2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.4 因式分解同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024八上·汉阳期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．多项式 与多项式 的公因式为（ ）
A．x-1 B．x+1 C． D．(x-1)
3．对于①x-3xy=x(1-3y)，②(x+3)(x-1)从左到右的变形中，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
4．（2024八上·玉林期末）把整式分解因式，下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则的值为 （ ）
A．9 B．6 C．4 D．2
6．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C．） D．
8．已知长方形的边长分别为 a，b，周长为 14，面积为10，则 的值为 （ ）
A．35 B．70 C．140 D．280
二、填空题
9．（2024·清城模拟）分解因式：mn﹣m2＝ ．
10．（2022八上·博白期末）因式分解： .
11．多项式因式分解后有一个因式(y-1)，则 m 的值为 .
12．设b=2am，当m= 时，可使得(a+2b) +(2a+b)(2a-b)-4b(a+b)能化简为a .
13．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，就是一个智慧优数，可以利用进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 .
三、解答题
14．（2024八上·奉化期末）如果一个数能表示成（，是整数），我们称这个数为“好数”.
（1）写出10，11，12，…，20中的“好数”.
（2）如果，都是“好数”，请分别判断和一定是“好数”吗？如果不是，请举反例说明；如果是，请说明理由.
15．（2024八上·黔东南期末）阅读材料：教科书中提到“和这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：分解因式：
求代数式的最小值
∵，∴当时，代数式有最小值．
结合以上材料解决下面的问题：
（1）分解因式：；
（2）求代数式的最小值；
（3）当为何值时，有最小值？最小值是多少？
四、综合题
16．（2023七下·昌黎期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步），
（第二步），
（第三步），
（第四步），
（1）该同学第二步到第三步运用 进行因式分解；
（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
17．（2023八下·武功期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3.
（1）根据图2完成因式分解： ；
（2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ；（用含的式子表示）
（3）图1中的1号和2号卡片所占面积之和为，两个3号卡片所占面积之和为，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：选项A，B，D中等号的右边都不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
选项C中等号的右边是几个整式积的形式，是因式分解，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式的因式分解逐项分析即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】公因式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ∵=(x+1)(x-1)， =(x-1)2，
∴ 多项式与多项式的公因式为x-1.
故答案为：A.
【分析】先将第一个多项式利用平方差公式进行因式分解，再将第二个多项式利用完全平方公式分解因式，从而再找出相同因式即可.
3．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：①为因式分解，②为多项式的乘法运算.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式得恒等变形就是因式分解，把几个整式的积化为一个多项式的变形就是整式乘法，逐项分析即可.
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： .
故答案为：C．
【分析】先提取公因式， 再利用平方差公式，分解因式即可 ．
5．【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵m2=3n+a，n2=3m+a，
∴m2-n2=3n+a-3m-a=3n-3m，即(m+n)(m-n)=3(n-m)，
又∵m≠n，
∴m-n≠0，
∴m+n=-3，
∴m2+2mn+n2=(m+n)2=(-3)2=9.
故答案为：A.
【分析】先将已知两个等式相减，两边分别利用平方差公式及提取公式法分解因式，再根据等式的性质可得m+n=-3，进而将待求式子利用完全平方公式分解因式，最后整体代入计算可得答案.
6．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、该等式右边不是几个整式的积的形式，则不是因式分解，不符合题意；
B、该等式右边不是几个整式的积的形式，则不是因式分解，不符合题意；
C、该等式右边不是几个整式的积的形式，则不是因式分解，不符合题意；
D、该等式的变形过程符合因式分解，不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，据此逐项判断即可.
7．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：选项A中，y2-2y+4=（y-1）2+3，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，∴该选项不符合题意；
选项B中，a（x+y）=ax+ay，是整式乘法，不属于因式分解，∴该选项不符合题意；
选项C中，10x2-5x=5x（2x-1），把一个多项式化成了几个整式的积的形式，属于因式分解，∴该选项符合题意；
选项D中，t2-16+3t=（t+4）（t-4）+3t，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，∴该选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义：把一个整式写成几个整式的积的形式的才是因式分解进行判断.
8．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵长方形的边长分别为 a，b，周长为 14，面积为10，
∴a+b=7，ab=10，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=7×10=70.
故答案为：B.
【分析】根据题意得出a+b=7，ab=10，再把原式变形为a2b+ab2=ab（a+b），代入进行计算，即可得出答案.
9．【答案】m（n﹣m）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】利用提公因式法即可求解.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为： .
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
11．【答案】-3
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵因式分解后有一个因式(y-1)，
∴当y=1时，多项式值为0，
∴
∴
故答案为：-3.
【分析】根据题意得到当y=1时，多项式值为0，据此得到关于m的方程，进而即可求解.
12．【答案】±1
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
∵
∴原式=
=
∴当m=±1时，原式可化简为
故答案为：±1.
【分析】对原式化简得到原式为，结合题意即可求出m的值.
13．【答案】15；57
【知识点】因式分解的应用；探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：∵m-n＞1，
∴m-n≥2，
即m≥n+2；
当m=n+2时，由m2-n2= （n+2）2-n2=4+4n，
产生的智慧优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，……
当m=n+3时，由m2-n2= （n+3）2-n2=9+6n，
产生的智慧优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，……
当m=n+4时，由m2-n2=（n+4）2-n2=16+8n，
产产生的智慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，……
当m=n+5时，由m2-n2=（n+5）2-n2=25+10n，
产生的智慧优数为：35，45，55，65，75，85，……
当m=n+6时，由m2-n2=（n+6）2-n2=36+12n，
产生的智慧优数为：48，60，72，84，……
当m=n+7时，由m2-n2=（n+7）2-n2=49+14n，
产生的智慧优数为：63，77，91，……
当m=n+8时，由m2-n2=（n+8）2-n2=64+16n，
产生的智慧优数为：80，96，……
……
综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，……
故第3个智慧优数是15；第23个智慧优数是57．
故答案为：15，57.
【分析】根据题意可得m≥n+2；故分情况讨论，结合新定义分别列出m2-n2的值，即可求解.
14．【答案】（1）解：“好数”有：10、13、16、17、18、20.
（2）解：∵一个“好数”能表示成（，是整数）.
∴一个数能够表示成两个整数的平方和，这个数即为“好数”.
判断：不一定是“好数”，举反例如下（其他反例均可）
若，，则、均为“好数”.
但，而3不能写成两个整数的平方和，不是“好数”
∴当、为“好数”时，不一定是“好数”
判断一定是“好数”，理由如下：
∵、为“好数”
∴可设，（a、b、c、d均为整数）
则
∵a、b、c、d均为整数
∴、肯定也为整数
∴一定是“好数”
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据“好数”的意义判断，即可求得.
（2）举反例即可判断m+n不是“好数”，设，，则=，即可求得.
15．【答案】（1）解：
；
（2）解：∵，，
∴
即代数式的最小值为；
（3）解：
，
∵，，
∴当，，即时，
原代数式有最小值，最小值为．
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）根据材料中因式分解的步骤，先把原式转化为，再用公式法对其因式分解即可.
（2）先将原式转化为，再根据平方的非负性可得原式的最小值为-9.
（3）先把原代数式整理为两个完全平方式加上一个常数的形式，再根据完全平方公式的非负性可得当，，即时，原代数式有最小值2020.
16．【答案】（1）完全平方公式
（2）否；
（3）解：设，
则原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用
【解析】【分析】(1)从第三步的结果可得出结论；
(2)观察最后结果中的x2-4x+4是否还能因式分解，得出结论；
(3)设x2 2x=y，然后因式分解，化简后再代入，再因式分解。
17．【答案】（1）
（2）
（3）证明：根据题意，
得，
则．
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：（1）由图形可得：图2的长为2a，宽为a+b，
∴2a2+2ab=2a(a+b).
故答案为：2a(a+b).
（2）1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张的总面积为a2+4b2+4ab，
∵a2+4b2+4ab=(a+2b)2，
∴大正方形的边长为a+2b.
故答案为：a+2b.
【分析】（1）由图形可得：图2的长为2a，宽为a+b，据此解答；
（2）1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张的总面积为a2+4b2+4ab，然后进行分解就可得到大正方形的边长；
（3）由题意可得S1=a2+b2，S2=2ab，则S1-S2=(a-b)2，然后结合偶次幂的非负性进行证明.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.4 因式分解同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024八上·汉阳期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：选项A，B，D中等号的右边都不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
选项C中等号的右边是几个整式积的形式，是因式分解，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式的因式分解逐项分析即可得出答案.
2．多项式 与多项式 的公因式为（ ）
A．x-1 B．x+1 C． D．(x-1)
【答案】A
【知识点】公因式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ∵=(x+1)(x-1)， =(x-1)2，
∴ 多项式与多项式的公因式为x-1.
故答案为：A.
【分析】先将第一个多项式利用平方差公式进行因式分解，再将第二个多项式利用完全平方公式分解因式，从而再找出相同因式即可.
3．对于①x-3xy=x(1-3y)，②(x+3)(x-1)从左到右的变形中，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：①为因式分解，②为多项式的乘法运算.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式得恒等变形就是因式分解，把几个整式的积化为一个多项式的变形就是整式乘法，逐项分析即可.
4．（2024八上·玉林期末）把整式分解因式，下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： .
故答案为：C．
【分析】先提取公因式， 再利用平方差公式，分解因式即可 ．
5．已知，则的值为 （ ）
A．9 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵m2=3n+a，n2=3m+a，
∴m2-n2=3n+a-3m-a=3n-3m，即(m+n)(m-n)=3(n-m)，
又∵m≠n，
∴m-n≠0，
∴m+n=-3，
∴m2+2mn+n2=(m+n)2=(-3)2=9.
故答案为：A.
【分析】先将已知两个等式相减，两边分别利用平方差公式及提取公式法分解因式，再根据等式的性质可得m+n=-3，进而将待求式子利用完全平方公式分解因式，最后整体代入计算可得答案.
6．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、该等式右边不是几个整式的积的形式，则不是因式分解，不符合题意；
B、该等式右边不是几个整式的积的形式，则不是因式分解，不符合题意；
C、该等式右边不是几个整式的积的形式，则不是因式分解，不符合题意；
D、该等式的变形过程符合因式分解，不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，据此逐项判断即可.
7．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C．） D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：选项A中，y2-2y+4=（y-1）2+3，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，∴该选项不符合题意；
选项B中，a（x+y）=ax+ay，是整式乘法，不属于因式分解，∴该选项不符合题意；
选项C中，10x2-5x=5x（2x-1），把一个多项式化成了几个整式的积的形式，属于因式分解，∴该选项符合题意；
选项D中，t2-16+3t=（t+4）（t-4）+3t，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，∴该选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义：把一个整式写成几个整式的积的形式的才是因式分解进行判断.
8．已知长方形的边长分别为 a，b，周长为 14，面积为10，则 的值为 （ ）
A．35 B．70 C．140 D．280
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵长方形的边长分别为 a，b，周长为 14，面积为10，
∴a+b=7，ab=10，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=7×10=70.
故答案为：B.
【分析】根据题意得出a+b=7，ab=10，再把原式变形为a2b+ab2=ab（a+b），代入进行计算，即可得出答案.
二、填空题
9．（2024·清城模拟）分解因式：mn﹣m2＝ ．
【答案】m（n﹣m）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】利用提公因式法即可求解.
10．（2022八上·博白期末）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为： .
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
11．多项式因式分解后有一个因式(y-1)，则 m 的值为 .
【答案】-3
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵因式分解后有一个因式(y-1)，
∴当y=1时，多项式值为0，
∴
∴
故答案为：-3.
【分析】根据题意得到当y=1时，多项式值为0，据此得到关于m的方程，进而即可求解.
12．设b=2am，当m= 时，可使得(a+2b) +(2a+b)(2a-b)-4b(a+b)能化简为a .
【答案】±1
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
∵
∴原式=
=
∴当m=±1时，原式可化简为
故答案为：±1.
【分析】对原式化简得到原式为，结合题意即可求出m的值.
13．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，就是一个智慧优数，可以利用进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 .
【答案】15；57
【知识点】因式分解的应用；探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：∵m-n＞1，
∴m-n≥2，
即m≥n+2；
当m=n+2时，由m2-n2= （n+2）2-n2=4+4n，
产生的智慧优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，……
当m=n+3时，由m2-n2= （n+3）2-n2=9+6n，
产生的智慧优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，……
当m=n+4时，由m2-n2=（n+4）2-n2=16+8n，
产产生的智慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，……
当m=n+5时，由m2-n2=（n+5）2-n2=25+10n，
产生的智慧优数为：35，45，55，65，75，85，……
当m=n+6时，由m2-n2=（n+6）2-n2=36+12n，
产生的智慧优数为：48，60，72，84，……
当m=n+7时，由m2-n2=（n+7）2-n2=49+14n，
产生的智慧优数为：63，77，91，……
当m=n+8时，由m2-n2=（n+8）2-n2=64+16n，
产生的智慧优数为：80，96，……
……
综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，……
故第3个智慧优数是15；第23个智慧优数是57．
故答案为：15，57.
【分析】根据题意可得m≥n+2；故分情况讨论，结合新定义分别列出m2-n2的值，即可求解.
三、解答题
14．（2024八上·奉化期末）如果一个数能表示成（，是整数），我们称这个数为“好数”.
（1）写出10，11，12，…，20中的“好数”.
（2）如果，都是“好数”，请分别判断和一定是“好数”吗？如果不是，请举反例说明；如果是，请说明理由.
【答案】（1）解：“好数”有：10、13、16、17、18、20.
（2）解：∵一个“好数”能表示成（，是整数）.
∴一个数能够表示成两个整数的平方和，这个数即为“好数”.
判断：不一定是“好数”，举反例如下（其他反例均可）
若，，则、均为“好数”.
但，而3不能写成两个整数的平方和，不是“好数”
∴当、为“好数”时，不一定是“好数”
判断一定是“好数”，理由如下：
∵、为“好数”
∴可设，（a、b、c、d均为整数）
则
∵a、b、c、d均为整数
∴、肯定也为整数
∴一定是“好数”
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据“好数”的意义判断，即可求得.
（2）举反例即可判断m+n不是“好数”，设，，则=，即可求得.
15．（2024八上·黔东南期末）阅读材料：教科书中提到“和这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：分解因式：
求代数式的最小值
∵，∴当时，代数式有最小值．
结合以上材料解决下面的问题：
（1）分解因式：；
（2）求代数式的最小值；
（3）当为何值时，有最小值？最小值是多少？
【答案】（1）解：
；
（2）解：∵，，
∴
即代数式的最小值为；
（3）解：
，
∵，，
∴当，，即时，
原代数式有最小值，最小值为．
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）根据材料中因式分解的步骤，先把原式转化为，再用公式法对其因式分解即可.
（2）先将原式转化为，再根据平方的非负性可得原式的最小值为-9.
（3）先把原代数式整理为两个完全平方式加上一个常数的形式，再根据完全平方公式的非负性可得当，，即时，原代数式有最小值2020.
四、综合题
16．（2023七下·昌黎期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步），
（第二步），
（第三步），
（第四步），
（1）该同学第二步到第三步运用 进行因式分解；
（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）完全平方公式
（2）否；
（3）解：设，
则原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用
【解析】【分析】(1)从第三步的结果可得出结论；
(2)观察最后结果中的x2-4x+4是否还能因式分解，得出结论；
(3)设x2 2x=y，然后因式分解，化简后再代入，再因式分解。
17．（2023八下·武功期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3.
（1）根据图2完成因式分解： ；
（2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ；（用含的式子表示）
（3）图1中的1号和2号卡片所占面积之和为，两个3号卡片所占面积之和为，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明：根据题意，
得，
则．
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：（1）由图形可得：图2的长为2a，宽为a+b，
∴2a2+2ab=2a(a+b).
故答案为：2a(a+b).
（2）1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张的总面积为a2+4b2+4ab，
∵a2+4b2+4ab=(a+2b)2，
∴大正方形的边长为a+2b.
故答案为：a+2b.
【分析】（1）由图形可得：图2的长为2a，宽为a+b，据此解答；
（2）1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张的总面积为a2+4b2+4ab，然后进行分解就可得到大正方形的边长；
（3）由题意可得S1=a2+b2，S2=2ab，则S1-S2=(a-b)2，然后结合偶次幂的非负性进行证明.
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