则（ ）
2 i
A． z 4 i
B．复平面内 z 对应的点在第一象限
C． zz 17
D． z的实部与虚部之积为 4
【答案】ACD
【分析】利用复数代数形式的运算法则进行运算，求出复数 z，逐一判断各选项是否正
确.
【详解】设 z x yi x, y R ，
5i 2 i
则由已知得 x yi 1 i x yi ，即 x y x y i x 1 y 2 i，
5
x y x 1, x 4,
所以 解得
x y y 2,
y 1,
所以 z 4 i，则 z 4 i，故 A项正确，B项错误；
zz 4 i 4 i 17， z的实部为 4，虚部为 1，
所以 z的实部与虚部之积为 4，故 C，D项正确.
故选：ACD
10．已知函数 f x Asin x （ A 0， 0，0 2π）的部分图象如图所示，
则下列判断正确的是（ ）
试卷第 5页，共 17页
{#{QQABaQgAogiAQpBAARgCEQFQCAAQkAECCAoOQAAIIAABSQFABAA=}#}
A． 2
5π
B．
6
x π kπC．直线 k Z 是函数 f x 图象的对称轴
6 2
π kπ
D ．点 , 0
k Z 是函数 f x 图象的对称中心
6 2
【答案】AD
【分析】利用周期求 验证选项 A；代入极小值点求 验证选项 B；代入检验法验证对
称轴和对称中心判断选项 CD.
【详解】 A 0，由图象可知， A 2，
7π π π T
0 T π 2π ， ，则函数正周期 ，得 2，A选项正确；
12 3 4 4
f 7π 2 sin 2 7π 2 7π 3π ，则 2kπ k Z ，
12 12 6 2
π 2kπ k π解得 Z ，由0 2π，则 ，B选项错误；
3 3
f x 2 sin 2x π可得
3
，
f π kπ 2 sin π k π π 2 2 sin kπ 0 k Z
，
6 2 6 2 3
π kπ
所以点 ,06 2
k Z 是函数 f x 图象的对称中心，C选项错误，D选项正确.
故选：AD.
11 x
2 y2
．已知双曲线 E : 1 a 0 的左、右焦点分别为F1、 F2， F1F2 102 ，过 Fa 24 1的
π
直线 l与 E的右支交于点 P，若 F1PF2 ，则（ ）2
A． E的渐近线方程为 y 2 6x B．3 PF1 4 PF2
4 7 24 7 24
C．直线 l的斜率为 D． P的坐标为 , 或3 5 5
,
5 5
【答案】ABD
【分析】利用双曲线的焦距求出 a的值，结合双曲线的渐近线方程，可判断 A选项；利
用勾股定理结合双曲线的定义求出 PF1 、 PF2 的值，可判断 B选项；利用直线斜率的
试卷第 6页，共 17页
{#{QQABaQgAogiAQpBAARgCEQFQCAAQkAECCAoOQAAIIAABSQFABAA=}#}
定义可判断 C选项；利用双曲线焦半径公式求出点 P的坐标，可判断 D选项.
【详解】对于 A选项， F F 2 a 21 2 24 10 ，且 a 0，解得 a 1，
b
又因为b 2 6 ，故双曲线 E的渐近线方程为 y x 2 6x，A对；
a
对于 B选项，因为点 P在右支上，则 PF1 PF2 2a 2，①
π
又因为 F PF 2 2 21 2 ，则 PF1 PF2 2
F1F2 100，②
联立①②可得 PF1 8， PF2 6，所以，3 PF1 4 PF2 ，B对；
PF 6 3
对于 C 2选项，若点 P在第一象限，则直线 l的斜率为 kPF tan PF F1 1 2 PF 8 4，1
3
若点 P在第四象限，由对称性可知，直线 l的斜率为 kPF .1 4
3
综上所述，直线 l的斜率为 ，C错；
4
2
对于 D y选项，设点P x, y ，则 x 1，且 x2 1，可得 y2 24x2 24，
24
2
所以， PF1 x 5 y2 x2 10x 25 24x2 24 25x2 10x 1 5x 1 8，
x 7 7
2
24 2 24 7 24
解得 ，则 y2 24
5 5
24 ，可得 y ，即点 P
25 5
, ，D对.
5 5
故选：ABD.
三、填空题
试卷第 7页，共 17页
{#{QQABaQgAogiAQpBAARgCEQFQCAAQkAECCAoOQAAIIAABSQFABAA=}#}
12．设全集U R 2，集合M x x 5x 6 0 ，N x log2 x 3 ，则
UM N ．
【答案】 1,8
【分析】解出一元二次不等式和对数不等式，再根据集合的补集和并集即可.
【详解】由题意得M x x 2 5x 6 0 , 1 6, ，
log2 x 3，即 log2 x log2 8，解得0 x 8，则 N 0,8 ，
则 UM 1.6 ，则 UM N 1,8 .
故答案为： 1,8 .
13．在数列 a *n 中，a1 9,a3 5，且 an 2 2an 1 an 0 n N ，则
a1 a2 a3 a100 ．
【答案】9050
【分析】由已知条件可得数列 an 是等差数列，再根据a1 9,a3 5可求出公差，从而
可求出数列的通项公式，由通项公式可知当 n 6时，an 0，当 n 6时，an 0，分段
求和即可
【详解】由题意， an 2 an 1 an 1 an
所以 an 为等差数列，
a a 5 9
所以等差数列的公差d 3 1 2,an 2n 11，3 1 2
当 n 6时，an 0, an 2n 11；当 n 6时， an 0， an an 2n 11，
a a 1 189 1 2 a3 a100 9 7 5 3 1 1 3 189 25 100 5 90502
，
故答案为：9050
14．已知圆台O1O2的轴截面是等腰梯形 ABCD， AB//CD，CD 2AB，圆台O1O2的底
面圆周都在球 O的表面上，点 O在线段O1O2上，且OO1 2OO2，记圆台O1O2的体积为
V
V O V 11，球 的体积为 2，则 V ．2
21 5 21
【答案】 / 5
100 100
试卷第 8页，共 17页
{#{QQABaQgAogiAQpBAARgCEQFQCAAQkAECCAoOQAAIIAABSQFABAA=}#}
【分析】画出图形，根据比例关系设参，即设圆台O1O2的上、下底面半径分别为 r，2r，
球 O的半径为 R，O1O2 h，根据勾股定理列式用 r分别表示出 h,R，再利用圆台体积
公式、球的体积公式代入运算，两式相比即可求解.
【详解】
由CD 2AB可设圆台O1O2的上、下底面半径分别为 r，2r，球 O的半径为 R，O1O2 h，
2 2
因为OO1 2OO r 2
2
2，所以 h 2r
2 1 h 2
3 3
R ，所以h 3r， R 5r，
1 2 2
所以V 1 π 3r r 2r r 2r 7πr
3 V 4 π 3 20 5，3 2 πr
3， R
3 3
V1 21 5所以 ．
V2 100
21 5
故答案为： .
100
四、解答题
15．某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两
类活动的参与情况，统计了如下数据：
文化艺术类 体育锻炼类 合计
男 100 300 400
女 50 100 150
合计 150 400 550
(1)通过计算判断，有没有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关
系？
(2)为收集学生对课外活动建议，在参加文化艺术类活动的学生中按性别用分层抽样的方
法抽取了6名同学.若在这6名同学中随机抽取 2名，求所抽取的 2名同学中至少有1名女
生的概率.
附表及公式：
试卷第 9页，共 17页
{#{QQABaQgAogiAQpBAARgCEQFQCAAQkAECCAoOQAAIIAABSQFABAA=}#}
P K 2 k0 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
n ad bc 2
其中K 2 ， n a b c d .
a b c d a c b d
【答案】(1)有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关
3
(2)
5
【分析】（1）根据表格计算得到K2，对比临界值表可得结论；
（2）根据分层抽样原则可得男女生人数，由古典概型和对立事件概率公式可求得结果.
550 100 100 300 50 2
【详解】（1）由表格数据可得：K 2 275 3.819 2.706，
150 400 400 150 72
有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关.
50
（2）抽取的6
100
名同学中，男生有 6 4人，女生有6 2人，
150 150
记事件A为“抽取的 2名同学中至少有1名女生”，
2
则 P A C4 6 2 P A 1 P A 3， ，
C26 15 5
5
3
即抽取的 2名同学中至少有1名女生的概率为 .
5
16．在四棱锥Q ABCD中，底面 ABCD是正方形，若 AD 2,QD QA 5,QC 3．
（1）证明：平面QAD 平面 ABCD；
（2）求二面角 B QD A的平面角的余弦值．
2
【答案】（1）证明见解析；（2） 3 .
【分析】（1）取 AD的中点为O，连接QO,CO，可证QO 平面 ABCD，从而得到面
QAD 面 ABCD .
试卷第 10页，共 17页
{#{QQABaQgAogiAQpBAARgCEQFQCAAQkAECCAoOQAAIIAABSQFABAA=}#}
（2）在平面 ABCD内，过O作OT //CD，交BC于T，则OT AD，建如图所示的空间
坐标系，求出平面QAD、平面 BQD的法向量后可求二面角的余弦值.
【详解】
（1）取 AD的中点为O，连接QO,CO .
因为QA QD，OA OD，则QO AD，
而 AD 2,QA 5，故QO 5 1 2 .
在正方形 ABCD中，因为 AD 2，故DO 1，故CO 5，
因为QC 3，故QC2 QO2 OC2，故 QOC为直角三角形且QO OC，
因为OC AD O，故QO 平面 ABCD，
因为QO 平面QAD，故平面QAD 平面 ABCD .
（2）在平面 ABCD内，过O作OT //CD，交 BC于T，则OT AD，
结合（1）中的QO 平面 ABCD，故可建如图所示的空间坐标系.
则D 0,1,0 ,Q 0,0,2 ,B 2, 1,0 ，故 BQ 2,1, 2 ,BD 2, 2,0 .
设平面QBD的法向量 n x, y, z ，
n BQ 0 2x y 2z 0
则 即 ，取 x 1
1
，则 y 1, z 2x 2y 0 ， n BD 0 2
n 故 1,1,
1
.
2
1 2
而平面QAD的法向量为m 1,0,0 cos m,n 3 ，故 1 3 .
2
试卷第 11页，共 17页
{#{QQABaQgAogiAQpBAARgCEQFQCAAQkAECCAoOQAAIIAABSQFABAA=}#}
二面角 B QD A
2
的平面角为锐角，故其余弦值为 3 .
an 1,n为奇数,17．已知数列 an 满足 a1 1， an 1
an 2,n为偶数.
（1）记bn a2n，写出b1，b2，并求数列 bn 的通项公式；
（2）求 an 的前 20项和.
【答案】（1）b1 2,b2 5,bn 3n 1；（2）300 .
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列 bn 的特征，然后求和其通项公式
即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前 n项和公式即可求得数列的前 20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然 2n为偶数，则 a2n 1 a2n 2,a2n 2 a2n 1 1，
所以 a2n 2 a2n 3，即 bn 1 bn 3，且b1 a2 a1+1 2，
所以 bn 是以 2为首项，3为公差的等差数列，
于是b1 2,b2 5,bn 3n 1．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知 a1 1, a2 2, a3 4，所以b1 a2 2,b2 a4 a3 1 5．
由 an 1 an 1（ n为奇数）及 an 1 an 2（ n为偶数）可知，
数列从第一项起，
若 n为奇数，则其后一项减去该项的差为 1，
若 n为偶数，则其后一项减去该项的差为 2．
所以 an 2 an 3(n N
*)，则bn b1 n 1 3 3n 1．
[方法三]：累加法
3 ( 1)n
由题意知数列 an 满足 a1 1, an 1 an (n N* )．2 2
b 3 ( 1)
1
所以 1 a2 a1 1 1 2，2 2
b a a 3 ( 1)
3
a 1 a 3 ( 1)
2
2 4 3 3 2 1 a2 2 1 2 3 5，2 2 2 2
则
bn a2n (a2n a2n 1) (a2n 1 a2n 2 ) +(a2 a1) a1 1 2 1 2 2 1 a1
试卷第 12页，共 17页
{#{QQABaQgAogiAQpBAARgCEQFQCAAQkAECCAoOQAAIIAABSQFABAA=}#}
n 1 2(n 1) 1 3n 1．
所以b1 2,b2 5，数列 bn 的通项公式bn 3n 1．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
S20 a1+a2+a3 +a20 (a1+a3+a5 a19 ) (a2+a4 a6+ +a20 )
(b1 1 b2 1 b3 1 b10 1) b1 b2 b3 b10
2 (b1 b10) 10 10 300 ．
2
[方法二]：分组求和
由题意知数列 an 满足 a1 1,a2n a2n 1 1,a2n 1 a2n 2，
所以 a2n 1 a2n 2 a2n 1 3．
所以数列 an 的奇数项是以 1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由 a2n 2 a2n 1 1 a2n 3知数列 an 的偶数项是以 2为首项，3为公差的等差数
列．
从而数列 an 的前 20项和为：
S20 (a1 a3 a5 a19 ) (a2 a4 a6 a20 )
10 9 10 9
10 1 3 10 2 3 300 ．
2 2
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论 bn 的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列 an 的通项公式，然后累加求数列 bn 的通项公式，是一种更加灵活
的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前 n项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前n项和公式和分组的
方法进行求和是一种不错的选择.
18．已知 f x x2 2cosx k xsinx cosx ,k R .
π π
(1)当 k 0 时，讨论 f x 在 , 上的单调性； 2 2
π
(2) 若 f x 在 0, 2 上为单调递增函数，求 k的取值范围.
π π
【答案】(1) f x 在 ,0 上单调递减，在 0, 2 上单调递增. 2
试卷第 13页，共 17页
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(2) k 4
【分析】（1）利用导数，结合三角函数的性质即可的 f x x π π , 在 ,单调递增， 2 2
又 f 0 0，即可求解.
（2）将单调性转化为导函数恒为正，求导，结合分类讨论，即可求解.
2
【详解】（1） k 0时， f x x 2cosx, f x 2x 2sinx,
令m(x) = f (x) ,则m x 2 π π 2cosx 0 ，所以 f x 在 x , 单调递增， 2 2
又 f 0 0，
π π当 x 0时， f x 0；当0 x 时， f x > 0，
2 2 ( )
π
\ f (x) π 在 ,0 上单调递减，在 0,2 2 上单调递增.
（2） f x 2x 2sinx k sinx xcosx sinx 2x 2sinx kxcosx，
f x 0, π π 在 2 上为单调递增函数， 2x 2sinx kxcosx 0 在 0, 2 上恒成立，
令 h x 2x 2sinx kxcosx, x 0,
π
，
2
π
①当 k 0 时， x 0, , xcosx 0 ,所以 h x 2x 2sinx kxcosx 2x 2sinx，
2
又（1） 2x 2sinx 0，所以 h x 0，符合题意；
②当 k 0时， h x 2 2cosx k cosx xsinx 2 2 k cosx kxsinx，
若0 k 4，则 2 2 k 2， cos x 0，所 2 k cosx 2cos x 2,
又 kxsinx 0， h x 0，
h x x 0, π 在 上单调递增，
2
故 h x h 0 0，符合题意；
（ii）若 k 4，令 n x h x ,则 n (x) 2k 2 sinx kxcosx 0，
h x x 0, π 在 上单调递增，
2
h (0) 4 k 0,h π π又
2 k 0, ，
2 2
x 存在 0 0, ，使得h x0 0，
2
试卷第 14页，共 17页
{#{QQABaQgAogiAQpBAARgCEQFQCAAQkAECCAoOQAAIIAABSQFABAA=}#}
0 x x h x 0 x x π故当 0时， ，当 0 时， h x 0，2
h x 在 0, x 0 上单调递减，在 x ,
π
0 上单调递增，
2
h x π 在 x 0, 上的最小值为 h x0 h 0 0，不符合题意.
2
综上， k 4 .
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值
范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰
到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解
问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2 2 2
19 x y．如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 E : 1,
a2 b2
1(a b 0)过点 ，且椭
2
2
圆的离心率为 .直线 l : y x t与椭圆 E相交于 A B两点，线段 AB的中垂线交椭圆 E
2
于C D两点.
(1)求 E的标准方程；
(2)求线段CD长的最大值；
(3)证明： AC AD为定值，并求此定值.
x2
【答案】(1) y2 1
2
(2) 4 3
3
(3)证明见解析，0
【分析】（1）根据题意求出 a,b,c，即可得解；
y x t
（2）设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ,C x3, y3 ,D x4 , y
4 ，联立 2 ，根据 0求得 t的
x 2y
2 2
试卷第 15页，共 17页
{#{QQABaQgAogiAQpBAARgCEQFQCAAQkAECCAoOQAAIIAABSQFABAA=}#}
范围，再利用韦达定理求出 x1 x2 ,x1x2 ，从而可求得 AB的中点的坐标，即可求得直线CD
的方程，再联立方程，利用韦达定理求得 x3 x4 , x3x4，再利用弦长公式计算即可得解；
（3）结合（2）根据数量积的坐标表示化简整理即可得证.
a2 b2 c2
a
2 2
c 2 2
【详解】（1）根据题意得， ，解得 b 1 ，
a 2 2
1 1 c 1
a2 2b2
1
x2
所以椭圆 E的标准方程为 y2 1；
2
（2）设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ,C x3, y3 ,D x4 , y4 ，
y x t
由 2 22
x 2y
2 2，整理得 3x 4tx 2t 2 0，
x x 4 t ,x x 2t
2 2
所以 1 2 1 2 , Δ (4t )
2 4 3 2t 2 2 0 ，解得 3 t 3，3 3
x x 2 1
设 AB的中点M x ,y 1 2M M ，则 xM t, yM xM t t，2 3 3
1 1
所以 AB的中垂线方程为： y x t，即直线CD的方程为 y x t，
3 3
y x
1
t
由 3 ，整理得 27x2 12tx 2t 2 18 0，
x2 2y
2 2
4 2t 2 18
所以 x3 x4 t ,x3x4 ，9 27
所以 CD x4 x
2
3 y y
2 12 ( 1)24 3 x3 x
2
4 4x3x4
2
2 4
t 4 2t
2 18 2 8 t 2 8 ，
9 9 81 3
8 4 3
又因为 3 t 3，所以当 t 0时， |CD |max 2 ；3 3
2
3 2 x x 4 t, x x 2t 18（ ）由（ ）可知， 3 4 3 4 ,3x
2 4tx 2t21 1 2 0，9 27
所以 AC AD x3 x1, y3 y1 x4 x1, y4 y1
x3 x1 x
4 4
4 x1 x3 x1 t x4 x1 t
3 3
4
2x3x4 t x x 2x2
8 16
tx t 2
3 3 4 1 3 1 9
2t2 18 4 4 2
2 t t 2 2t2 16 t227 3 9 3 9
试卷第 16页，共 17页
{#{QQABaQgAogiAQpBAARgCEQFQCAAQkAECCAoOQAAIIAABSQFABAA=}#}
4 16 36 48
t 2 0 .
27 27 27 27
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
试卷第 17页，共 17页
{#{QQABaQgAogiAQpBAARgCEQFQCAAQkAECCAoOQAAIIAABSQFABAA=}#}济宁市第一中学 2024 届高三 4 月份定时检测
数学试题
一、单选题（每题 5分，共 40 分）
1．已知数列 an 为等比数列，若 a1 2， a5 32，则a3的值为（ ）
A． 8 B．8 C．16 D． 16
2．已知向量 a,b 满足 | a | 1,| b | 4，且 a ×b = 2，则 a与b 的夹角 为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
2 3 4 6
3．在 5x 2 的展开式中， x2的系数为（ ）
A． 10 B．10 C． 80 D．80
4．已知抛物线C： y2 x的焦点为 F，A， B是抛物线C上关于其对称轴对称的两点，
若 AF⊥OB，O为坐标原点，则点 A的横坐标为（ ）
5 5 5 5A． B． C． D．
2 4 2 8
b
5．在 ABC中，角A， B，C的对边分别为 a，b， c，且 cos A ，则 ABC的形状
c
为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．锐角三角形
2 3 2
6 5 5 5．设 a＝ 3 ，b＝
2 2
，c＝ ，则 a，b，c的大小关系是( )
5 5 5
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
7．已知正四棱台 ABCD A1B1C1D1的上 下底面边长分别为1和 2，且 BB1 DD1，则该
棱台的体积为（ ）
7 2 7 7A． B 7 2． C． D．
2 6 6 2
8 x e 1 lnx ax xeax．若关于 的不等式 1在 x 1 ,1
内有解，则正实数 a的取值范
2
围是（ ）
A． 0,2 1 1 2ln2 B． , e C． 0,4
, e D．
e 2e
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABaQgAogiAQpBAARgCEQFQCAAQkAECCAoOQAAIIAABSQFABAA=}#}
二、多选题（每题 6分，共 18 分）
5i
9．已知 z满足 z 1 i z ，则（ ）
2 i
A． z 4 i
B．复平面内 z 对应的点在第一象限
C． zz 17
D． z的实部与虚部之积为 4
10．已知函数 f x Asin x （ A 0， 0，0 2π）的部分图象如图所示，
则下列判断正确的是（ ）
A． 2
B．
5π
6
π kπ
C．直线 x k Z 是函数 f x 图象的对称轴
6 2
π kπD , 0 ．点 k Z 是函数 f x 图象的对称中心
6 2
x2 y211．已知双曲线 E : 2 1 a 0 的左、右焦点分别为F1、 F2， F1F2 10，过 F1的a 24
π
直线 l与 E的右支交于点 P，若 F1PF2 ，则（ ）2
A． E的渐近线方程为 y 2 6x B．3 PF1 4 PF2
4 7 24
l ,
7 , 24 C．直线 的斜率为 D． P的坐标为 或
3 5 5 5 5
三、填空题（每题 5分，共 15 分）
12．设全集U R ，集合M x x 2 5x 6 0 ，N x log2 x 3 ，则
UM N ．
13 *．在数列 an 中，a1 9,a3 5，且 an 2 2an 1 an 0 n N ，则
a1 a2 a3 a100 ．
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABaQgAogiAQpBAARgCEQFQCAAQkAECCAoOQAAIIAABSQFABAA=}#}
14．已知圆台O1O2的轴截面是等腰梯形 ABCD， AB//CD，CD 2AB，圆台O1O2的底
面圆周都在球 O的表面上，点 O在线段O1O2上，且OO1 2OO2，记圆台O1O2的体积为
V
V 11，球 O的体积为V2，则 V ．2
四、解答题（共 77 分）
15．（13分）某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学
生对这两类活动的参与情况，统计了如下数据：
文化艺术类 体育锻炼类 合计
男 100 300 400
女 50 100 150
合计 150 400 550
(1)通过计算判断，有没有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关
系？
(2)为收集学生对课外活动建议，在参加文化艺术类活动的学生中按性别用分层抽样的方
法抽取了6名同学.若在这6名同学中随机抽取 2名，求所抽取的 2名同学中至少有1名女
生的概率.
附表及公式：
P K 2 k0 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
2 nK ad bc
2
其中 ， n a b c d .
a b c d a c b d
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABaQgAogiAQpBAARgCEQFQCAAQkAECCAoOQAAIIAABSQFABAA=}#}
16．（15分）在四棱锥Q ABCD中，底面 ABCD是正方形，若
AD 2,QD QA 5,QC 3．
（1）证明：平面QAD 平面 ABCD；
（2）求二面角 B QD A的平面角的余弦值．
a 1,n为奇数,
17．（15 n分）已知数列 an 满足 a1 1， an 1
an 2,n为偶数.
（1）记bn a2n，写出b1，b2，并求数列 bn 的通项公式；
（2）求 an 的前 20项和.
18．（17分）已知 f x x2 2cosx k xsinx cosx ,k R .
π π
(1)当 k 0时，讨论 f x 在 , 上的单调性； 2 2
f x 0, π(2) 若 在 2 上为单调递增函数，求 k的取值范围.
2 2 2
19 x y．（17分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 E : 2 2 1(a b 0)过点 1, ，a b 2
2
且椭圆的离心率为 .直线 l : y x t与椭圆 E相交于 A B两点，线段 AB的中垂线交椭
2
圆 E于C D两点.
(1)求 E的标准方程；
(2)求线段CD长的最大值；
(3)证明： AC AD为定值，并求此定值.
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABaQgAogiAQpBAARgCEQFQCAAQkAECCAoOQAAIIAABSQFABAA=}#}
