2.2 基本不等式 （2个课时） 课件（共48张PPT）

(共48张PPT)
第2章一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
【输入学校全称】
（第1课时）
1
新课导入
思考：
第24届国际数学家大会会标，参考弦图设计
你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？
思考
第24届
国际数学家
大会会标
著名的“赵爽弦图”用来证明勾股定理
2
探究新知
探究
我们接着研究赵爽弦图．
1
≥2ab（a>0,b>0）
在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a和b，那么正方形的边长为这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为
4个直角三角形面积标注为“朱实”，中间空余小正方形面积标注为“黄实”，即为正方形与4个直角三角形的面积差，明显可得出：
新知【1】
重要不等式
≥2ab（a>0,b>0）
此等式称为重要不等式
当 、 为任意实数时，上式还成立吗？如何证明？
思考
新知【2】
基本不等式
a>0，b>0的情况下，我们用和代替a、b,
如果a>0，b>0，则
我们把这个不等式称为基本不等式．
练习
证明：a>0，b>0）
基本不等式的证明
要证
只要证
即要证 0
即要证 0
探究
基本不等式的探究中，得出不等式两边算式的描述．
2
那么从几何的角度，是否可以探究基本不等式的成立？
思考
练习
基本不等式的几何解释
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.
A
B
C
D
E
a
b
O
OD为半径，OD=
根据射影定理知，CD=
OD CD（几何意义：半径不小于半弦长）
练习
×
√
√
m＝1
a与b同号
延伸
由基本不等式变形得到的常见结论
归纳
利用基本不等式证明不等式时应注意的问题
(1) 注意基本不等式成立的条件；
(2) 多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；
(3) 对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
练习
运用基本不等式求最值
拆、配
换元
练习
运用基本不等式求最值
一正
二定
三等
归纳
利用基本不等式的解题技巧
①加项变换； ②拆项变换； ③统一换元； ④平方后再用基本不等式． 一正
二定
三等
3
随堂检测
检测
【答案】　C
检测
【答案】　D
检测
【答案】　18
检测
检测
检测
4
课堂总结
总结
不等式 ≥2ab
适用范围 a, b ∈R a>0, b>0
文字叙述 两数的平方和不小于它们积的2倍 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
“=”成立条件 a=b a=b
运用不等式求最值：一正二定三等!
1．重要不等式与基本不等式
第2章一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
【输入学校全称】
（第2课时）
1
新课导入
思考：
（2）用篱笆围成一个面积为100m2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽分别为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆又是多少？
（1）一段长为36m的篱笆围成一个矩形的菜园，长、宽各为多少的时候，菜园的面积最大，最大面积为多少？
面积定值，长度最小值？
思考
长度定值，面积最大值？
思考
解题：
第（1）题
【解析】
设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
由题意可知 x>0 , y>0
篱笆周长2(x+y)=36，篱笆的面积为xy m2
，
当且仅当x=y时成立，此时x=y=9.
y m
x m
周长： 36 m
一正
二定
三等
结论1：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两变量值相等时取最值. 简记“和定积有最大值”.
解题：
第（2）题
【解析】
设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
由题意可知 x>0 , y>0
篱笆面积xy=100，篱笆的长为2(x+y) m
，
当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
y m
x m
面积： 100m2
一正
二定
三等
结论2：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相等时取最值. 简记“积定和有最小值”.
2
探究新知
新知【1】
和定积与积定和
若x＋y＝S(S为定值)，则当且仅当 x=y 时，xy取得
最 大 值 .
若xy＝P(P为定值)，则当且仅当 x=y 时，x＋y取得
最 小 值 .
简记:
“积定和有最小值”
简记:
“和定积有最大值”
练习
练习
练习
不等式解决实际问题
计划要在菜园建造一个长方体无盖贮水池，用以灌溉农作物，其容积为4800，深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
不等式解决实际问题
【解析】设底面的长为x m,宽为y m,水池总造价为z 元. 根据题意, 有:
xy = =1600,
当x=y, 即x=y=40时, 等号成立.
练习
练习
不等式解决实际问题
某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
①仓库面积S的最大允许值是多少？
②为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？最低总造价是多少元？
不等式解决实际问题
练习
归纳
利用基本不等式解决实际问题
(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，从而指明函数的定义域；
(2)一般利用基本不等式求解最值问题时，通常要指出取得最值时的条件，即“等号”成立的条件；
(3)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号，此时要利用其他方法求解．
3
随堂检测
检测
【答案】　A
检测
【答案】　
检测
检测
检测
检测
4
课堂总结
总结
和定积最大，积定和最小
x＋y＝S (S为定值) xy ≤ x=y时
“=”成立
xy＝P (P为定值) x+y ≥
运用不等式解决实际问题！
2．基本不等式与最大(小)值