2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.2 整式乘法同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024八上·播州期末）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算中，不正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．若 恒成立，则m，n 的值分别为 （ ）
A．m=5，n=6 B．m=1，n=-6 C．m=1，n=6 D．m=5，n= -6
4．（2017八上·梁子湖期末）若x+m与2﹣x的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．1
5．（2019七下·合浦期中）已知： ，则p，q的值分别为（ ）
A．5，3 B．5， 3 C． 5，3 D． 5， 3
6．（2024八上·德惠期末）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□.□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．1 B． C． D．
7． 设A=(x-3)(x-7)，B=(x-2)(x-8)，则A，B的大小关系为 （ ）
A．A>B B．A8．（2024八上·遵义期末）若展开后不含的一次项，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024八上·镇赉县期末） ．
10．下列算式①（2 ×3 ） ；②（2×6 ）×（3×6 ）；③6 +6 ；④（2 ） ×（3 ） 中，结果等于6 的有 。
11．（2024八上·松原期末）如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为 1 米，设边的长为米，则图中空白区域的面积为 ．
12．已知单项式9am+1bn+1与-2a2m-1b2n-1的积与5a3b6是同类项，则mn= .
13．（2023八上·朔州月考）如图，在一个长为，宽为的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为n的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为 ．（需化简）
三、解答题
14．甲、乙二人共同计算一道整式乘法：(2x+a)(3x+b)，由于甲抄错为(2x-a)(3x+b)，得.到的结果为 ；而乙抄错为(2x +a)(x+b)，得到的结果为
（1）求式子中a，b的值.
（2）请你计算出这道整式乘法的正确答案.
15．一个长方形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)，如果将长方形的长和宽各增加2cm.
（1）新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少
（2）如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求(a-2)(b-2)的值.
四、综合题
16．（2023七下·宣化期末）
（1）你能求出（a-1）（+a+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值．
（a-1）（a+1）＝ ；
（a-1）（+a+1）＝ ；
（a-1）（+a+1）＝ ；
由此我们可以得到：（a-1）（+…+a+1）＝ ．
（2）利用（1）的结论，完成下面的计算：
+2+1．
17．（2023七下·武功期中）学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么类比多项式除法也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为A）除以 的商为 ，余式为 ，那么这个多项式是多少？他通过类比小学除法的运算法则：被除数＝除数×商＋余数，推理出多项式除法法则：被除式＝除式×商＋余式．
请根据以上材料，解决下列问题：
（1）请你帮小明求出多项式A；
（2）小明继续探索，如果一个多项式除以3x的商为 ，余式为 ，请你根据以上法则求出该多项式．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：a(a-1)=a2-a.
故答案为：A.
【分析】根据根据单项式乘以多项式的法则进行计算即可求解.
2．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：A、(x-2)(2x+3)=2x2+3x-4x-6=2x2-x-6，故此选项计算正确，不符合题意；
B、(2x-1)(2x+1)=4x2-1，故此选项计算正确，不符合题意；
C、(a+2b)(2x-y)=2ax+4bx-ay-2by，故此选项计算正确，不符合题意；
D、(3x-2)(x+4)=3x2+12x-2x-8=3x2+10x-8，故此选项计算错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘以多项式的法则：多形式乘以多项式，用一个多形式的每一项去乘以另一个多形式的每一项，再把所得的积相加，进行计算即逐项判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵(y+3)(y-2)=y2-2y+3y-6=y2+y-6=y2+my+n，
∴m=1，n=-6.
故答案为：B.
【分析】由多项式乘以多项式，等于用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，将已知等式的左边进行计算后与右边进行比较即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意得：
（x+m）（2﹣x）=2x﹣x2+2m﹣mx，
∵x+m与2﹣x的乘积中不含x的一次项，
∴m=2；
故选B．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可．
5．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】由于 =2x2-6x+x-3=2 x2-5x-3= ，
则p=-5，q=-3，
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘以多项式法则，可得 =2 x2-5x-3，利用等式性质可得出p、q的值.
6．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意左边式子曲括号-3xy（4y-2x-1）=-12xy2+6x2y+3xy，右边式子=-12xy2+6x2y+□，□内应写3xy。
故答案为：B.
【分析】根据题意左边式子为单项式乘多项式，根据相乘法则m（a+b+c）=am+bm+cm，进行计算即可。
7．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： ∵A=(x-3)(x-7)=x2-7x-3x+21=x2-10x+21， B=(x-2)(x-8)=x2-8x-2x+16=x2-10x+16，
∴A-B=x2-10x+21-(x2-10x+16)=x2-10x+21-x2+10x-16=5＞0，
∴A＞B.
故答案为：A.
【分析】根据多项式乘以多项式的法则：多形式乘以多项式，用一个多形式的每一项去乘以另一个多形式的每一项，再把所得的积相加，分别算出A、B的值，然后利用整式减法法则求出A-B的值，进而由A-B＞0可得A＞B.
8．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： ，
∵展开后不含的一次项，
∴3p+q=0，
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式法则计算 ，再根据展开后不含的一次项，求出3p+q=0即可作答。
9．【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
10．【答案】①②④
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：①（22×32）3＝[(2×3)2]3=（62）3＝66；
②（2×62）×（3×63）＝6×65＝66；
③63+63＝2×63；
④（22）3×（33）2＝26×36＝(2×3）6=66．
所以结果等于66的有①②④．
故答案为：①②④．
【分析】根据积的乘方法则的逆用及幂的乘方法则可计算①；根据单项式乘以单项式法则及同底数幂的乘法法则可计算②；根据合并同类项法则可计算③；根据幂的乘方及积的乘方运算法则的逆用可计算④.
11．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：将4个空白区域拼接成一个矩形，则矩形的长为2x-1，宽为x-1，
∴空白区域的面积=(2x-1)( x-1)=
故答案为：.
【分析】将4个空白区域拼接成一个矩形，则矩形的长为2x-1，宽为x-1，根据矩形面积公式计算即可.
12．【答案】2
【知识点】单项式乘单项式；同类项的概念
【解析】【解答】解：解：9am+1bn+1·（-2a2m-1b2n-1）=-18am+1+2m-1bn+1+2n-1=-18a3mb3n，
根据题意得-18a3mb3n与5a3b6是同类项，则
3m=3，3n=6，
解得：m=1，n=2，
所以mn=1×2=2；
故答案为：2.
【分析】先根据单项式与单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法运算法则计算求出积；根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同可求出m、n的值，即可求解.
13．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】由题意可得阴影部分的面积为
化简得
故答案为： .
【分析】利用阴影部分的面积=长方形的面积减去4个小正方形的面积列出式子，化简式子即可求解.
14．【答案】（1）解：∵甲得到的算式为：(2x-a)(3x+b)=6x2+2bx-3ax-ab=6x2+(2b-3a)x-ab=6x2+11x-10，
∴2b-3a=11，-ab=10，
∵乙得到的算式为： (2x+a)(x+b)=2x2+2bx+ax+ab=2x2+(a+2b)x+ab=2x2-9x+10，
∴a+2b=-9，ab=10，
∴
解得
∴a的值为-5，b的值为-2；
（2）解：将a、b的值代入(2x+a)(3x+b)得(2x-5)(3x-2)=6x2-4x-15x+10=6x2-19x+10.
【知识点】多项式乘多项式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据多项式乘以多形式法则算出甲错误式子的积，通过比较可得2b-3a=11，-ab=10，同理根据多项式乘以多形式法则算出乙错误式子的积，通过比较可得a+2b=-9，ab=10，进而可得方程组，求解即可得出a、b的值；
（2）将将a、b的值代入(2x+a)(3x+b)，可得正确的式子为(2x-5)(3x-2)，最后再根据多项式乘以多项式法则计算可得正确结果.
15．【答案】（1）解：由题意得增加的面积为：，
（2）解：由题意得：
∴
∴
∴.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据题意得到增加的面积为：，利用多项式乘以多项式和整式的加减即可求解；
（2）根据题意得到：，化简得到 进而即可求解.
16．【答案】（1）；；；
（2）解：+2+1
=（2-1）×（+2+1）
=
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据多项式乘法的规律填空即可求解；
（2）根据（1）的结论，原式乘以（2-1），进而即可求解．
17．【答案】（1）解：由题意得， ；
（2）解：由题意可得该多项式为：
．
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）由题意已知除式，商和余式，根据多项式除法法则“被除式=除式×商＋余式”列式计算即可；
（2）题二解答方法与题一相同即：根据多项式除法法则“被除式=除式×商＋余式”列式计算即可.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.2 整式乘法同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024八上·播州期末）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：a(a-1)=a2-a.
故答案为：A.
【分析】根据根据单项式乘以多项式的法则进行计算即可求解.
2．下列计算中，不正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：A、(x-2)(2x+3)=2x2+3x-4x-6=2x2-x-6，故此选项计算正确，不符合题意；
B、(2x-1)(2x+1)=4x2-1，故此选项计算正确，不符合题意；
C、(a+2b)(2x-y)=2ax+4bx-ay-2by，故此选项计算正确，不符合题意；
D、(3x-2)(x+4)=3x2+12x-2x-8=3x2+10x-8，故此选项计算错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘以多项式的法则：多形式乘以多项式，用一个多形式的每一项去乘以另一个多形式的每一项，再把所得的积相加，进行计算即逐项判断得出答案.
3．若 恒成立，则m，n 的值分别为 （ ）
A．m=5，n=6 B．m=1，n=-6 C．m=1，n=6 D．m=5，n= -6
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵(y+3)(y-2)=y2-2y+3y-6=y2+y-6=y2+my+n，
∴m=1，n=-6.
故答案为：B.
【分析】由多项式乘以多项式，等于用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，将已知等式的左边进行计算后与右边进行比较即可得出答案.
4．（2017八上·梁子湖期末）若x+m与2﹣x的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．1
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意得：
（x+m）（2﹣x）=2x﹣x2+2m﹣mx，
∵x+m与2﹣x的乘积中不含x的一次项，
∴m=2；
故选B．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可．
5．（2019七下·合浦期中）已知： ，则p，q的值分别为（ ）
A．5，3 B．5， 3 C． 5，3 D． 5， 3
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】由于 =2x2-6x+x-3=2 x2-5x-3= ，
则p=-5，q=-3，
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘以多项式法则，可得 =2 x2-5x-3，利用等式性质可得出p、q的值.
6．（2024八上·德惠期末）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□.□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意左边式子曲括号-3xy（4y-2x-1）=-12xy2+6x2y+3xy，右边式子=-12xy2+6x2y+□，□内应写3xy。
故答案为：B.
【分析】根据题意左边式子为单项式乘多项式，根据相乘法则m（a+b+c）=am+bm+cm，进行计算即可。
7． 设A=(x-3)(x-7)，B=(x-2)(x-8)，则A，B的大小关系为 （ ）
A．A>B B．A【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： ∵A=(x-3)(x-7)=x2-7x-3x+21=x2-10x+21， B=(x-2)(x-8)=x2-8x-2x+16=x2-10x+16，
∴A-B=x2-10x+21-(x2-10x+16)=x2-10x+21-x2+10x-16=5＞0，
∴A＞B.
故答案为：A.
【分析】根据多项式乘以多项式的法则：多形式乘以多项式，用一个多形式的每一项去乘以另一个多形式的每一项，再把所得的积相加，分别算出A、B的值，然后利用整式减法法则求出A-B的值，进而由A-B＞0可得A＞B.
8．（2024八上·遵义期末）若展开后不含的一次项，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： ，
∵展开后不含的一次项，
∴3p+q=0，
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式法则计算 ，再根据展开后不含的一次项，求出3p+q=0即可作答。
二、填空题
9．（2024八上·镇赉县期末） ．
【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
10．下列算式①（2 ×3 ） ；②（2×6 ）×（3×6 ）；③6 +6 ；④（2 ） ×（3 ） 中，结果等于6 的有 。
【答案】①②④
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：①（22×32）3＝[(2×3)2]3=（62）3＝66；
②（2×62）×（3×63）＝6×65＝66；
③63+63＝2×63；
④（22）3×（33）2＝26×36＝(2×3）6=66．
所以结果等于66的有①②④．
故答案为：①②④．
【分析】根据积的乘方法则的逆用及幂的乘方法则可计算①；根据单项式乘以单项式法则及同底数幂的乘法法则可计算②；根据合并同类项法则可计算③；根据幂的乘方及积的乘方运算法则的逆用可计算④.
11．（2024八上·松原期末）如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为 1 米，设边的长为米，则图中空白区域的面积为 ．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：将4个空白区域拼接成一个矩形，则矩形的长为2x-1，宽为x-1，
∴空白区域的面积=(2x-1)( x-1)=
故答案为：.
【分析】将4个空白区域拼接成一个矩形，则矩形的长为2x-1，宽为x-1，根据矩形面积公式计算即可.
12．已知单项式9am+1bn+1与-2a2m-1b2n-1的积与5a3b6是同类项，则mn= .
【答案】2
【知识点】单项式乘单项式；同类项的概念
【解析】【解答】解：解：9am+1bn+1·（-2a2m-1b2n-1）=-18am+1+2m-1bn+1+2n-1=-18a3mb3n，
根据题意得-18a3mb3n与5a3b6是同类项，则
3m=3，3n=6，
解得：m=1，n=2，
所以mn=1×2=2；
故答案为：2.
【分析】先根据单项式与单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法运算法则计算求出积；根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同可求出m、n的值，即可求解.
13．（2023八上·朔州月考）如图，在一个长为，宽为的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为n的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为 ．（需化简）
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】由题意可得阴影部分的面积为
化简得
故答案为： .
【分析】利用阴影部分的面积=长方形的面积减去4个小正方形的面积列出式子，化简式子即可求解.
三、解答题
14．甲、乙二人共同计算一道整式乘法：(2x+a)(3x+b)，由于甲抄错为(2x-a)(3x+b)，得.到的结果为 ；而乙抄错为(2x +a)(x+b)，得到的结果为
（1）求式子中a，b的值.
（2）请你计算出这道整式乘法的正确答案.
【答案】（1）解：∵甲得到的算式为：(2x-a)(3x+b)=6x2+2bx-3ax-ab=6x2+(2b-3a)x-ab=6x2+11x-10，
∴2b-3a=11，-ab=10，
∵乙得到的算式为： (2x+a)(x+b)=2x2+2bx+ax+ab=2x2+(a+2b)x+ab=2x2-9x+10，
∴a+2b=-9，ab=10，
∴
解得
∴a的值为-5，b的值为-2；
（2）解：将a、b的值代入(2x+a)(3x+b)得(2x-5)(3x-2)=6x2-4x-15x+10=6x2-19x+10.
【知识点】多项式乘多项式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据多项式乘以多形式法则算出甲错误式子的积，通过比较可得2b-3a=11，-ab=10，同理根据多项式乘以多形式法则算出乙错误式子的积，通过比较可得a+2b=-9，ab=10，进而可得方程组，求解即可得出a、b的值；
（2）将将a、b的值代入(2x+a)(3x+b)，可得正确的式子为(2x-5)(3x-2)，最后再根据多项式乘以多项式法则计算可得正确结果.
15．一个长方形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)，如果将长方形的长和宽各增加2cm.
（1）新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少
（2）如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求(a-2)(b-2)的值.
【答案】（1）解：由题意得增加的面积为：，
（2）解：由题意得：
∴
∴
∴.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据题意得到增加的面积为：，利用多项式乘以多项式和整式的加减即可求解；
（2）根据题意得到：，化简得到 进而即可求解.
四、综合题
16．（2023七下·宣化期末）
（1）你能求出（a-1）（+a+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值．
（a-1）（a+1）＝ ；
（a-1）（+a+1）＝ ；
（a-1）（+a+1）＝ ；
由此我们可以得到：（a-1）（+…+a+1）＝ ．
（2）利用（1）的结论，完成下面的计算：
+2+1．
【答案】（1）；；；
（2）解：+2+1
=（2-1）×（+2+1）
=
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据多项式乘法的规律填空即可求解；
（2）根据（1）的结论，原式乘以（2-1），进而即可求解．
17．（2023七下·武功期中）学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么类比多项式除法也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为A）除以 的商为 ，余式为 ，那么这个多项式是多少？他通过类比小学除法的运算法则：被除数＝除数×商＋余数，推理出多项式除法法则：被除式＝除式×商＋余式．
请根据以上材料，解决下列问题：
（1）请你帮小明求出多项式A；
（2）小明继续探索，如果一个多项式除以3x的商为 ，余式为 ，请你根据以上法则求出该多项式．
【答案】（1）解：由题意得， ；
（2）解：由题意可得该多项式为：
．
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）由题意已知除式，商和余式，根据多项式除法法则“被除式=除式×商＋余式”列式计算即可；
（2）题二解答方法与题一相同即：根据多项式除法法则“被除式=除式×商＋余式”列式计算即可.
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