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2023-2024学年八年级数学下册4.2-3 因式分解-提公因式和公式法（北师大版）
知识点1：因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
2.掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
【典例1】（2023秋 海门市校级月考）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝（a+1）（a﹣1）
【答案】B
【解答】解：a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，则A不符合题意；
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），则B符合题意；
x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3，等号的右边不是积的形式，则C不符合题意；
a2+1不能因式分解，则D不符合题意；
故选：B．
【变式1-1】（2023春 玄武区期中）下列各式从左到右不属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x＝x（x﹣1） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
【答案】B
【解答】解：A、符合因式分解的定义，属于因式分解，故此选项不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项符合题意；
C、符合因式分解的定义，属于因式分解，故此选项不符合题意；
D、符合因式分解的定义，属于因式分解，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式1-2】（2022秋 闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；
B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；
C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；
D．符合定义，故选项正确，符合题意．
故选：D．
基础知识
知识点2：公因式
像多项式 pa pb pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p
叫做这个多项式各项的公因式
注意：公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
【典例2-1】（2023春 榆阳区期末）多项式6a2b﹣3ab2的公因式是 3ab ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵系数的最大公约数是3，
相同字母的最低指数次幂是ab，
∴多项式6a2b﹣3ab2的公因式是3ab．
【典例2-2】（2023春 大竹县校级期末）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是 4（m﹣n） ．
【答案】4（m﹣n）．
【解答】解：4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是4（m﹣n）．
故答案为：4（m﹣n）．
【变式2-1】（2023春 礼泉县期中）多项式．4ab2+8a2b的公因式是 4ab ．
【答案】4ab．
【解答】解：多项式4ab2+8a2b各项的公因式是4ab．
故答案为：4ab．
【变式2-2】（2023春 巴州区月考）多项式3x+3y与x2﹣y2的公因式是 x+y ．
【答案】x+y．
【解答】解：3x+3y＝3（x+y），x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），
则多项式3x+3y与x2﹣y2的公因式是x+y．
故答案为：x+y．
【变式2-3】（2023春 开江县校级期末）多项式4x（m﹣n）+2y（m﹣n）2的公因式是 2（m﹣n） ．
【答案】2（m﹣n）．
【解答】解：4x（m﹣n）+2y（n﹣m）2的公因式是2（m﹣n）．
故答案为：2（m﹣n）．
基础知识
知识点3：提公因式
提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．
需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
注意：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
【典例3】（2022秋 白云区期末）分解因式：
（1）2y+3xy；
（2）2（a+2）+3b（a+2）．
【答案】（1）y（2+3x）；
（2）（a+2）（2+3b）．
【解答】解：（1）原式＝y（2+3x）；
（2）原式＝（a+2）（2+3b）．
【变式3-1】（2023春 常德期中）因式分解
（1）x2﹣4x；
（2）8y3﹣2x2y．
【答案】（1）x（x﹣4）；
（2）2y（2y+x）（2y﹣x）．
【解答】解：（1）原式＝x（x﹣4）；
（2）原式＝2y（4y2﹣x2）
＝2y（2y+x）（2y﹣x）．
【变式2-2】（2022秋 番禺区校级期末）因式分解：
（1）8abc﹣2bc2；
（2）2x（x+y）﹣6（x+y）．
【答案】（1）2bc（4a﹣c）；
（2）2（x+y）（x﹣3）．
【解答】解：（1）8abc﹣2bc2＝2bc（4a﹣c）；
（2）2x（x+y）﹣6（x+y）＝2（x+y）（x﹣3）．
【变式3-3】（2022春 源城区校级期中）分解因式：x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）．
【答案】（m+n）（x﹣y+1）．
【解答】解：x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）
＝x（m+n）﹣y（m+n）+（m+n）
＝（m+n）（x﹣y+1）．
知识点4：公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
【典例4】（2023 云南）分解因式：x2﹣4＝ （x+2）（x﹣2） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【变式4-1】（2023 武威一模）因式分解：a2﹣169＝ （a+13）（a﹣13） ．
【答案】（a+13）（a﹣13）．
【解答】解：a2﹣169＝（a+13）（a﹣13）．
故答案为：（a+13）（a﹣13）．
【变式4-2】（2022秋 洞口县期末）因式分解：4a2﹣b2＝ （2a+b）（2a﹣b） ．
【答案】（2a+b）（2a﹣b）．
【解答】解：4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）；
故答案为：（2a+b）（2a﹣b）．
【变式4-3】（2023春 东源县期末）把多项式a2﹣9b2分解因式结果是 （a+3b）（a﹣3b） ．
【答案】（a+3b）（a﹣3b）．
【解答】解：原式＝（a+3b）（a﹣3b）．
故答案为：（a+3b）（a﹣3b）．
【典例5】（2023 通榆县三模）分解因式：a2+8a+16＝ （a+4）2 ．
【答案】（a+4）2．
【解答】解：a2+8a+16＝（a+4）2．
故答案为：（a+4）2．
【变式5-1】（2023春 亳州期末）因式分解x2﹣6ax+9a2＝ （x﹣3a）2 ．
【答案】（x﹣3a）2．
【解答】解：x2﹣6ax+9a2＝（x﹣3a）2．
故答案为：（x﹣3a）2．
【变式5-2】（2023 前郭县四模）分解因式：a2﹣6a+9＝ （a﹣3）2 ．
【答案】（a﹣3）2．
【解答】解：原式＝（a﹣3）2．
故答案为：（a﹣3）2．
知识点5：提公因式与公式法综合
提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
公式法：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）
【典例6】（2023春 海曙区期中）分解因式
（1）x2y﹣y；
（2）ax2﹣6ax+9a．
【答案】（1）y（x+1）（x﹣1）；
（2）a（x﹣3）2．
【解答】解：（1）原式＝y（x2﹣1）
＝y（x+1）（x﹣1）；
（2）原式＝a（x2﹣6x+9）
＝a（x﹣3）2．
【变式6-1】（2023春 娄星区校级期中）因式分解：
（1）x3y﹣xy3；
（2）8a2﹣16ab+8b2．
【答案】（1）xy（x+y）（x﹣y）；
（2）8（a﹣b）2．
【解答】解：（1）xy（x2﹣y2）
＝xy（x+y）（x﹣y）；
（2）原式＝8（a2﹣2ab+b2）
＝8（a﹣b）2．
【变式6-2】（2022秋 武汉期末）因式分解：
（1）2x3y﹣2xy3；
（2）﹣a3+2a2﹣a．
【答案】（1）2xy（x﹣y）（x+y）；
（2）﹣a（a﹣1）2．
【解答】解：（1）2x3y﹣2xy3＝2xy（x2﹣y2）＝2xy（x﹣y）（x+y）；
（2）﹣a3+2a2﹣a＝﹣a（a2﹣2a+1）＝﹣a（a﹣1）2．
【变式6-3】（2023 肃州区校级开学）分解因式：
（1）5x2﹣5y2；
（2）2mx2+4mxy+2my2．
【答案】（1）5（x﹣y）（x+y）；
（2）2m（x+y）2．
【解答】解：（1）5x2﹣5y2
＝5（x2﹣y2）
＝5（x﹣y）（x+y）；
（2）2mx2+4mxy+2my2
＝2m（x2+2xy+y2）
＝2m（x+y）2．
【变式6-4】（2022秋 兴城市期末）因式分解：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 泉港区期末）多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是（ ）
A．4a2 B．4abc C．2a2 D．4ab
【答案】D
【解答】解：多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是4ab，
故选：D．
2．（2023秋 莱西市期末）多项式3m2+6mn的公因式是（ ）
A．3 B．m C．3m D．3n
【答案】C
【解答】解：多项式3m2+6mn的公因式是3m，
故选：C．
3．（2023秋 纳溪区期末）因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（ ）
A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1）
C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4）
【答案】D
【解答】解：原式＝[（x﹣1）+3][（x﹣1）﹣3]
＝（x+2）（x﹣4）．
故选：D．
4．（2023秋 泰山区期末）分解因式：64﹣x2正确的是（ ）
A．（8﹣x）2 B．（8﹣x）（8+x）
C．（x﹣8）（x+8） D．（32+x）（32﹣x）
【答案】B
【解答】解：原式＝（8﹣x）（8+x），
故选：B．
5．（2023秋 沙坪坝区校级期末）因式分解：mx2﹣4m＝（ ）
A．m（x2﹣4） B．m（x+2）（x﹣2）
C．mx（x﹣4） D．m（x+4）（x﹣4）
【答案】B
【解答】解：原式＝m（m2﹣4）
＝m（m+2）（m﹣2）；
故选：B．
6．（2023秋 哈密市期末）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 D．x2﹣x＝x（x﹣1）
【答案】D
【解答】解：A、选项是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、选项分解错误，不符合题意；
C、选项不是因式分解，不符合题意；
D、选项是因式分解，符合题意；
故选：D．
7．（2024 裕华区校级开学）若a+b＝3，a﹣b＝，则a2﹣b2的值为（ ）
A．1 B． C． D．9
【答案】A
【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝，
∴a2﹣b2＝3×＝1．
故选：A．
8．（2023秋 南沙区期末）已知多项式x2+ax+16可以用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（ ）
A．4 B．8 C．﹣8 D．±8
【答案】D
【解答】解：∵多项式x2+ax+16可以用完全平方公式进行因式分解，
∴a＝±2×1×4＝±8．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
9．（2023秋 临潼区期末）式子x（y﹣1）与﹣18（y﹣1）的公因式是 y﹣1 ．
【答案】y﹣1．
【解答】解：式子x（y﹣1）与﹣18（y﹣1）的公因式是y﹣1，
故答案为：y﹣1．
10．（2024 榆阳区校级一模）因式分解：2x2y+10xy＝ 2xy（x+5） ．
【答案】2xy（x+5）．
【解答】解：原式＝2xy（x+5），
故答案为：2xy（x+5）．
11．（2024 西山区校级模拟）分解因式：m3+6m2+9m＝ m（m+3）2 ．
【答案】m（m+3）2．
【解答】解：原式＝m（m2+6m+9）
＝m（m+3）2，
故答案为：m（m+3）2．
12．（2023秋 哈密市期末）已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 10 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x+y＝10，xy＝1，
∴x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝1×10
＝10．
13．（2024 临潼区一模）因式分解：3a2﹣12＝ 3（a+2）（a﹣2） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：3a2﹣12
＝3（a2﹣4）
＝3（a+2）（a﹣2），
故答案为：3（a+2）（a﹣2）．
三．解答题（共3小题）
14．（2023秋 海口期末）把下列多项式分解因式：
（1）4a3﹣16ab2；
（2）3（x﹣1）2+12x．
【答案】（1）4a（a+2b）（a﹣2b）；
（2）3（x+1）2．
【解答】解：（1）原式＝4a（a2﹣4b2）
＝4a（a+2b）（a﹣2b）；
（2）原式＝3（x2﹣2x+1+4x）
＝3（x+1）2．
15．（2023秋 洪山区期末）因式分解．
（1）x3﹣2x2y+xy2
（2）m2（a﹣b）+n2（b﹣a）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）x3﹣2x2y+xy2，
＝x（x2﹣2xy+y2），
＝x（x﹣y）2；
（2）m2（a﹣b）+n2（b﹣a），
＝m2（a﹣b）﹣n2（a﹣b），
＝（a﹣b）（m2﹣n2），
＝（a﹣b）（m+n）（m﹣n）．
16．（2023秋 寻乌县期末）因式分解：
（1）﹣x3﹣2x2﹣x；
（2）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）．
【答案】（1）﹣x（x+1）2；
（2）（a﹣1）（x+y）（x﹣y）．
【解答】解：（1）﹣x3﹣2x2﹣x
＝﹣x（x2+2x+1）
＝﹣x（x+1）2；
（2）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）
＝x2（a﹣1）﹣y2（a﹣1）
＝（a﹣1）（x2﹣y2）
＝（a﹣1）（x+y）（x﹣y）．
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2023-2024学年八年级数学下册4.2-3 因式分解-提公因式和公式法（北师大版）
知识点1：因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
2.掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
【典例1】（2023秋 海门市校级月考）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝（a+1）（a﹣1）
【变式1-1】（2023春 玄武区期中）下列各式从左到右不属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x＝x（x﹣1） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
【变式1-2】（2022秋 闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）
知识点2：公因式
像多项式 pa pb pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p
叫做这个多项式各项的公因式
注意：公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
【典例2-1】（2023春 榆阳区期末）多项式6a2b﹣3ab2的公因式是 ．
【典例2-2】（2023春 大竹县校级期末）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是 ．
【变式2-1】（2023春 礼泉县期中）多项式．4ab2+8a2b的公因式是 ．
【变式2-2】（2023春 巴州区月考）多项式3x+3y与x2﹣y2的公因式是 ．
【变式2-3】（2023春 开江县校级期末）多项式4x（m﹣n）+2y（m﹣n）2的公因式是 ．
知识点3：提公因式
提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．
需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
注意：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
【典例3】（2022秋 白云区期末）分解因式：
（1）2y+3xy；
（2）2（a+2）+3b（a+2）．
【变式3-1】（2023春 常德期中）因式分解
（1）x2﹣4x；
（2）8y3﹣2x2y．
【变式2-2】（2022秋 番禺区校级期末）因式分解：
（1）8abc﹣2bc2；
（2）2x（x+y）﹣6（x+y）．
【变式3-3】（2022春 源城区校级期中）分解因式：x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）．
知识点4：公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
【典例4】（2023 云南）分解因式：x2﹣4＝ ．
【变式4-1】（2023 武威一模）因式分解：a2﹣169＝ ．
【变式4-2】（2022秋 洞口县期末）因式分解：4a2﹣b2＝ ．
【变式4-3】（2023春 东源县期末）把多项式a2﹣9b2分解因式结果是 ．
【典例5】（2023 通榆县三模）分解因式：a2+8a+16＝ ．
【变式5-1】（2023春 亳州期末）因式分解x2﹣6ax+9a2＝ ．
【变式5-2】（2023 前郭县四模）分解因式：a2﹣6a+9＝ ．
知识点5：提公因式与公式法综合
提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
公式法：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）
【典例6】（2023春 海曙区期中）分解因式
（1）x2y﹣y；
（2）ax2﹣6ax+9a．
【变式6-1】（2023春 娄星区校级期中）因式分解：
（1）x3y﹣xy3；
（2）8a2﹣16ab+8b2．
【变式6-2】（2022秋 武汉期末）因式分解：
（1）2x3y﹣2xy3；
﹣a3+2a2﹣a．
【变式6-3】（2023 肃州区校级开学）分解因式：
（1）5x2﹣5y2；
（2）2mx2+4mxy+2my2．
【变式6-4】（2022秋 兴城市期末）因式分解：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 泉港区期末）多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是（ ）
A．4a2 B．4abc C．2a2 D．4ab
2．（2023秋 莱西市期末）多项式3m2+6mn的公因式是（ ）
A．3 B．m C．3m D．3n
3．（2023秋 纳溪区期末）因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（ ）
A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1）
C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4）
4．（2023秋 泰山区期末）分解因式：64﹣x2正确的是（ ）
A．（8﹣x）2 B．（8﹣x）（8+x）
C．（x﹣8）（x+8） D．（32+x）（32﹣x）
5．（2023秋 沙坪坝区校级期末）因式分解：mx2﹣4m＝（ ）
A．m（x2﹣4） B．m（x+2）（x﹣2）
C．mx（x﹣4） D．m（x+4）（x﹣4）
6．（2023秋 哈密市期末）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 D．x2﹣x＝x（x﹣1）
7．（2024 裕华区校级开学）若a+b＝3，a﹣b＝，则a2﹣b2的值为（ ）
A．1 B． C． D．9
8．（2023秋 南沙区期末）已知多项式x2+ax+16可以用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（ ）
A．4 B．8 C．﹣8 D．±8
二．填空题（共5小题）
9．（2023秋 临潼区期末）式子x（y﹣1）与﹣18（y﹣1）的公因式是 ．
10．（2024 榆阳区校级一模）因式分解：2x2y+10xy＝ ．
11．（2024 西山区校级模拟）分解因式：m3+6m2+9m＝ ．
12．（2023秋 哈密市期末）已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 ．
13．（2024 临潼区一模）因式分解：3a2﹣12＝ ．
三．解答题（共3小题）
14．（2023秋 海口期末）把下列多项式分解因式：
（1）4a3﹣16ab2； （2）3（x﹣1）2+12x．
15．（2023秋 洪山区期末）因式分解．
（1）x3﹣2x2y+xy2 （2）m2（a﹣b）+n2（b﹣a）
16．（2023秋 寻乌县期末）因式分解：
（1）﹣x3﹣2x2﹣x； （2）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）．
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