2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.2 整式乘法同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八上·黄石港期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若则常数m 的值为（ ）
A．3 B．2 C．-3 D．-2
3．通过计算和比较图1，2 中阴影部分的面积，可以验证的等式为 （ ）
A．a(b-x)=ab-ax B．b(a-x)=ab-bx
C．(a-x)(b-x)=ab-ax-bx D．(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x
4．若关于x的多项式展开、合并后不含x 项，则a的值是（ ）
A．0 B． C．2 D．-2
5．已知多项式ax+b与的乘积展开式中不含 x的一次项，且常数项为4，则 的值为（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
6．如图，现有正方形卡片 A类，B类和长方形卡片C 类若干张，如果要拼一个长为（a+3b）、宽为（a+2b）的大长方形，那么需要C类卡片 （ ）
A．3张 B．4张 C．5张 D．6张
7．若把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1）·(x-3)，则a，b的值分别为（ ）
A．2，3 B．-2，-3 C．-2，3 D．2，-3
8．（2018七上·下陆期中）已知a，b，c为非零的实数，则 的可能值的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
9．（2024八上·华容期末）计算： ．
10．（2024九上·都江堰期末）若，则 ．
11．已知一个长方形的面积为4x +2x，宽为2x，则它的长为 .
12．（2020八上·阳城期末）现有A、B、C三种型号的地板砖，其规格如图所示，若用这三种地板砖铺设一个长为 ，宽为 的长方形地面，则需要B种地砖 块．
13．（2020七下·昌平期末）观察、归纳：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
请你根据以上等式的规律，完成下列问题：
⑴（x﹣1）（xn+…+x2+x+1）＝ ﹣1；
⑵计算：1+2+22+…+22019＝ ．
三、解答题
14．（2024八上·浏阳期末）小马和小虎两人共同计算一道整式乘法题：，由于小马抄错了的符号，得到的结果为；由于小虎漏抄了第一个多项式中的系数，得到的结果为．
（1）求出，的值；
（2）请你计算出这道整式乘法题的正确结果．
15．（2023八上·东西湖月考）如图1，长方形的两边长分别为m＋3，m＋13；如图2的长方形的两边长分别为m＋5，m＋7．（其中m为正整数）
（1）写出并计算两个长方形的面积，，并比较，的大小；
（2）现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由；
（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于、之间（不包括、）且面积为整数，这样的整数有且只有19个，求m的值
四、综合题
16．（2023七下·威海期中）对于一些较为复杂的问题，可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，再解决复杂问题．
（1）【简单问题】化简
；
（2） ；
（3） ；
（4）【复杂问题】化简
；
（5）【方法应用】计算
．
17．（2023七下·平谷期末） 通过一次数学活动我们发现，如果两个两位数的十位数字相同，个位数字的和为10，那么这样的两位数相乘会有如下规律：
这组计算蕴含着简算规律：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，积的末两位数是个位数字的乘积，前几位是十位数字与十位数字加一的乘积．
（1） 若有两个两位数的十位数字相同，个位数字的和为10的两个数的乘积为4221，请你利用小组发现的规律写出这两个数 × ；
（2） 若设这两个两位数相同的十位数字为a，个位数字分别设为b、d，请你用学过的知识证明十位数字相同，个位数字的和为10的这样的两位数的乘积的一般规律．
证明：
，
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x2+x2=2x2，A选项运算错误，A不符合题意；
B、3a3·2a2=6a5，B选项运算错误，B不符合题意；
C、2x4·（-3x4）=-6x8，C选项运算错误，C不符合题意；
D、（-a2）3=-a6，D选项运算正确，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘、积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘逐项判断即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：已知等式整理得：（x﹣1）（x+m）＝x2+（m﹣1）x﹣m＝x2+2x﹣3，
∴m=3
故答案为：A.
【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件比较系数即可求出m的值．
3．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：图1中阴影部分的面积为：(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2；
图2中阴影部分的面积为：ab-ax-bx+x2，
∴(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2.
故答案为：D.
【分析】用含x的式子表示出图1中阴影矩形的长与宽，进而根据矩形面积计算公式列出式子表示出阴影部分的面积，进而根据多项式乘以多项式法则展开括号；图2中，根据阴影部分的面积=整个大矩形的面积-宽为x，长为a、b的两条道路的面积+长为x的正方形的面积，列出式子，从而比较即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∵展开之后不含有x2项，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】利用多项式乘以多项式的计算法则计算，从而找到不含有x2项即可.
5．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵(ax+b)(2x2-x+2)=2ax3-ax2+2ax+2bx2-bx+2b=2ax3+(2b-a)x2+(2a-b)x+2b，
又∵ax+b与2x2-x+2 的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为4，
∴2a-b=0，2b=4，
∴a=1，b=2，
∴ab=12=1.
故答案为：C.
【分析】 先根据多项式与多项式的乘法法则求出ax+b与2x2-x+2 的乘积，再根据ax+b与2x2-x+2 的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为4，可得2a-b=0，2b=4，求解得出a、b的值，进而根据有理数的乘方运算法则即可计算.
6．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（a+3b）（a+2b）=a2+2ab+3ab+6b2=a2+5ab+6b2，
∴需要A类卡片1张、B类卡片6张、C类卡片5张，
故答案为：C.
【分析】根据多项式与多项式的运算法则求出长方形的面积，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵
又∵ (x+1)(x-3)=x2+ax+b，
∴
故答案为：B.
，【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则计算(x+1)(x-3)后与x2+ax+b进行比较即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；单项式乘单项式；单项式除以单项式；有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=1+1+1+1=4；
②a、b、c中有两个正数时，设为a＞0，b＞0，c＜0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=1+1﹣1﹣1=0；
设为a＞0，b＜0，c＞0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=1﹣1+1﹣1=0；
设为a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=﹣1﹣1﹣1+1=﹣2；
③a、b、c有一个正数时，设为a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=1﹣1﹣1+1=0；
设为a＜0，b＞0，c＜0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=﹣1﹣1+1﹣1=﹣2；
设为a＜0，b＜0，c＞0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=﹣1+1﹣1﹣1=﹣2；
④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，则ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=﹣1+1+1+1=2．
综上所述： 的可能值的个数为4．
故答案为：A．
【分析】需要分类讨论：①a、b、c三个数都是正数时，②a、b、c中有两个正数时，设为a＞0，b＞0，c＜0，设为a＞0，b＜0，c＞0，设为a＜0，b＞0，c＞0，③a、b、c有一个正数时，设为a＞0，b＜0，c＜0，设为a＜0，b＞0，c＜0，设为a＜0，b＜0，c＞0，④a、b、c三个数都是负数时，分别根据有理数的乘法法则，及绝对值的意义去绝对值符号，再约分即可一一算出答案。
9．【答案】
【知识点】同底数幂的除法；单项式除以单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：原式=，
故答案为：
【分析】根据积的乘方法则，幂的乘方法则，同底数幂的除法法则计算即可.
10．【答案】11
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】∵，，
∴a=5，b=6，
∴，
故答案为：11.
【分析】利用多项式乘多项式的计算方法可得，再利用待定系数法求出a、b的值，最后将其代入a+b计算即可.
11．【答案】2x+1
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：长方形的长为：
故答案为：.
【分析】根据长方形的面积公式得到长等于面积除以宽，即可求解.
12．【答案】5
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意可得长方形地面的面积为 ，
则需要B种地砖5块，
故答案为：5．
【分析】利用多项式乘多项式的计算方法求出，因为A的面积为，B的面积为ab，C的面积为，即可得到需要5块B种地砖。
13．【答案】xn+1；22020﹣1
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
根据以上等式的规律可得：（1）（x﹣1）（xn+…+ x2+x+1）＝xn+1﹣1；（2）原式＝（2﹣1）（1+2+22+…+22019）＝22020﹣1，
故答案为：xn+1，22020﹣1．
【分析】（1）由前3个式子归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）在所求的式子的左边乘以(2－1)，再利用得出的规律计算即可求出值．
14．【答案】（1）解：
由于小马抄错了的符号，得到的结果为：
；
①，
小虎漏抄了第一个多项式中的系数，
得到的结果为，
②，
由①②解得；
故，；
（2）解：由（1）得
；
故这道整式乘法题的正确结果为．
【知识点】多项式乘多项式；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）根据 小马抄错了的符号，可以进行： ，得出结果为 ：，进而可得出 ①；然后再根据小虎漏抄了第一个多项式中的系数，得到的结果为 ，可得出 ②， 联立①②，解方程组，即可得出 ，；
（2）把，代入原式，然后再正确进行计算即可。
15．【答案】（1）解：∵，
，
∴，
∴；
（2）解：该正方形的面积与长方形的面积的差是一个常数，理由如下：
∵一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等，
∴正方形的边长为m＋8，
∴正方形的面积，
∴
＝25，
∴该正方形的面积与长方形的面积的差是一个常数；
（3）解：由（1）得，，
∴当19＜4m＋4≤20时，
∴，
∵m为正整数，
m＝4.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式，计算可得 S1，S2 ，再利用作差法比大小，即可得解；
（2）由题意得，正方形的边长为m＋8，根据正方形面积公式计算，最后求出两个图形的面积差可得答案；
（3）由（1）得，，由题意得19＜4m＋4≤20，计算求解即可．
16．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）解：原式
．
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）（x+1）（x-1）= ；
故答案为：；
（2） x3+x2+x-x2-x-1=x3-1；
故答案为：x3-1；
（3） x4+x3+x2+x-x3-x2-x-1=x4-1；
故答案为：x4-1；
（4） ；
故答案为：；
【分析】（1）利用平方差公式计算即可；
（2）利用多项式乘多项式将原式展开，再合并即可；
（3）利用多项式乘多项式将原式展开，再合并即可；
（4）利用（1）（2）（3）总结规律，写出结果即可；
（5）将原式变形为 ，利用规律进行计算即可.
17．【答案】（1）63；67
（2）10；100a (a+1) +bd
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1） 由题意可得：63x67=6 ×(6+1) x100+3x7=4221，
∴4221=63x67；
故答案为：63x67；
（2）= (10a+b)(10a+d)
=100a2+10ab+10ad+bd
=100a2+10a (b+d) +bd，
∵b+d=10，
∴=100a2+100a+bd=100a (a+1) +bd；
故答案为：10；100a (a+1) +bd.
【分析】（1）根据所给的规律计算求解即可；
（2）根据b+d=10，利用多项式乘多项式法则计算求解即可。
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.2 整式乘法同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八上·黄石港期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x2+x2=2x2，A选项运算错误，A不符合题意；
B、3a3·2a2=6a5，B选项运算错误，B不符合题意；
C、2x4·（-3x4）=-6x8，C选项运算错误，C不符合题意；
D、（-a2）3=-a6，D选项运算正确，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘、积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘逐项判断即可得出答案.
2．若则常数m 的值为（ ）
A．3 B．2 C．-3 D．-2
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：已知等式整理得：（x﹣1）（x+m）＝x2+（m﹣1）x﹣m＝x2+2x﹣3，
∴m=3
故答案为：A.
【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件比较系数即可求出m的值．
3．通过计算和比较图1，2 中阴影部分的面积，可以验证的等式为 （ ）
A．a(b-x)=ab-ax B．b(a-x)=ab-bx
C．(a-x)(b-x)=ab-ax-bx D．(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：图1中阴影部分的面积为：(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2；
图2中阴影部分的面积为：ab-ax-bx+x2，
∴(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2.
故答案为：D.
【分析】用含x的式子表示出图1中阴影矩形的长与宽，进而根据矩形面积计算公式列出式子表示出阴影部分的面积，进而根据多项式乘以多项式法则展开括号；图2中，根据阴影部分的面积=整个大矩形的面积-宽为x，长为a、b的两条道路的面积+长为x的正方形的面积，列出式子，从而比较即可得出答案.
4．若关于x的多项式展开、合并后不含x 项，则a的值是（ ）
A．0 B． C．2 D．-2
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∵展开之后不含有x2项，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】利用多项式乘以多项式的计算法则计算，从而找到不含有x2项即可.
5．已知多项式ax+b与的乘积展开式中不含 x的一次项，且常数项为4，则 的值为（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵(ax+b)(2x2-x+2)=2ax3-ax2+2ax+2bx2-bx+2b=2ax3+(2b-a)x2+(2a-b)x+2b，
又∵ax+b与2x2-x+2 的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为4，
∴2a-b=0，2b=4，
∴a=1，b=2，
∴ab=12=1.
故答案为：C.
【分析】 先根据多项式与多项式的乘法法则求出ax+b与2x2-x+2 的乘积，再根据ax+b与2x2-x+2 的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为4，可得2a-b=0，2b=4，求解得出a、b的值，进而根据有理数的乘方运算法则即可计算.
6．如图，现有正方形卡片 A类，B类和长方形卡片C 类若干张，如果要拼一个长为（a+3b）、宽为（a+2b）的大长方形，那么需要C类卡片 （ ）
A．3张 B．4张 C．5张 D．6张
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（a+3b）（a+2b）=a2+2ab+3ab+6b2=a2+5ab+6b2，
∴需要A类卡片1张、B类卡片6张、C类卡片5张，
故答案为：C.
【分析】根据多项式与多项式的运算法则求出长方形的面积，即可求解.
7．若把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1）·(x-3)，则a，b的值分别为（ ）
A．2，3 B．-2，-3 C．-2，3 D．2，-3
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵
又∵ (x+1)(x-3)=x2+ax+b，
∴
故答案为：B.
，【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则计算(x+1)(x-3)后与x2+ax+b进行比较即可得出答案.
8．（2018七上·下陆期中）已知a，b，c为非零的实数，则 的可能值的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；单项式乘单项式；单项式除以单项式；有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=1+1+1+1=4；
②a、b、c中有两个正数时，设为a＞0，b＞0，c＜0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=1+1﹣1﹣1=0；
设为a＞0，b＜0，c＞0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=1﹣1+1﹣1=0；
设为a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=﹣1﹣1﹣1+1=﹣2；
③a、b、c有一个正数时，设为a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=1﹣1﹣1+1=0；
设为a＜0，b＞0，c＜0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=﹣1﹣1+1﹣1=﹣2；
设为a＜0，b＜0，c＞0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=﹣1+1﹣1﹣1=﹣2；
④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，则ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=﹣1+1+1+1=2．
综上所述： 的可能值的个数为4．
故答案为：A．
【分析】需要分类讨论：①a、b、c三个数都是正数时，②a、b、c中有两个正数时，设为a＞0，b＞0，c＜0，设为a＞0，b＜0，c＞0，设为a＜0，b＞0，c＞0，③a、b、c有一个正数时，设为a＞0，b＜0，c＜0，设为a＜0，b＞0，c＜0，设为a＜0，b＜0，c＞0，④a、b、c三个数都是负数时，分别根据有理数的乘法法则，及绝对值的意义去绝对值符号，再约分即可一一算出答案。
二、填空题
9．（2024八上·华容期末）计算： ．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法；单项式除以单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：原式=，
故答案为：
【分析】根据积的乘方法则，幂的乘方法则，同底数幂的除法法则计算即可.
10．（2024九上·都江堰期末）若，则 ．
【答案】11
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】∵，，
∴a=5，b=6，
∴，
故答案为：11.
【分析】利用多项式乘多项式的计算方法可得，再利用待定系数法求出a、b的值，最后将其代入a+b计算即可.
11．已知一个长方形的面积为4x +2x，宽为2x，则它的长为 .
【答案】2x+1
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：长方形的长为：
故答案为：.
【分析】根据长方形的面积公式得到长等于面积除以宽，即可求解.
12．（2020八上·阳城期末）现有A、B、C三种型号的地板砖，其规格如图所示，若用这三种地板砖铺设一个长为 ，宽为 的长方形地面，则需要B种地砖 块．
【答案】5
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意可得长方形地面的面积为 ，
则需要B种地砖5块，
故答案为：5．
【分析】利用多项式乘多项式的计算方法求出，因为A的面积为，B的面积为ab，C的面积为，即可得到需要5块B种地砖。
13．（2020七下·昌平期末）观察、归纳：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
请你根据以上等式的规律，完成下列问题：
⑴（x﹣1）（xn+…+x2+x+1）＝ ﹣1；
⑵计算：1+2+22+…+22019＝ ．
【答案】xn+1；22020﹣1
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
根据以上等式的规律可得：（1）（x﹣1）（xn+…+ x2+x+1）＝xn+1﹣1；（2）原式＝（2﹣1）（1+2+22+…+22019）＝22020﹣1，
故答案为：xn+1，22020﹣1．
【分析】（1）由前3个式子归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）在所求的式子的左边乘以(2－1)，再利用得出的规律计算即可求出值．
三、解答题
14．（2024八上·浏阳期末）小马和小虎两人共同计算一道整式乘法题：，由于小马抄错了的符号，得到的结果为；由于小虎漏抄了第一个多项式中的系数，得到的结果为．
（1）求出，的值；
（2）请你计算出这道整式乘法题的正确结果．
【答案】（1）解：
由于小马抄错了的符号，得到的结果为：
；
①，
小虎漏抄了第一个多项式中的系数，
得到的结果为，
②，
由①②解得；
故，；
（2）解：由（1）得
；
故这道整式乘法题的正确结果为．
【知识点】多项式乘多项式；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）根据 小马抄错了的符号，可以进行： ，得出结果为 ：，进而可得出 ①；然后再根据小虎漏抄了第一个多项式中的系数，得到的结果为 ，可得出 ②， 联立①②，解方程组，即可得出 ，；
（2）把，代入原式，然后再正确进行计算即可。
15．（2023八上·东西湖月考）如图1，长方形的两边长分别为m＋3，m＋13；如图2的长方形的两边长分别为m＋5，m＋7．（其中m为正整数）
（1）写出并计算两个长方形的面积，，并比较，的大小；
（2）现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由；
（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于、之间（不包括、）且面积为整数，这样的整数有且只有19个，求m的值
【答案】（1）解：∵，
，
∴，
∴；
（2）解：该正方形的面积与长方形的面积的差是一个常数，理由如下：
∵一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等，
∴正方形的边长为m＋8，
∴正方形的面积，
∴
＝25，
∴该正方形的面积与长方形的面积的差是一个常数；
（3）解：由（1）得，，
∴当19＜4m＋4≤20时，
∴，
∵m为正整数，
m＝4.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式，计算可得 S1，S2 ，再利用作差法比大小，即可得解；
（2）由题意得，正方形的边长为m＋8，根据正方形面积公式计算，最后求出两个图形的面积差可得答案；
（3）由（1）得，，由题意得19＜4m＋4≤20，计算求解即可．
四、综合题
16．（2023七下·威海期中）对于一些较为复杂的问题，可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，再解决复杂问题．
（1）【简单问题】化简
；
（2） ；
（3） ；
（4）【复杂问题】化简
；
（5）【方法应用】计算
．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）解：原式
．
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）（x+1）（x-1）= ；
故答案为：；
（2） x3+x2+x-x2-x-1=x3-1；
故答案为：x3-1；
（3） x4+x3+x2+x-x3-x2-x-1=x4-1；
故答案为：x4-1；
（4） ；
故答案为：；
【分析】（1）利用平方差公式计算即可；
（2）利用多项式乘多项式将原式展开，再合并即可；
（3）利用多项式乘多项式将原式展开，再合并即可；
（4）利用（1）（2）（3）总结规律，写出结果即可；
（5）将原式变形为 ，利用规律进行计算即可.
17．（2023七下·平谷期末） 通过一次数学活动我们发现，如果两个两位数的十位数字相同，个位数字的和为10，那么这样的两位数相乘会有如下规律：
这组计算蕴含着简算规律：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，积的末两位数是个位数字的乘积，前几位是十位数字与十位数字加一的乘积．
（1） 若有两个两位数的十位数字相同，个位数字的和为10的两个数的乘积为4221，请你利用小组发现的规律写出这两个数 × ；
（2） 若设这两个两位数相同的十位数字为a，个位数字分别设为b、d，请你用学过的知识证明十位数字相同，个位数字的和为10的这样的两位数的乘积的一般规律．
证明：
，
【答案】（1）63；67
（2）10；100a (a+1) +bd
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1） 由题意可得：63x67=6 ×(6+1) x100+3x7=4221，
∴4221=63x67；
故答案为：63x67；
（2）= (10a+b)(10a+d)
=100a2+10ab+10ad+bd
=100a2+10a (b+d) +bd，
∵b+d=10，
∴=100a2+100a+bd=100a (a+1) +bd；
故答案为：10；100a (a+1) +bd.
【分析】（1）根据所给的规律计算求解即可；
（2）根据b+d=10，利用多项式乘多项式法则计算求解即可。
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