2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 9.2 分式的运算同步分层训练基础题
一、选择题
1.(2024八上·遵义期末)化简:的结果是( )
A. B.1 C.2 D.0
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】,
故答案为:C.
【分析】利用分式的加法计算方法分析求解即可.
2.(2020八上·新洲月考)下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】分式的基本性质;分式的加减法
【解析】【解答】解:A、 ≠ ,故A选项不成立;
B、 = ,故B选项成立;
C、 不能约分,故C选项错误;
D、 ,故D选项不成立.
故答案为:B.
【分析】根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的数或式子,分式的值不变”并结合各选项可判断求解.
3.(2024八上·永定期末)计算的结果为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解:,
故答案为:A.
【分析】先计算乘方,再计算乘法.
4.(2022八上·莱西期中)照相机成像应用了一个重要原理,用公式表示,其中f表示照相机镜头的焦距,u表示物体到镜头的距离,v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f,v,则u=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解:∵,
∴
∴,
∴,
故答案为:C.
【分析】根据可得,再利用分式的减法计算方法求解即可。
5.(2020八上·晋州月考)计算 + ,正确的结果是( )
A.1 B. C.a D.
【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解: ;
故答案为:A.
【分析】直接利用分式的加法进行计算,即可得到答案.
6.化简(ab+b2)÷的结果是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解:原式=b(a+b)
=.
故选A.
【分析】原式利用除法法则变形,约分即可得到结果.
7.阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时,发现有一道填空题破了一个洞(如图),则破损部分的式子可能是( )
化简:
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解:破损部分的式子为:
故答案为:A.
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可.
8.(2024八上·绥阳期末)如图,若约定:上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式,则代数式M是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解:由题意得:,∴,∴D正确。
故答案为:D。
【分析】根据题意,列出等式,化简约分后,求出代数式M即可。
二、填空题
9.(2017·长春模拟)化简: = .
【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解: = = =1.
故答案为:1.
【分析】同分母分式相减,分子相减即可.
10.(2024八上·汉阳期末)若,且,,则m,n的大小关系是 .
【答案】m=n
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解:,
,
∵ab=1,
故,
,
∴m=n;
故答案为:m=n.
【分析】根据分式的性质将m、n化简,再将ab=1代入求出m、n的值,即可得出答案.
11.(2024八上·德惠期末)在一块a平方米的稻田上插秧,如果10个人插秧,要用m天完成;如果一台插秧机工作,要比10个人插秧提前3天完成.那么一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的 倍.
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解:根据题意可以得一台机器的工作效率为,一个人的工作效率为,所以,所以一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的 倍。
故答案为:.
【分析】根据题意可以求出一台机器的工作效率以及一个人的工作效率,然后利用工作效率=工作总量÷工作时间,进行计算即可得出答案。
12. 已知 则代数式 的值为 .
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解:∵2a2-7=2a,
∴2a2-2a=7,
∴2a(a-1)=7,
∴a(a-1)=
∴.
故答案为:.
【分析】由已知等式可得a(a-1)=,然后将待求式子先通分计算括号内的减法,然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式,同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法,进而约分化简后整体代入计算可得答案.
13.小王化简 的过程如下:
解
第一步
第二步
第三步
第四步
……第五步
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”),计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
【答案】因式分解;三;
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解:
小王计算的第一步是将第一个分式的分母利用平方差公式分解因式;计算过程的第三步出现了错误,错在分子相减的时候,应该是减去第二个分子整体,所以各项应该变号;正确的计算结果是.
故答案为:因式分解;三;.
【分析】根据异分母分式的减法法则,首先将第一个分式的分母利用平方差公式分解因式,确定出各个分母的最简公分母(x+2)(x-2),然后将第二个分式的分子、分母同时乘以x-2通分为同分母分式,然后按照同分母分式的减法法则:分母不变,分子相减进行计算,最后约分化简得出结果后即可逐项判断得出答案.
三、解答题
14.(2024八上·遵义期末)先化简再求值,再从1,2,3中选取一个适当的数代入求值.
【答案】解:
=
=
=
=,
要使分式有意义,必须x﹣1≠0且x﹣2≠0,
所以x不能为1和2,
取x=3,
当x=3时,原式==5.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简,再将x的值代入计算即可.
15.(2024八上·玉林期末)如图,老师在黑板上书写了一个正确的式子,然后随手用手掌捂住了式子的一部分,求老师捂住的部分.
【答案】解:由题意得
答:老师捂住的部分为.
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】根据一个因数等于积除以另一个因数,列出算式,进而根据分式除法法则计算可得答案.
四、综合题
16.(2023七下·柯桥期末)定义:若分式与分式的差等于它们的积,即,则称分式N是分式的“互联分式”.如与,因为,,所以是的“互联分式”.
(1)判断分式与分式是否是“互联分式”,请说明理由;
(2)小红在求分式的“互联分式”时,用了以下方法:
设的“互联分式”为,则,
,.
请你仿照小红的方法求分式的“互联分式”.
(3)解决问题:
仔细观察第(1)(2)小题的规律,请直接写出实数,的值,使是的“互联分式”.
【答案】(1)解:分式与分式是“互联分式”,理由如下:
∵,,
∴分式是分式的“互联分式”,
(2)解:设的“互联分式”为,则,
∴,
∴.
(3)解:由(1)(2)可得,的“互联分式”是,
∵是的“互联分式”
∴,
整理得
解得.
【知识点】分式的乘除法;分式的加减法;定义新运算;加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)利用分式的减法法则化简,根据分式的乘法法则计算,然后结合“互联分式”的概念进行判断;
(2)设的“互联分式”为N,则-N=×N,代入求解即可;
(3)由(1)(2)可得:的“互联分式”是,结合题意可得4b+2=4a-2且bx+b=bx+a+4b+2,联立求解可得a、b的值.
17.(2023八下·尧都期末)下面是某同学进行分式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务:
……………………第一步
……………………第二步
……………………第三步
……………………第四步
……………………第五步
……………………第六步
(1)填空:
①以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于 ;(填“整式乘法”或“因式分解”)
②以上化简步骤中,第 步是进行分式的通分,其依据是 ;
③第 步开始出现错误,出现错误的具体原因是 ;
(2)请直接写出该分式化简后的正确结果 .
【答案】(1)因式分解;三;分式的基本性质;四;括号前面是负号,去括号时,后两项没变号
(2)
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解:(2)
【分析】(1)①根据式子变形的结果即可求出答案;
②由通分的依据是分式的基本性质即可求出答案;
③由去括号的法则即可求出答案。
(2),先计算括号内,再计算分式的除法即可求出答案。
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一、选择题
1.(2024八上·遵义期末)化简:的结果是( )
A. B.1 C.2 D.0
2.(2020八上·新洲月考)下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
3.(2024八上·永定期末)计算的结果为( )
A. B. C. D.
4.(2022八上·莱西期中)照相机成像应用了一个重要原理,用公式表示,其中f表示照相机镜头的焦距,u表示物体到镜头的距离,v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f,v,则u=( )
A. B. C. D.
5.(2020八上·晋州月考)计算 + ,正确的结果是( )
A.1 B. C.a D.
6.化简(ab+b2)÷的结果是( )
A. B. C. D.
7.阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时,发现有一道填空题破了一个洞(如图),则破损部分的式子可能是( )
化简:
A. B. C. D.
8.(2024八上·绥阳期末)如图,若约定:上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式,则代数式M是( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.(2017·长春模拟)化简: = .
10.(2024八上·汉阳期末)若,且,,则m,n的大小关系是 .
11.(2024八上·德惠期末)在一块a平方米的稻田上插秧,如果10个人插秧,要用m天完成;如果一台插秧机工作,要比10个人插秧提前3天完成.那么一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的 倍.
12. 已知 则代数式 的值为 .
13.小王化简 的过程如下:
解
第一步
第二步
第三步
第四步
……第五步
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”),计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
三、解答题
14.(2024八上·遵义期末)先化简再求值,再从1,2,3中选取一个适当的数代入求值.
15.(2024八上·玉林期末)如图,老师在黑板上书写了一个正确的式子,然后随手用手掌捂住了式子的一部分,求老师捂住的部分.
四、综合题
16.(2023七下·柯桥期末)定义:若分式与分式的差等于它们的积,即,则称分式N是分式的“互联分式”.如与,因为,,所以是的“互联分式”.
(1)判断分式与分式是否是“互联分式”,请说明理由;
(2)小红在求分式的“互联分式”时,用了以下方法:
设的“互联分式”为,则,
,.
请你仿照小红的方法求分式的“互联分式”.
(3)解决问题:
仔细观察第(1)(2)小题的规律,请直接写出实数,的值,使是的“互联分式”.
17.(2023八下·尧都期末)下面是某同学进行分式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务:
……………………第一步
……………………第二步
……………………第三步
……………………第四步
……………………第五步
……………………第六步
(1)填空:
①以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于 ;(填“整式乘法”或“因式分解”)
②以上化简步骤中,第 步是进行分式的通分,其依据是 ;
③第 步开始出现错误,出现错误的具体原因是 ;
(2)请直接写出该分式化简后的正确结果 .
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】,
故答案为:C.
【分析】利用分式的加法计算方法分析求解即可.
2.【答案】B
【知识点】分式的基本性质;分式的加减法
【解析】【解答】解:A、 ≠ ,故A选项不成立;
B、 = ,故B选项成立;
C、 不能约分,故C选项错误;
D、 ,故D选项不成立.
故答案为:B.
【分析】根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的数或式子,分式的值不变”并结合各选项可判断求解.
3.【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解:,
故答案为:A.
【分析】先计算乘方,再计算乘法.
4.【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解:∵,
∴
∴,
∴,
故答案为:C.
【分析】根据可得,再利用分式的减法计算方法求解即可。
5.【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解: ;
故答案为:A.
【分析】直接利用分式的加法进行计算,即可得到答案.
6.【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解:原式=b(a+b)
=.
故选A.
【分析】原式利用除法法则变形,约分即可得到结果.
7.【答案】A
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解:破损部分的式子为:
故答案为:A.
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可.
8.【答案】D
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解:由题意得:,∴,∴D正确。
故答案为:D。
【分析】根据题意,列出等式,化简约分后,求出代数式M即可。
9.【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解: = = =1.
故答案为:1.
【分析】同分母分式相减,分子相减即可.
10.【答案】m=n
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解:,
,
∵ab=1,
故,
,
∴m=n;
故答案为:m=n.
【分析】根据分式的性质将m、n化简,再将ab=1代入求出m、n的值,即可得出答案.
11.【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解:根据题意可以得一台机器的工作效率为,一个人的工作效率为,所以,所以一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的 倍。
故答案为:.
【分析】根据题意可以求出一台机器的工作效率以及一个人的工作效率,然后利用工作效率=工作总量÷工作时间,进行计算即可得出答案。
12.【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解:∵2a2-7=2a,
∴2a2-2a=7,
∴2a(a-1)=7,
∴a(a-1)=
∴.
故答案为:.
【分析】由已知等式可得a(a-1)=,然后将待求式子先通分计算括号内的减法,然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式,同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法,进而约分化简后整体代入计算可得答案.
13.【答案】因式分解;三;
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解:
小王计算的第一步是将第一个分式的分母利用平方差公式分解因式;计算过程的第三步出现了错误,错在分子相减的时候,应该是减去第二个分子整体,所以各项应该变号;正确的计算结果是.
故答案为:因式分解;三;.
【分析】根据异分母分式的减法法则,首先将第一个分式的分母利用平方差公式分解因式,确定出各个分母的最简公分母(x+2)(x-2),然后将第二个分式的分子、分母同时乘以x-2通分为同分母分式,然后按照同分母分式的减法法则:分母不变,分子相减进行计算,最后约分化简得出结果后即可逐项判断得出答案.
14.【答案】解:
=
=
=
=,
要使分式有意义,必须x﹣1≠0且x﹣2≠0,
所以x不能为1和2,
取x=3,
当x=3时,原式==5.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简,再将x的值代入计算即可.
15.【答案】解:由题意得
答:老师捂住的部分为.
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】根据一个因数等于积除以另一个因数,列出算式,进而根据分式除法法则计算可得答案.
16.【答案】(1)解:分式与分式是“互联分式”,理由如下:
∵,,
∴分式是分式的“互联分式”,
(2)解:设的“互联分式”为,则,
∴,
∴.
(3)解:由(1)(2)可得,的“互联分式”是,
∵是的“互联分式”
∴,
整理得
解得.
【知识点】分式的乘除法;分式的加减法;定义新运算;加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)利用分式的减法法则化简,根据分式的乘法法则计算,然后结合“互联分式”的概念进行判断;
(2)设的“互联分式”为N,则-N=×N,代入求解即可;
(3)由(1)(2)可得:的“互联分式”是,结合题意可得4b+2=4a-2且bx+b=bx+a+4b+2,联立求解可得a、b的值.
17.【答案】(1)因式分解;三;分式的基本性质;四;括号前面是负号,去括号时,后两项没变号
(2)
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解:(2)
【分析】(1)①根据式子变形的结果即可求出答案;
②由通分的依据是分式的基本性质即可求出答案;
③由去括号的法则即可求出答案。
(2),先计算括号内,再计算分式的除法即可求出答案。
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