2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 9.1 分式及其基本性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八下·汕头开学）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠-2 B．x≠3 C．x >3 D．x <3
2．（2024八上·防城期末） 下列是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·盘龙期末）分式的值为0，则的值是（ ）
A．0 B． C．4 D．或4
4．（2020八上·兰山期末）若 、 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·安乡县期末）若分式的值为零，则的值为（ ）．
A．4或 B． C．或4 D．4
6．（2021八上·滑县期末）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．（2021九上·丽水期末）关于x，y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x，y）的对数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2019七下·蔡甸期末）已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024九下·福州开学考）已知非零实数x，y满足，则的值是 ．
10．约分：
（1） .
（2） .
11．不改变分式的值，将分式的分子与分母的各项系数化成整数 .
12．（2023七下·鄞州期末）当分别取值时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于 ．
13．（2022七下·绍兴期中）某段高速公路全长280公里，交警部门在高速公路上距入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5公里处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔16千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口 千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．
三、解答题
14．（2022八下·长沙竞赛）已知实数a，b，c满足 ， ，求 的值.
15．（2023七下·六安期末）先化简，再在的范围内选取一个你喜欢的整数a代入，求出化简后分式的值．
四、综合题
16．（2023七下·滨江期末）已知是常数， ．
（1）若，，求；
（2）试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式；
（3）若的取值与无关，请说明．
17．（2023八下·通川期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是 （填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；
（3）在化简时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：原式===，
小强：原式==，
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： ，
请你接着小强的方法完成化简．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得：，
解得：．
故答案为：B．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，得，即可求得x的取值范围．
2．【答案】C
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、是最简分式，C正确；
D、，D错误；
故答案为：C.
【分析】根据最简分式的定义逐一化简判断即可.
3．【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：x=-4，
故答案为：B.
【分析】利用分式的值为0的条件可得，再求出x的值即可.
4．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： 、 的值均扩大为原来的3倍，
变为： ，所以分式的值发生了变化，故 不符合题意；
变为： ，所以分式的值发生了变化，故 不符合题意；
变为： ，所以分式的值发生了变化，故 不符合题意；
变为： ，所以分式的值没有发生了变化，故 符合题意；
故答案为：D
【分析】根据分式的基本性质逐项求解判断即可。
5．【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得：(x+3)(x-4)=0，且x -16≠0，解得x=-3，
故答案为：B
【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，且分母不为0，列出式子求解即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的所有可能取值为 ，
即符合条件x的个数有4个.
故答案为：B.
【分析】可变形为，然后根据是一个正整数就可得到x的值.
7．【答案】D
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵xy﹣x+y＝﹣3，
∴，解得，
则x，y为整数，（其中）
当x>3时，y的分母永远比分子大，故不可能为整数，
当x=3时，y=0，符合题意，
当x=2时，y=，舍去，
当x=1时，y=-2，符合题意，
当x=0时，y=-3，符合题意，
当x=-2时，y=5，符合题意，
当x=-3时，y=3，符合题意，
当x=-4时，y=，舍去，
当x=-5时，y=2，符合题意，
当x<-5时，y不可能有整数解，
∴关于x，y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x，y）的对数共6对，
故答案为：D.
【分析】分别将x用含有y的代数式表示出来，将y用含有x的代数式表示出来，因为x，y均为整数，且各自的分母不能为0，分类讨论，即可求解.
8．【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴2（ ）＝18，
∴ ＝9，
∴ .
故答案为：A.
【分析】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案.
9．【答案】1
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵
∴y(x+1)=x，
∴xy=x-y
∴ =1
故答案为：1.
【分析】由已知等式可得xy=x-y，再根据等式的性质两边同时除以xy即可得出答案.
10．【答案】（1）
（2）
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：；
（2）.
故答案为：.
【分析】（1）由于分式的分子、分母都是单项式，故先找出分子、分母的公因式，然后直接约掉公因式即可；确定分子、分母的公因式，可概括为三“定”：1定系数，即确定分子、分母系数的最大公约数；2定字母，即确定分子、分母的相同字母因式(或相同多项式因式)；3定指数，即分子、分母相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂；
（2）由于该分式的分子、分母都是多项项式，故将能分解因式的分母利用完全平方公式分解因式，分子不能分解因式，就看成一个整体，然后直接约掉公因式即可.
11．【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：==.
故答案为：.
【分析】通过观察、分析可以看出，要想不改变分式的值，将分式的分子与分母的各项系数化成整数，必须利用分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以20即可.
12．【答案】
【知识点】分式的值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：把代入 ，
得 ，
把代入 ，
得 ，
，
当分别取值 和时，所得结果之和为0，
，
，
，
故答案为：.
【分析】观察代数式可发现，当x取互为倒数的两个值时，所得结果之和为0，故只需计算x取0和1时的结果之和I即可.
13．【答案】58，138，218
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设第n个限速标志牌和第m个摄像头刚好在同一位置，
∴3+5n=10+16m，得
∵m、n为正整数，且
∴m为3，8或13，则10+16m=58，138或218
故答案为：58，138，218
【分析】分别用式子表示限速标志牌距入口的距离，以及摄像头距入口的距离，构成等式，利用分式来求解正整数问题，即可.
14．【答案】解：∵ ，
∴ ，两边同时平方得 ，
即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
同理可得 ， ，
原式=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= .
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的值
【解析】【分析】根据a+b+c=0得a+b=-c，两边同时平方得2ab=c2-(a2+b2)，结合a2+b2+c2=1得ab=c2-，同理得ac=b2-，bc=a2-，待求式可变形为，据此计算.
15．【答案】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
又∵，且a是整数，
∴，
∴原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式有意义的条件
【解析】【分析】会运用分式除法法则及完全平方公式，不忽视分式有意义的条件。
16．【答案】（1）解：当，时，
；
（2）解：将两边都乘以得，
，
去括号得，，
移项得，，
两边都乘以得，，
即，
∴，；
（3）解：∵的取值与无关，
∴，即，
∴，即，
∴．
【知识点】分式的约分；等式的性质
【解析】【分析】（1）将a=-2与b=代入 计算并约分可得答案；
（2）将两边都乘以都乘以（x+a）约去分母后，再去括号、移项、合并同类项即可得出答案；
（3）由t的取值与x无关可得（2）中的A=0，可得b=t，进而ta+1=0，即ab+1=0，从而即可得出答案.
17．【答案】（1）②
（2）解：∵分式为和谐分式，且a为正整数，
∴a=4，a=-4（舍），a=5；
（3）解：小强利用了其中的和谐分式，第步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，
原式====
故答案为小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．
【知识点】分式的约分；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）① 中分子分母都不能分解，故不是"和谐分式"；
② 分母可以分解因式，但不可约分，故是"和谐分式"；
③，分母可以分解因式，但可以约分，故不是"和谐分式"；
④， 分子可以分解因式，但可以约分，故不是"和谐分式"；
故答案为：②.
【分析】（1）根据"和谐分式"的定义逐一判断即可；
（2） 由于分式为和谐分式 ，且分子不能分解，可知分母必可分解因式，据从求出整数a的值即可；
（3）根据题意及“和谐分式”的定义解答即可.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 9.1 分式及其基本性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八下·汕头开学）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠-2 B．x≠3 C．x >3 D．x <3
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得：，
解得：．
故答案为：B．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，得，即可求得x的取值范围．
2．（2024八上·防城期末） 下列是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、是最简分式，C正确；
D、，D错误；
故答案为：C.
【分析】根据最简分式的定义逐一化简判断即可.
3．（2024八上·盘龙期末）分式的值为0，则的值是（ ）
A．0 B． C．4 D．或4
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：x=-4，
故答案为：B.
【分析】利用分式的值为0的条件可得，再求出x的值即可.
4．（2020八上·兰山期末）若 、 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： 、 的值均扩大为原来的3倍，
变为： ，所以分式的值发生了变化，故 不符合题意；
变为： ，所以分式的值发生了变化，故 不符合题意；
变为： ，所以分式的值发生了变化，故 不符合题意；
变为： ，所以分式的值没有发生了变化，故 符合题意；
故答案为：D
【分析】根据分式的基本性质逐项求解判断即可。
5．（2024八上·安乡县期末）若分式的值为零，则的值为（ ）．
A．4或 B． C．或4 D．4
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得：(x+3)(x-4)=0，且x -16≠0，解得x=-3，
故答案为：B
【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，且分母不为0，列出式子求解即可得出答案.
6．（2021八上·滑县期末）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的所有可能取值为 ，
即符合条件x的个数有4个.
故答案为：B.
【分析】可变形为，然后根据是一个正整数就可得到x的值.
7．（2021九上·丽水期末）关于x，y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x，y）的对数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵xy﹣x+y＝﹣3，
∴，解得，
则x，y为整数，（其中）
当x>3时，y的分母永远比分子大，故不可能为整数，
当x=3时，y=0，符合题意，
当x=2时，y=，舍去，
当x=1时，y=-2，符合题意，
当x=0时，y=-3，符合题意，
当x=-2时，y=5，符合题意，
当x=-3时，y=3，符合题意，
当x=-4时，y=，舍去，
当x=-5时，y=2，符合题意，
当x<-5时，y不可能有整数解，
∴关于x，y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x，y）的对数共6对，
故答案为：D.
【分析】分别将x用含有y的代数式表示出来，将y用含有x的代数式表示出来，因为x，y均为整数，且各自的分母不能为0，分类讨论，即可求解.
8．（2019七下·蔡甸期末）已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴2（ ）＝18，
∴ ＝9，
∴ .
故答案为：A.
【分析】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案.
二、填空题
9．（2024九下·福州开学考）已知非零实数x，y满足，则的值是 ．
【答案】1
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵
∴y(x+1)=x，
∴xy=x-y
∴ =1
故答案为：1.
【分析】由已知等式可得xy=x-y，再根据等式的性质两边同时除以xy即可得出答案.
10．约分：
（1） .
（2） .
【答案】（1）
（2）
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：；
（2）.
故答案为：.
【分析】（1）由于分式的分子、分母都是单项式，故先找出分子、分母的公因式，然后直接约掉公因式即可；确定分子、分母的公因式，可概括为三“定”：1定系数，即确定分子、分母系数的最大公约数；2定字母，即确定分子、分母的相同字母因式(或相同多项式因式)；3定指数，即分子、分母相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂；
（2）由于该分式的分子、分母都是多项项式，故将能分解因式的分母利用完全平方公式分解因式，分子不能分解因式，就看成一个整体，然后直接约掉公因式即可.
11．不改变分式的值，将分式的分子与分母的各项系数化成整数 .
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：==.
故答案为：.
【分析】通过观察、分析可以看出，要想不改变分式的值，将分式的分子与分母的各项系数化成整数，必须利用分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以20即可.
12．（2023七下·鄞州期末）当分别取值时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于 ．
【答案】
【知识点】分式的值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：把代入 ，
得 ，
把代入 ，
得 ，
，
当分别取值 和时，所得结果之和为0，
，
，
，
故答案为：.
【分析】观察代数式可发现，当x取互为倒数的两个值时，所得结果之和为0，故只需计算x取0和1时的结果之和I即可.
13．（2022七下·绍兴期中）某段高速公路全长280公里，交警部门在高速公路上距入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5公里处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔16千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口 千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．
【答案】58，138，218
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设第n个限速标志牌和第m个摄像头刚好在同一位置，
∴3+5n=10+16m，得
∵m、n为正整数，且
∴m为3，8或13，则10+16m=58，138或218
故答案为：58，138，218
【分析】分别用式子表示限速标志牌距入口的距离，以及摄像头距入口的距离，构成等式，利用分式来求解正整数问题，即可.
三、解答题
14．（2022八下·长沙竞赛）已知实数a，b，c满足 ， ，求 的值.
【答案】解：∵ ，
∴ ，两边同时平方得 ，
即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
同理可得 ， ，
原式=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= .
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的值
【解析】【分析】根据a+b+c=0得a+b=-c，两边同时平方得2ab=c2-(a2+b2)，结合a2+b2+c2=1得ab=c2-，同理得ac=b2-，bc=a2-，待求式可变形为，据此计算.
15．（2023七下·六安期末）先化简，再在的范围内选取一个你喜欢的整数a代入，求出化简后分式的值．
【答案】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
又∵，且a是整数，
∴，
∴原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式有意义的条件
【解析】【分析】会运用分式除法法则及完全平方公式，不忽视分式有意义的条件。
四、综合题
16．（2023七下·滨江期末）已知是常数， ．
（1）若，，求；
（2）试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式；
（3）若的取值与无关，请说明．
【答案】（1）解：当，时，
；
（2）解：将两边都乘以得，
，
去括号得，，
移项得，，
两边都乘以得，，
即，
∴，；
（3）解：∵的取值与无关，
∴，即，
∴，即，
∴．
【知识点】分式的约分；等式的性质
【解析】【分析】（1）将a=-2与b=代入 计算并约分可得答案；
（2）将两边都乘以都乘以（x+a）约去分母后，再去括号、移项、合并同类项即可得出答案；
（3）由t的取值与x无关可得（2）中的A=0，可得b=t，进而ta+1=0，即ab+1=0，从而即可得出答案.
17．（2023八下·通川期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是 （填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；
（3）在化简时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：原式===，
小强：原式==，
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： ，
请你接着小强的方法完成化简．
【答案】（1）②
（2）解：∵分式为和谐分式，且a为正整数，
∴a=4，a=-4（舍），a=5；
（3）解：小强利用了其中的和谐分式，第步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，
原式====
故答案为小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．
【知识点】分式的约分；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）① 中分子分母都不能分解，故不是"和谐分式"；
② 分母可以分解因式，但不可约分，故是"和谐分式"；
③，分母可以分解因式，但可以约分，故不是"和谐分式"；
④， 分子可以分解因式，但可以约分，故不是"和谐分式"；
故答案为：②.
【分析】（1）根据"和谐分式"的定义逐一判断即可；
（2） 由于分式为和谐分式 ，且分子不能分解，可知分母必可分解因式，据从求出整数a的值即可；
（3）根据题意及“和谐分式”的定义解答即可.
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