2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 10.2 平行线的判定同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2021七下·哈尔滨开学考）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
2．如图，下列条件中，能判定a∥b的是（ ）
A．∠1+∠4=180° B．∠2=∠4
C．∠1=∠4 D．∠5=∠2+∠3
3．如图，直线AB，AF被BC所截，与∠2是同位角的是（ ）
A．∠1 B．∠5 C．∠3 D．∠4
4．（2023七下·前郭尔罗斯月考）如图，点E在BA延长线上，下列条件不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020七下·北京期末）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．旁内角互补，两直线平行 D．两点确定一条直线
6．（2023七下·海珠期末）下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．两个锐角的和是锐角
C．邻补角互补 D．同旁内角互补
7．（2023七下·昭通期末）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023七下·连州期末）如图，可以判定的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．在如图所示的6个角中，同位角有 对，它们是 ；内错角有 对，它们是 ；同旁内角有 对，它们是 .
10．如图，∠1与∠3是直线AB，CD被直线 所截构成的 角，∠2与∠4是直线 ， 被直线BD所截构成的 角.
11．如图，已知直线a，b，c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，则图中共有 组平行的直线，它们分别为 .
12．（2023七下·大兴期中）如图，点C在射线上，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）．
三、解答题
13．已知直线a，b，c，d的位置关系如图所示，直线a，c，d相交于一点，按要求解答下列问题。
（1）在图中所标注的角中，同位角共有多少对 请你全部写出来.
（2）∠4 与∠5 是什么位置关系的角 ∠6 与∠8之间的位置关系和∠4 与∠5的相同吗
14．复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．
（1）如图1，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了 对同旁内角．
（2）如图2，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有 对同旁内角．
（3）在同一平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角．
（4）在同-平面内n条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角．
四、综合题
15．（【精彩练习】初中数学浙教七下1.2同位角、内错角、同旁内角）对于复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零，这是一种常见的数学解题思想．
（1）如图1．直线l1、l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了 对同旁内角．
（2）如图2．平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A，B，C，图中一共有 对同旁内角．
（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角
16．（2021七下·安新期末）如图1，直线与交于点，锐角，．
（1）求证：；
（2）若为直线上一点（不与点重合），的平分线与的平分线所在的直线交于点．
①如图2，，为射线上一点，请补全图形并求的度数；
②的度数为 ▲ （用含的式子表示）．
17．（2018-2019学年初中数学浙教版七年级下册第一章 平行线 章末检测）将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起(其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，直角顶点C保持重合)．
（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 ．
②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为 ．
（2）由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）将三角尺BCE绕着点C顺时针转动，当∠ACE<180°，且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值(并写明此时哪两条边平行，但不必说明理由)；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【分析】此题在于考查同位角的概念，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，所以①②④符合要求．
【解答】图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
【点评】判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
2．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵
∴
∴则本项正确，符合题意；
B、∵∠2和∠4不是a和b被截的同位角或内错角，则无法判断则本项错误，不符合题意；
C、∵∠1和∠4不是a和b被截的同位角或内错角，则无法判断则本项错误，不符合题意；
D、∵∠2和∠3的和与∠5不是a和b被截的同位角或内错角，则无法判断则本项错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，逐项判断即可.
3．【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：∵从图中可以看出：与∠2是同位角的有：∠1、∠4.
∴直线AB，AF被BC所截得到的同位角是∠4.
故答案为：D.
【分析】根据同位角的定义和模型分析研究可以得到答案.
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、∵，∴，∴A不符合题意；
B、∵，∴，∴B不符合题意；
C、∵，∴AD//BC，∴C符合题意；
D、∵，∴，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 利用平行线的判定方法逐项分析判断即可.
5．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角，所以只能依据：同位角相等，两直线平行，
故答案为： ．
【分析】如图所示，过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
6．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：如图，，
A、，但和不是对顶角，A不符合题意；
B、，
，B不符合题意；
C、，和是邻补角，C符合题意；
D、和是同旁内角，且，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.
两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.
如果两个角都在第三条直线的同旁，并且都在两条被截线之间，那么这两个角叫做同旁内角.
7．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】 A：， AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B ：，可证得BC∥AD，无法证明AB∥CD
C：，AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
D：， AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
故选：B
【分析】熟知平行线的判断定理。
8．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、不能判定两直线平行，A不符合题意；
B、，
，B符合题意；
C、不能判定两直线平行，C不符合题意；
D、 ，
，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据“同旁内角互补，两直线平行”即可判断.
9．【答案】2；∠1与∠6，∠3与∠5；2；∠2与∠3，∠4与∠6；4；∠1与∠2，∠2与∠4，∠4与∠5，∠1与∠5
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解： 在如图所示的6个角中，同位角有 2 对，它们是 ∠1与∠6，∠3与∠5；内错角有2对，它们是∠2与∠3，∠4与∠6；同旁内角有4对，它们是∠1与∠2，∠2与∠4，∠4与∠5，∠1与∠5.
故答案为：2，∠1与∠6，∠3与∠5；2，∠2与∠3，∠4与∠6；4，∠1与∠2，∠2与∠4，∠4与∠5，∠1与∠5.
【分析】找同位角、内错角、同旁内角的关键是先找到截线和被截线，如果两个角都有一条边在同一条直线上，这条直线就称为截线，另外的两条线被称为被截线，然后分解图形，根据它们的定义和模型分析属于哪一类角.
10．【答案】BD；内错；AD；BC；内错
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：∵∠1与∠3是直线AB、CD被直线BD所截构成的内错角；∠2与∠4是直线BC、AD被直线BD所截构成的内错角.
故答案为：BD、内错；AD、BC、内错.
【分析】找同位角、内错角、同旁内角的关键是先找到截线和被截线，如果两个角都有一条边在同一条直线上，这条直线就称为截线，另外的两条线被称为被截线，然后分解图形，根据它们的定义和模型分析属于哪一类角.
11．【答案】3；a∥b，b∥c，a∥c
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定
【解析】【解答】解：如图：
∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∵∠2+∠3=180°，
∠4+∠3=180°，
∴∠2=∠4，
∴b∥c，
又∵a∥b，
∴a∥c.
故答案为：3；a∥b，b∥c，a∥c.
【分析】由∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行，可以得出a∥b，再结合题中已知∠2+∠3=180°，图中可以知道∠4+∠3=180°，根据同角的补角相等得出∠2=∠4，进而根据同位角相等，两直线平行，可以得出b∥c，再根据平行公理的推论：平行于同一直线的两条直线互相平行，可以得到a∥c，所以共有3组平行的直线.
12．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴AB∥CE（同位角相等，两直线平行）.
故答案为：
【分析】根据平行线的判定方法进行添加即可（答案不唯一）.
13．【答案】（1）解：同位角共有5对，分别是∠1与∠5，∠2 与∠3，∠3 与∠7，∠4与∠6，∠4 与∠9
（2）解：∠4 与∠5 是同旁内角，∠6 与∠8 也是同旁内角，故∠6 与∠8 之间的位置关系和∠4 与∠5 的相同
【知识点】同位角的概念；同旁内角的概念
【解析】【分析】（1）根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫作同位角，据此即可求解；
（2）根据旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫作同旁内角，据此即可求解.
14．【答案】（1）2
（2）6
（3）24
（4）n(n-1)(n-2)
【知识点】探索图形规律；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：（1） 直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了2对同旁内角；
故答案为：2；
（2） 平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有6对同旁内角；
故答案为：6；
（3） 如图，
在同一平面内四条直线两两相交，交点最多有6个，由图形可知任意不同的两条直线都可被另外的两条直线所截，
∴任意不相同的两条直线可以形成4对同旁内角，4条直线共有6种两条直线被另外两条直线所截的情况，
∴最多有24对同旁内角；
故答案为：24；
（4） ∵平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，形成的同位角有6对，6=3×2×1；
在同一平面内四条直线两两相交，形成的同位角有24对，24=4×3×2；
……
∴在同-平面内n条直线两两相交，最多可以形成n(n-1)(n-2)对同旁内角.
故答案为：n(n-1)(n-2).
【分析】（1）（2）（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线（两条被截直线）之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此判断可得答案；
（4）根据前面几个小题得到的答案找到规律，从而可得在同-平面内n条直线两两相交，最多可以形成n(n-1)(n-2)对同旁内角.
15．【答案】（1）2
（2）6
（3）24
【知识点】探索图形规律；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：（1）如图，
如图1．直线l1、l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成的同旁内角有∠DAB和∠ABE；∠CAB和∠ABF，一共2对；
故答案为：2.
（2）如图，
图形中的同旁内角有：∠DAB和∠ABG；∠CAB和∠CBA；∠ACB和∠BAC；∠AHC和∠ACM；∠FBC和∠BCE；∠ABC和∠ACB；一共有6对
故答案为：6.
(3)平面内四条直线两两相交，交点最多为6个，最多可以形成4×(4-1) ×(4- 2)=24(对)同旁内角．
故答案为：24.
【分析】（1）两条直线被第三条直线所截时，夹在两条直线的内部，且在截线同侧的两个角互为同旁内角；观察图1，可得到这个基本图形中，同旁内角的对数.
（2）观察图2，可知直线AB和BC被直线AC所截；直线BC，AC被直线AB所截；直线AC，AB被直线BC所截；由此可得图中同旁内角的对数.
（3）利用（1）（2）的规律可知：平面内四条直线两两相交，交点最多为6个，可得到形成的同旁内角的对数.
16．【答案】（1）证明：∵，，
∴．
∴．
（2）①①如图，虚线即为补全的图形．
∵的平分线与的平分线所在的直线交于点，
∴，．
由（1）知，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴；
②或
【知识点】角的运算；平行线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】（2）②或
当点在射线上时，
由①知，
．
如图，当点在射线上时，
．
故②的符合题意答案是：或
【分析】（1）利用邻补角的意义，得出，根据内错角相等，两直线平行即可得出结论；
（2）①根据题意画出图形结合（1）即可求出的度数；②结合①即可写出的度数。
17．【答案】（1）135°；40°
（2）∠ACB＋∠DCE＝180°.理由如下：
∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB，
∴∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCB＋∠DCE＝90°＋∠ECB＝90°＋90°＝180°.
（3）(3)存在．当∠ACE＝30°时，AD∥BC；当∠ACE＝45°时，AC∥BE；当∠ACE＝120°时，AD∥CE；当∠ACE＝135°时，CD∥BE；当∠ACE＝165°时，AD∥BE.
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【解答】（1）①∵∠ECB＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠DCB＝90°－45°＝45°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋45°＝135°.
②∵∠ACB＝140°，∠ACD＝90°，
∴∠DCB＝140°－90°＝50°，
∴∠DCE＝90°－50°＝40°.
【分析】（1）①根据角的和差，由∠DCB＝∠BCE-∠DCE，即可算出∠DCB的度数，进而根据∠ACB＝∠ACD＋∠DCB即可算出答案；②根据角的和差，由∠DCB=∠ACB-∠ACD算出∠DCB的度数，再根据∠DCE＝∠ECB-∠DCB即可算出答案；
（2） ∠ACB＋∠DCE＝180°.理由如下： 根据角的和差得出 ∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB ，故 由∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCB＋∠DCE ＝90°＋∠ECB 即可算出答案；
（3） 存在．当∠ACE＝30°时，根据内错角相等二直线平行得出AD∥BC；当∠ACE＝45°时，内错角相等二直线平行得出AC∥BE；当∠ACE＝120°时，根据同旁内角互补，二直线平行得出AD∥CE；当∠ACE＝135°时，根据内错角相等二直线平行得出CD∥BE；当∠ACE＝165°时，根据同旁内角互补，二直线平行得出AD∥BE.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 10.2 平行线的判定同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2021七下·哈尔滨开学考）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【分析】此题在于考查同位角的概念，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，所以①②④符合要求．
【解答】图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
【点评】判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
2．如图，下列条件中，能判定a∥b的是（ ）
A．∠1+∠4=180° B．∠2=∠4
C．∠1=∠4 D．∠5=∠2+∠3
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵
∴
∴则本项正确，符合题意；
B、∵∠2和∠4不是a和b被截的同位角或内错角，则无法判断则本项错误，不符合题意；
C、∵∠1和∠4不是a和b被截的同位角或内错角，则无法判断则本项错误，不符合题意；
D、∵∠2和∠3的和与∠5不是a和b被截的同位角或内错角，则无法判断则本项错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，逐项判断即可.
3．如图，直线AB，AF被BC所截，与∠2是同位角的是（ ）
A．∠1 B．∠5 C．∠3 D．∠4
【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：∵从图中可以看出：与∠2是同位角的有：∠1、∠4.
∴直线AB，AF被BC所截得到的同位角是∠4.
故答案为：D.
【分析】根据同位角的定义和模型分析研究可以得到答案.
4．（2023七下·前郭尔罗斯月考）如图，点E在BA延长线上，下列条件不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、∵，∴，∴A不符合题意；
B、∵，∴，∴B不符合题意；
C、∵，∴AD//BC，∴C符合题意；
D、∵，∴，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 利用平行线的判定方法逐项分析判断即可.
5．（2020七下·北京期末）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．旁内角互补，两直线平行 D．两点确定一条直线
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角，所以只能依据：同位角相等，两直线平行，
故答案为： ．
【分析】如图所示，过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
6．（2023七下·海珠期末）下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．两个锐角的和是锐角
C．邻补角互补 D．同旁内角互补
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：如图，，
A、，但和不是对顶角，A不符合题意；
B、，
，B不符合题意；
C、，和是邻补角，C符合题意；
D、和是同旁内角，且，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.
两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.
如果两个角都在第三条直线的同旁，并且都在两条被截线之间，那么这两个角叫做同旁内角.
7．（2023七下·昭通期末）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】 A：， AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B ：，可证得BC∥AD，无法证明AB∥CD
C：，AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
D：， AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
故选：B
【分析】熟知平行线的判断定理。
8．（2023七下·连州期末）如图，可以判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、不能判定两直线平行，A不符合题意；
B、，
，B符合题意；
C、不能判定两直线平行，C不符合题意；
D、 ，
，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据“同旁内角互补，两直线平行”即可判断.
二、填空题
9．在如图所示的6个角中，同位角有 对，它们是 ；内错角有 对，它们是 ；同旁内角有 对，它们是 .
【答案】2；∠1与∠6，∠3与∠5；2；∠2与∠3，∠4与∠6；4；∠1与∠2，∠2与∠4，∠4与∠5，∠1与∠5
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解： 在如图所示的6个角中，同位角有 2 对，它们是 ∠1与∠6，∠3与∠5；内错角有2对，它们是∠2与∠3，∠4与∠6；同旁内角有4对，它们是∠1与∠2，∠2与∠4，∠4与∠5，∠1与∠5.
故答案为：2，∠1与∠6，∠3与∠5；2，∠2与∠3，∠4与∠6；4，∠1与∠2，∠2与∠4，∠4与∠5，∠1与∠5.
【分析】找同位角、内错角、同旁内角的关键是先找到截线和被截线，如果两个角都有一条边在同一条直线上，这条直线就称为截线，另外的两条线被称为被截线，然后分解图形，根据它们的定义和模型分析属于哪一类角.
10．如图，∠1与∠3是直线AB，CD被直线 所截构成的 角，∠2与∠4是直线 ， 被直线BD所截构成的 角.
【答案】BD；内错；AD；BC；内错
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：∵∠1与∠3是直线AB、CD被直线BD所截构成的内错角；∠2与∠4是直线BC、AD被直线BD所截构成的内错角.
故答案为：BD、内错；AD、BC、内错.
【分析】找同位角、内错角、同旁内角的关键是先找到截线和被截线，如果两个角都有一条边在同一条直线上，这条直线就称为截线，另外的两条线被称为被截线，然后分解图形，根据它们的定义和模型分析属于哪一类角.
11．如图，已知直线a，b，c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，则图中共有 组平行的直线，它们分别为 .
【答案】3；a∥b，b∥c，a∥c
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定
【解析】【解答】解：如图：
∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∵∠2+∠3=180°，
∠4+∠3=180°，
∴∠2=∠4，
∴b∥c，
又∵a∥b，
∴a∥c.
故答案为：3；a∥b，b∥c，a∥c.
【分析】由∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行，可以得出a∥b，再结合题中已知∠2+∠3=180°，图中可以知道∠4+∠3=180°，根据同角的补角相等得出∠2=∠4，进而根据同位角相等，两直线平行，可以得出b∥c，再根据平行公理的推论：平行于同一直线的两条直线互相平行，可以得到a∥c，所以共有3组平行的直线.
12．（2023七下·大兴期中）如图，点C在射线上，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴AB∥CE（同位角相等，两直线平行）.
故答案为：
【分析】根据平行线的判定方法进行添加即可（答案不唯一）.
三、解答题
13．已知直线a，b，c，d的位置关系如图所示，直线a，c，d相交于一点，按要求解答下列问题。
（1）在图中所标注的角中，同位角共有多少对 请你全部写出来.
（2）∠4 与∠5 是什么位置关系的角 ∠6 与∠8之间的位置关系和∠4 与∠5的相同吗
【答案】（1）解：同位角共有5对，分别是∠1与∠5，∠2 与∠3，∠3 与∠7，∠4与∠6，∠4 与∠9
（2）解：∠4 与∠5 是同旁内角，∠6 与∠8 也是同旁内角，故∠6 与∠8 之间的位置关系和∠4 与∠5 的相同
【知识点】同位角的概念；同旁内角的概念
【解析】【分析】（1）根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫作同位角，据此即可求解；
（2）根据旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫作同旁内角，据此即可求解.
14．复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．
（1）如图1，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了 对同旁内角．
（2）如图2，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有 对同旁内角．
（3）在同一平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角．
（4）在同-平面内n条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角．
【答案】（1）2
（2）6
（3）24
（4）n(n-1)(n-2)
【知识点】探索图形规律；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：（1） 直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了2对同旁内角；
故答案为：2；
（2） 平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有6对同旁内角；
故答案为：6；
（3） 如图，
在同一平面内四条直线两两相交，交点最多有6个，由图形可知任意不同的两条直线都可被另外的两条直线所截，
∴任意不相同的两条直线可以形成4对同旁内角，4条直线共有6种两条直线被另外两条直线所截的情况，
∴最多有24对同旁内角；
故答案为：24；
（4） ∵平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，形成的同位角有6对，6=3×2×1；
在同一平面内四条直线两两相交，形成的同位角有24对，24=4×3×2；
……
∴在同-平面内n条直线两两相交，最多可以形成n(n-1)(n-2)对同旁内角.
故答案为：n(n-1)(n-2).
【分析】（1）（2）（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线（两条被截直线）之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此判断可得答案；
（4）根据前面几个小题得到的答案找到规律，从而可得在同-平面内n条直线两两相交，最多可以形成n(n-1)(n-2)对同旁内角.
四、综合题
15．（【精彩练习】初中数学浙教七下1.2同位角、内错角、同旁内角）对于复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零，这是一种常见的数学解题思想．
（1）如图1．直线l1、l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了 对同旁内角．
（2）如图2．平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A，B，C，图中一共有 对同旁内角．
（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角
【答案】（1）2
（2）6
（3）24
【知识点】探索图形规律；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：（1）如图，
如图1．直线l1、l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成的同旁内角有∠DAB和∠ABE；∠CAB和∠ABF，一共2对；
故答案为：2.
（2）如图，
图形中的同旁内角有：∠DAB和∠ABG；∠CAB和∠CBA；∠ACB和∠BAC；∠AHC和∠ACM；∠FBC和∠BCE；∠ABC和∠ACB；一共有6对
故答案为：6.
(3)平面内四条直线两两相交，交点最多为6个，最多可以形成4×(4-1) ×(4- 2)=24(对)同旁内角．
故答案为：24.
【分析】（1）两条直线被第三条直线所截时，夹在两条直线的内部，且在截线同侧的两个角互为同旁内角；观察图1，可得到这个基本图形中，同旁内角的对数.
（2）观察图2，可知直线AB和BC被直线AC所截；直线BC，AC被直线AB所截；直线AC，AB被直线BC所截；由此可得图中同旁内角的对数.
（3）利用（1）（2）的规律可知：平面内四条直线两两相交，交点最多为6个，可得到形成的同旁内角的对数.
16．（2021七下·安新期末）如图1，直线与交于点，锐角，．
（1）求证：；
（2）若为直线上一点（不与点重合），的平分线与的平分线所在的直线交于点．
①如图2，，为射线上一点，请补全图形并求的度数；
②的度数为 ▲ （用含的式子表示）．
【答案】（1）证明：∵，，
∴．
∴．
（2）①①如图，虚线即为补全的图形．
∵的平分线与的平分线所在的直线交于点，
∴，．
由（1）知，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴；
②或
【知识点】角的运算；平行线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】（2）②或
当点在射线上时，
由①知，
．
如图，当点在射线上时，
．
故②的符合题意答案是：或
【分析】（1）利用邻补角的意义，得出，根据内错角相等，两直线平行即可得出结论；
（2）①根据题意画出图形结合（1）即可求出的度数；②结合①即可写出的度数。
17．（2018-2019学年初中数学浙教版七年级下册第一章 平行线 章末检测）将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起(其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，直角顶点C保持重合)．
（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 ．
②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为 ．
（2）由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）将三角尺BCE绕着点C顺时针转动，当∠ACE<180°，且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值(并写明此时哪两条边平行，但不必说明理由)；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）135°；40°
（2）∠ACB＋∠DCE＝180°.理由如下：
∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB，
∴∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCB＋∠DCE＝90°＋∠ECB＝90°＋90°＝180°.
（3）(3)存在．当∠ACE＝30°时，AD∥BC；当∠ACE＝45°时，AC∥BE；当∠ACE＝120°时，AD∥CE；当∠ACE＝135°时，CD∥BE；当∠ACE＝165°时，AD∥BE.
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【解答】（1）①∵∠ECB＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠DCB＝90°－45°＝45°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋45°＝135°.
②∵∠ACB＝140°，∠ACD＝90°，
∴∠DCB＝140°－90°＝50°，
∴∠DCE＝90°－50°＝40°.
【分析】（1）①根据角的和差，由∠DCB＝∠BCE-∠DCE，即可算出∠DCB的度数，进而根据∠ACB＝∠ACD＋∠DCB即可算出答案；②根据角的和差，由∠DCB=∠ACB-∠ACD算出∠DCB的度数，再根据∠DCE＝∠ECB-∠DCB即可算出答案；
（2） ∠ACB＋∠DCE＝180°.理由如下： 根据角的和差得出 ∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB ，故 由∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCB＋∠DCE ＝90°＋∠ECB 即可算出答案；
（3） 存在．当∠ACE＝30°时，根据内错角相等二直线平行得出AD∥BC；当∠ACE＝45°时，内错角相等二直线平行得出AC∥BE；当∠ACE＝120°时，根据同旁内角互补，二直线平行得出AD∥CE；当∠ACE＝135°时，根据内错角相等二直线平行得出CD∥BE；当∠ACE＝165°时，根据同旁内角互补，二直线平行得出AD∥BE.
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