19.2 一次函数 讲义 2023—2024学年人教版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 19.2 一次函数 讲义 2023—2024学年人教版数学八年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 561.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-14 08:58:13 | ||
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文档简介
函数与一次函数
教学课题 函数与一次函数 课时计划 第（ ）次课
授课教师 学科 数学 授课日期和时段
上课学生 年级 初二 上课形式
阶段 基础（ ） 提高（√ ） 强化（ ）
教学目标 1.掌握函数的基本概念。 2.了解函数的三种表示方法，并用解析式变数数量关系。 3.理解一次函数与正比例函数的联系。
重点、难点 学习重点：领悟函数的基本概念，一次函数的理解。 学习难点：利用代数和方程的相关知识，列出函数关系式。
(
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
)
一、学习与应用
(
Ⅰ、知识梳理
认真阅读、理解教材，带着自己预习的疑惑认真听课学习，
复习与本次课程相关的重点知识与公式及规律
，认真听老师
讲解本次课程基本知识要点
。课堂笔记或者其它补充填在右栏。
)
函数的概念
1.一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应
地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
例如：在菱形ABCD中，对角线AC长为8，BD的长x在变化，则菱形的面
积y＝ ×8x，我们可将y看成x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
2.对函数概念的理解应抓住以下三点：
①有两个变量；②一个变量变化，另一个变量随之变化；
③对于自变量确定的每一个值，因变量仅有一个值与之对应。
函数的三种表示形式
1.列表法； 2.图像法； 3.关系式法；
一次函数的概念
若两个变量x、y间的关系式可以表示成y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）的形式，
则称y是x的一次函数（x为自变量，y为自变量）。
理解定义时要注意以下几点：
①一次函数的表达式y＝kx＋b是一个等式，其左边是因变量y，右边是关于自
变量x的整式；
②自变量x的次数为1，系数k≠0；
③当b＝0，而k≠0时，y＝kx仍为一次函数，当k＝0时，它不是一次函数。
正比例函数的概念
一次函数y＝kx＋b（k≠0），当b＝0时，变为y＝kx，这时把y叫做的x正比
例函数。
注意：正比例函数是一次函数的特例，但一次函数并不一定是正比例函数；k≠0。
(
Ⅱ
、经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三
。若有其它补充可填在右栏空白处。
)
类型一：函数概念
例1 星期天晚饭后，小红从家里出去散步，如图1所示的是她
散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分钟）之间的函数
关系，则下列描述符合小红散步情境的是（ ）
从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一
会儿报就回家了
B. 从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一
会儿报后，继续向前走了一段路后，然后回家了
C. 从家出发，一直散步（没有停留），然后回
家了
D. 从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟才开始返回
例2 小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他漫步到离家较远的绿岛公园，
打了一会儿太极拳后跑步回家，下面能反映当天小华爷爷离家的距离y与时
间x的函数关系的大致图像是（ ）
【对应练习】
下列说法正确的是（ ）
温度是常量 B. 正方形面积是周长的函数
C. 变量x、y满足y2＝2x，则y是x的函数 D. 如果y＞2x，就说y是自变
量x的函数
分别写出下列问题中的函数关系式：
（1）50千米的路程，以v（km/h）的速度前进，所用的时间为t（h），t与v之间的
函数关系式为 。
半径为2的圆柱体的体积为V（米3），高为h（米），V与h的函数关系
式为 。
一栋住宅楼，底层高4米，以上每层高为3.2米，楼高H与层数n之间的函数
关系式为 。
1吨自来水的价格为2.35元，所交水费y（元）与使用自来水的数量n（吨）的函
数关系式为 。
一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地。已知轮船在静水中的速度为15km/h，
水流速度为5km/h。轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从
乙地逆水航行返回到甲地。设轮船从甲地出发后所用时间为t（h），航行的路程
为s（km），则s与t的函数图像大致是（ ）
下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之
对应排序（ ）
①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）
②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）
③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）
④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）
A．①②③④ B．③④②① C．①④②③ D．③②④①
某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人25元；超过
20人的，每人10元。
写出应收门票费y（元）与游览人数x（人）之间的函数关系式；
如果某班共有54名同学去该风景区游览，购门票共花了多少元？
类型二 一次函数的概念
例1 下列函数中，x是自变量，y是因变量，哪些是一次函数？
①y＝3x；② ；③y＝－3x＋1；④y＝x2。
例2 当m取何值时， 是正比例函数？
【对应练习】
1、若2y＋1与x－5成正比例，则（ ）
A. y是x的一次函数 B. y与x的没有函数关系
C. y是x的函数，但不是一次函数 D. y是x的正比例函数
2、若y＝mx＋m－1是关于x的正比例函数，则m的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3、若函数y＝（m－2）x＋（5－m）是关于x的一次函数，则m应满足的条件是
；若此函数为正比例函数，则m的值为 ，此时函数表达式
为 。
4、某学生的家距离学校有5千米，他以每分钟0.2千米的速度骑车去学校，则他与学
校的距离s（千米）与汽车时间t（分钟）之间的函数表达式为___________。
5、函数y＝mx－x＋m2－1，当m取_________时，它是正比例函数。
6、下列函数：①y＝－8x；②y＝－8；③y＝8x2；④y＝8x＋1.其中是一次函数的
个数有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
7、下列函数关系式中，是正比例函数的是（ ）
A. y＝3x2－4 B. y＝5x＋1 C. y＝2x D. y2＝8x
8、若y＝（k－1）x ＋2是一次函数，则k的值为（ ）
A. ±1 B. －1 C. 1 D. 不能确定
9、以等腰梯形的一个底角的度数为自变量x，它的顶角的度数为因变量y，则y与x的
函数表达式为（ ）
A. y＝90－x B. y＝180－2x C. y＝90－2x D. y＝180－x
10、某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发、广告宣传费用共50000元
，且每售出一款软件，软件公司还需支付安装调试费用200元。
试写出总费用y（元）与销售套数x（套）之间的函数表达式。
如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本？
11.已知函数y＝（m－3）x ＋m2＋4m－12.
当m取什么值时，该函数是一次函数？
当m取什么值时，该函数是正比例函数？
某风景区集体门票的收费是20人（含20人）内，每人25元；超过20人的，
超过部分每人10元。
请写出应收门票费y（元）与游览人数x（x＞20）之间的关系式。
利用（1）中的关系式计算，某班45人去游览，需要多少钱购买门票？
若某班花了800元购买门票，请计算一下这个班共有多少人。
某种移动通讯服务的收费标准为：每月基本服务费30元，每月免费通话时间为
120分钟，以后每分钟收费0.4元．
（1）写出每月话费y关于通话时间x（x>120）的函数解析式；
（2）分别求每月通话时间为100分钟，200分钟的话费．
(
Ⅲ、综合练习
-
融会贯通
将各种类型的题目融合在一起，请大家认真分析、解答下列练习，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三
。若有其它补充可填在右栏空白处。
)
夏天，一杯开水放在桌子上，杯中水的温度T（℃）岁时间t（分）变化的图像正
确的是（ ）
每上6个台阶就升高1米，上升高度h（米）与上台阶数m（个）之间的函数关系
式是（ ）
A. h＝6m B. h＝6＋m C. h＝m－6 D. h＝
3.如图1所示，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA→AB→BO的路径运
动一周，设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间的关系的是（ ）
某书每本定价8元，若购书不超过10本，按原价付款；若一次购书10本以上，超
过10本部分打八折。设一次购书数量为x本，付款金额为y元，请填写下表：
5.写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系。
（2）圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系。
（3）一棵树现在的高度为50cm，每个月长高2cm，x个月后这棵树的高度为ycm。
张老师带领x名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，
设门票的总费用为y元，则y＝ 。
公路上依次有A，B，C三站，上午8时，甲骑自行车从A，B间离A站18km的P处
出发，向C站匀速前进，15分钟后到达离A站22km处．
（1）设x小时后，甲离A站ykm，写出y关于x的函数关系式；
若A，B间和B，C间的距离分别是30km和20km，问从什么时间到什么时间
甲在B，C之间．
课后测评
1．一个圆的半径r与圆的周长C的关系是______，与它的面积S的关系是______．
2．某商店进一批货，每件3元，售出时每件加利润8角，如果售出x件，应收货款
y元，那么y与x的函数关系是_________．
汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距
沈阳的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式．
一盛满10吨水的水箱，每小时流出0.5吨水．水箱中水量y（吨）与时间x（时）
之间有什么函数关系？写出x的取值范围．
5.一个小球静止在一个斜坡上，向下滚动，其速度每秒钟增加2米．到达坡底时，
小球的速度达到40米/秒．
（1）请问小球速度v（米/秒）与时间t（秒）之间的函数关系式是怎样的？
（2）求t的取值范围；（3）求3.5秒时小球的速度；
（4）求几秒时小球的速度为16米/秒．
教学课题 函数与一次函数 课时计划 第（ ）次课
授课教师 学科 数学 授课日期和时段
上课学生 年级 初二 上课形式
阶段 基础（ ） 提高（√ ） 强化（ ）
教学目标 1.掌握函数的基本概念。 2.了解函数的三种表示方法，并用解析式变数数量关系。 3.理解一次函数与正比例函数的联系。
重点、难点 学习重点：领悟函数的基本概念，一次函数的理解。 学习难点：利用代数和方程的相关知识，列出函数关系式。
(
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
)
一、学习与应用
(
Ⅰ、知识梳理
认真阅读、理解教材，带着自己预习的疑惑认真听课学习，
复习与本次课程相关的重点知识与公式及规律
，认真听老师
讲解本次课程基本知识要点
。课堂笔记或者其它补充填在右栏。
)
函数的概念
1.一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应
地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
例如：在菱形ABCD中，对角线AC长为8，BD的长x在变化，则菱形的面
积y＝ ×8x，我们可将y看成x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
2.对函数概念的理解应抓住以下三点：
①有两个变量；②一个变量变化，另一个变量随之变化；
③对于自变量确定的每一个值，因变量仅有一个值与之对应。
函数的三种表示形式
1.列表法； 2.图像法； 3.关系式法；
一次函数的概念
若两个变量x、y间的关系式可以表示成y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）的形式，
则称y是x的一次函数（x为自变量，y为自变量）。
理解定义时要注意以下几点：
①一次函数的表达式y＝kx＋b是一个等式，其左边是因变量y，右边是关于自
变量x的整式；
②自变量x的次数为1，系数k≠0；
③当b＝0，而k≠0时，y＝kx仍为一次函数，当k＝0时，它不是一次函数。
正比例函数的概念
一次函数y＝kx＋b（k≠0），当b＝0时，变为y＝kx，这时把y叫做的x正比
例函数。
注意：正比例函数是一次函数的特例，但一次函数并不一定是正比例函数；k≠0。
(
Ⅱ
、经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三
。若有其它补充可填在右栏空白处。
)
类型一：函数概念
例1 星期天晚饭后，小红从家里出去散步，如图1所示的是她
散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分钟）之间的函数
关系，则下列描述符合小红散步情境的是（ ）
从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一
会儿报就回家了
B. 从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一
会儿报后，继续向前走了一段路后，然后回家了
C. 从家出发，一直散步（没有停留），然后回
家了
D. 从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟才开始返回
例2 小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他漫步到离家较远的绿岛公园，
打了一会儿太极拳后跑步回家，下面能反映当天小华爷爷离家的距离y与时
间x的函数关系的大致图像是（ ）
【对应练习】
下列说法正确的是（ ）
温度是常量 B. 正方形面积是周长的函数
C. 变量x、y满足y2＝2x，则y是x的函数 D. 如果y＞2x，就说y是自变
量x的函数
分别写出下列问题中的函数关系式：
（1）50千米的路程，以v（km/h）的速度前进，所用的时间为t（h），t与v之间的
函数关系式为 。
半径为2的圆柱体的体积为V（米3），高为h（米），V与h的函数关系
式为 。
一栋住宅楼，底层高4米，以上每层高为3.2米，楼高H与层数n之间的函数
关系式为 。
1吨自来水的价格为2.35元，所交水费y（元）与使用自来水的数量n（吨）的函
数关系式为 。
一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地。已知轮船在静水中的速度为15km/h，
水流速度为5km/h。轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从
乙地逆水航行返回到甲地。设轮船从甲地出发后所用时间为t（h），航行的路程
为s（km），则s与t的函数图像大致是（ ）
下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之
对应排序（ ）
①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）
②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）
③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）
④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）
A．①②③④ B．③④②① C．①④②③ D．③②④①
某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人25元；超过
20人的，每人10元。
写出应收门票费y（元）与游览人数x（人）之间的函数关系式；
如果某班共有54名同学去该风景区游览，购门票共花了多少元？
类型二 一次函数的概念
例1 下列函数中，x是自变量，y是因变量，哪些是一次函数？
①y＝3x；② ；③y＝－3x＋1；④y＝x2。
例2 当m取何值时， 是正比例函数？
【对应练习】
1、若2y＋1与x－5成正比例，则（ ）
A. y是x的一次函数 B. y与x的没有函数关系
C. y是x的函数，但不是一次函数 D. y是x的正比例函数
2、若y＝mx＋m－1是关于x的正比例函数，则m的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3、若函数y＝（m－2）x＋（5－m）是关于x的一次函数，则m应满足的条件是
；若此函数为正比例函数，则m的值为 ，此时函数表达式
为 。
4、某学生的家距离学校有5千米，他以每分钟0.2千米的速度骑车去学校，则他与学
校的距离s（千米）与汽车时间t（分钟）之间的函数表达式为___________。
5、函数y＝mx－x＋m2－1，当m取_________时，它是正比例函数。
6、下列函数：①y＝－8x；②y＝－8；③y＝8x2；④y＝8x＋1.其中是一次函数的
个数有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
7、下列函数关系式中，是正比例函数的是（ ）
A. y＝3x2－4 B. y＝5x＋1 C. y＝2x D. y2＝8x
8、若y＝（k－1）x ＋2是一次函数，则k的值为（ ）
A. ±1 B. －1 C. 1 D. 不能确定
9、以等腰梯形的一个底角的度数为自变量x，它的顶角的度数为因变量y，则y与x的
函数表达式为（ ）
A. y＝90－x B. y＝180－2x C. y＝90－2x D. y＝180－x
10、某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发、广告宣传费用共50000元
，且每售出一款软件，软件公司还需支付安装调试费用200元。
试写出总费用y（元）与销售套数x（套）之间的函数表达式。
如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本？
11.已知函数y＝（m－3）x ＋m2＋4m－12.
当m取什么值时，该函数是一次函数？
当m取什么值时，该函数是正比例函数？
某风景区集体门票的收费是20人（含20人）内，每人25元；超过20人的，
超过部分每人10元。
请写出应收门票费y（元）与游览人数x（x＞20）之间的关系式。
利用（1）中的关系式计算，某班45人去游览，需要多少钱购买门票？
若某班花了800元购买门票，请计算一下这个班共有多少人。
某种移动通讯服务的收费标准为：每月基本服务费30元，每月免费通话时间为
120分钟，以后每分钟收费0.4元．
（1）写出每月话费y关于通话时间x（x>120）的函数解析式；
（2）分别求每月通话时间为100分钟，200分钟的话费．
(
Ⅲ、综合练习
-
融会贯通
将各种类型的题目融合在一起，请大家认真分析、解答下列练习，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三
。若有其它补充可填在右栏空白处。
)
夏天，一杯开水放在桌子上，杯中水的温度T（℃）岁时间t（分）变化的图像正
确的是（ ）
每上6个台阶就升高1米，上升高度h（米）与上台阶数m（个）之间的函数关系
式是（ ）
A. h＝6m B. h＝6＋m C. h＝m－6 D. h＝
3.如图1所示，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA→AB→BO的路径运
动一周，设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间的关系的是（ ）
某书每本定价8元，若购书不超过10本，按原价付款；若一次购书10本以上，超
过10本部分打八折。设一次购书数量为x本，付款金额为y元，请填写下表：
5.写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系。
（2）圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系。
（3）一棵树现在的高度为50cm，每个月长高2cm，x个月后这棵树的高度为ycm。
张老师带领x名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，
设门票的总费用为y元，则y＝ 。
公路上依次有A，B，C三站，上午8时，甲骑自行车从A，B间离A站18km的P处
出发，向C站匀速前进，15分钟后到达离A站22km处．
（1）设x小时后，甲离A站ykm，写出y关于x的函数关系式；
若A，B间和B，C间的距离分别是30km和20km，问从什么时间到什么时间
甲在B，C之间．
课后测评
1．一个圆的半径r与圆的周长C的关系是______，与它的面积S的关系是______．
2．某商店进一批货，每件3元，售出时每件加利润8角，如果售出x件，应收货款
y元，那么y与x的函数关系是_________．
汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距
沈阳的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式．
一盛满10吨水的水箱，每小时流出0.5吨水．水箱中水量y（吨）与时间x（时）
之间有什么函数关系？写出x的取值范围．
5.一个小球静止在一个斜坡上，向下滚动，其速度每秒钟增加2米．到达坡底时，
小球的速度达到40米/秒．
（1）请问小球速度v（米/秒）与时间t（秒）之间的函数关系式是怎样的？
（2）求t的取值范围；（3）求3.5秒时小球的速度；
（4）求几秒时小球的速度为16米/秒．