第3章 图形的平移与旋转 解答题专题训练（含答案） 2023—2024学年北师大版八年级数学下册

2023-2024学年北师大版八年级数学下册《第3章图形的平移与旋转》
解答题专题训练（附答案）
1．如图，已知三角形及一点E，平移三角形、使点C移动到点E，请画出平移后的三角形．并保留画图痕迹．

2．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点∶的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中画使与关于某条直线对称；
(2)在图②中画，使与关于某点成中心对称．
3．下列网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：

(1)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；
(3)选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成既是一个中心对称图形，又是轴对称图形．
4．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，将向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的.
(1)写出点A和点的坐标；
(2)画出；
(3)求出的面积.
5．如图，将直角三角形（）沿着点B到点C的方向平移到三角形的位置，与交于点G，，，．
(1)求平移的距离．
(2)若，求阴影部分的面积．
6．如图，两直线，直线与直线相交于点平分，交直线于点，把沿着平行线向右平移得到．
(1)请说明的理由；
(2)若的周长是，求四边形的周长．
7．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
(1)的面积为______________；
(2)将向右平移4个单位长度得到，请画出；
(3)画出关于点O的中心对称图形；
(4)若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______________．
8．面积为2的正方形，如图．
(1)写出A、B、C、D的坐标．
(2)把边绕某点旋转到与重合，怎么转？
(3)将边平移到与重合，怎么平移？
9．如图，是经过某种变换得到的图形，点与点，点 与点，点与点 分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
(1)填写完整：点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
与（ ）；（ ）与，与 （ ）．
对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均
(2)若点 与点 也是通过上述变换得到的对应点，求 ，的值．
10．如图，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C在上．
(1)指出旋转中心；
(2)若，求出旋转的角度；
(3)若，则的长是多少？为什么？
11．如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得到．在旋转过程中：

(1)旋转中心是什么，为多少度？
(2)与线段相等的线段是哪一条？
(3)的面积是多少？
12．如图，在等腰直角中，，D为边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转到，连接．
(1)求证：．
(2)若，求四边形的面积．
13．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米）
在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）；
在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）．
(1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）；
(2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）．
(3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米．
14．阅读下面材料，并解决问题：

(1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．
为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转，旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出．______；是______三角形；______；
(2)基本运用：请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
已知如图②，中，，，E、F为上的点且，求证：．
15．如图，将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证：AF＋EF＝DE.
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出旋转后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立．
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③.你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出AF，EF与DE之间的关系，并说明理由．
16．

(1)如图，是等边三角形内的一点，，，若是外的一点，且，求点与点之间的距离及的度数．
(2)如图，已知等边，点在外部，当时，求的面积．
17．阅读：如图，在中，，，点D是直线上的一个动点，连接，将绕点A逆时针旋转到，连接．
(1)小明通过观察发现，点D在边上运动时总有，全等的依据是 ．若，则的最小值为 ．
(2)小军通过观察发现，点D在边上运动时总有,请在的基础上完成剩下的证明．
(3)点D在直线上运动．若，则的面积为 ．
18．在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进行探究．已知是边长为2的等边三角形．
(1)【动手操作】如图1，若为线段上靠近点的三等分点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长为________；
(2)【探究应用】如图为内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若三点共线，求证：平分；
(3)【拓展提升】如图3，若是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．请求出点在运动过程中，的周长的最小值．
19．一副三角板如图1摆放，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为t秒．
(1)当 秒时，；
(2)在旋转过程中，与的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求t的值；
(3)当边与边、分别交于点M、N时，如图3，连接，设，，，试问是否为定值？若是，请直接写出答案；若不是，请说明理由．
20．（一）问题探究
已知：在钝角中，，把线段绕点A沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点A沿顺时针方向旋转得到线段，分别连结，，，．
（1）如图①，当时，线段与的数量关系是 　　（直接写出结论，不说理由）；
（2）如图②，当时，
①探究线段与的数量关系，并说明理由；
②若，，求的长；
（二）解决问题
如图③，在四边形中，， ，，请直接写出线段的长．（不说理由）

参考答案
1．解：即为所求，如下图所示：

2．（1）解：由轴对称的性质两个三角形都有边，
所以对称轴是边的垂直平分线找到G，连接，如图所示，即为所求，
；
（2）平行四边形是中心对称图形作平行四边形如图所示，即为所求
3．（1）解：画出下列一种即可：

（2）解：画出下列一种即可：

（3）解：画出下列图形即可：

4．（1）解：由图可知：，将向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的，
；
（2）解：由图可知：，，，将向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的，
，，，，然后顺次连接即可得到：
（3）解：
5．（1）解：，
∴，
∵平移得到，
∴点与点，点与是对应点，
∴根据平移的性质得，，
∴，
∴平移距离为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，且，且，
∴四边形是梯形，
∴，
∴阴影部分的面积为：．
6．（1）解：理由如下：，
，
平分，
，
由平移性质得：，
；
（2）解： 的周长是，
，
把沿着平行线向右平移得到，则，
四边形的周长
．
7．（1）解：，
∴的面积为，
故答案为：；
（2）解：如图，即为所求；
；
（3）解：如图，即为所求；
（4）解：根据图形可知：
旋转中心的坐标为：，
故答案为：．
8．（1）解：正方形的面积为2，
，
，，
，
，，，；
（2）边绕某点旋转到与重合，，，
线段绕点顺时针旋转与线段重合；
（3）边平移到与重合，，，
把线段先向右平移1个单位，再向下平移1个单位与线段重合．
9．（1）解：由图可知，；；，对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数．
故答案为：；；，互为相反数；
（2）由（1）知对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数，
点 与点 也是通过上述变换得到的对应点，
，
．
10．（1）解：旋转中心为点A；
（2）解：∵，
∴，
∴旋转的度数为；
（3）解：；
理由：由旋转性质知：，
∴．
11．解：（1）观察图形可知，旋转中心为．
∵旋转前后的图形全等，即，
∴．
故答案为： ，；
（2）∵旋转前后的图形全等，即，
∴．
故答案为：．
（3）∵旋转前后的图形全等，即，
∴，，．
∴．
故答案为：．
12．（1）证明：由旋转性质得，，又，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴四边形的面积为．
13．（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，
则平方米，平方米；
∴．
故答案为：40，=．
（2）解：如图3，长方形的长为32米，宽为20米，小路的宽度是1米，
∴空白部分表示的草地的面积是平方单位．
故答案为：．
（3）解：如图4，长方形的长为，宽为，道路宽为4米，
∴空白部分表示的草地的面积是平方米．
故答案为：448．
14．（1）解：由题知，，，
由旋转的性质可知，，
，
，，
为等边三角形，
，，
，
是直角三角形；
，
；
故答案为：，直角，；
（2）证明：如图，把绕点A逆时针旋转得到，

由旋转的性质可得，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
15．解：（1）如图①所示，连接BF，
∵BC=BE，
在Rt△BCF和Rt△BEF中
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF+EF=AC=DE；
（2）如图②所示：
延长DE交AC与点F，连接BF，
在Rt△BCF和Rt△BEF中
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF+EF=AC=DE；
（3）如图③所示：
连接BF，
在Rt△BCF和Rt△BEF中
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF-FC=AC=DE，
∴AF-EF=DE．
16．（1）解：连接，

是等边三角形内的一点，
，
，
，
，即，
是等边三角形，
，
在中，
，
；
（2）解：在等边中，
把绕点逆时针旋转至，连接，过点作于点，

，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
点三点共线，
在中，，
，
．
17．（1）证明：∵将绕点A逆时针旋转到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
点D在边上运动，作于点，则当点D运动到时，有最小值，即为，
∵，，
∴,
∴，
即的最小值为5，
∴的最小值为5；
故答案为：，5
（2）∵在中，，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
即点D在边上运动时总有；
（3）如图，当点D在线段上时，连接，
∵，
∴，
∵
∴
当点D在的延长线上时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：2或32
18．（1）解： ∵将线段绕点A逆时针旋转60°得到
∴，
∵是等边三角形，
∴
∴
∴
∴；
∵为线段上靠近点的三等分点，且是边长为2的等边三角形
∴，
故答案为：；
（2）证明：∵将线段绕点A逆时针旋转60°得到
∴
∴
∴
∵是等边三角形，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴平分
（3）解：当点D在线段上时，的周长存在最小值，如图：
∵，
∴，
∴的周长，
∴当点D在线段上时，的周长，
∵为等边三角形，
∴，
∴的最小时，的周长最小，此时，
∴，
∴的周长的最小值为．
19．解：（1）∵，，，
∴，，
如图，当时，，
平分，，
，
又为的一个外角，
，
；
故答案为：3；
（2）①如图，当时，

，
，
；
②如图，当时，

，，
，
；
③如图，当时，

，
，
综上所述：当为6或15或24时，有两个内角相等；
（3）是为定值105，理由如下：
是的一个外角，是的一个外角，
，，
又，，
，
，
．
20．解：问题探究
（1）∵把线段绕点A沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点A沿顺时针方向旋转得到线段，
，，，
，
∴，
∴
故答案为：．
（2）①，理由如下：
∵把线段绕点A沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点A沿顺时针方向旋转得到线段，
，，，
，
∴，
∴
②∵，，
∴
∴，
∴
；
解决问题
如图③，过点A作，交的延长线于点H，

∵
，，
，，
，
，
，
∴，
∵，
，
∴
∴，