2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.3 完全平方公式与平方差公式同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八上·黔南期末）下面计算正确的是（ ）
A．（a+1）2＝a2+1 B．（a2）3﹣a8÷a4＝a4
C．（m2n）3 m2n＝m8n4 D．（12a2b2c﹣4a2b）÷4a2b＝3bc
2．（2024八上·浏阳期末）计算____．
A． B． C． D．
3．（2024八上·望城期末）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
4．（2017七上·醴陵期末）如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．a2+ab=a（a+b）
5．（2023七下·济南高新技术产业开发期末）如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021八上·江津期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（ ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=10，其内部有边长为a的正方形AEFG与边长为b的正方形HIJK，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5.若右侧阴影部分的面积S2是左侧阴影部分面积S1的4倍，则正方形AEFG与正方形HIJK的面积之和为（ ）
A．20 B．25 C． D．
8．（2023九上·开州开学考）有个依次排列的整式：第项是，用第项乘，所得之积记为，将第项加上得到第项，再将第项乘得到，将第项加上得到第项以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列个结论：
第项为；
；
若第项的值为，则．
以上结论正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
9．（2024八上·黔南期末）已知：x2﹣y2＝2023，且x﹣y＝2023，则x+y＝ ．
10．（2016八上·大同期末）若4x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值是 ．
11．（2024八上·合江期末）已知，则的值是 ．
12．（2023七下·上虞期末）用如图1所示的张长为，宽为（）的小长方形纸片，按图的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度发生变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变．则，之间满足的关系式为 ．
13．（2023七上·沙坪坝月考）一个三位数A．它的各个数位上的数字均不为零，且满足百位上数字与个位上数字的和等于十位上数字的两倍，则称这个三位数为“三好数”，将“三好数”A的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数记为，另记A和的和为．例如：246满足，则246是“三好数”，且，则134 （选填“是”或“不是”)“三好数”；已知“三好数”M的百位数字小于个位数字，且能被8整除，则满足条件的“三好数”M的最大值为 ．
三、解答题
14．（2024八上·宁江期末）观察下列等式，回答问题．
；
；
；
；
（1）试求的值；
（2）判断的值的个位数字是几？
15．如图1，长方形ABCD的边长分别为a，b，请观察图形，解答下列问题：
（1）若用四个完全相同的长方形ABCD拼成如图2所示的正方形，请写出代数式(a+b)2，(a-b)2，ab之间的等量关系：
（2）根据(1)中的等量关系解决问题：若x+y=7，xy=6，求x-y的值.
（3）若以长方形ABCD的各边为一边向外作正方形(如图3)，且四个正方形的周长之和为32，四个正方形的面积之和为20，求长方形ABCD的面积.
四、综合题
16．（2023七下·深圳期末）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式例如：计算图的面积，把图看作一个大正方形它的面积是；如果把图看作是由个长方形和个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
（1）如图，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ．
（2）利用(1)中的结论解决以下问题：
已知，，求的值；
（3）如图，正方形边长为，正方形边长为，点，，在同一直线上，连接、，若，，求图中阴影部分的面积．
17．（2023七下·南海期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式．
（1）类似地，写出图2中所表示的数学等式为 ；
（2）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为 ；
（3）利用上面（2）的结论解决问题：若，求的值；
（4）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；多项式除以单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、∵（a+1）2=a2+2a+1，∴A不正确，不符合题意；
B、∵（a2）3-a8÷a4=a6-a4，∴B不正确，不符合题意；
C、∵（m2n）3×m2n=m8n4，∴C正确，符合题意；
D、∵（12a2b2c﹣4a2b）÷4a2b＝3bc -1，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的除法，同底数幂的乘法和多项式除以单项式的计算方法逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（x-1）2=x2-2x+1.
故答案为：C。
【分析】根据完全平方公式正确展开，即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：根据平方差公式得：
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．
所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数
205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．
故选：D．
【分析】根据“好数”定义，结合平方差公式可得两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数，再逐项计算即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】正方形中，S阴影=a -b ；
梯形中，S阴影= （2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；
故所得恒等式为：a -b =（a+b）（a-b）．故答案为：C．
【分析】利用两种方法表示同一图形面积，即公式法和作差法，二者相等，构建等式，这就是面积法.
5．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意可得：
左边阴影部分的面积为：
右边阴影部分的面积为：
则
故答案为：A
【分析】分别表示出两边阴影部分的面积，两边面积相等，即可求出答案。
6．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：甲图中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，即 ，
乙图中阴影部分长方形的长为 ，宽为 ，阴影部分的面积为 ，
根据两个图形中阴影部分的面积相等可得 .
故答案为：A.
【分析】分别表示出甲乙图形中阴影部分的面积，根据面积相等可得结论.
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解： ∵重合部分小正方形的面积为5，
∴重合部分小正方形的边长为，
∴BE=AB-AE=6-a=b-，BI=AG-=a-.
∴a+b=6+，
∴S1=（a-）（b-）
=ab-6，
∵S2=4S1，
∴S2=4ab-24，
∴a2+b2-5+S1+S2=6×10，
∴a2+b2+5ab=65+30，
∴（a+b）2+3ab=65+30
，
∴（6+）2+3ab=65+30
∴3ab=24+18
∴ab=8+6，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab
=（6+）2-2（8+6）
=36+12+5-16-12
=25．
故答案为：B.
【分析】先根据重合部分小正方形的面积，求得重合部分小正方形的边长，再用a，b表示BE，从中找出a，b之间的关系，然后后a，b表示出S1，进而分别求得a+b与ab，最后求得a2+b2即可.
8．【答案】C
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】根据题意，可知：
第1项是：x+1，
第2项是：x +x+1，
第3项是：x +x +x+1，
第4项是：x4+x +x +x+1，①正确；
第5项是：x5+x4+x +x +x+1，，②错误；
若第2023项的值为0，即x2023+x2022+x2021+···+x4+x +x +x+1=0
则=0
∴ x2024=1，③正确；
故答案为C
【分析】本题考查整式的运算和找规律问题。根据题干的运算方法，分别计算出第2项，的值，第3项，的值，第4项，的值，第5项，的值等等，找出整式之间的运算规律是解题关键。
9．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】∵x2﹣y2＝2023，x﹣y＝2023，
∴（x+y）（x-y）=2023（x+y）=2023，
解得：x+y=1，
故答案为：1.
【分析】利用平方差公式可得（x+y）（x-y）=2023（x+y）=2023，再求出x+y=1即可.
10．【答案】±20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵4x2+kx+25是一个完全平方式，
∴4x2+kx+25= ，
∴k=±20．
【分析】根据4x2+kx+25是一个完全平方式，及完全平方式的特点：①是三项式，②三项式中有两项是一个整式的平方，③第三项式是完全平方项底数积的2倍，但积的2倍即可以是加也可以是减 ，从而得出答案。
11．【答案】16
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
即，
解得，
即的值为16．
故答案为：16．
【分析】先把(x-2025)2+(x-2027)2=34变形为(x-2026+1)2+(x-2026-1)2=34，设t=(x-2026)看作一个整体，换元根据完全平方公式展开，得到关于t2的方程，解方程即可求解.
12．【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设左上角阴影部分的长为x，宽为5b，
则右下角阴影部分的长为x+a-3b，宽为a，
∴阴影部分面积之差为：S=5bx-a（x+a-3b）
=5bx-ax-a2+3ab
=（5b-a）x-a2+3ab，
x变化，S不变，则S与x无关，
则5b-a=0，即a=5b.
故答案为：a=5b.
【分析】设左上角阴影部分的长为x，宽为5b，则右下角阴影部分的长为x+a-3b，宽为a，列式表示阴影部分面积之差，可得x变化，S不变，则S与x无关，则5b-a=0，即a=5b.
13．【答案】不是；
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：，
134不是“三好数”；
设“三好数”M百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，（a，b，c为1至9的整数，），
则，，
，
，
，
，
能被8整除，，
或，
或，
又，
要想M取最大值，则，，，
满足条件的“三好数”M的最大值为，
故答案为：不是；
【分析】根据“三好数”的定义结合题意即可判断134，进而即可完成第一个空；设“三好数”M百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，（a，b，c为1至9的整数，），则，，再结合题意运用整式的加减混合运算即可得到或，从而结合题意即可求解。
14．【答案】（1）原式．
（2）解：原式．
由，，，，，，…，
可知的个位数字是2，
所以的个位数字是1．
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，
……，
依此类推可知，，
∴当时，，
∴；
（2）
，
∵的个位数是，的个位数是， 的个位数是，的个位数是，的个位数是……，
∴可得当（k为正整数）时，个位数是，当时，的个位数是，当时，的个位数是，当时，的个位数是，
∵，
∴的个位数是1．
【分析】（1）根据题意即可得到规律，进而代入即可求解；
（2）先运用整式的乘法计算代数式，进而探究个位数的规律即可求解。
15．【答案】（1）(a+b)2=(a-b)2+4ab
（2）解：∵，
∴
（3）解：∵长方形ABCD的边长分别为a，b，且四个正方形的周长之和为32， 四个正方形的面积之和为20，
∴
∴
∴长方形ABCD的面积为3.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由题意得：，
故答案为：；
【分析】（1）利用含a和b的式子分别表示各部分的面积，进而即可求解；
（2）根据（1）中的式子，即可求解；
（3）根据题意得到进而利用完全平方公式得到即可求解.
16．【答案】（1）
（2）解：∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
a+b+c=10，ab+ac+bc=37
∴100=a2+b2+c2+37×2，
∴a2+b2+c2=26，
答：a2+b2+c2的值为26；
（3）解：S阴影部分=S△BCD-S梯形CEFD
=a2-（b+a）×b
=（a2-b2-ab）
=[（a+b）（a-b）-ab]
=[5（a+b）-6]
∵a-b=5，ab=6，
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab
=25+24
=49，
又∵a＞b＞0，
∴a+b=7，
∴S阴影部分=[5×7-6]=
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解： （1）∵图2整体是边长为a+b+c的正方形，
∴面积为（a+b+c）2，
又∵图2中9个部分面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
【分析】 （1）从“整体”和“部分”两个方面用代数式表示图2的面积；
（2）利用（1）的结论代入计算即可；
（3）根据图形中各个部分面积之间的关系得出S阴影部分=S△BCD-S△BCD-S梯形CEFD，再代入计算即可．
17．【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，
∴，即，
∵，
∴；
（4）解：由题意可知，阴影部分的面积为：
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵图2面积=大长方形的面积=两个小长方形的面积和，
∴a（b+c）=ab+ac，
故答案为：a（b+c）=ab+ac，
（2）解：根据题意可知：图形的面积为，
图形的面积也可以表示为，
所以；
故答案为：；
【分析】（1）根据图形的面积=大长方形的面积=2个小长方形的面积和，即可得解；
（2）图3的面积=大正方形的面积=四个小长方形的面积+小正方形的面积，据此即可求解；
（3）由（2）可得，再整体代入计算即可；
（4）阴影部分的面积为，整理为，然后整体代入计算即可.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.3 完全平方公式与平方差公式同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八上·黔南期末）下面计算正确的是（ ）
A．（a+1）2＝a2+1 B．（a2）3﹣a8÷a4＝a4
C．（m2n）3 m2n＝m8n4 D．（12a2b2c﹣4a2b）÷4a2b＝3bc
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；多项式除以单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、∵（a+1）2=a2+2a+1，∴A不正确，不符合题意；
B、∵（a2）3-a8÷a4=a6-a4，∴B不正确，不符合题意；
C、∵（m2n）3×m2n=m8n4，∴C正确，符合题意；
D、∵（12a2b2c﹣4a2b）÷4a2b＝3bc -1，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的除法，同底数幂的乘法和多项式除以单项式的计算方法逐项分析判断即可.
2．（2024八上·浏阳期末）计算____．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（x-1）2=x2-2x+1.
故答案为：C。
【分析】根据完全平方公式正确展开，即可得出答案。
3．（2024八上·望城期末）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：根据平方差公式得：
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．
所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数
205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．
故选：D．
【分析】根据“好数”定义，结合平方差公式可得两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数，再逐项计算即可求出答案.
4．（2017七上·醴陵期末）如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．a2+ab=a（a+b）
【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】正方形中，S阴影=a -b ；
梯形中，S阴影= （2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；
故所得恒等式为：a -b =（a+b）（a-b）．故答案为：C．
【分析】利用两种方法表示同一图形面积，即公式法和作差法，二者相等，构建等式，这就是面积法.
5．（2023七下·济南高新技术产业开发期末）如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意可得：
左边阴影部分的面积为：
右边阴影部分的面积为：
则
故答案为：A
【分析】分别表示出两边阴影部分的面积，两边面积相等，即可求出答案。
6．（2021八上·江津期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（ ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：甲图中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，即 ，
乙图中阴影部分长方形的长为 ，宽为 ，阴影部分的面积为 ，
根据两个图形中阴影部分的面积相等可得 .
故答案为：A.
【分析】分别表示出甲乙图形中阴影部分的面积，根据面积相等可得结论.
7．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=10，其内部有边长为a的正方形AEFG与边长为b的正方形HIJK，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5.若右侧阴影部分的面积S2是左侧阴影部分面积S1的4倍，则正方形AEFG与正方形HIJK的面积之和为（ ）
A．20 B．25 C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解： ∵重合部分小正方形的面积为5，
∴重合部分小正方形的边长为，
∴BE=AB-AE=6-a=b-，BI=AG-=a-.
∴a+b=6+，
∴S1=（a-）（b-）
=ab-6，
∵S2=4S1，
∴S2=4ab-24，
∴a2+b2-5+S1+S2=6×10，
∴a2+b2+5ab=65+30，
∴（a+b）2+3ab=65+30
，
∴（6+）2+3ab=65+30
∴3ab=24+18
∴ab=8+6，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab
=（6+）2-2（8+6）
=36+12+5-16-12
=25．
故答案为：B.
【分析】先根据重合部分小正方形的面积，求得重合部分小正方形的边长，再用a，b表示BE，从中找出a，b之间的关系，然后后a，b表示出S1，进而分别求得a+b与ab，最后求得a2+b2即可.
8．（2023九上·开州开学考）有个依次排列的整式：第项是，用第项乘，所得之积记为，将第项加上得到第项，再将第项乘得到，将第项加上得到第项以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列个结论：
第项为；
；
若第项的值为，则．
以上结论正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】根据题意，可知：
第1项是：x+1，
第2项是：x +x+1，
第3项是：x +x +x+1，
第4项是：x4+x +x +x+1，①正确；
第5项是：x5+x4+x +x +x+1，，②错误；
若第2023项的值为0，即x2023+x2022+x2021+···+x4+x +x +x+1=0
则=0
∴ x2024=1，③正确；
故答案为C
【分析】本题考查整式的运算和找规律问题。根据题干的运算方法，分别计算出第2项，的值，第3项，的值，第4项，的值，第5项，的值等等，找出整式之间的运算规律是解题关键。
二、填空题
9．（2024八上·黔南期末）已知：x2﹣y2＝2023，且x﹣y＝2023，则x+y＝ ．
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】∵x2﹣y2＝2023，x﹣y＝2023，
∴（x+y）（x-y）=2023（x+y）=2023，
解得：x+y=1，
故答案为：1.
【分析】利用平方差公式可得（x+y）（x-y）=2023（x+y）=2023，再求出x+y=1即可.
10．（2016八上·大同期末）若4x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值是 ．
【答案】±20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵4x2+kx+25是一个完全平方式，
∴4x2+kx+25= ，
∴k=±20．
【分析】根据4x2+kx+25是一个完全平方式，及完全平方式的特点：①是三项式，②三项式中有两项是一个整式的平方，③第三项式是完全平方项底数积的2倍，但积的2倍即可以是加也可以是减 ，从而得出答案。
11．（2024八上·合江期末）已知，则的值是 ．
【答案】16
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
即，
解得，
即的值为16．
故答案为：16．
【分析】先把(x-2025)2+(x-2027)2=34变形为(x-2026+1)2+(x-2026-1)2=34，设t=(x-2026)看作一个整体，换元根据完全平方公式展开，得到关于t2的方程，解方程即可求解.
12．（2023七下·上虞期末）用如图1所示的张长为，宽为（）的小长方形纸片，按图的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度发生变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变．则，之间满足的关系式为 ．
【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设左上角阴影部分的长为x，宽为5b，
则右下角阴影部分的长为x+a-3b，宽为a，
∴阴影部分面积之差为：S=5bx-a（x+a-3b）
=5bx-ax-a2+3ab
=（5b-a）x-a2+3ab，
x变化，S不变，则S与x无关，
则5b-a=0，即a=5b.
故答案为：a=5b.
【分析】设左上角阴影部分的长为x，宽为5b，则右下角阴影部分的长为x+a-3b，宽为a，列式表示阴影部分面积之差，可得x变化，S不变，则S与x无关，则5b-a=0，即a=5b.
13．（2023七上·沙坪坝月考）一个三位数A．它的各个数位上的数字均不为零，且满足百位上数字与个位上数字的和等于十位上数字的两倍，则称这个三位数为“三好数”，将“三好数”A的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数记为，另记A和的和为．例如：246满足，则246是“三好数”，且，则134 （选填“是”或“不是”)“三好数”；已知“三好数”M的百位数字小于个位数字，且能被8整除，则满足条件的“三好数”M的最大值为 ．
【答案】不是；
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：，
134不是“三好数”；
设“三好数”M百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，（a，b，c为1至9的整数，），
则，，
，
，
，
，
能被8整除，，
或，
或，
又，
要想M取最大值，则，，，
满足条件的“三好数”M的最大值为，
故答案为：不是；
【分析】根据“三好数”的定义结合题意即可判断134，进而即可完成第一个空；设“三好数”M百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，（a，b，c为1至9的整数，），则，，再结合题意运用整式的加减混合运算即可得到或，从而结合题意即可求解。
三、解答题
14．（2024八上·宁江期末）观察下列等式，回答问题．
；
；
；
；
（1）试求的值；
（2）判断的值的个位数字是几？
【答案】（1）原式．
（2）解：原式．
由，，，，，，…，
可知的个位数字是2，
所以的个位数字是1．
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，
……，
依此类推可知，，
∴当时，，
∴；
（2）
，
∵的个位数是，的个位数是， 的个位数是，的个位数是，的个位数是……，
∴可得当（k为正整数）时，个位数是，当时，的个位数是，当时，的个位数是，当时，的个位数是，
∵，
∴的个位数是1．
【分析】（1）根据题意即可得到规律，进而代入即可求解；
（2）先运用整式的乘法计算代数式，进而探究个位数的规律即可求解。
15．如图1，长方形ABCD的边长分别为a，b，请观察图形，解答下列问题：
（1）若用四个完全相同的长方形ABCD拼成如图2所示的正方形，请写出代数式(a+b)2，(a-b)2，ab之间的等量关系：
（2）根据(1)中的等量关系解决问题：若x+y=7，xy=6，求x-y的值.
（3）若以长方形ABCD的各边为一边向外作正方形(如图3)，且四个正方形的周长之和为32，四个正方形的面积之和为20，求长方形ABCD的面积.
【答案】（1）(a+b)2=(a-b)2+4ab
（2）解：∵，
∴
（3）解：∵长方形ABCD的边长分别为a，b，且四个正方形的周长之和为32， 四个正方形的面积之和为20，
∴
∴
∴长方形ABCD的面积为3.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由题意得：，
故答案为：；
【分析】（1）利用含a和b的式子分别表示各部分的面积，进而即可求解；
（2）根据（1）中的式子，即可求解；
（3）根据题意得到进而利用完全平方公式得到即可求解.
四、综合题
16．（2023七下·深圳期末）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式例如：计算图的面积，把图看作一个大正方形它的面积是；如果把图看作是由个长方形和个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
（1）如图，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ．
（2）利用(1)中的结论解决以下问题：
已知，，求的值；
（3）如图，正方形边长为，正方形边长为，点，，在同一直线上，连接、，若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
a+b+c=10，ab+ac+bc=37
∴100=a2+b2+c2+37×2，
∴a2+b2+c2=26，
答：a2+b2+c2的值为26；
（3）解：S阴影部分=S△BCD-S梯形CEFD
=a2-（b+a）×b
=（a2-b2-ab）
=[（a+b）（a-b）-ab]
=[5（a+b）-6]
∵a-b=5，ab=6，
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab
=25+24
=49，
又∵a＞b＞0，
∴a+b=7，
∴S阴影部分=[5×7-6]=
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解： （1）∵图2整体是边长为a+b+c的正方形，
∴面积为（a+b+c）2，
又∵图2中9个部分面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
【分析】 （1）从“整体”和“部分”两个方面用代数式表示图2的面积；
（2）利用（1）的结论代入计算即可；
（3）根据图形中各个部分面积之间的关系得出S阴影部分=S△BCD-S△BCD-S梯形CEFD，再代入计算即可．
17．（2023七下·南海期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式．
（1）类似地，写出图2中所表示的数学等式为 ；
（2）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为 ；
（3）利用上面（2）的结论解决问题：若，求的值；
（4）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，
∴，即，
∵，
∴；
（4）解：由题意可知，阴影部分的面积为：
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵图2面积=大长方形的面积=两个小长方形的面积和，
∴a（b+c）=ab+ac，
故答案为：a（b+c）=ab+ac，
（2）解：根据题意可知：图形的面积为，
图形的面积也可以表示为，
所以；
故答案为：；
【分析】（1）根据图形的面积=大长方形的面积=2个小长方形的面积和，即可得解；
（2）图3的面积=大正方形的面积=四个小长方形的面积+小正方形的面积，据此即可求解；
（3）由（2）可得，再整体代入计算即可；
（4）阴影部分的面积为，整理为，然后整体代入计算即可.
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