2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.1 幂的运算同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八下·汕头开学）在下列运算中，正确的是（ ）
A．x8÷x3= x5 B．（3x）2=6x2 C．x2·x3= x6 D．（x3）2= x5
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，故选项A正确；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误．
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方运算法则，逐项判断即可求出答案．
2．（2023八上·新邵期中）计算的结果是（ ）
A．-9 B．9 C． D．
【答案】D
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解： =,.
故答案为:B.
【分析】本题考察负整数指数幂的运算，熟练掌握负整数指数幂的运算计算即可得到答案.
3．若3x=4，9y=7，则3x+2y的值为（ ）
A． B． C．28 D．196
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：当3x=4，9y=7时，
3x+2y
=3x×32y
=3x×9y
=4×7
=28；
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加和幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，代入计算即可
4．计算32013 （ ）2015的结果是（ ）
A．9 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：32013 （ ）2015
=32013 （ ）2013 （ ）2
=（3× ）2013
=1×
= ．
故选：D．
【分析】首先根据积的乘方的运算方法，求出32013 （ ）2013的值是多少；然后用它乘（ ）2，求出32013 （ ）2015的结果是多少即可．
5．（2023·宁波）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、x2+x不能合并，故A不符合题意；
B、x6÷x3=x3，故B不符合题意；
C、（x3）4=x12，故C不符合题意；
D、x3·x4=x7，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对B作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对C作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对D作出判断.
6．（2024八上·道里期末）已知，，m，n为正整数，则为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：因为 ， ，所以 为同底数幂的乘法，所以 =×=ab，
故答案为：B。
【分析】本题考查同底数幂的乘法逆运用。同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(am)×（an）=a(m+n).
7．方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（1）当x+3=0，x2+x﹣1≠0时，解得x=﹣3；（2）当x2+x﹣1=1时，解得x=﹣2或1．（3）当x2+x﹣1=﹣1，x+3为偶数时，解得x=﹣1
因而原方程所有整数解是﹣3，﹣2，1，﹣1共4个．
故答案为：B．
【分析】解本题关键要知道：任何非零的数0次幂为1，1的任何次幂都为1；-1的偶数次幂也为1.本题的易错点为丢解.
8．（2023七下·石家庄期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（ ）
结论 Ⅰ ：若n的值为5，则y的值为1；
结论Ⅱ：的值为定值；
结论Ⅲ：若，则y的值为4或1．
A．Ⅰ ，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．Ⅰ ，Ⅱ均错
【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得：，
②-①得：2x=n-m，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∵m+n=8，
∴当n=5时，m=3，
∴，
∴结论Ⅰ正确；
∵①+②得：4x+4y=8，
∴x+y=2，
∴结论Ⅱ正确；
∴当x=1时，y=1，满足 ，
∴m-3n=0，
∴m=3n，
∴m=6，n=2，
∴当x=-2，y=4时，满足，
当x=-1时，则y=3，
∴m=-1+2×3=5，n=-1×3+2×3=3，
∴m-3n=5-3×3=-4，满足，
综上所述：当 时，y的值为4或3或1，
∴结论Ⅲ错误；
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出，再利用二元一次方程的解，零指数幂和负整数指数幂等计算求解即可。
二、填空题
9．（2023七下·金东期末）若，则 ．
【答案】2或3或-1
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：本题要分三种情况讨论：
①∵1的任何次幂都等于1
∴5-2x=1
解得：x=2
②∵-1的偶数次幂都等于1
∴5-2x=-1
解得：x=3
此时x+1=4是偶数，符合题意；
③∵任何不等于零的数的零次幂都等于1
∴x+1=0
∴x=-1
此时5-2x=5+2=7≠0，符合题意；
综上所述：x=2或3或-1.
故答案为：2或3或-1.
【分析】一个数的次幂等于1有三种情况：1的任何次幂都等于1；-1的偶数次幂都等于1；任何不等于零的数的零次幂都等于1.三种情况分别列出关于x的方程，注意要检验x是否符合题意，最后得出答案.
10．（2019八上·唐河期中）已知 ， ，则 .
【答案】-1
【知识点】代数式求值；同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵ =192， =192，
∴ =192=32×6， =192=32×6，
∴ =32， =6，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ .
【分析】由 =192， =192，推出 =192=32×6， =192=32×6，推出 =32， =6，可得 ，推出 ，由此即可解决问题.
11．（2024八下·汕头开学）计算：(-) - 2 - (π-3.14)0=
【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：3.
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，计算求解即可.
12．（2023八上·新邵期中）定义一种新运算，例如．则 ．
【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解： ， .
故答案为： .
【分析】根据新运算的计算法则可得： ，再计算负指数幂即可得到结果.
13．（2019七下·江苏月考）若am＝2，an＝3，则 ＝
【答案】12
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵am＝2，an＝3，
∴ ＝ · =( )2· =22×3=12
【分析】根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则的逆用，将代数式变形后再整体代入即可算出答案.
三、解答题
14．计算：
（1）已知am=2，an=4，ak=32，求a3m+2n-k的值．
（2）已知xm=5，xm+n=125，求x2m-n的值．
（3）已知9m÷32m+2=()n，求n的值．
（4）已知4×16m×64m=421，则(-m2)3÷(m3·m2)的值.
【答案】（1）解：∵ am=2，an=4，ak=32，
∴a3m+2n-k=a3m·a2n÷ak=(am)3·(an)2÷ak=23×42÷32=16.
（2）解：∵xm=5，xm+n=xm·xn=125，
∴xn=25，
∴x2m-n=x2m÷xn=（xm）2÷xn=52÷25=1.
（3）解： ∵9m÷32m+2=()n，
∴（32）m÷32m+2=(3-1)n，
∴32m÷32m+2=3-n，
∴32m-2m+2=32=3-n，
∴-n=2，
n=-2.
（4）解：∵ 4×16m×64m=421，
∴4×42m×43m=41+2m+3m=421，
∴1+2m+3m=21，
解得：m=4.
(-m2)3÷(m3·m2)=-m6÷m5=-m=-4.
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【分析】（1）根据幂的乘方、同底数幂的乘除将原式化为(am)3·(an)2÷ak，再代入计算即可；
（2）先求出xn的值，再利用幂的乘方及同底数幂的除法将原式变形，再代入计算即可；
（3）把原等式化为以3为底数的幂，再利用同底数幂的除法计算，根据指数相等建立方程并解之即可；
（4）把已知等式化为4为底数的幂，从而求出m的值，再利用幂的乘方、同底数幂的乘除法进行计算即可.
15．（2020八上·港南期末）阅读材料：
（ 1 ）1的任何次幂都为1；
（ 2 ）-1的奇数次幂为-1；
（ 3 ）-1的偶数次幂为1；
（ 4 ）任何不等于零的数的零次幂为1.
请问当 为何值时，代数式 的值为1.
【答案】解：①当 时，解得 ，
此时
则 ，所以
②当 时，解得： ，
此时
则 ，所以
③当 时， ，
此时
则 ，所以
综上所述，当 或 或 时，代数式 的值为1.
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【分析】根据题目给出的材料，先计算底数为1的情况；再计算底数为-1，指数为偶数的情况；最后计算指数为0的情况得出结论．
四、综合题
16．（2022七上·新城月考）已知P＝A·B-M．
（1）若A＝(-3)0，B＝，M＝|-1|，求P的值；
（2）若A＝3，B＝x，M＝5x-1，且P≤3，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出解集．
【答案】（1）解：由题意得，A＝1，B＝-2，M＝1，
∴P＝1×(-2)-1＝-3；
（2）解：由题意得，P＝A·B-M＝3x- (5x-1)＝-2x+1．
∵P≤3，
∴-2x+1≤3，
解得：x≥-1；
在数轴上表示如图所示．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；整式的加减运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质分别求出A、B、M的值，继而求出P值；
（2）先求出P＝A·B-M＝-2x+1，由P≤3得-2x+1≤3，求出解集并在数轴上表示出来即可.
17．（2021七上·南通月考）本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算.
定义： 与 （ ， ， 都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作 .
运算法则如下：
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）如果 ，且 ，求出 的值；
（3）如果 ，则 .
【答案】（1）；
（2）解：因为 ，
所以 ，
，
，
所以 ，
（3）5、3、1
【知识点】同底数幂的除法；零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（1） ， ，
故答案为： ， ；
（3）由题意知，① ，
解得： ；
② ，
解得： ；
③ 且 为整数，
解得： ；
综上，x=5，x=3，x=1.
故答案为：5或3或1.
【分析】（1）直接利用同底数幂的除法法则进行计算；
（2）由已知条件可得，据此可得x的值；
（3）根据任何一个不为0的数的0次幂都等于1可得2x+2-12=0，根据1的任何次幂都等于1可得x-2=1根据-1的奇数次幂等于-1，偶数次幂等于1可得x-2=-1且2x+2为整数，据此求解.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.1 幂的运算同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八下·汕头开学）在下列运算中，正确的是（ ）
A．x8÷x3= x5 B．（3x）2=6x2 C．x2·x3= x6 D．（x3）2= x5
2．（2023八上·新邵期中）计算的结果是（ ）
A．-9 B．9 C． D．
3．若3x=4，9y=7，则3x+2y的值为（ ）
A． B． C．28 D．196
4．计算32013 （ ）2015的结果是（ ）
A．9 B． C．2 D．
5．（2023·宁波）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·道里期末）已知，，m，n为正整数，则为（ ）.
A． B． C． D．
7．方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（2023七下·石家庄期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（ ）
结论 Ⅰ ：若n的值为5，则y的值为1；
结论Ⅱ：的值为定值；
结论Ⅲ：若，则y的值为4或1．
A．Ⅰ ，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．Ⅰ ，Ⅱ均错
二、填空题
9．（2023七下·金东期末）若，则 ．
10．（2019八上·唐河期中）已知 ， ，则 .
11．（2024八下·汕头开学）计算：(-) - 2 - (π-3.14)0=
12．（2023八上·新邵期中）定义一种新运算，例如．则 ．
13．（2019七下·江苏月考）若am＝2，an＝3，则 ＝
三、解答题
14．计算：
（1）已知am=2，an=4，ak=32，求a3m+2n-k的值．
（2）已知xm=5，xm+n=125，求x2m-n的值．
（3）已知9m÷32m+2=()n，求n的值．
（4）已知4×16m×64m=421，则(-m2)3÷(m3·m2)的值.
15．（2020八上·港南期末）阅读材料：
（ 1 ）1的任何次幂都为1；
（ 2 ）-1的奇数次幂为-1；
（ 3 ）-1的偶数次幂为1；
（ 4 ）任何不等于零的数的零次幂为1.
请问当 为何值时，代数式 的值为1.
四、综合题
16．（2022七上·新城月考）已知P＝A·B-M．
（1）若A＝(-3)0，B＝，M＝|-1|，求P的值；
（2）若A＝3，B＝x，M＝5x-1，且P≤3，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出解集．
17．（2021七上·南通月考）本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算.
定义： 与 （ ， ， 都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作 .
运算法则如下：
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）如果 ，且 ，求出 的值；
（3）如果 ，则 .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，故选项A正确；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误．
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方运算法则，逐项判断即可求出答案．
2．【答案】D
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解： =,.
故答案为:B.
【分析】本题考察负整数指数幂的运算，熟练掌握负整数指数幂的运算计算即可得到答案.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：当3x=4，9y=7时，
3x+2y
=3x×32y
=3x×9y
=4×7
=28；
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加和幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，代入计算即可
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：32013 （ ）2015
=32013 （ ）2013 （ ）2
=（3× ）2013
=1×
= ．
故选：D．
【分析】首先根据积的乘方的运算方法，求出32013 （ ）2013的值是多少；然后用它乘（ ）2，求出32013 （ ）2015的结果是多少即可．
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、x2+x不能合并，故A不符合题意；
B、x6÷x3=x3，故B不符合题意；
C、（x3）4=x12，故C不符合题意；
D、x3·x4=x7，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对B作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对C作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对D作出判断.
6．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：因为 ， ，所以 为同底数幂的乘法，所以 =×=ab，
故答案为：B。
【分析】本题考查同底数幂的乘法逆运用。同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(am)×（an）=a(m+n).
7．【答案】B
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（1）当x+3=0，x2+x﹣1≠0时，解得x=﹣3；（2）当x2+x﹣1=1时，解得x=﹣2或1．（3）当x2+x﹣1=﹣1，x+3为偶数时，解得x=﹣1
因而原方程所有整数解是﹣3，﹣2，1，﹣1共4个．
故答案为：B．
【分析】解本题关键要知道：任何非零的数0次幂为1，1的任何次幂都为1；-1的偶数次幂也为1.本题的易错点为丢解.
8．【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得：，
②-①得：2x=n-m，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∵m+n=8，
∴当n=5时，m=3，
∴，
∴结论Ⅰ正确；
∵①+②得：4x+4y=8，
∴x+y=2，
∴结论Ⅱ正确；
∴当x=1时，y=1，满足 ，
∴m-3n=0，
∴m=3n，
∴m=6，n=2，
∴当x=-2，y=4时，满足，
当x=-1时，则y=3，
∴m=-1+2×3=5，n=-1×3+2×3=3，
∴m-3n=5-3×3=-4，满足，
综上所述：当 时，y的值为4或3或1，
∴结论Ⅲ错误；
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出，再利用二元一次方程的解，零指数幂和负整数指数幂等计算求解即可。
9．【答案】2或3或-1
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：本题要分三种情况讨论：
①∵1的任何次幂都等于1
∴5-2x=1
解得：x=2
②∵-1的偶数次幂都等于1
∴5-2x=-1
解得：x=3
此时x+1=4是偶数，符合题意；
③∵任何不等于零的数的零次幂都等于1
∴x+1=0
∴x=-1
此时5-2x=5+2=7≠0，符合题意；
综上所述：x=2或3或-1.
故答案为：2或3或-1.
【分析】一个数的次幂等于1有三种情况：1的任何次幂都等于1；-1的偶数次幂都等于1；任何不等于零的数的零次幂都等于1.三种情况分别列出关于x的方程，注意要检验x是否符合题意，最后得出答案.
10．【答案】-1
【知识点】代数式求值；同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵ =192， =192，
∴ =192=32×6， =192=32×6，
∴ =32， =6，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ .
【分析】由 =192， =192，推出 =192=32×6， =192=32×6，推出 =32， =6，可得 ，推出 ，由此即可解决问题.
11．【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：3.
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，计算求解即可.
12．【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解： ， .
故答案为： .
【分析】根据新运算的计算法则可得： ，再计算负指数幂即可得到结果.
13．【答案】12
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵am＝2，an＝3，
∴ ＝ · =( )2· =22×3=12
【分析】根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则的逆用，将代数式变形后再整体代入即可算出答案.
14．【答案】（1）解：∵ am=2，an=4，ak=32，
∴a3m+2n-k=a3m·a2n÷ak=(am)3·(an)2÷ak=23×42÷32=16.
（2）解：∵xm=5，xm+n=xm·xn=125，
∴xn=25，
∴x2m-n=x2m÷xn=（xm）2÷xn=52÷25=1.
（3）解： ∵9m÷32m+2=()n，
∴（32）m÷32m+2=(3-1)n，
∴32m÷32m+2=3-n，
∴32m-2m+2=32=3-n，
∴-n=2，
n=-2.
（4）解：∵ 4×16m×64m=421，
∴4×42m×43m=41+2m+3m=421，
∴1+2m+3m=21，
解得：m=4.
(-m2)3÷(m3·m2)=-m6÷m5=-m=-4.
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【分析】（1）根据幂的乘方、同底数幂的乘除将原式化为(am)3·(an)2÷ak，再代入计算即可；
（2）先求出xn的值，再利用幂的乘方及同底数幂的除法将原式变形，再代入计算即可；
（3）把原等式化为以3为底数的幂，再利用同底数幂的除法计算，根据指数相等建立方程并解之即可；
（4）把已知等式化为4为底数的幂，从而求出m的值，再利用幂的乘方、同底数幂的乘除法进行计算即可.
15．【答案】解：①当 时，解得 ，
此时
则 ，所以
②当 时，解得： ，
此时
则 ，所以
③当 时， ，
此时
则 ，所以
综上所述，当 或 或 时，代数式 的值为1.
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【分析】根据题目给出的材料，先计算底数为1的情况；再计算底数为-1，指数为偶数的情况；最后计算指数为0的情况得出结论．
16．【答案】（1）解：由题意得，A＝1，B＝-2，M＝1，
∴P＝1×(-2)-1＝-3；
（2）解：由题意得，P＝A·B-M＝3x- (5x-1)＝-2x+1．
∵P≤3，
∴-2x+1≤3，
解得：x≥-1；
在数轴上表示如图所示．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；整式的加减运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质分别求出A、B、M的值，继而求出P值；
（2）先求出P＝A·B-M＝-2x+1，由P≤3得-2x+1≤3，求出解集并在数轴上表示出来即可.
17．【答案】（1）；
（2）解：因为 ，
所以 ，
，
，
所以 ，
（3）5、3、1
【知识点】同底数幂的除法；零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（1） ， ，
故答案为： ， ；
（3）由题意知，① ，
解得： ；
② ，
解得： ；
③ 且 为整数，
解得： ；
综上，x=5，x=3，x=1.
故答案为：5或3或1.
【分析】（1）直接利用同底数幂的除法法则进行计算；
（2）由已知条件可得，据此可得x的值；
（3）根据任何一个不为0的数的0次幂都等于1可得2x+2-12=0，根据1的任何次幂都等于1可得x-2=1根据-1的奇数次幂等于-1，偶数次幂等于1可得x-2=-1且2x+2为整数，据此求解.
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