2023-2024学年人教版八年级数学下册- 变量、函数与图像
知识一遍过
（一）变量与常量
变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
【注意】
①变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。
②区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。
（二）函数定义
一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
【函数概念的解读】
①有两个变量。
②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
（三）自变量的取值范围
（1）关系式为整式时，函数自变量的取值范围为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数自变量的取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义。
（四）函数的表示
（1）解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
优：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。
缺：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。
函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：
①将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。
②两个函数图像交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
（2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
优：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。
缺：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。
（3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
优：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。
缺：图像中只能得到近似的数量关系。
考点一遍过
考点1：函数的概念
典例1：（2023春·河北唐山·八年级统考期中）下列式子中的y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：对于，取一个x的值，只有唯一的y相对应，所以y是x的函数，可知A不符合题意；
对于，取一个x的值，只有唯一的y相对应，所以y是x的函数，可知B不符合题意；
对于，取一个x的值，有两个y值相对应，所以y不是x的函数，可知C不符合题意；
对于，取一个x的值，只有唯一的y相对应，所以y是x的函数，可知D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数的判断，掌握定义是解题的关键．
【变式1】（2023上·安徽合肥·八年级合肥38中校考阶段练习）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的概念即可解答．
【详解】解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数．则只有D选项符合题意
故选：D．
【点睛】题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一本的值与其对应，那么就说y是x的函数．
【变式2】（2021上·山东聊城·九年级统考期末）下列式子：①②③④⑤．其中y是x的函数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据以下特征进行判断即可：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
【详解】解：①，y是x的函数；
②，y不是x的函数；
③，y是x的函数；
④，当x取一个值时，有两个y值与之对应，故y不是x的函数；
⑤．y是x的函数；
所以其中y是x的函数的个数是3，
故选：B
【点睛】本题主要考查的是函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．
【变式3】（2021下·陕西西安·八年级统考期中）下列图形中，不能表示是函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定答案．
【详解】A、对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，所以能表示是的函数，不符合题意；
B、对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，所以能表示是的函数，不符合题意；
C、对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，所以能表示是的函数，不符合题意；
D、对于自变量的每一个确定的值，都有两个值与之对应，不能表示是的函数，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，x叫自变量．
考点2：求自变量的取值范围
典例2：（2023上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）函数的自变量的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】A
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；
根据二次根式有意义，被开方数非负，分式有意义分母不为零得出不等式组，求解即可．
【详解】解：由得：且，
解得：且，
故选：A．
【变式1】（2023·黑龙江绥化·统考二模）在函数中，自变量x的取值范围是( )
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、0的0次方没有意义即可得．
【详解】由二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、0的0次方没有意义得：
解得
即自变量x的取值范围是且
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、零指数幂的定义，掌握各性质和定义是解题关键．
【变式2】（2023下·河南南阳·八年级校考阶段练习）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解即可．
【详解】解：根据题意，得
，
解得：且，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【变式3】（2023上·山东菏泽·九年级统考期末）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量的取值范围．
【详解】根据题意得：
解得：且
故选：D．
【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．掌握以上三个方面是解答此题的关键．
考点3：用描点法画函数图像
典例3：（2024上·江西萍乡·八年级统考期末）萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整．
(1)列表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 1 0 0 k …
（1）直接填空： ______；
(2)描点并正确地画出该函数图象；
(3)①根据函数图象可得：该函数的最小值为______；
②观察函数的图象，写出该图象的两条性质：______．
【答案】(1)1
(2)函数图象见解析
(3)①； ②第一条：图象关于直线对称； 第二条：当时，y随着x的增大而增大．
【分析】本题考查了求函数值，画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键．
（1）把代入函数关系式进行计算即可；
（2）描点、连线画出函数图象即可；
（3）①观察图形可知是该函数图象的最低点，即可解答，
②观察图象可从该图象的对称性，增减性解答即可．
【详解】（1）当时，，
∴，
故答案为：1；
（2）描点、连线画出该函数图象如图；
（3）①根据函数图象可得，该函数的最小值为：；
②观察函数的图象，写出该图象的两条性质：
第一条：图象关于直线对称；
第二条：当时，y随着x的增大而增大．
【变式1】（2023上·山东枣庄·八年级统考期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)函数的自变量x取值范围是______；
(2)下表是x与y的几组对应值，求m的值是______；
x … 0 1 2 3 …
y … 6 5 4 m 2 1 0 1 2 …
(3)在下面网格中，建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)当时，小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：
①函数有最小值为0；
②当时，y随x的增大而增大；
③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称．
小明得出的结论中正确的是______．（只填序号）
【答案】(1)任意实数
(2)
(3)见解析
(4)①②③
【分析】本题考查的是函数的自变量的取值范围，画函数的图象，根据函数的图象归纳函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题目中的函数解析式，可知含有自变量的代数式是整式，从而可得x的取值范围；
（2）根据把代入函数解析式，可以得到m的值；
（3）根据表格中的数据描点，再连线，可以画出相应的函数图象；
（4）根据函数图象可以判断该函数的性质．
【详解】（1）解：在函数中，自变量x的取值范围是x为任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）解：当时，，
故答案为：3；
（3）解：先描点，再连线，画出函数的图象如下：
（4）解：由函数图象可知，
①函数有最小值为0，正确；
②当时，y随x的增大而增大，正确；
③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称，正确；
故答案为：①②③．
【变式2】（2023上·河南商丘·九年级校考阶段练习）某同学根据学习函数的经验，探究了函数的图象和性质，下面是他的探究过程，请补充完整：
(1)写出函数的自变量x的取值范围是______；
(2)如表是函数y与自变量x的几组对应值：则______，______；
x … 0 1 3 4 5 6 7 …
y … m 2 4 n 2 …
(3)在如图所示的平面直角坐标系中，已画出函数图象的一部分，请补全此函数的图象；
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线______；当x满足______时，y随x的增大而减小；②方程的解为______．
【答案】(1)
(2)
(3)见详解
(4)①；②
【分析】此题考查了反比例函数图象和性质，涉及的知识有：自变星的取值范围、画图象、熟练掌握数形结合的思想是解本题的关键．
（1）分母不为零；
（2）把和3分别代入即可求得；
（3）画出函数图象即可；
（4）根据图象得出结论．
【详解】（1）解：函数的自变量的取值范围是：；
（2）把和3分别代入
得， ，
故答案为；
（3）如图所示；
（4）①由图象发现：
函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线；
当满足时，随的增大而减小；
故答案为；
②方程的解为，
故答案为．
【变式3】（2023上·江西南昌·八年级校联考期中）在函数学习过程中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
下表是与的部分对应值：
… …
… 3 1 …
(1)完善表格，并根据表格填写：________，________．
(2)在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的大致图象，观察图象写出该函数的一条性质．
(3)若点，都在该函数图象上，求的值．
【答案】(1)，3
(2)图见解析；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）
(3)2
【分析】本题考查了函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．
（1）任选一组数据代入函数解析式求出a值，再将代入，即可求出b值；
（2）描点，连线，即可补全该函数的大致图象；
（3）根据函数图象的对称性求解．
【详解】（1）解：将代入，
可得：，
解得，
函数解析式为，
当时，，
，
故答案为：，3；
（2）解：函数的图象如下图所示，
由图可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；函数图象关于直线对称（任选一个作答即可）．
（3）解：由图可知，函数图象关于直线对称，
点，都在该函数图象上，
点，关于直线对称，
．
考点4：函数解析式的确定
典例4：（2023上·福建宁德·八年级统考期中）我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下滴水，每滴水约．小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开小时后，水龙头滴了水．
(1)试写出与之间的函数关系式？
(2)当滴了水时，小明离开水龙头几小时？
【答案】(1)；
(2)小时．
【分析】（）根据毫升时间每秒钟的滴水量进行解答；
（）当，求出的值即可；
本题考查一次函数的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）∵水龙头每秒钟会滴下滴水，每滴水约毫升，
∴离开小时滴的水为，
∴；
（2）当时，
，解得（小时），
答：小明离开水龙头小时．
【变式1】（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）某通讯公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟元）两种，设A套餐每月话费为（元），B套餐每月话费（元），月通话时间为x分钟．
(1)直接写出与x，与x的函数关系式；
(2)如果某用户使用A套餐本月缴费50元，求他本月的通话时间？
(3)如果某用户这个月的通话时间为280分钟时，选择哪种套餐更划算？
【答案】(1)，
(2)他本月的通话时间为分钟
(3)通话时间为280分钟时，选择套餐更划算
【分析】本题主要考查了列函数关系和求函数值和自变量的值，根据题意正确列出关系式是解题关键．
（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）根据题意可知，，求出的值即可；
（3）分别求出时，和的值，比较大小即可．
【详解】（1）解：A套餐：月租费15元，通话费每分钟元，
，
B套餐：月租费0元，通话费每分钟元，
；
（2）解：该手机用户使用A套餐且本月缴费50元，
，
解得：，
他本月的通话时间为分钟；
（3）解：当时，，，
，
∴通话时间为280分钟时，选择套餐更划算．
【变式2】（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）已知某款汽车油箱中有汽油，每小时耗油（汽车在行驶过程中视为匀速行驶）．
(1)写出油箱中剩余油量与行驶时间之间的函数关系式并写出自变量取值范围；
(2)当油箱中剩余油量低于时，汽车将发出警报，求该款汽车在听到警报前，最多可行驶多少小时？
【答案】(1)
(2)最多可行驶7小时
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值，求自变量的取值范围，正确理解题意列出对应的关系式是解题的关键．
（1）用总油量减去每小时油耗乘以行驶时间即可得到答案；
（2）根据（1）所求代入，求出t的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：在中，当时，则，
解得，
∴当行驶7小时时，油箱中剩余油量刚好为，继续行驶时，油箱中的油量将低于，即汽车会发出警报，
∴该款汽车在听到警报前，最多可行驶7小时．
【变式3】（2023上·安徽合肥·八年级期中）已知等腰三角形的周长为，若底边长为，一腰长为．
(1)写出与的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）
(2)求出当时的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）底边长周长腰长，依此即可求解；
（2）把代入计算即可求解．
【详解】（1）解：依题意有：；
故与的函数关系式为：；
（2）当时，．
【点睛】此题主要考查列函数关系式，掌握等腰三角形的性质是解题的关系．
考点5：函数图像的识别
典例5：（2024上·黑龙江大庆·六年级校联考期末）小明周日上午从家出发，乘车半小时到达离家远的成都自然博物馆，在博物馆参观了2小时后，乘车半小时返回家中，下面四幅图中，能够描述她这一活动行程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数图象的识别，按时间可将图象分为三段：，小明离家距离从0增加到；，小明离家距离没有变化；，小明离家距离从减少为0；据此即可选择，正确理解题意和函数图象横纵坐标的意义是解题的关键．
【详解】解：在小时之内，小明离家的距离从0增加到，在之内，小明离家的距离不变，在之内，小明离家的距离从减少为0，
∴四个图象中只有B选项中的函数图象符合题意，
故选：B．
【变式1】（2023下·广东深圳·七年级校联考期末）图1是水滴进玻璃容器的示意图（滴水速度不变），图2是容器中水高度随滴水时间变化的图象．那么水的高度是如何随时间变化的，请选择分别与①、②、③、④匹配的图象（ ）
A．（3）（2）（4）（1）B．（2）（3）（1）（4）C．（2）（3）（4）（1） D．（3）（2）（1）（4）
【答案】A
【分析】先根据容器的形状，判断对应的函数图象，从而可得答案．
【详解】解：A、容器的直径小，水上升的速度最快，故A应是图（3），
B、容器直径大，上升速度慢，故B应是图（2）；
C、容器下面大，上升速度慢，上面较小，上升速度变快，故C应是图（4）；
D、先最快，后速度放慢，故D应是图（1）；
故选：A．
【点睛】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【变式2】（2022下·湖北襄阳·八年级统考期末）如图是一个容器的截面图，均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，下面大致能反映水面高度h和时间t之间的变化的函数图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据随着的增加，先快速变大，然后缓慢变大，最后急速变大，进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，随着的增加，先快速变大，然后缓慢变大，最后急速变大，
∴函数图象为，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象的识别．解题的关键在于理解题意．
【变式3】（2023上·福建福州·七年级福州华伦中学校考开学考试）如图，D1931次西安至成都东动车匀速穿越秦岭隧道（隧道长大于火车长），火车进入隧道的时间与火车在隧道内的长度之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分析题意，把各个时段内与之间的关系分析清楚，即可得到答案．
【详解】解：根据题意可知火车进入隧道的时间与火车在隧道内的长度之间的关系具体可描述为：
当火车开始进入时逐渐变大，
火车完全进入后一段时间内不变，
当火车开始出来时逐渐变小，
故反映到图象上应选B，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据实际问题作出函数图象的能力，解题的关键是知道本题是分段函数，分情况讨论与之间的关系．
考点6：从函数图像获取信息
典例6：（2023上·浙江·八年级校联考期末）小聪上午8：00从家里出发，骑车去一家文具店购物，然后从这家文具店返回家中，小聪离家的路程s（千米）和所经过的时间t（分）之间的函数关系如图所示．根据图象，下列结论不正确的是（ ）
A．文具店距小聪家4千米
B．小聪在文具店逗留了30分钟
C．小聪去文具店途中速度大于回家途中速度
D．小聪在来去途中，离家2千米的时间是
【答案】D
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，根据图象逐项分析即可．
【详解】解：A．文具店距小聪家4千米，正确；
B．小聪在文具店逗留了30分钟，正确；
C．∵千米/分，千米/分，
∴小聪去文具店途中速度大于回家途中速度，正确；
D．∵离家时：分；回家时：分，
∴小聪在来去途中，离家2千米的时间是或，故不正确．
故选D．
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）已知甲、乙两人均骑自行车沿同一条路从A地出发到地，他们离出发地的距离S（单位：）和行驶时间（单位：）之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲、乙两人均行驶了30千米 B．乙在行驶途中停留了小时
C．甲乙相遇后，甲的速度大于乙的速度 D．甲全程用了小时
【答案】D
【分析】本题考查了函数的图象，理解题意，结合函数图象提供的信息逐项判断即可求解．
【详解】解：A、由图象得甲、乙两人均行驶了30千米，故A选项正确；
B、乙在行驶途中停留了小时，故B选项正确；
C、甲乙二人相遇后，甲的速度大于乙的速度，故C选项正确；
D、甲全程用了小时，故D选项错误．
故选：D．
【变式2】（2024上·重庆丰都·九年级统考期末）如图是丰都一天（凌晨0时到深夜24时）的气温变化图，在这一天中，气温随着时间变化而变化，下列结论错误的是（ ）
A．在这一天中，气温在14时达到最高，最高温度是
B．凌晨2时气温达到最低
C．6时到12时，气温在逐渐上升
D．某旅行团这天想去爬山，登山的气温最好在以上，大约共有9个小时适宜登山
【答案】B
【分析】本题考查从函数图象获取信息，从图中得到必要的信息是解决问题的关键．根据一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．
【详解】解：A．在这一天中，气温在14时达到最高，最高温度是，故本选项不符合题意；
B．由图象可知，24时气温达到最低，故本选项符合题意；
C．由图象可知，6时到12时，气温在逐渐上升，故本选项不符合题意；
D．由图象可知，9时到18时，气温在以上，所以某旅行团这天想去爬山，登山的气温最好在以上，大约共有9个小时适宜登山，故本选项不合题意．
故选：B．
【变式3】（2024上·广东深圳·八年级统考期末）杆秤是我国传统的计重工具．数学兴趣小组利用杠杆原理自制了一个如图1所示的无刻度简易杆秤．在量程范围内，之间的距离l与重物质量m的关系如图2所示，下列说法不正确的是（ ）
A．在量程范围内，质量m越大，之间的距离l越大；
B．未挂重物时，之间的距离l为；
C．当之间的距离l为时，重物质量m为；
D．在量程范围内，重物质量m每增加，之间的距离l增加．
【答案】C
【分析】本题考查了函数的图象．数形结合，从函数图象中获取正确的信息是解题的关键．
由图象可知，在量程范围内，质量m越大，之间的距离l越大，进而可判断A的正误；未挂重物时，之间的距离l为，进而可判断B的正误；当之间的距离l为时，重物质量m为，进而可判断C的正误；在量程范围内，重物质量m每增加，之间的距离l增加，进而可判断D的正误．
【详解】解：由图象可知，在量程范围内，质量m越大，之间的距离l越大，A正确，故不符合要求；
未挂重物时，之间的距离l为，B正确，故不符合要求；
当之间的距离l为时，重物质量m为，C错误，故符合要求；
在量程范围内，重物质量m每增加，之间的距离l增加，D正确，故不符合要求；
故选：C．
考点7：动点问题的函数图像
典例7：（2023上·辽宁·八年级校联考期末）如图①，在边长为的正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边(或边)交于点，的长度与点的运动时间(秒)的函数图象如图②所示．当点运动秒时，的长是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据运动速度乘以时间，可得的长，根据线段的和差，可得的长，根据勾股定理，可得答案．
【详解】解：点运动秒时点运动了，
，
由勾股定理，得
，
故选：B．
【变式1】（2022·海南海口·海口市第九中学校考二模）如图1，从长方形纸片中剪去长方形后，动点P从点B出发，沿运动到点F停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x 的函数图象如图2所示，则图形的面积是（ ）
A．32 B．34 C．36 D．48
【答案】C
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图象可得当时，点P在上运动，在时，点P在上运动，当时，点P在上运动，当时，点P在上运动，据此求出的长即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，当时，点P在上运动，在时，点P在上运动，当时，点P在上运动，当时，点P在上运动，
∴，
∴，
∴图形的面积，
故选C．
【变式2】（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图①，动点从矩形的顶点出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积（单位：）随运动时间（单位：）变化的函数图象如图②所示，则的值是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】由图可知，，当点到达点时,的面积为6cm，可得出等式求出的值，即可求得答案．
本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题的关键.
【详解】解：由题图②可知,
,
当点到达点时,的面积为6cm，
,
即,
解得,
即的长为3cm
故选：B．
【变式3】（2023上·安徽合肥·八年级期中）如图，正方形的边长为4，点P为正方形边上一动点，若点P从点A出发沿A→D→C→B→A匀速运动一周．设点P走过的路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分点P在边上四种情况，根据三角形的面积公式分别列式表示出y与x的关系式，再根据一次函数图象解答．
【详解】解：①点P在边上时，A、D、P共线，不能构成三角形，；
②点P在边上时，点P到的距离为，
；
③点P在边上时，点P到的距离不变，为4，
；
④点P在边上时，点P到的距离为，
；
纵观各选项，只有C选项图象符合．
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据点P运动的位置的不同，分情况表示出三角形的面积y与x的关系式是解题的关键，也是本题的难点．
考点8：求自变量的值或函数值
典例8：（2024下·全国·七年级假期作业）已知变量x，y之间的关系式为，当时，y的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】略
【变式1】（2020上·安徽合肥·八年级校考阶段练习）根据图中所示的程序计算：若输入的为，则输出的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意代入数据进行计算即可．
【详解】解：若输入的为，则输出的结果为：
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求函数值，解题的关键是理解题意，准确计算．
【变式2】（2023下·山东淄博·六年级统考期末）某商场在某一阶段，一商品的销售量与销售价之间存在下表所示的关系：
销售价/元 90 100 110 120 130 140
销售量/件 90 80 70 60 50 40
设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计当时，y的值约为（ ）
A．56 B．54 C．46 D．43
【答案】B
【分析】根据表格中的数据求出函数解析式，然后将代入求出y的值即可．
【详解】解：根据表格中的数据可知，y与x成一次函数关系，因此设，把时，，时，代入得：
，
解得：，
∴，
把代入得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是求出y与x的关系式．
【变式3】（2023下·广东梅州·七年级统考期中）已知关系式，当自变量时，因变量，则时，y的值是（ ）
A．11 B．﹣1 C．5 D．1
【答案】A
【分析】先将 时，代入得到的值，从而得到与之间的关系式，进而根据函数值计算即可；
【详解】解：将代入得：
时，
故选：A
【点睛】本题主要考查求函数值，熟练掌握求函数值是解决本题的关键
考点9：函数的三种表示方法
典例9：（2022下·甘肃兰州·七年级统考期末）梦想从学习开始，事业从实践起步．近来，每天登录“学习强国”，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有数据，则下列说法错误的是（ ）
学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7
周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350
A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量
B．周积分随学习天数的增加而增加
C．从第天到第天，周积分的增长量为分
D．天数每增加天，周积分的增长量不一定相同
【答案】C
【分析】根据表格中两个变量的变化的对应值，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、在这个变化过程中，有两个变量，学习的天数和周积分，周积分随着学习时间的变化而变化，因此学习天数是自变量，周积分是因变量，故选项A不符合题意；
B、从表格是的数据可知，周积分随学习天数的增加而增加，因此选项B不符合题意；
C、从第3天到第4天，周积分的增长量为分，因此选项C符合题意；
D、天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同，有分、分，分的不等，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的表示方法，理解常量与变量，函数的定义是正确判断的前提．
【变式1】（2022下·贵州贵阳·七年级统考期中）小明和妈妈2022年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，可得答案．
【详解】解：A．匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，故A符合题意；
B．加速行驶时路程应迅速增加，故B不符合题意；
C．参观时路程不变，故C不符合题意；
D．返回时路程逐渐减少，故D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象，理解题意是解题关键：匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少．
【变式2】（2022下·河南南阳·八年级统考期中）在地球中纬度地区，从地面到高空大约之间，气温随高度的升高而下降，每升高，气温大约下降；高于但不高于，气温几乎不再变化，某城市地处中纬度地区，该市某日的地面气温为，设该城市距离地面高度为处的气温为，则与的函数图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别求出和解析式即可解答．
【详解】解：由题意可知，当高度x=0时，y=20℃；
当x=11时，y=20-11×6=-46℃，
∴y=-6x+20（）
当时，y=-46
根据一次函数的性质可知，只有B选项的图像符合题意．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了运用函数图像描述实际问题的能力，根据题意确定函数解析式成为解答本题的关键．
【变式3】（2021下·辽宁大连·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把分别代入每个选项，然后进行判断，即可得到答案．
【详解】解：当时，则
A、，不符合题意，错误；
B、，不符合题意，错误；
C、，不符合题意，错误；
D、．，符合题意，正确；
故选：D
【点睛】本题考查了判断点是否在函数图像上，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·福建福州·八年级校联考期中）下列各曲线中不能表示y是x函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系 ，据此即可确定答案.
【详解】显然A、B、C选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；D选项对于x取值时，y都有3个或2个值与之相对应，则y不是x的函数；故选D．
【点睛】本题主要考查函数的定义，属于基础题，熟记函数的定义是解题的关键.
2．（2007·江苏泰州·中考真题）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】根据二次根式的意义和分母不等于0列不等式进行计算
由题意得且，解得
故选C
3．（2023下·河南周口·八年级校联考阶段练习）根据下列表格信息，可能为（ ）
… 0 1 2 …
… * 0 * * 无意义 …
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件、分式为0是条件解答．
【详解】解：∵当时，分式无意义，
∴分式的分母可能是，
∵当时，分式为0，
∴分式的分母可能是，
∴分式可能是，
故选：C．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件、分式为0是条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
4．（2022下·陕西西安·七年级交大附中分校校考期末）在弹性限度范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（ ）
A．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm
B．所挂物体质量为8kg时，估计弹簧长度为14m
C．弹簧不挂重物时的长度为0cm
D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
【答案】C
【分析】根据挂重物与弹簧伸长的长度，可得答案．
【详解】解：由挂重物与弹簧伸长的长度，得y＝0.5x＋10，
A、当x＝4时，y＝12，故A不合题意；
B、当x＝8时，y＝14，故B不合题意；
C、弹簧不挂重物时的长度为10cm，故C符合题意；
D、物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故D不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数关系式，利用挂重物与弹簧伸长的长度得出函数关系式是解题关键．
5．（2023下·天津滨海新·八年级统考期末）下列各式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y＝x B．|y|＝x C．y＝2x+1 D．y＝x2
【答案】B
【分析】直接利用函数的概念：在一个变化过程中的两个变量，对于变量的每一个值，都有唯一的一个值与之对应，则是的函数，逐一分析每个选项得出答案．
【详解】解：A、y＝x，y是x的函数，故此选项不符合题意；
B、|y|＝x，对于x的每一个确定的值，y不是有唯一的值与其对应，
∴y不是x的函数，故此选项符合题意；
C、y＝2x+1，y是x的函数，故此选项不符合题意；
D、y＝x2，y是x的函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是函数的概念，正确把握函数定义是解题关键．
6．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）下列各曲线中，不表示是的函数的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】在直角坐标系中，对于的取值范围内的任意一点，通过这点作轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点就满足函数定义，否则就不满足．
【详解】解：函数是指：在一个变化过程中，有两个变量，，对于x的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，
选项D中，当时，过其中某点向轴作垂线，该垂线与图形有两个交点，与函数的概念违背，故选项D中表示的不是函数，
选项A、B、C都满足函数概念，
故选：D.
【点睛】本题考查函数的概念，函数的概念是指：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量.
7．（2022下·河南安阳·八年级统考期末）如图1．在矩形ABCD中，点P从点A出发，匀速沿AB→BD向点D运动，连接DP，设点P的运动距离为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为AB中点时，DP的长为（ ）
A．5 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】通过观察图2可以得出AD=6，AB=a，BD=a+2，由勾股定理可以求出a的值，从而得出AB=8，当P为AB的中点时AP=4，由勾股定理求出DP长度．
【详解】解：因为P点是从A点出发的，A为初始点，
观察图象x=0时y=6，则AD=6，P从A向B移动的过程中，DP是不断增加的，
而P从B向D移动的过程中，DP是不断减少的，
因此转折点为B点，P运动到B点时，即x=a时，AB=a，此时y=a+2，
即DP=DB=a+2，AD=6，AB=a，
∵∠A=90°，
由勾股定理得： ，
解得：a=8，
∴AB =8，
当点P为BC中点时，AP=4，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
8．（2022下·河南南阳·八年级统考期末）如图①，正方形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，动点Р从A点出发，沿的路径，以1cm/s的速度匀速运动到C点，在此过程中，的面积随运动时间变化的函数关系图象如图②所示，则当时，的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】C
【分析】分两种情况讨论：当点P由A到D运动时，当点P由D到C运动时，分别写出函数解析式，找出对应的图象，再根据题意求解即可．
【详解】①当点P由A到D运动时，，
，
逐渐增大，AB不变，
∴y随x的增大而增大，对应函数图象的第一段；
②当点P由D到C运动时，
在△APE中，设AE边上的高为h，
则，
由图1可知，AE不变，h逐渐减小，
∴y随x的增大而减小，对应函数图象的第二段；
∴当点P与点D重合时，y有最大值，
此时，，
，
当点P与点C重合时，
此时，，
，
当x=5时，如下图所示：
此时，PD=5-3=2，PC=3-PD=1，
y=S正方形ABCD-（S△ABE+S△ECP+S△APD）=3×3-(3×1+2×1+3×2)=3.5，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
9．（2023下·八年级单元测试）如图1，在矩形MNPO中，动点R从点N出发，沿N→P→O→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形MNPO的周长是（ ）
A．11 B．15 C．16 D．24
【答案】C
【详解】解：∵x=3时，及R从N到达点P时，面积开始不变，
∴PN=3，同理可得OP=5，
∴矩形的周长为2（3+5）=16．
故选C．
10．（2023下·山东济南·六年级统考期末）小颖想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，她把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小颖测得的弹簧的长度与所挂物体质量的组对应值．
所挂物体质量 0 1 2 3 4 5
弹簧长度 30 32 34 36 38 40
当弹簧长度为（在弹簧承受范围内）时，所挂重物的质量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据表格中的数字规律，得到与的函数关系，将代入即可得到答案．
【详解】解：由表中数据可以看出，对于每组数据，均有，将其整理得：与的函数关系为．
当时，．
故选：D．
【点睛】本题考查函数的表示方法，得到函数关系式是解题的关系．
二、填空题
11．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期中）设关于的一次函数与，则称函数其中，为此两个函数的生成函数．写出一个和的生成函数： ．
【答案】答案不唯一
【分析】根据题意可以写出一个符合要求的生成函数，本题得以解决，本题答案不唯一．
【详解】解：由题意可得，
和的生成函数是，
故答案为：答案不唯一．
【点睛】本题考查一次函数，解答本题的关键是明确题意，写出符合题意的函数，注意本题答案不唯一，这是一道开放性题目．
12．（2023上·山西太原·八年级校联考期中）声音在空气中的传播速度与温度的关系如下表所示：
温度 0 5 10 15 20
传播速度 331 334 337 340 343
则传播速度与温度之间的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数关系式，分析表格中的数据可得温度每升高，声音的传播速度增快，由此即可得到答案．
【详解】解：由表格的数据可得：温度每升高，声音的传播速度增快，
传播速度与温度之间的关系式为，
故答案为：．
13．（2023下·八年级课时练习）向平静的水面投入一枚石子，在水面会激起一圈圈圆形涟漪，当半径从2 cm变成5 cm时，圆形的面积从 变成 ．这一变化过程中 是自变量， 是自变量的函数．
【答案】 4πcm2 25πcm2 半径 面积
【详解】先列出在这一变化过程中两圆的面积公式即可求解．
解：当r=2时，圆的面积为4π；
当r=5时，圆的面积为25π；
在这一变化过程中半径是自变量，面积是函数.
故答案为4πcm2，25πcm2，半径，面积.
14．（2023上·江苏泰州·八年级校考期中）函数中，自变量x的取值范围是 .
【答案】
【详解】根据题意得，x 5>0，
解得x>5.
故答案为x>5.
15．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）已知M＝﹣x+3，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应M值的总和是 ．
【答案】2022
【分析】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
【详解】解：M＝﹣x+3＝|x﹣2|﹣x+3，
①当x≤2时，|x﹣2|＝2﹣x，此时M＝﹣x+3＝2﹣x﹣x+3＝5﹣2x，
x＝1，M＝5﹣2x＝3，
x＝2，M＝5﹣2x＝1，
②当x＞2时，|x﹣2|＝x﹣2，此时M＝﹣x+3＝x﹣2﹣x+3＝1，
∴当x分别取1，2，3，…，2020时， 所对应M的值和=3+1+1×（2020﹣2）＝2022．
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．
16．（2022下·宁夏银川·七年级校考期末）为庆祝英才学校建校20周年，学校组织文艺汇演，七年级排练队形为10排，第一排20人，后面每排比前一排多2人，则每排人数y与排数x之间函数关系式为 ．
【答案】y=2x+18( 1≤x≤10)
【分析】根据“第一排20人，后面每排比前一排多2人”即可得出每排人数与排数之间的关系，从而得出y与x之间的关系式y=20+2 ( x-1 )．
【详解】解∶根据题意得∶y=20+ (x-1) ×2=20+2 (x-1 ) =2x+18 ( l≤x≤l0) ．
故答案为∶ y=2x+18( 1≤x≤10) ．
【点睛】此题考查了列一次函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据实际意义找出两个变量之间的变化关系．
三、解答题
17．（2023上·八年级课时练习）在高处让一物体由静止开始落下，它下落的路程s与时间t之间的关系如下表：
时间t(秒) 1 2 3 4 5
落下路程s(米) 4.9×1 4.9×4 4.9×9 4.9×16 4.9×25
（1）请根据表格中的数据写出时间t与物体落下的路程s之间的关系；
（2）算出当t=4.5秒时，物体落下的路程.
【答案】（1） ；（2）99.225米.
【分析】（1）利用表格中的数据可得落下路程s是时间t平方的4.9倍，然后用t的代数式表示s即可；
（2）当t=4.5代入（1）中的关系式中求代数式的值即可．
【详解】解：（1）t=1时，s=4.9×12，
t=2时，s=4.9×22，
t=3时，s=4.9×32，
t=4时，s=4.9×42，
t=5时，s=4.9×52，
所以s=4.9t2；
（2）当t=4.5时，s=4.9×4.52=99.225（米）．
【点睛】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式，本题的关键是找到t与s的数量关系．
18．（2023下·江西抚州·七年级统考期中）如图，长方形中，，，点E为边上一动点，连接，随着点E的运动，四边形的面积也发生变化．
(1)写出四边形的面积y与的长之间的关系式．
(2)当四边形的面积为25时，求的长．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据四边形的面积等腰长方形的面积减去三角形的面积列出关系式即可；
（2）把代入关系式求出，再求出即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴
∴四边形的面积y与的长x之间的关系式为：；
（2）解：把代入得：，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，求自变量的值，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形面积公式．
19．（2023下·河北保定·七年级统考期中）周末上午8:00，小颖陪妈妈骑自行车去塞外天路踏青，沿途观赏了一个种植园，中午时分到达目的地塞外天路的一个农家院就餐，随后返回家中，如图是她们离农家院的距离与时间（时）之间的关系．请根据图象回答下列问题：
（1）农家院离家多远？并说出和段的实际意义（什么时间段内干了什么事情）；
（2）求去时她们骑自行车的平均速度（停车观赏种植园除外）；
（3）她们何时与家相距？
【答案】（1）农家院离家30km，线段AB表示的实际意义为沿途停车观赏了种植园，线段CD表示的实际意义是在农家院就餐；（2）去时她们骑自行车的平均速度为10km/h；（3）在9时或15时20分时，与家相距10km．
【分析】（1）根据题意及图象可直接进行求解；
（2）由（1）可得农家院离家有30km，到农家院用时为3小时（停车观赏种植园除外），进而问题可求解；
（3）根据图象可分去农家院时离家10km和回家时离家10km，进而根据图象分类求解即可．
【详解】解：（1）由图象可得：农家院离家30km，线段AB表示的实际意义为沿途停车观赏了种植园，线段CD表示的实际意义是在农家院就餐；
（2）由（1）可得农家院离家有30km，到农家院用时为3小时（停车观赏种植园除外），
∴她们骑自行车的平均速度为30÷3=10（km/h）；
（3）由图象可分：
①去农家院时离家10km，则有：
10÷10=1（小时），
∴8+1=9时，
②回家时离家10km，则有：
她们在EF段上的速度为：（km/h），
∴（小时），
∴时，即为15时20分；
综上所述：她们在9时或15时20分时，与家相距．
【点睛】本题主要考查函数图象，解题的关键是根据函数图象解题的相关信息．
20．（2023下·广东梅州·七年级统考期中）某机动车出发前油箱内有油48L．行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中剩余油量与行驶时间之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题．
(1)在这个变化过程中，____________是自变量，______________是因变量；
(2)机动车行驶___________小时后加油，中途加油__________L；
(3)如果加油站距目的地还有360km，车速为，要到达目的地，请判断油箱中的油是否够用，并说明理由．
【答案】(1)行驶时间，剩余油量
(2)，
(3)不够用，理由见解析
【分析】（1）根据函数的定义直接求解即可；
（2）根据函数图象直接求解即可；
（3）根据函数图象可知机动车的耗油量为，根据行驶时间乘以耗油量即可求解
【详解】（1）根据题意可知：行驶时间是自变量，剩余油量是因变量；
故答案为：行驶时间，剩余油量
（2）根据函数图象可知，机动车行驶小时后加油，中途加油
故答案为：，
（3）不够用．理由如下：
机动车的耗油量：，
行驶时间，需要油量，
故不够用．
【点睛】本题考查了函数的定义，函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键．
21．（2023下·辽宁沈阳·七年级校考期中）甲、乙两人在同一平直的道路上同时、同起点、同方向出发，他们分别以不同的速度匀速跑步2400米（甲的速度大于乙的速度），当甲第一次超出乙600米时，甲停下来等候乙．甲、乙两人会合后，两人分别以原来的速度继续跑向终点，先到终点的人在终点休息．在整个跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的关系图象如图所示，根据图象中提供的信息回答问题：
（1）A点表示的是 ；
（2）乙出发 s时到达终点，a＝ ，b＝ ；
（3）甲乙出发 s相距150米．
【答案】（1）甲在600秒时，第一次超出乙600米；（2）1600，1000，1360；（3）150或900或1150或1500．
【分析】（1）由图象可得：点A表示甲在600秒时，第一次超出乙600米；
（2）先求出甲，乙速度，即可求解；
（3）分四种情况讨论，由时间＝路程÷速度，即可求解．
【详解】解：（1）点A表示甲在600秒时，第一次超出乙600米，
故答案为：甲在600秒时，第一次超出乙600米；
（2）由图形可得乙出发1600s时到达终点，
∴乙的速度＝＝1.5米/秒，
∴甲的速度＝+1.5＝2.5秒，
∴a＝＝1000，
∴b＝﹣600+1000＝1360，
故答案为：1600，1000，1360；
（2）刚出发时，＝150s，
甲在A地时，＝900s，
从A地出发后，1000+150＝1150s，
甲到终点后，＝1500s，
综上所述：甲乙出发150s或900s或1150s或1500s时，相距150米．
故答案为：150或900或1150或1500．
【点睛】此题主要考查根据函数图象的信息解决实际问题，解题关键是读懂函数图象．
22．（2023·福建漳州·七年级校联考期中）某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同，他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成右图，请根据图象回答：
（1）在这个问题中，自变量是什么？因变量是什么？
（2）第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？
（3）第三天12时这头骆驼的体温是多少？
【答案】（1）自变量是外部环境温度；因变量是骆驼的体温；
（2）第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的，它的体温从最低上升到最高需要12小时；
（3）第三天12时这头骆驼的体温是39℃．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据函数图象找出0～24小时图象随时间增大而增大的部分即可，然后求出从体温开始上升到上升结束的时间差即可；
（3）根据函数图象找出12时对应的体温值即可．
【详解】（1）在这个问题中，自变量是外部环境温度；因变量是骆驼的体温；
（2）由图可知，第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的，
它的体温从最低上升到最高需要16-4=12小时；
（3）第三天12时这头骆驼的体温是39℃．
【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图是解题的关键．
23．（2023下·河南平顶山·七年级统考期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，
（1）甲步行的速度为________米/分；
（2）乙走完全程用了________分钟；
（3）求乙到达终点时，甲离终点的距离是多少米？
【答案】（1）60；（2）30；（3）360
【分析】（1）甲先出发4分钟共走了240米，由此得到速度；
（2）先求出乙步行的速度，再用全程2400米除以速度即可得到乙走完全程的时间；
（3）乙到达终点时甲步行30+4=34分钟，用全程2400米减去甲已走的路程即可得到答案.
【详解】解：（1）甲步行的速度为=60（米/分），
故答案为60；
（2）乙步行的速度：（米/分），
即乙走完全程的时间：（分）．
故答案为：30
（3）乙到达终点时，甲离终点的距离是（米）.
【点睛】此题考查一次函数图象与实际问题，正确理解题意与图象的关系是解题的关键.
24．（2023下·江西·八年级期末）如图，点C是线段的中点，，点P是线段上的动点（可与点B，D重合），连接，．已知，，设长为，长为，长为，小磊根据学习函数的经验，分别对函数随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小磊的探究过程，按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了与x的几组对应值：
（1）补全下表：
0 1 2 3 4 5 6
2.00 1.08 0.59 1.23 2.17 3.14 4.13
4.00 3.06 2.17 1.43 1.66 2.47
（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当的长度不小于的长度时，估计长度的取值范围是_____．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）x≥3.20
【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）利用描点法画出函数图象即可．
（3）利用图象法解决问题即可．
【详解】解：（1）x=4时，y2的值等于x=2时，PC的值的两倍，即y2=2×0.59=1.18．
（2）函数图象如图所示：
（3）观察图象可知：当PC的长度不小于PA的长度时，估计BP长度的取值范围是x≥3.20cm．
故答案为x≥3.20．
【点睛】本题考查函数的图象，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
25．（2023下·四川达州·七年级校考期中）如图，已知长方形，，， ， ，为边的中点，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，设点经过的路程为，的面积为．
(1)当时，在中画出草图，并求出对应的值；
(2)当时，在中画出草图，并求出对应的值；
(3)利用图写出与之间的关系式．
【答案】(1)画图见解析，6
(2)画图见解析，11
(3)
【分析】（1）利用三角形面积求法，即可解答；
（2）利用三角形面积求法，分别得出答案；
（3）利用当时，当时，当时，分别得出与的函数关系式即可．
【详解】（1）解：如图，
当时，为的中点，
为直角三角形，，
．
（2）如图，
当时，则，
；
（3）如图，
当时，；
当时，在上，
；
当时，在上，
综上所述：．
【点睛】此题主要考查了三角形面积求法，利用分类讨论的思想求出与的函数关系式是解题关键．2023-2024学年人教版八年级数学下册- 变量、函数与图像
知识一遍过
（一）变量与常量
变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
【注意】
①变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。
②区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。
（二）函数定义
一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
【函数概念的解读】
①有两个变量。
②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
（三）自变量的取值范围
（1）关系式为整式时，函数自变量的取值范围为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数自变量的取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义。
（四）函数的表示
（1）解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
优：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。
缺：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。
函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：
①将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。
②两个函数图像交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
（2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
优：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。
缺：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。
（3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
优：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。
缺：图像中只能得到近似的数量关系。
考点一遍过
考点1：函数的概念
典例1：（2023春·河北唐山·八年级统考期中）下列式子中的y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·安徽合肥·八年级合肥38中校考阶段练习）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2021上·山东聊城·九年级统考期末）下列式子：①②③④⑤．其中y是x的函数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式3】（2021下·陕西西安·八年级统考期中）下列图形中，不能表示是函数的是（ ）
A． B．
C． D．
考点2：求自变量的取值范围
典例2：（2023上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）函数的自变量的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
【变式1】（2023·黑龙江绥化·统考二模）在函数中，自变量x的取值范围是( )
A． B． C． D．且
【变式2】（2023下·河南南阳·八年级校考阶段练习）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
【变式3】（2023上·山东菏泽·九年级统考期末）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
考点3：用描点法画函数图像
典例3：（2024上·江西萍乡·八年级统考期末）萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整．
(1)列表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 1 0 0 k …
（1）直接填空： ______；
(2)描点并正确地画出该函数图象；
(3)①根据函数图象可得：该函数的最小值为______；
②观察函数的图象，写出该图象的两条性质：______．
【变式1】（2023上·山东枣庄·八年级统考期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)函数的自变量x取值范围是______；
(2)下表是x与y的几组对应值，求m的值是______；
x … 0 1 2 3 …
y … 6 5 4 m 2 1 0 1 2 …
(3)在下面网格中，建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)当时，小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：
①函数有最小值为0；
②当时，y随x的增大而增大；
③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称．
小明得出的结论中正确的是______．（只填序号）
【变式2】（2023上·河南商丘·九年级校考阶段练习）某同学根据学习函数的经验，探究了函数的图象和性质，下面是他的探究过程，请补充完整：
(1)写出函数的自变量x的取值范围是______；
(2)如表是函数y与自变量x的几组对应值：则______，______；
x … 0 1 3 4 5 6 7 …
y … m 2 4 n 2 …
(3)在如图所示的平面直角坐标系中，已画出函数图象的一部分，请补全此函数的图象；
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线______；当x满足______时，y随x的增大而减小；②方程的解为______．
【变式3】（2023上·江西南昌·八年级校联考期中）在函数学习过程中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
下表是与的部分对应值：
… …
… 3 1 …
(1)完善表格，并根据表格填写：________，________．
(2)在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的大致图象，观察图象写出该函数的一条性质．
(3)若点，都在该函数图象上，求的值．
考点4：函数解析式的确定
典例4：（2023上·福建宁德·八年级统考期中）我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下滴水，每滴水约．小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开小时后，水龙头滴了水．
(1)试写出与之间的函数关系式？
(2)当滴了水时，小明离开水龙头几小时？
【变式1】（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）某通讯公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟元）两种，设A套餐每月话费为（元），B套餐每月话费（元），月通话时间为x分钟．
(1)直接写出与x，与x的函数关系式；
(2)如果某用户使用A套餐本月缴费50元，求他本月的通话时间？
(3)如果某用户这个月的通话时间为280分钟时，选择哪种套餐更划算？
【变式2】（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）已知某款汽车油箱中有汽油，每小时耗油（汽车在行驶过程中视为匀速行驶）．
(1)写出油箱中剩余油量与行驶时间之间的函数关系式并写出自变量取值范围；
(2)当油箱中剩余油量低于时，汽车将发出警报，求该款汽车在听到警报前，最多可行驶多少小时？
【变式3】（2023上·安徽合肥·八年级期中）已知等腰三角形的周长为，若底边长为，一腰长为．
(1)写出与的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）
(2)求出当时的值．
考点5：函数图像的识别
典例5：（2024上·黑龙江大庆·六年级校联考期末）小明周日上午从家出发，乘车半小时到达离家远的成都自然博物馆，在博物馆参观了2小时后，乘车半小时返回家中，下面四幅图中，能够描述她这一活动行程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023下·广东深圳·七年级校联考期末）图1是水滴进玻璃容器的示意图（滴水速度不变），图2是容器中水高度随滴水时间变化的图象．那么水的高度是如何随时间变化的，请选择分别与①、②、③、④匹配的图象（ ）
A．（3）（2）（4）（1）B．（2）（3）（1）（4）C．（2）（3）（4）（1） D．（3）（2）（1）（4）
【变式2】（2022下·湖北襄阳·八年级统考期末）如图是一个容器的截面图，均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，下面大致能反映水面高度h和时间t之间的变化的函数图象为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·福建福州·七年级福州华伦中学校考开学考试）如图，D1931次西安至成都东动车匀速穿越秦岭隧道（隧道长大于火车长），火车进入隧道的时间与火车在隧道内的长度之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
考点6：从函数图像获取信息
典例6：（2023上·浙江·八年级校联考期末）小聪上午8：00从家里出发，骑车去一家文具店购物，然后从这家文具店返回家中，小聪离家的路程s（千米）和所经过的时间t（分）之间的函数关系如图所示．根据图象，下列结论不正确的是（ ）
A．文具店距小聪家4千米
B．小聪在文具店逗留了30分钟
C．小聪去文具店途中速度大于回家途中速度
D．小聪在来去途中，离家2千米的时间是
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）已知甲、乙两人均骑自行车沿同一条路从A地出发到地，他们离出发地的距离S（单位：）和行驶时间（单位：）之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲、乙两人均行驶了30千米 B．乙在行驶途中停留了小时
C．甲乙相遇后，甲的速度大于乙的速度 D．甲全程用了小时
【变式2】（2024上·重庆丰都·九年级统考期末）如图是丰都一天（凌晨0时到深夜24时）的气温变化图，在这一天中，气温随着时间变化而变化，下列结论错误的是（ ）
A．在这一天中，气温在14时达到最高，最高温度是
B．凌晨2时气温达到最低
C．6时到12时，气温在逐渐上升
D．某旅行团这天想去爬山，登山的气温最好在以上，大约共有9个小时适宜登山
【变式3】（2024上·广东深圳·八年级统考期末）杆秤是我国传统的计重工具．数学兴趣小组利用杠杆原理自制了一个如图1所示的无刻度简易杆秤．在量程范围内，之间的距离l与重物质量m的关系如图2所示，下列说法不正确的是（ ）
A．在量程范围内，质量m越大，之间的距离l越大；
B．未挂重物时，之间的距离l为；
C．当之间的距离l为时，重物质量m为；
D．在量程范围内，重物质量m每增加，之间的距离l增加．
考点7：动点问题的函数图像
典例7：（2023上·辽宁·八年级校联考期末）如图①，在边长为的正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边(或边)交于点，的长度与点的运动时间(秒)的函数图象如图②所示．当点运动秒时，的长是( )
A． B． C． D．
【变式1】（2022·海南海口·海口市第九中学校考二模）如图1，从长方形纸片中剪去长方形后，动点P从点B出发，沿运动到点F停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x 的函数图象如图2所示，则图形的面积是（ ）
A．32 B．34 C．36 D．48
【变式2】（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图①，动点从矩形的顶点出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积（单位：）随运动时间（单位：）变化的函数图象如图②所示，则的值是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式3】（2023上·安徽合肥·八年级期中）如图，正方形的边长为4，点P为正方形边上一动点，若点P从点A出发沿A→D→C→B→A匀速运动一周．设点P走过的路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
考点8：求自变量的值或函数值
典例8：（2024下·全国·七年级假期作业）已知变量x，y之间的关系式为，当时，y的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式1】（2020上·安徽合肥·八年级校考阶段练习）根据图中所示的程序计算：若输入的为，则输出的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式2】（2023下·山东淄博·六年级统考期末）某商场在某一阶段，一商品的销售量与销售价之间存在下表所示的关系：
销售价/元 90 100 110 120 130 140
销售量/件 90 80 70 60 50 40
设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计当时，y的值约为（ ）
A．56 B．54 C．46 D．43
【变式3】（2023下·广东梅州·七年级统考期中）已知关系式，当自变量时，因变量，则时，y的值是（ ）
A．11 B．﹣1 C．5 D．1
考点9：函数的三种表示方法
典例9：（2022下·甘肃兰州·七年级统考期末）梦想从学习开始，事业从实践起步．近来，每天登录“学习强国”，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有数据，则下列说法错误的是（ ）
学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7
周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350
A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量
B．周积分随学习天数的增加而增加
C．从第天到第天，周积分的增长量为分
D．天数每增加天，周积分的增长量不一定相同
【变式1】（2022下·贵州贵阳·七年级统考期中）小明和妈妈2022年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022下·河南南阳·八年级统考期中）在地球中纬度地区，从地面到高空大约之间，气温随高度的升高而下降，每升高，气温大约下降；高于但不高于，气温几乎不再变化，某城市地处中纬度地区，该市某日的地面气温为，设该城市距离地面高度为处的气温为，则与的函数图像是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2021下·辽宁大连·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（ ）
A． B． C． D．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·福建福州·八年级校联考期中）下列各曲线中不能表示y是x函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2007·江苏泰州·中考真题）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023下·河南周口·八年级校联考阶段练习）根据下列表格信息，可能为（ ）
… 0 1 2 …
… * 0 * * 无意义 …
A． B． C． D．
4．（2022下·陕西西安·七年级交大附中分校校考期末）在弹性限度范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（ ）
A．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm
B．所挂物体质量为8kg时，估计弹簧长度为14m
C．弹簧不挂重物时的长度为0cm
D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
5．（2023下·天津滨海新·八年级统考期末）下列各式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y＝x B．|y|＝x C．y＝2x+1 D．y＝x2
6．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）下列各曲线中，不表示是的函数的是（ ）
A．B．C． D．
7．（2022下·河南安阳·八年级统考期末）如图1．在矩形ABCD中，点P从点A出发，匀速沿AB→BD向点D运动，连接DP，设点P的运动距离为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为AB中点时，DP的长为（ ）
A．5 B．8 C． D．
8．（2022下·河南南阳·八年级统考期末）如图①，正方形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，动点Р从A点出发，沿的路径，以1cm/s的速度匀速运动到C点，在此过程中，的面积随运动时间变化的函数关系图象如图②所示，则当时，的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
9．（2023下·八年级单元测试）如图1，在矩形MNPO中，动点R从点N出发，沿N→P→O→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形MNPO的周长是（ ）
A．11 B．15 C．16 D．24
10．（2023下·山东济南·六年级统考期末）小颖想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，她把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小颖测得的弹簧的长度与所挂物体质量的组对应值．
所挂物体质量 0 1 2 3 4 5
弹簧长度 30 32 34 36 38 40
当弹簧长度为（在弹簧承受范围内）时，所挂重物的质量为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期中）设关于的一次函数与，则称函数其中，为此两个函数的生成函数．写出一个和的生成函数： ．
12．（2023上·山西太原·八年级校联考期中）声音在空气中的传播速度与温度的关系如下表所示：
温度 0 5 10 15 20
传播速度 331 334 337 340 343
则传播速度与温度之间的关系式为 ．
13．（2023下·八年级课时练习）向平静的水面投入一枚石子，在水面会激起一圈圈圆形涟漪，当半径从2 cm变成5 cm时，圆形的面积从 变成 ．这一变化过程中 是自变量， 是自变量的函数．
14．（2023上·江苏泰州·八年级校考期中）函数中，自变量x的取值范围是 .
15．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）已知M＝﹣x+3，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应M值的总和是 ．
16．（2022下·宁夏银川·七年级校考期末）为庆祝英才学校建校20周年，学校组织文艺汇演，七年级排练队形为10排，第一排20人，后面每排比前一排多2人，则每排人数y与排数x之间函数关系式为 ．
三、解答题
17．（2023上·八年级课时练习）在高处让一物体由静止开始落下，它下落的路程s与时间t之间的关系如下表：
时间t(秒) 1 2 3 4 5
落下路程s(米) 4.9×1 4.9×4 4.9×9 4.9×16 4.9×25
（1）请根据表格中的数据写出时间t与物体落下的路程s之间的关系；
（2）算出当t=4.5秒时，物体落下的路程.
18．（2023下·江西抚州·七年级统考期中）如图，长方形中，，，点E为边上一动点，连接，随着点E的运动，四边形的面积也发生变化．
(1)写出四边形的面积y与的长之间的关系式．
(2)当四边形的面积为25时，求的长．
19．（2023下·河北保定·七年级统考期中）周末上午8:00，小颖陪妈妈骑自行车去塞外天路踏青，沿途观赏了一个种植园，中午时分到达目的地塞外天路的一个农家院就餐，随后返回家中，如图是她们离农家院的距离与时间（时）之间的关系．请根据图象回答下列问题：
（1）农家院离家多远？并说出和段的实际意义（什么时间段内干了什么事情）；
（2）求去时她们骑自行车的平均速度（停车观赏种植园除外）；
（3）她们何时与家相距？
20．（2023下·广东梅州·七年级统考期中）某机动车出发前油箱内有油48L．行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中剩余油量与行驶时间之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题．
(1)在这个变化过程中，____________是自变量，______________是因变量；
(2)机动车行驶___________小时后加油，中途加油__________L；
(3)如果加油站距目的地还有360km，车速为，要到达目的地，请判断油箱中的油是否够用，并说明理由．
21．（2023下·辽宁沈阳·七年级校考期中）甲、乙两人在同一平直的道路上同时、同起点、同方向出发，他们分别以不同的速度匀速跑步2400米（甲的速度大于乙的速度），当甲第一次超出乙600米时，甲停下来等候乙．甲、乙两人会合后，两人分别以原来的速度继续跑向终点，先到终点的人在终点休息．在整个跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的关系图象如图所示，根据图象中提供的信息回答问题：
（1）A点表示的是 ；
（2）乙出发 s时到达终点，a＝ ，b＝ ；
（3）甲乙出发 s相距150米．
22．（2023·福建漳州·七年级校联考期中）某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同，他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成右图，请根据图象回答：
（1）在这个问题中，自变量是什么？因变量是什么？
（2）第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？
（3）第三天12时这头骆驼的体温是多少？
23．（2023下·河南平顶山·七年级统考期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，
（1）甲步行的速度为________米/分；
（2）乙走完全程用了________分钟；
（3）求乙到达终点时，甲离终点的距离是多少米？
24．（2023下·江西·八年级期末）如图，点C是线段的中点，，点P是线段上的动点（可与点B，D重合），连接，．已知，，设长为，长为，长为，小磊根据学习函数的经验，分别对函数随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小磊的探究过程，按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了与x的几组对应值：
（1）补全下表：
0 1 2 3 4 5 6
2.00 1.08 0.59 1.23 2.17 3.14 4.13
4.00 3.06 2.17 1.43 1.66 2.47
（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当的长度不小于的长度时，估计长度的取值范围是_____．
25．（2023下·四川达州·七年级校考期中）如图，已知长方形，，， ， ，为边的中点，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，设点经过的路程为，的面积为．
(1)当时，在中画出草图，并求出对应的值；
(2)当时，在中画出草图，并求出对应的值；
(3)利用图写出与之间的关系式．
