2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.4 因式分解同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八上·黔南期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．a（a﹣3）＝a2﹣3a B．（a+1）2＝a2+2a+1
C． D．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A、∵a（a﹣3）＝a2﹣3a 属于整式乘法，不属于因式分解，∴A不符合题意；
B、∵（a+1）2＝a2+2a+1 属于整式乘法，不属于因式分解，∴B不符合题意；
C、∵不属于因式分解，∴C不符合题意；
D、∵a2-9=（a-3）（a+3）属于因式分解，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。
2．（2024八上·盘龙期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、∵属于因式分解，∴A正确，符合题意；
B、∵属于整式的乘法，不属于因式分解，∴B不正确，不符合题意；
C、∵属于整式的乘法，不属于因式分解，∴C不正确，不符合题意；
D、∵不属于因式分解，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。
3．下列自然数中，能整除 3200-4×3199+10×3198的是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵3200-4×3199+10×3198=3198(32-4×3+10)=3198×7，
∴3200-4×3199+10×3198能整除7.
故答案为：D.
【分析】将式子利用提取公因式法变形后，计算出括号内的部分即可判断得出答案.
4．若2021m，则m的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵(20242-4)(20232-4)=(2024+2)(2024-2)(2023+2)(2023-2)=2026×2022×2025×2021，
而(20242-4)(20232-4)=2026×2022×2021m，
∴m=2025.
故答案为：C.
【分析】先将已知等式的左边的两个因式分解利用平方差公式分解因式，再计算括号内的加法后与已知等式的右边进行比较即可得出m的值.
5．若三角形的三条边长分别为a，b，c且a2b-a2c+b2c-b3=0，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：∵a、b、c分别为三角形的三条边长，且a2b-a2c+b2c-b3=0，
∴a2（b-c）+b2（c-b）=0，
∴a2（b-c）-b2（b-c）=0，
∴（a2-b2）（b-c）=0，
∴（a+b）(a-b)(b-c)=0，
∴a+b=0（舍去）或a-b=0或b-c=0，
∴a=b或b=c，
∴这个三角形一定是等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】先把方程分解因式，再根据实际情况分别讨论a+b=0，a-b=0，或b-c=0的情况，最后结论是：因为a、b、c是三角形三边长，所以a+b不可能等于0，只有a-b=0，或b-c=0，无论a=b，还是b=c三角形都是等腰三角形.
6．已知M=8x2-y2+6x-2，N=9x2+4y+13，则M-N的值为（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
【答案】B
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：M-N= 8x2-y2+6x-2-（ 9x2+4y+13 ）
=8x2-y2+6x-2-9x2-4y-13=-x2+6x-9-y2-4y-4-2=-（x-3）2-（y+2）2-2
∵（x-3）2≥0，（y+2）2≥0，
∴-（x-3）2≤0，-（y+2）2≤0，
∴-（x-3）2-（y+2）2-2≤-2，
∴M-N的值为负数.
故答案为：B.
【分析】将M，N代入M-N，可转化为-（x-3）2-（y+2）2-2，再利用偶次方的非负性，可得到-（x-3）2-（y+2）2-2≤-2，由此可得到M-N的符号.
7．（2023七下·昌黎期末）把多项式因式分解成，则m的值为（ ）
A． B．3 C．5 D．7
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵多项式2x2+mx 5可以因式分解为
∴
=
=
=
∴m=8-2n，5n=5，
解得：m=3，n=1
故答案为：B.
【分析】本题考查 了因式分解，解题的关键是掌握因式分解与整式乘法的关系。
8．（2022七下·余姚竞赛）对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解： 将s的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为s'.
∵s= 10x+ 3.
∵s'= 30+x
∴F(s)===3+x
将t的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为t'.
∵t=50+ y.
∴t'= 10y+ 5.
. F(t)===5+y.
∵F(s)+ F(t)= 15.
∴3+x+5+y= 15.
∴x+y= 7.
∴y=7- x.
∵==
∵x，y都是正整数.
∴x最大为6
∴=
故答案未：B
【分析】 先用含x的式子表示出F (s)再用含y的式子表示出F (t)，然后根据x和y的取值求出最大值即可.
二、填空题
9．（2020八下·清涧期末）因式分解： .
【答案】m（m-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：m2-m
=m（m-1）
故答案为：m（m-1）.
【分析】直接提取公因式m即可.
10．（2021九下·南海月考）若m+n＝2，mn＝1，则m3n+mn3+2m2n2＝ ．
【答案】4
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵m+n＝2，mn＝1，
∴m3n+mn3+2m2n2
＝mn（m2+2mn+n2）
＝mn（m+n）2
＝1×22
＝4．
故答案为：4．
【分析】把m3n+mn3+2m2n2因式分解后，再根据完全平方公式解答即可．
11．（2023·潼南模拟）对于一个两位数十位和个位均不为，将这个两位数的十位和个位上的数字对调得到新的两位数，称为的“对调数”，将放在的左侧得到一个四位数，记为，将放在的右侧得到一个四位数，记为，规定，例如：的对调数为，则 ；若为整数，，为整数，，和的十位、个位均不为，的对调数与的对调数之和能被整除，则的最小值为 ．
【答案】18；
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：当时，，，“，所以．
为整数，，为整数，，
且，，
的对调数个位为或，的对调数个位为，
，对调数的和，且和的个位为或，
的对调数与的对调数之和能被整除，
，对调数的和可为或．
当，对调数的和为时，，或，或，，
是偶数，
，，
．
当和为时，，．
．
综上所述：最小值为．
故答案为：，．
【分析】根据题目中的新定义求出m'、m''的值，代入公式即可求出的值；根据题目中的限制条件求出p和q的可能值，然后代入公式，即可求解.
12．（2023九上·巴南开学考） 一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数，那么我们把这个四位数称为“顺利数”，并规定为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差例如：将交换位置后为，则是一个“顺利数”，且，若四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，其中，，，为整数，，，，，且，以的十位数字和个位数字组成两位数，交换位置后放在此两位数之后组成的数为“顺利数”，若，则的值为 ；满足条件的所有数的最大值为 ．
【答案】9；5438
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意知，
，
100d2+c2+20dc-（100c2+d2+20dc）=1001a+110b，
99d2-99c2=1001a+110b，
左右同时除以11得：9d2-9c2=91a+10b，
∴9d2-9c2-91a-10b=0
左右同时加（a+b）得，
a+b=9d2-9c2-90a-9b，
即，
∵a，b，c，d是整数，
∴a+b是9的倍数，
又，，，，得，
得a+b=9或18，
∵，，，，且，
∴当c=1，d=2时，（d2-c2）min=3，当c=1，d=9时，（d2-c2）max=80，
得，
当a+b=18时，a=9，b=9，代入9d2-9c2-91a-10b=0得d2-c2=101，不符合题意舍去，
∴a+b=9，
把a+b=9代入9d2-9c2-91a-10b=0得，
∵，
∴3≤9a+10≤80，
分类讨论：
根据为千位数字，，可知越小，越大，越大，
当时，不符合题意；
当时，不符合题意；
当时，不能分成，不符合题意；
当时，，解得，不符合题意；
当时，，解得，，符合题意；
则当为时，是满足条件的最大值．
故答案为：9；5438.
【分析】由题意知，，整理变形得，得a+b是9的倍数，又根据题目中的取值范围，得a+b=9，，分类讨论：根据a为千位数字， a+b=9，可知b越小，a越大， n越大，当a=9时，9a+10=91，不符合题意；以此类推，当a=5时，利用二元一次方程组进行解答，符合题意，即可求解.
13．（2019七下·嘉兴期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4-y4，因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式值是：(x+y)=18，(x-y)=0，(x2+y2)=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3-xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是 (写出一个即可).
【答案】104020，102040等写出一个即可
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】
9x3-xy2 =x(9x
2-y
2)=x(3x+y)(3x-y), 当x=10, y=10时，x=10, 3x+y=3×10+10=40, 3x-y=3×10-10=20；
∵(3x+y)和(3x-y)两个因式可以互换位置，故用此方法产生的密码是： 104020或102040.
【分析】先分解因式，再根据题给原理代入已知数，破解密码。
三、解答题
14．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是“分组分解法”.
例如：am+an+bm+bn
=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n).
（1）用“分组分解法”因式分解：
①.
②.
（2）若a，b都是正整数且满足，求的值.
【答案】（1）解：①x2-y2+x+y
=(x2-y2)+(x+y)
=(x+y)(x-y)+(x+y)
=(x+y)(x-y+1) ；
②ab-a-b+1
=(ab-a)-(b-1)
=a(b-1)-(b-1)
=(b-1)(a-1)；
（2）解：∵ab-a-b-6=0，
∴ab-a-b+1-1-6=0，
∴(ab-a)-(b-1)-7=0，
∴a(b-1)-(b-1)-7=0，
∴(b-1)(a-1)=7，
∵a、b都是正整数，
∴或，
∴或，
当a=2，b=8时，2a+b=12；
当a=8，b=2时，2a+b=18，
综上2a+b的值为12或18.
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）①分别将第一、二项，第三、四项结合，第一组利用平方差公式分解因式后组间再利用提取公因式法分解即可；
②分别将第一、二项，第三、四项结合，连续两次提取公因式便可达到分解因式的目的；
（2）通过配方法及分组分解法把原方程化成两个因式的积等于一个常数的形式，再根据整数的性质求解即可.
15．（2023八上·嘉祥月考）先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a，再把它的后两项分成一组，并提出b，从而得．
这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有．
这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．
（1）请用上面材料中提供的方法分解因式：
①；
②；
③．
（2）已知的三边长为，，，并且，试判断此三角形的形状．
【答案】（1）解：①
．
②
．
③
．
（2）解：∵，
∴．
∴．
∴．
∵，，，
∴，，；
∴，，．
∴．
∴此三角形为等边三角形．
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】(1)①先分组，再提取公因式，最后再提取公因式即可；②先分组，再提取公因式，最后再提取公因式即可；③先分组，再提取公因式，最后再提取公因式即可；
(2)把左右两边同时乘以2，再分组得 ，根据完全平方公式分解可得，最后根据非负数的性质得，，，从而得三角形是等边三角形.
四、综合题
16．（2022七上·大丰期中）阅读：一个正整数n可以分解为两个正整数p、q的积，即（规定），在n的所有这种分解中，如果两因数p、q之差的绝对值最小，则称是n的最优分解，称为n的最优分解比.
（1）尝试：24可以分解成，其中是24的最优分解，最优分解比为 ；
（2）的最优分解是，的最优分解比为 ；
（3）请写出一个在20到40范围之间正整数： ，使它的最优分解比为1；
（4）探索：n是一个正整数（，已知的最优分解比为，求的最小值，写出简要过程.
【答案】（1）
（2）
（3）25或36
（4）解：∵的最优分解比为，
∴，
∴的因数只有1和它本身，
∴是一个质数，
∴必须是一个偶数，
当时，不符合题意；
当时，符合题意；
当时，不符合题意；
当时，不符合题意；
当时，符合题意；
∴的最小值为17.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得24等最优分解比为，
故答案为：；
（2）由题意得的最优分解比为，
故答案为：
（3）∵最优分解比为1，即，
∴，
∴满足题意的数有25（最优分解为），36（最优分解为），
故答案为：25或36
【分析】（1）由新定义直接可求解；
（2）由新定义可得答案；
（3）完全平方数最优分解比为1，即可求解；
（4）根据“n2 2n＋9的最优分解比为“可知n2 2n＋9是质数，结合1≤n≤10可得n2 2n＋9的最小值．
17．（2022八上·南昌月考）阅读理解应用
待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解．
因为为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．
故我们可以猜想可以分解成，展开等式右边得：
，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：，，，可以求出，．
所以
（1）若取任意值，等式恒成立，则 ；
（2）已知多项式有因式，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．
（3）请判断多项式是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．
【答案】（1）1
（2）解：设
，
∴，
解得；
∴多项式的另一因式是；
（3）解：不能，理由：
∵设
，
∴，，
解得：、或、，
∴系数不是整数，
∴多项式是不能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
解得；
故答案为：1；
【分析】（1）根据待定系数法可得，再求出a的值即可；
（2）设，再利用多项式乘多项式的计算方法展开，利用待定系数法可得，再求出a的值，即可得到答案；
（3）方法同（2），利用多项式乘多项式的计算方法展开，利用待定系数法可得，，求出a、b的值，再根据系数不是整数，即可得到答案。
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.4 因式分解同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八上·黔南期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．a（a﹣3）＝a2﹣3a B．（a+1）2＝a2+2a+1
C． D．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）
2．（2024八上·盘龙期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列自然数中，能整除 3200-4×3199+10×3198的是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．若2021m，则m的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
5．若三角形的三条边长分别为a，b，c且a2b-a2c+b2c-b3=0，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．已知M=8x2-y2+6x-2，N=9x2+4y+13，则M-N的值为（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
7．（2023七下·昌黎期末）把多项式因式分解成，则m的值为（ ）
A． B．3 C．5 D．7
8．（2022七下·余姚竞赛）对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
二、填空题
9．（2020八下·清涧期末）因式分解： .
10．（2021九下·南海月考）若m+n＝2，mn＝1，则m3n+mn3+2m2n2＝ ．
11．（2023·潼南模拟）对于一个两位数十位和个位均不为，将这个两位数的十位和个位上的数字对调得到新的两位数，称为的“对调数”，将放在的左侧得到一个四位数，记为，将放在的右侧得到一个四位数，记为，规定，例如：的对调数为，则 ；若为整数，，为整数，，和的十位、个位均不为，的对调数与的对调数之和能被整除，则的最小值为 ．
12．（2023九上·巴南开学考） 一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数，那么我们把这个四位数称为“顺利数”，并规定为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差例如：将交换位置后为，则是一个“顺利数”，且，若四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，其中，，，为整数，，，，，且，以的十位数字和个位数字组成两位数，交换位置后放在此两位数之后组成的数为“顺利数”，若，则的值为 ；满足条件的所有数的最大值为 ．
13．（2019七下·嘉兴期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4-y4，因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式值是：(x+y)=18，(x-y)=0，(x2+y2)=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3-xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是 (写出一个即可).
三、解答题
14．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是“分组分解法”.
例如：am+an+bm+bn
=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n).
（1）用“分组分解法”因式分解：
①.
②.
（2）若a，b都是正整数且满足，求的值.
15．（2023八上·嘉祥月考）先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a，再把它的后两项分成一组，并提出b，从而得．
这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有．
这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．
（1）请用上面材料中提供的方法分解因式：
①；
②；
③．
（2）已知的三边长为，，，并且，试判断此三角形的形状．
四、综合题
16．（2022七上·大丰期中）阅读：一个正整数n可以分解为两个正整数p、q的积，即（规定），在n的所有这种分解中，如果两因数p、q之差的绝对值最小，则称是n的最优分解，称为n的最优分解比.
（1）尝试：24可以分解成，其中是24的最优分解，最优分解比为 ；
（2）的最优分解是，的最优分解比为 ；
（3）请写出一个在20到40范围之间正整数： ，使它的最优分解比为1；
（4）探索：n是一个正整数（，已知的最优分解比为，求的最小值，写出简要过程.
17．（2022八上·南昌月考）阅读理解应用
待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解．
因为为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．
故我们可以猜想可以分解成，展开等式右边得：
，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：，，，可以求出，．
所以
（1）若取任意值，等式恒成立，则 ；
（2）已知多项式有因式，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．
（3）请判断多项式是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A、∵a（a﹣3）＝a2﹣3a 属于整式乘法，不属于因式分解，∴A不符合题意；
B、∵（a+1）2＝a2+2a+1 属于整式乘法，不属于因式分解，∴B不符合题意；
C、∵不属于因式分解，∴C不符合题意；
D、∵a2-9=（a-3）（a+3）属于因式分解，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。
2．【答案】A
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、∵属于因式分解，∴A正确，符合题意；
B、∵属于整式的乘法，不属于因式分解，∴B不正确，不符合题意；
C、∵属于整式的乘法，不属于因式分解，∴C不正确，不符合题意；
D、∵不属于因式分解，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。
3．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵3200-4×3199+10×3198=3198(32-4×3+10)=3198×7，
∴3200-4×3199+10×3198能整除7.
故答案为：D.
【分析】将式子利用提取公因式法变形后，计算出括号内的部分即可判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵(20242-4)(20232-4)=(2024+2)(2024-2)(2023+2)(2023-2)=2026×2022×2025×2021，
而(20242-4)(20232-4)=2026×2022×2021m，
∴m=2025.
故答案为：C.
【分析】先将已知等式的左边的两个因式分解利用平方差公式分解因式，再计算括号内的加法后与已知等式的右边进行比较即可得出m的值.
5．【答案】A
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：∵a、b、c分别为三角形的三条边长，且a2b-a2c+b2c-b3=0，
∴a2（b-c）+b2（c-b）=0，
∴a2（b-c）-b2（b-c）=0，
∴（a2-b2）（b-c）=0，
∴（a+b）(a-b)(b-c)=0，
∴a+b=0（舍去）或a-b=0或b-c=0，
∴a=b或b=c，
∴这个三角形一定是等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】先把方程分解因式，再根据实际情况分别讨论a+b=0，a-b=0，或b-c=0的情况，最后结论是：因为a、b、c是三角形三边长，所以a+b不可能等于0，只有a-b=0，或b-c=0，无论a=b，还是b=c三角形都是等腰三角形.
6．【答案】B
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：M-N= 8x2-y2+6x-2-（ 9x2+4y+13 ）
=8x2-y2+6x-2-9x2-4y-13=-x2+6x-9-y2-4y-4-2=-（x-3）2-（y+2）2-2
∵（x-3）2≥0，（y+2）2≥0，
∴-（x-3）2≤0，-（y+2）2≤0，
∴-（x-3）2-（y+2）2-2≤-2，
∴M-N的值为负数.
故答案为：B.
【分析】将M，N代入M-N，可转化为-（x-3）2-（y+2）2-2，再利用偶次方的非负性，可得到-（x-3）2-（y+2）2-2≤-2，由此可得到M-N的符号.
7．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵多项式2x2+mx 5可以因式分解为
∴
=
=
=
∴m=8-2n，5n=5，
解得：m=3，n=1
故答案为：B.
【分析】本题考查 了因式分解，解题的关键是掌握因式分解与整式乘法的关系。
8．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解： 将s的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为s'.
∵s= 10x+ 3.
∵s'= 30+x
∴F(s)===3+x
将t的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为t'.
∵t=50+ y.
∴t'= 10y+ 5.
. F(t)===5+y.
∵F(s)+ F(t)= 15.
∴3+x+5+y= 15.
∴x+y= 7.
∴y=7- x.
∵==
∵x，y都是正整数.
∴x最大为6
∴=
故答案未：B
【分析】 先用含x的式子表示出F (s)再用含y的式子表示出F (t)，然后根据x和y的取值求出最大值即可.
9．【答案】m（m-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：m2-m
=m（m-1）
故答案为：m（m-1）.
【分析】直接提取公因式m即可.
10．【答案】4
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵m+n＝2，mn＝1，
∴m3n+mn3+2m2n2
＝mn（m2+2mn+n2）
＝mn（m+n）2
＝1×22
＝4．
故答案为：4．
【分析】把m3n+mn3+2m2n2因式分解后，再根据完全平方公式解答即可．
11．【答案】18；
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：当时，，，“，所以．
为整数，，为整数，，
且，，
的对调数个位为或，的对调数个位为，
，对调数的和，且和的个位为或，
的对调数与的对调数之和能被整除，
，对调数的和可为或．
当，对调数的和为时，，或，或，，
是偶数，
，，
．
当和为时，，．
．
综上所述：最小值为．
故答案为：，．
【分析】根据题目中的新定义求出m'、m''的值，代入公式即可求出的值；根据题目中的限制条件求出p和q的可能值，然后代入公式，即可求解.
12．【答案】9；5438
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意知，
，
100d2+c2+20dc-（100c2+d2+20dc）=1001a+110b，
99d2-99c2=1001a+110b，
左右同时除以11得：9d2-9c2=91a+10b，
∴9d2-9c2-91a-10b=0
左右同时加（a+b）得，
a+b=9d2-9c2-90a-9b，
即，
∵a，b，c，d是整数，
∴a+b是9的倍数，
又，，，，得，
得a+b=9或18，
∵，，，，且，
∴当c=1，d=2时，（d2-c2）min=3，当c=1，d=9时，（d2-c2）max=80，
得，
当a+b=18时，a=9，b=9，代入9d2-9c2-91a-10b=0得d2-c2=101，不符合题意舍去，
∴a+b=9，
把a+b=9代入9d2-9c2-91a-10b=0得，
∵，
∴3≤9a+10≤80，
分类讨论：
根据为千位数字，，可知越小，越大，越大，
当时，不符合题意；
当时，不符合题意；
当时，不能分成，不符合题意；
当时，，解得，不符合题意；
当时，，解得，，符合题意；
则当为时，是满足条件的最大值．
故答案为：9；5438.
【分析】由题意知，，整理变形得，得a+b是9的倍数，又根据题目中的取值范围，得a+b=9，，分类讨论：根据a为千位数字， a+b=9，可知b越小，a越大， n越大，当a=9时，9a+10=91，不符合题意；以此类推，当a=5时，利用二元一次方程组进行解答，符合题意，即可求解.
13．【答案】104020，102040等写出一个即可
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】
9x3-xy2 =x(9x
2-y
2)=x(3x+y)(3x-y), 当x=10, y=10时，x=10, 3x+y=3×10+10=40, 3x-y=3×10-10=20；
∵(3x+y)和(3x-y)两个因式可以互换位置，故用此方法产生的密码是： 104020或102040.
【分析】先分解因式，再根据题给原理代入已知数，破解密码。
14．【答案】（1）解：①x2-y2+x+y
=(x2-y2)+(x+y)
=(x+y)(x-y)+(x+y)
=(x+y)(x-y+1) ；
②ab-a-b+1
=(ab-a)-(b-1)
=a(b-1)-(b-1)
=(b-1)(a-1)；
（2）解：∵ab-a-b-6=0，
∴ab-a-b+1-1-6=0，
∴(ab-a)-(b-1)-7=0，
∴a(b-1)-(b-1)-7=0，
∴(b-1)(a-1)=7，
∵a、b都是正整数，
∴或，
∴或，
当a=2，b=8时，2a+b=12；
当a=8，b=2时，2a+b=18，
综上2a+b的值为12或18.
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）①分别将第一、二项，第三、四项结合，第一组利用平方差公式分解因式后组间再利用提取公因式法分解即可；
②分别将第一、二项，第三、四项结合，连续两次提取公因式便可达到分解因式的目的；
（2）通过配方法及分组分解法把原方程化成两个因式的积等于一个常数的形式，再根据整数的性质求解即可.
15．【答案】（1）解：①
．
②
．
③
．
（2）解：∵，
∴．
∴．
∴．
∵，，，
∴，，；
∴，，．
∴．
∴此三角形为等边三角形．
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】(1)①先分组，再提取公因式，最后再提取公因式即可；②先分组，再提取公因式，最后再提取公因式即可；③先分组，再提取公因式，最后再提取公因式即可；
(2)把左右两边同时乘以2，再分组得 ，根据完全平方公式分解可得，最后根据非负数的性质得，，，从而得三角形是等边三角形.
16．【答案】（1）
（2）
（3）25或36
（4）解：∵的最优分解比为，
∴，
∴的因数只有1和它本身，
∴是一个质数，
∴必须是一个偶数，
当时，不符合题意；
当时，符合题意；
当时，不符合题意；
当时，不符合题意；
当时，符合题意；
∴的最小值为17.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得24等最优分解比为，
故答案为：；
（2）由题意得的最优分解比为，
故答案为：
（3）∵最优分解比为1，即，
∴，
∴满足题意的数有25（最优分解为），36（最优分解为），
故答案为：25或36
【分析】（1）由新定义直接可求解；
（2）由新定义可得答案；
（3）完全平方数最优分解比为1，即可求解；
（4）根据“n2 2n＋9的最优分解比为“可知n2 2n＋9是质数，结合1≤n≤10可得n2 2n＋9的最小值．
17．【答案】（1）1
（2）解：设
，
∴，
解得；
∴多项式的另一因式是；
（3）解：不能，理由：
∵设
，
∴，，
解得：、或、，
∴系数不是整数，
∴多项式是不能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
解得；
故答案为：1；
【分析】（1）根据待定系数法可得，再求出a的值即可；
（2）设，再利用多项式乘多项式的计算方法展开，利用待定系数法可得，再求出a的值，即可得到答案；
（3）方法同（2），利用多项式乘多项式的计算方法展开，利用待定系数法可得，，求出a、b的值，再根据系数不是整数，即可得到答案。
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