2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 9.1 分式及其基本性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2020八上·麒麟期末）若分式 有意义，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式 有意义，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。
2．（2024八上·黔西南期末）对于分式，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】
故答案为：B.
【分析】根据分式的基本性质：分子分母同时乘以-1，即可求解.
3．（2023八上·东安期中）把代数式中的x，y同时扩大2倍后，代数式的值（ ）
A．扩大为原来的1倍 B．扩大为原来2倍
C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的一半
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：由题意得，原式==，可知代数式的值比原来扩大4倍，C正确。
故答案为：C.
【分析】根据题意可知， x，y同时扩大2倍后 ，原x变为2x，原y变为2y，分别带入原式替换掉x、y即可。
4．（2019九下·瑞安月考）若分式 的值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】因为分式 的值为 ，
所以x+3=0，
所以x=-3.
故答案为：A.
【分析】分式的值为0，即是使分子为0且分母不为0，据此解答即可.
5．（2024七上·诸暨期末）把方程 的分母化成整数，结果应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：方程 的分母化成整数为：
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质：分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不改变，据此即可求解.
6．（2024八上·汉阳期末）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 2 m
分式的值 0 3 无解
A．； B．； C．； D．.
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：当x=2时，代入分式得：，
∴4+b=0，
解得：b=-4；A不符合题意；
当x=-2时，分式无解，即无解，
∴-2-a=0，
解得：a=-2；B符合题意；D不符合题意；
将a=-2、b=-4代入分式得：，
当x=m时，代入分式得：，
解得：m=-10，C不符合题意；
故答案为：B.
【分析】将表中的三组数据分别代入分式，分别求出a、b、m的值，即可得出答案.
7．若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵x、y的值都扩大为原来的三倍，
∴，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项不符合题意；
，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】用3x与3y分别替换各个选项中的x、y，按运算顺序算出各个分式的值，再与原各个分式进行比较即可得出答案.
8．（2023八上·新邵期中）如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（ ）
A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处
【答案】B
【知识点】分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解： 原式=，是正整数，分子比分母小1，当时取最小值等于，，故表示这个数的点落在线②处.
故答案为：B.
【分析】先将分式因式分解，然后约分，再对分式的值进行估算，即可得到答案.
二、填空题
9．（2024八上·遵义期末）若分式有意义，则x应满足的条件是 ．
【答案】x≠﹣3
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意可得：x+3≠0，
解得：x≠-3，
故答案为：x≠-3.
【分析】利用分式有意义的条件可得x+3≠0，再求出x的取值范围即可.
10．（2024八上·岳阳期末）分式的值为，则 ．
【答案】-2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x+2=0，解得：x=-2
故答案为：-2
【分析】根据分式的值为0的条件即可求出答案.
11．（2018八上·西华期末）分式 的值为0，则 ．
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】由分式的值为零的条件得 1=0且(x+1)(x 2)≠0
解得：x=1，
故答案为：1.
【分析】分式的值为零的条件是分子为零，分母不为零，即 1=0且(x+1)(x 2)≠0，从中找出符合条件的x的值即可。
12． 已 知 则 的 值为 .
【答案】6
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵，
∴b-a=4ab，
∴a-b=-4ab，
∴.
故答案为：6.
【分析】根据等式的性质，由已知等式可得a-b=-4ab，进而将待求式子变形为后整体代入，接着分子分母分别合并同类项后再约分可得答案.
13．（2024八上·德惠期末） 式子①，②，③，④，⑤（x+y）中，是分式的有 ．
【答案】，，（x+y）
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解：由题意得，，（x+y）是分式，
故答案为：，，（x+y）
【分析】根据分式的定义结合题意对①，②，③，④，⑤（x+y）逐一分析即可求解。
三、解答题
14．在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论：
①=，②=．
小刚说：“①②两式都对．”
小明说：“①②两式都错．”
你认为他们两人到底谁对谁错，为什么？
【答案】解：都错了
①=分子分母都除以a，故①正确；
②=，a=0时，分子分母都乘以a无意义，故②错误；
∴两人的说法都错误．
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），分式的值不变，可得答案．
15．（2024八上·怀化期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：；．
（1）分式是 分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式、分别化为整式与真分式的和的形式；
（3）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
【答案】（1）假
（2）解：
，
；
（3）解：
，
∵分式的值为整数，x为整数，
∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1，
解得x=2或x=0，
∴当x＝2或0时，分式的值为整数．
【知识点】分式的约分；定义新运算
【解析】【解答】解：（1） 次数为2，的次数为1，，
分式是假分式.
故答案为：假.
【分析】（1）根据在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”即可判断.
（2）根据假分式转化为真分式的和的形式，类比材料中计算方法计算即可.
（3）先把假分式转化为整式与真分式的和的形式得 ，再根据方式的值为整数，且x也是整数，可得 x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1 ，再求解即可.
四、综合题
16．（2023八上·扶沟期末）材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如：.
类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如：.
.
材料二：为了研究字母a和分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据：
a … 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
请根据上述材料完成下列问题：
（1）把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式： ； ；
（2）当时.随着a的增大，分式的值 （填“增大”或“减小”）；
（3）当时，随着a的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由.
【答案】（1）；
（2）减小
（3）解：2，理由如下：
∵，
随着的增大，的值越来越小，
∴随着a的增大，分式的值无限趋近于2.
【知识点】分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解：（1）；；
故答案为：；；
（2）当时，，
当时，，
当时，，……
∵
∴当a增大时，的值越来越小.
故答案为：减小；
【分析】（1），，化简即可；
（2）分别求出a=2、3、4时分式的值，然后进行比较即可解答；
（3），随着a的增大，的值越来越小，据此解答.
17．（2022八下·洪泽期中）小红、小刚、小明三位同学在讨论：当x取何整数时，分式的值是整数？
小红说：这个分式的分子、分母都含有x，它们的值均随x取值的变化而变化，有点难.
小刚说：我会解这类问题：当x取何整数时，分式的值是整数？3是x+1的整数倍即可，注意不要忘记负数哦.
小明说：可将分式与分数进行类比.本题可以类比小学里学过的“假分数”，当分子大于分母时，可以将“假分数”化为一个整数与“真分数”的和.比如：＝＝2+（通常写成带分数：2）.类比分式，当分子的次数大于或等于分母次数时，可称这样的分式为“假分式”，若将化成一个整式与一个“真分式”的和，就转化成小刚说的那类问题了！
小红、小刚说：对！我们试试看！…
（1）解决小刚提出的问题；
（2）解决他们共同讨论的问题.
【答案】（1）解：当x+1＝±1，±3时，分式的值是整数，
∴x＝0，﹣2，2，﹣4.
（2）解：＝3﹣，
当x+1＝±1，±5时，分式的值为整数，
∴x＝0，﹣2，4，﹣6.
【知识点】分式的值
【解析】【分析】（1）当x+1＝±1，±3时，分式的值是整数，求解即可；
（2）对进行变形可得3-，当x+1＝±1，±5时，分式的值为整数，求解即可.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 9.1 分式及其基本性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2020八上·麒麟期末）若分式 有意义，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·黔西南期末）对于分式，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·东安期中）把代数式中的x，y同时扩大2倍后，代数式的值（ ）
A．扩大为原来的1倍 B．扩大为原来2倍
C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的一半
4．（2019九下·瑞安月考）若分式 的值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七上·诸暨期末）把方程 的分母化成整数，结果应为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·汉阳期末）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 2 m
分式的值 0 3 无解
A．； B．； C．； D．.
7．若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是 （ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·新邵期中）如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（ ）
A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处
二、填空题
9．（2024八上·遵义期末）若分式有意义，则x应满足的条件是 ．
10．（2024八上·岳阳期末）分式的值为，则 ．
11．（2018八上·西华期末）分式 的值为0，则 ．
12． 已 知 则 的 值为 .
13．（2024八上·德惠期末） 式子①，②，③，④，⑤（x+y）中，是分式的有 ．
三、解答题
14．在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论：
①=，②=．
小刚说：“①②两式都对．”
小明说：“①②两式都错．”
你认为他们两人到底谁对谁错，为什么？
15．（2024八上·怀化期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：；．
（1）分式是 分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式、分别化为整式与真分式的和的形式；
（3）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
四、综合题
16．（2023八上·扶沟期末）材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如：.
类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如：.
.
材料二：为了研究字母a和分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据：
a … 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
请根据上述材料完成下列问题：
（1）把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式： ； ；
（2）当时.随着a的增大，分式的值 （填“增大”或“减小”）；
（3）当时，随着a的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由.
17．（2022八下·洪泽期中）小红、小刚、小明三位同学在讨论：当x取何整数时，分式的值是整数？
小红说：这个分式的分子、分母都含有x，它们的值均随x取值的变化而变化，有点难.
小刚说：我会解这类问题：当x取何整数时，分式的值是整数？3是x+1的整数倍即可，注意不要忘记负数哦.
小明说：可将分式与分数进行类比.本题可以类比小学里学过的“假分数”，当分子大于分母时，可以将“假分数”化为一个整数与“真分数”的和.比如：＝＝2+（通常写成带分数：2）.类比分式，当分子的次数大于或等于分母次数时，可称这样的分式为“假分式”，若将化成一个整式与一个“真分式”的和，就转化成小刚说的那类问题了！
小红、小刚说：对！我们试试看！…
（1）解决小刚提出的问题；
（2）解决他们共同讨论的问题.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式 有意义，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。
2．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】
故答案为：B.
【分析】根据分式的基本性质：分子分母同时乘以-1，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：由题意得，原式==，可知代数式的值比原来扩大4倍，C正确。
故答案为：C.
【分析】根据题意可知， x，y同时扩大2倍后 ，原x变为2x，原y变为2y，分别带入原式替换掉x、y即可。
4．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】因为分式 的值为 ，
所以x+3=0，
所以x=-3.
故答案为：A.
【分析】分式的值为0，即是使分子为0且分母不为0，据此解答即可.
5．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：方程 的分母化成整数为：
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质：分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不改变，据此即可求解.
6．【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：当x=2时，代入分式得：，
∴4+b=0，
解得：b=-4；A不符合题意；
当x=-2时，分式无解，即无解，
∴-2-a=0，
解得：a=-2；B符合题意；D不符合题意；
将a=-2、b=-4代入分式得：，
当x=m时，代入分式得：，
解得：m=-10，C不符合题意；
故答案为：B.
【分析】将表中的三组数据分别代入分式，分别求出a、b、m的值，即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵x、y的值都扩大为原来的三倍，
∴，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项不符合题意；
，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】用3x与3y分别替换各个选项中的x、y，按运算顺序算出各个分式的值，再与原各个分式进行比较即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解： 原式=，是正整数，分子比分母小1，当时取最小值等于，，故表示这个数的点落在线②处.
故答案为：B.
【分析】先将分式因式分解，然后约分，再对分式的值进行估算，即可得到答案.
9．【答案】x≠﹣3
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意可得：x+3≠0，
解得：x≠-3，
故答案为：x≠-3.
【分析】利用分式有意义的条件可得x+3≠0，再求出x的取值范围即可.
10．【答案】-2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x+2=0，解得：x=-2
故答案为：-2
【分析】根据分式的值为0的条件即可求出答案.
11．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】由分式的值为零的条件得 1=0且(x+1)(x 2)≠0
解得：x=1，
故答案为：1.
【分析】分式的值为零的条件是分子为零，分母不为零，即 1=0且(x+1)(x 2)≠0，从中找出符合条件的x的值即可。
12．【答案】6
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵，
∴b-a=4ab，
∴a-b=-4ab，
∴.
故答案为：6.
【分析】根据等式的性质，由已知等式可得a-b=-4ab，进而将待求式子变形为后整体代入，接着分子分母分别合并同类项后再约分可得答案.
13．【答案】，，（x+y）
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解：由题意得，，（x+y）是分式，
故答案为：，，（x+y）
【分析】根据分式的定义结合题意对①，②，③，④，⑤（x+y）逐一分析即可求解。
14．【答案】解：都错了
①=分子分母都除以a，故①正确；
②=，a=0时，分子分母都乘以a无意义，故②错误；
∴两人的说法都错误．
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），分式的值不变，可得答案．
15．【答案】（1）假
（2）解：
，
；
（3）解：
，
∵分式的值为整数，x为整数，
∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1，
解得x=2或x=0，
∴当x＝2或0时，分式的值为整数．
【知识点】分式的约分；定义新运算
【解析】【解答】解：（1） 次数为2，的次数为1，，
分式是假分式.
故答案为：假.
【分析】（1）根据在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”即可判断.
（2）根据假分式转化为真分式的和的形式，类比材料中计算方法计算即可.
（3）先把假分式转化为整式与真分式的和的形式得 ，再根据方式的值为整数，且x也是整数，可得 x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1 ，再求解即可.
16．【答案】（1）；
（2）减小
（3）解：2，理由如下：
∵，
随着的增大，的值越来越小，
∴随着a的增大，分式的值无限趋近于2.
【知识点】分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解：（1）；；
故答案为：；；
（2）当时，，
当时，，
当时，，……
∵
∴当a增大时，的值越来越小.
故答案为：减小；
【分析】（1），，化简即可；
（2）分别求出a=2、3、4时分式的值，然后进行比较即可解答；
（3），随着a的增大，的值越来越小，据此解答.
17．【答案】（1）解：当x+1＝±1，±3时，分式的值是整数，
∴x＝0，﹣2，2，﹣4.
（2）解：＝3﹣，
当x+1＝±1，±5时，分式的值为整数，
∴x＝0，﹣2，4，﹣6.
【知识点】分式的值
【解析】【分析】（1）当x+1＝±1，±3时，分式的值是整数，求解即可；
（2）对进行变形可得3-，当x+1＝±1，±5时，分式的值为整数，求解即可.
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