2023-2024学年八年级数学下册-第一章 三角形的证明单元测试卷（北师大版）
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知等腰三角形的一边长为2，一边的长为6，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．10或14
【答案】A
【解答】解：①当2为底时，其它两边都为6，
2、6、6可以构成三角形，
则周长为14；
②当2为腰时，
其它两边为2和6，
∵2+2＜6，
∴不能构成三角形，故舍去，
故此等腰三角形的周长为14．
故选：A．
2．以下列线段a、b、c的长为边，能构成是直角三角形的是（ ）
A．a＝4，b＝5，c＝6 B．a＝，b＝2，c＝
C．a＝6，b＝8，c＝12 D．a＝1，b＝2，c＝
【答案】D
【解答】解：A、∵a2+b2＝42+52＝41，c2＝62＝36，
∴a2+b2≠c2，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a2+b2＝（）2+52＝7，c2＝（）2＝5，
∴a2+b2≠c2，
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a2+b2＝62+82＝100，c2＝122＝144，
∴a2+b2≠c2，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a2+c2＝12+（）2＝4，b2＝22＝4，
∴a2+c2＝b2，
∴能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
3．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，若AE＝3，△ABC的周长为19，则△ABD的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE＝3，AD＝DC，
∴AC＝6，
∵△ABC的周长为19，
∴AB+AC+BC＝19，
∴AB+BC＝13，
∴△ABD的周长为AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13，
故选：A．
4．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．6米 B．9米 C．12米 D．15米
【答案】B
【解答】解：如图，根据题意BC＝3米，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×3＝6（米），
∴3+6＝9（米）．
故选：B．
5．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【解答】解：过P作PK⊥OB于K，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，
∴PK＝PC＝2，
∵OD＝4，
∴△POD的面积＝OD PK＝×4×2＝4．
故选：A．
6．在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点
【答案】C
【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：C．
7．如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意可得∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝3﹣1＝2，
则CB＝＝，
那么点P表示的实数为3﹣，
故选：A．
8．如图，在△ABC中，∠APC＝116°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠ABC的度数为（ ）
A．64° B．52° C．54° D．62°
【答案】B
【解答】解：∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，
∴AM＝PM，PN＝CN，
∴∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN，
∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，
∴∠BMN＝2∠MPA，∠BNM＝2∠CPN，
∴∠BMN+∠BNM＝2（∠MPA+∠CPN）＝2（180°﹣∠APC）＝128°，
∴∠ABC＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝52°，
故选：B．
9．如图，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，垂足为E．则结论：①AD＝BF；②CF＝CD；③AC+CD＝AB；④BE＝CF；⑤BF＝2BE．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：①∵BC＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAF＝22.5°，
∵在Rt△ACD与Rt△BFC中，∠EAF+∠F＝90°，∠FBC+∠F＝90°，
∴∠EAF＝∠FBC，
∵BC＝AC，∠EAF＝∠FBC，∠BCF＝∠AEF，
∴Rt△ADC≌Rt△BFC，
∴AD＝BF；
故①正确；
②∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC，
∴CF＝CD，
故②正确；
③∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC，
∴CF＝CD，AC+CD＝AC+CF＝AF，
∵∠CBF＝∠EAF＝22.5°，
∴在Rt△AEF中，∠F＝90°﹣∠EAF＝67.5°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠ABF＝180°﹣∠F﹣∠CAB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴AF＝AB，即AC+CD＝AB，
故③正确；
④由③可知，△ABF是等腰三角形，
∵BE⊥AD，
∴BE＝BF，
∵在Rt△BCF中，若BE＝CF，则∠CBF＝30°，与②中∠CBF＝22.5°相矛盾，
故BE≠CF，
故④错误；
⑤由③可知，△ABF是等腰三角形，
∵BE⊥AD，
∴BF＝2BE，
故⑤正确．
所以①②③⑤四项正确．
故选：D．
10．如图，∠BOC＝8°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解答】解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝8°，
∴∠A1AA2＝（2×8）°，∠A2A1A3＝（3×8）°，∠A3A2A4＝（4×8）°，∠A4A3A5＝（5×8）°，…，∠Ak+1AkAk+2＝[（k+2） 8]°
由题意（k+2） 8＜90，
解得k＜，
由于k为整数，故k＝9，可以画11条线段，n＝11．
故选：C．
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 10 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，
∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，
∴MB＝MO，NC＝NO，
∴MN＝MO+NO＝MB+NC，
∵AB＝4，AC＝6，
∴△AMN周长为AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10，
故答案为：10
12．如图，△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若∠BAC+∠DAE＝150°，则∠BAC的度数是 110° ．
【答案】110°．
【解答】解：∵△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC．
∵∠BAC+∠DAE＝150°①，
∴∠B+∠C+2∠DAE＝150°．
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴180°﹣∠BAC+2∠DAE＝150°，
即∠BAC﹣2∠DAE＝30°②，
由①②组成的方程组，
解得∠BAC＝110°．
故答案为：110°．
13．如图，△ABC是边长为5的等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，若BD＝2，则DF的长为 6 ．
【答案】6．
【解答】解：∵△ABC是边长是5的等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，BC＝5，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∴∠DEC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△EDC是等边三角形，
∴DE＝CD，
∵BD＝2，
∴CD＝BC﹣BD＝5﹣2＝3，
∴DE＝CD＝3，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F∠＝90°﹣∠EDC＝30°，
∴DF＝2DE＝6．
故答案为：6．
14．如图，在△ABC（AB＜AC）中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝15cm，△ABE的周长为24cm，则AB的长为 9cm ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+CE＝AB+AC，
∵AC＝15cm，△ABE的周长为24cm，
∴AB+15＝24，
解得AB＝9，
故答案为：9cm．
15．图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…A7A8＝1，那么OA8的长为 ．
【答案】．
【解答】解：∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝1，
∴由勾股定理可得：，，，……
可知，
∴．
故答案为：．
16．如图，在△ABC，∠ACB＝90°，分别以三边为直径向上作三个半圆．若AB＝5，AC＝4，则阴影部分图形的面积为 6 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC2+AC2＝AB2，BC＝＝＝3，
∴S△ABC＝BC AC＝×3×4＝6，
设以BC为直径的半圆的面积为S1，以AB为直径的半圆的面积为S3，以AC为直径的半圆的面积为S2，
∵S1＝π （BC）2＝BC2，S2＝π （AC）2＝AC2，S3＝π （AB）2＝AB2，
∴S阴影＝S2+S1+S△ABC﹣S3＝（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABC＝6，
故答案为：6．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE，求证：AB＝AC．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∴AB＝AC．
18．（8分）如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AB＝3，BC＝4，
∴根据勾股定理得：AC＝＝5，
又∵CD＝12，AD＝13，
∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，
则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB BC+AC CD＝×3×4+×5×12＝36．
故四边形ABCD的面积是36．
19．（8分）在Rt△ABC中∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE是线段AB的垂直平分线．
（1）求∠B的大小；
（2）求证：BC＝3DC．
【答案】（1）∠B的度数为30°；
（2）证明过程见解答．
【解答】（1）解：∵∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠B+∠BAD+∠DAC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵DE是AB垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠B＝∠BAD＝∠DAC＝30°，
∴∠B的度数为30°；
（2）证明：在Rt△BDE中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
∴BD＝2CD，
∴BC＝3DC．
20．（8分）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求从海岛B到灯塔C的距离；
（2）这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔C的距离最短？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠NBC＝60，∠NAC＝30°，
∴∠ACB＝60°﹣30°＝30°，
∴AB＝BC，
∵AB＝15×2＝30海里，
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里；
（2）过C作CP⊥AB于P，
则线段CP即为小船与灯塔C的最短距离，
∵∠NBC＝60°，∠BPC＝90°，
∴∠PCB＝90°﹣60°＝30°，
∴PB＝BC＝15海里，
∴15÷15＝1小时，
∴这条船继续向正北航行，在上午的11时时间小船与灯塔C的距离最短．
21．（10分）已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
【答案】（1）见解析；
（2）14cm．
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠DCB，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴FD＝FC，
∴△DFC是等腰三角形；
（2）∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝EB，
∵AC＝6cm，AB＝8cm，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF
＝AE+ED+FD+AF
＝AE+EB+FC+AF
＝AB+AC
＝8+6
＝14（cm）．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
【答案】（1）；
（2）或t＝1．
【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
∵4÷2＝2，
∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.
（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．
即4﹣2t＝t．
∴．
当时，△PBQ为等边三角形；
（2）若△PBQ为直角三角形，
①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，
即4﹣2t＝2t，
∴t＝1．
②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，
即t＝2（4﹣2t），
∴．
即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．2023-2024学年八年级数学下册-第一章 三角形的证明单元测试卷（北师大版）
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知等腰三角形的一边长为2，一边的长为6，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．10或14
2．以下列线段a、b、c的长为边，能构成是直角三角形的是（ ）
A．a＝4，b＝5，c＝6 B．a＝，b＝2，c＝
C．a＝6，b＝8，c＝12 D．a＝1，b＝2，c＝
3．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，若AE＝3，△ABC的周长为19，则△ABD的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
4．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．6米 B．9米 C．12米 D．15米
5．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
6．在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点
7．如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，∠APC＝116°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠ABC的度数为（ ）
A．64° B．52° C．54° D．62°
9．如图，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，垂足为E．则结论：①AD＝BF；②CF＝CD；③AC+CD＝AB；④BE＝CF；⑤BF＝2BE．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，∠BOC＝8°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 ．
12．如图，△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若∠BAC+∠DAE＝150°，则∠BAC的度数是 ．
13．如图，△ABC是边长为5的等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，若BD＝2，则DF的长为 ．
14．如图，在△ABC（AB＜AC）中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝15cm，△ABE的周长为24cm，则AB的长为 ．
15．图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…A7A8＝1，那么OA8的长为 ．
16．如图，在△ABC，∠ACB＝90°，分别以三边为直径向上作三个半圆．若AB＝5，AC＝4，则阴影部分图形的面积为 ．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE，求证：AB＝AC．
18．（8分）如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
19．（8分）在Rt△ABC中∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE是线段AB的垂直平分线．
（1）求∠B的大小；
（2）求证：BC＝3DC．
20．（8分）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求从海岛B到灯塔C的距离；
（2）这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔C的距离最短？
21．（10分）已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
