红岭中学 2023－2024 学年度第二学期高三第六次统一考试
数学
(说明: 本试卷考试时间为 120 分钟，满分为 150 分)
一、选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题的 4 个选项中仅有一项是符合要求的.
1．函数 f (x) = 2 x
2 2x
的值域是
A. (0, 1] B. ( 1 ∞，] C. (0,2] D. ( ∞，2]
2 2
2．点 O 是平行四边形 ABCD 的中心，E 为 AO 的中点，若 DE = λAB + AD，则λ =
A. 1 B. 3 C. 1 D. 1
4 2 2
3．函数 f (x)=cos(ωx+φ)(ω>0 11π， π < < 0 )的部分图象如图所示，则 f ( ) =
3
A. 1 B. 1
2 2
C. 3 D. 3
2 2
4．已知{ an }是公差为 2 的等差数列，{ bn }为等比数列，且满足b2024 = 2b2023，b1 = 2a1，b4 = a9 1，
则使得b10 > a1 + a2 +…+ an 成立的 n 的最大值为
A. 32 B. 31 C. 30 D. 29
5 π．若 sin(α + ) = 3sin(α
π
) π，则 tan(2α ) =
3 6 3
A. 3 B. 2 3 C. 5 D. 5
4 3 6
6．直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是菱形， AA1 = 2 2 ， AB = 4 ，∠BAD =120°，E，F，G
分别是 AB，AD ，CC1的中点，点 P 在该直四棱柱的表面（含边界）运动，且GP //平面 A1EF ，
则 P 的轨迹长度为
A. 3 B. 6 C. 3 3 D. 3 3
2
7．已知 A(2, 1) B(
， 2, 1) ，圆 (x a)2 + (y 2a + 4)2 =1上存在点 P，使得 PA PB = 0，则 a
的最大值为
A. 6 B. 12 C. 2 D. 4
5 5
试卷第1页（共 4 页）
{#{QQABSQiEggigQJAAARhCAQmQCAAQkAECAIoORAAEIAAByBFABAA=}#}
2 2
8．已知 M，N x y为双曲线C : 2 2 =1(a > 0,b > 0)上关于原点对称的两点，点 Q 与 M 关于 x 轴a b
3
对称，ME = MQ，NE 的延长线交 C 于点 P，若
2 MN MP = 0
，则 C 的离心率为
A. 5 B. 14 C. 3 D. 6
2 2
二、选择题：共 3个小题，每小题 6分,共 18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，少
选得部分分，多选或错选得 0分.
9 z 1 3．已知复数 = + i ，则
2 2
A. z2 1= z B. z2 + z =1 C. z = D. | z3 |=1
z
2 1 5010．已知一组样本数据 x1， x2，…， x50（ x1 < x2 <…< x50 ） 的方差 s = ∑ (xi 2)2 ，则 50 i=1
A. 这组样本数据的总和为 100
B. 这组样本数据的中位数为 2
C. 3x1 +1，3x2 +1，…，3x50 +1的标准差为 3s
x1 + x2 x + x x + x x + xD. ， 2 3 ，…， 49 50 ， 50 1 的极差比 x ， x ，…， x 的极差大
2 2 2 2 1 2 50
11 1．已知定义在 R 上的函数 f (x) 可导， f (x) 的导数为 f ′(x)，若 f (x + )是奇函数，且
2
f (2 x) f (2 + x) + 4x = 0，则
A. f (1) = 0 B. f ′(1) + f ′(4) = 4
2
C. f ′(x)的图象关于点(2，0)中心对称 D. f ′(2024) = 2
三、填空题:共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知集合 A={x | x >0}，B={ 2, 0, a }，(C R A)∩B={ 2, 0 }，则实数 a 的取值范围是 ．
2 2
13 x y．已知 F1， F2 是椭圆C : + =1的两个焦点，A 为 C 与 y 轴的一个交点，点 P 在椭圆上，9 8
若△ PF1F2 的面积是△ AF1F2的面积的一半，记△ PF1F2 内切圆的圆心为 I，则△ I F1F2 的面积
为 ．
14. 已知棱长为 3 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，CP = 2PC1 ，则三棱锥 P AB1D1 的外接球的
表面积为 ．
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四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13 分）
在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， (a + b c)(b + c a) = 3ac ．
(1) 求 B；
(2) 若 D，E 为 AC
BE
上不同的点，满足 BD 平分∠ABC，BE⊥AC，求 的取值范围．
BD
16．（15 分）
在矩形 ABCD 中，AD=2CD=4，E 为 AD 的中点．如图，将△ABE 沿 BE 翻折，使得点 A 到 P 的
位置且满足平面 PBE⊥平面 BCDE，连接 PC，PD，EC．
(1) 求证：平面 PBE⊥平面 PCE；
(2) PC Q P-BE-Q 5 PQ在棱 上是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，求 的值；若不
5 PC
存在，说明理由．
17．（15 分）
甲和乙两个箱子中各装有 N
3 2
个大小、质地均相同的小球，并且各箱中 是红球， 是白球．
5 5
(1) 当 N =5 时，从甲箱中随机抽出 2 个球，求 2 个球的颜色不同的概率；
(2) 由概率学知识可知，当 N 足够大而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布．现从
甲箱中不放回地取 3 个小球，恰有 2 个白球的概率记作 P1，从乙箱中有放回地取 3 个小球，恰有 2 个
白球的概率记作 P2 ．那么当 N 至少为多少时，我们可以在误差不超过 0.001（ P1 P2 ≤ 0.001）的前
提下认为超几何分布近似为二项分布 (参考数据： 578 ≈ 24.04 )
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18．（17 分）
已知函数 f (x) = x2 a x ln x ．
(1) 讨论 f (x)极值点的个数；
(2) 若 x0是方程 f (x) = x在(1，+∞)上的一个根，证明： x0 < a
2 ．
19．（17 分）
在平面直角坐标系 xOy中，点 P(0,1)，点 A为动点，以 AP为直径的圆与 x轴相切，记 A的
轨迹为Γ，直线 AP交Γ于另一点 B ．
(1) 求Γ的方程；
(2) △OAB 的外接圆交Γ于点C （异于点O ， A， B ），依次连接O ， A，C ， B 构成凸四
边形OACB，记其面积为 S ．
(i) 证明：△ ABC 的重心在定直线上；
(ii) 求 S 的取值范围．
试卷第4页（共 4 页）
{#{QQABSQiEggigQJAAARhCAQmQCAAQkAECAIoORAAEIAAByBFABAA=}#}红六模数学参考答案
1.C
2.A3.C4.B5.A
6.D
7.B8.D
9.ACD
10.AC
11.ABD
12.(0,+0)
13.
岭
14.99
4
15题：
【解题分析】(1)因为(a+b-c)(b-a十c)-3ac=0,所以b-(a-c)2一3ac=0,
所以-ac=r+-,所以cosB=c+少=-是，因为B∈(0，x,所以B=
2ac
3
5分
B
)由SAAR=Sa4bo+SaDBC
0士ae时ag=量c~BDsi60t士a~BDsi6o
、BD=
···73入
又SaAe=zac.sipo'=士b.BE
、8E=%
1m83八
器-
.:…9分
2b
审正3线理，9=sC
b
5防B
又s6C=5m(号A),
八器=sM+5(号0=是A+要A
=5(4牙)…13
由轻A+CAe(o,)U(G)
A+子e(号.)U(侵)snc43)()
心器范国里（望）…13分
16题：
【解题分析】(I)取BC的中点F,连接EF,
,DE∥BC,DE=CF,.四边形CDEF为正方形，
∴CD=EF.
XCD-BC,:EF-BC,:ECLBE.
:平面PBE⊥平面BCDE,平面PBE∩平面BCDE=BE,CEC平
面BCDE,.CE⊥平面PBE
1
试卷第1页（共4页）
ECC平面PCE,.平面PBE⊥平面PCE.…6分
(2)取BE的中点H,连接PH,
.PB=PE,.PH⊥BE
:平面PBE⊥平面BCDE,平面PBE∩平面BCDE=BE,PHC平面PBE,∴PH⊥平面BCDE.
以E为坐标原点，EB,E心的正方向分别为x,y轴的正方向，过点E
作轴平行于直线PH,可建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0,2√2,0），P(√2,02)，E(0,0,0),B(22,0,0)
∴P心=(-2,22，-√2)，EB=(22,0,0),Ep=(W2,02),
设P0=AP心=(-√21,221，-√21)(0≤≤1)，
∴E-E+Pi=(2-√2λ，2√21w2-√2λ)：
设平面BEQ的法向量n=(x,y,),
E克·n=22x=0,
则·a=位-2z+22+E-2小=0.令y=1-1.解得=0，=0
∴n=(0,-1,2).
平面PBE⊥y轴，∴.平面PBE的一个法向量m=(0,1,0),
o0mw1-aa号得A合满起C
m·n
1a-1
5
所以P2=1
…………15分
PC 2
17愿：
【解题分析】(1)当N=5时，甲箱中有3个红球，2个白球，
记事件A表示“抽出的两个球的颜色不同”，
则P(A)=CC=3
…4分
CC4N导N-·是Ng.
N(径N-1)
(2)P=
C
号NN-1)N-2)
25
N-i)0N=2万…6分
P=c(号)}×号-=028，
44444…7分
由于P-P@0,故号·-N08<0L,
2
试卷第2页（共4页）
