2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 10.3 平行线的性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024八上·威宁期末）一把直尺按如图所示摆放，，且，则的度数是（ ）
A．70° B．60° C．30° D．80°
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：EF//HG，
∴∠1=∠3=70°，
∵AB//CD，
∴∠3=∠2=70°，
故答案为：70°.
【分析】利用平行线的性质可得∠1=∠3=70°，再结合AB//CD，可得∠3=∠2=70°.
2．（2024八上·南山期末）光在不同介质中的传播速度不同，当光从空气射向某透明液体时会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，其两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，当，时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵水面和杯底互相平行，
∴，
∵两条入射光线互相平行，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质得，，从而可求得的值．
3．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上.若∠1=75°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：因为直尺的两条长边平行
∴∠1=∠3=75°
∵三角尺的直角为90°
∴∠2=180°-75°-90°=15°
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质和平角的性质即可解题.
4．（2020八上·谢家集期末）如图，把 剪成三部分，边 ， ， 放在同一直线 上，点 都落在直线 上，直线 .在 中，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线之间的距离；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，过点O分别作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵直线MN∥l，
∴OD=OE=OF，
∴点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，
∴∠BOC=180- （180-∠BAC）=90°+ ∠BAC=130°，
∴∠BAC=80°.
故答案为：C.
【分析】首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，从而容易得到∠BOC=90°+ ∠BAC，通过计算即可得到答案．
5．（2024九下·深圳开学考）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（ ）度时，AM∥BE．
A．15 B．65 C．70 D．115
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：AB∥L，CD∥L，
AB∥CD，
∠BCD＝∠ABC=60°，
∠BAC＝50°，
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=70°，
当∠MAC=∠ACB=70°时，AM∥BE．
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC=60°，再利用三角形的内角和定理求得∠ACB=70°，最后根据两直线平行的判定定理即可求解.
6．（2024七上·衡山期末）如图，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的大小为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】根据题意可得：∠CAB=90°，
∵a//b，，，
∴∠ABC=180°-∠1-∠CAB-∠2=180°-15°-90°-25°=50°，
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质及，，列出算式求出∠ABC的度数即可.
7．（2024七上·衡阳期末）如图，直线，点在上，点、点在上，的角平分线交于点，过点作于点，已知，则的度数为（ ）
A．26° B．32° C．36° D．42°
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ ∠OGD=148°，
∴∠EGO=32°
∵AB∥CD，
∴∠EGO =∠GOF，
∵的角平分线交于点，
∴∠GOE =∠GOF，
∵∠EGO=32°
∠EGO =∠GOF
∠GOE =∠GOF，
∴∠GOE=∠GOF=32°，
∵，
∴=90°-32°-32°=26°
故选A.
【分析】先利用角的运算求出∠EGO=32°，再利用平行线的性质及角平分线的定义可得∠GOE=∠GOF=32°，最后利用角的运算求出=90°-32°-32°=26°即可.
8．小明和小亮一起研究一道数学题，如图，BD⊥AC于点D，E是边BC 上的一点，过点 E作 EF⊥AC于点F，点G在AB上，连结DG，GE.小明说：“如果还知道∠GDB=∠FEC，则能得到∠AGD=∠ABC.”小亮说：“如果∠AGD=∠ABC，可得到∠GDB=∠FEC.”下列判断正确的是（ ）
A．小明的说法正确，小亮的说法错误
B．小明的说法正确，小亮的说法正确
C．小明的说法错误，小亮的说法正确
D．小明的说法错误，小亮的说法错误
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF⊥AC，BD⊥AC，
∴EF∥BD，
∴∠FEC=∠DBC，
如果∠GDB=∠FEC ，
则∠GDB=∠DBC，
∴GD∥BC，
∴∠AGD=∠ABC，故小明的说法正确；
如果∠AGD=∠ABC ，
则GD∥BC，
∴∠GDB=∠DBC，
∴∠GDB=∠FEC，故小亮的说法也正确.
故答案为：B.
【分析】先由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得EF∥BD，由二直线平行，同位角相等得∠FEC=∠DBC；如果∠GDB=∠FEC ，根据等量代换得∠GDB=∠DBC，由内错角相等，两直线平行得GD∥BC，再由两直线平行，同位角相等得∠AGD=∠ABC，从而即可判断小明的说法是否正确；如果∠AGD=∠ABC ，由同位角相等两直线平行得GD∥BC，由两直线平行，内错角相等得∠GDB=∠DBC，最后由等量代换可得∠GDB=∠FEC，据此可判断小亮的说法是否正确.
二、填空题
9．（2024八上·贵阳月考）如图所示，直线l1∥l2，∠1=55°，∠2=65°，则∠3为 .
【答案】60°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=55°，
∴∠4=∠1=55° ，
∵直线l1∥l2，∠2=65°，
∴∠5=∠2=65°，
∴∠3=l80°-55°-65°=60°.
故答案为：60°.
【分析】先根据对顶角相等得出∠4的度数，再由平行线的性质得出∠5的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论.
10．若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α=（2x+10）°，∠β=（3x-20）°，则∠α的度数为 。
【答案】70°或86°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠α与∠β的两边分别平行，
∴∠α与∠β相等或互补；
∵∠α=（2x+10）°，∠β=（3x-20）°，
∴（2x+10）+（3x-20）=180或2x+10=3x-20，
解得x=38或x=30，
当x=38°时，∠α=86°，
当x=30°时，∠α=70°．
故答案为：70°或86°．
【分析】根据∠α与∠β的两边分别平行，可得∠α与∠β相等或互补，因此可得出（2x+10）+（3x-20）=180或2x+10=3x-20，求出x，代入∠α求出即可．
11．如图，直线l1∥l2，∠1=20°，则∠2+∠3= °.
【答案】200
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BD∥l1，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥BD，
∴∠1=∠ABD=20°，∠DBC+∠3=180°，
∴∠ABD+∠3=180°+20°=200°，
即∠2+∠3=200°.
故答案为：200.
【分析】过点B作BD∥l1，由平行于同一直线的两条直线互相平行得l1∥l2∥BD，进而根据平行线的性质可得∠1=∠ABD=20°，∠DBC+∠3=180°，最后根据角的和差可得答案.
12．如图，在三角形ABC中，点D，F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1=∠B，∠2+∠3=180°.
（1）EH 与AD 的位置关系为
（2）若∠DGC=58°，且则∠H= .
【答案】（1）EH∥AD
（2）34°
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）EH∥AD，理由如下：
∵∠1=∠B，
∴AB∥GD，
∴∠2=∠BAD，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠BAD+∠3=180°，
∴EH∥AD；
故答案为：EH∥AD；
（2）由（1）得AB∥GD，
∴∠2=∠BAD，∠DGC=∠BAC，
∵∠DGC=58°，
∴∠BAC=58°，
∵EH∥AD，
∴∠2=∠H，
∴∠H=∠BAD，
∴∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=58°，
∵∠H=∠4+10°，
∴∠4=∠H-10°，
∴∠H+∠H-10°=58°，
∴∠H=34°．
故答案为：34°．
【分析】（1）平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，平行线的性质：两直线平行，内错角相等；
（2）由平行线的性质得到∠2=∠BAD=∠H，∠DGC=∠BAC=58°，再根据角度之间的等量关系求解.
13．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线之间，∠AEG和∠GHF的平分线相交于点M.C若∠EGH=82°，∠HFD=20°，则∠M的度数为 °.
【答案】31
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过点G、M、H作GN∥AB，MP∥AB，HK∥AB，如图：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵∠AEG和∠GHF的平分线相交于点M，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即
故答案为：31.
【分析】过点G、M、H作GN∥AB，MP∥AB，HK∥AB，则然后根据角平分线的定义得到进而即可求解.
三、解答题
14．（2024八上·贵阳月考）如图所示，在△ABC中，CE，CF分别是∠ACB及外角∠ACD的平分线，且CE交AB于点E，EF∥BC交AC于点M.
（1）判断EC与CF的位置关系，并说明理由；
（2）若∠B=40°，∠A=60°，求∠F的度数.
【答案】（1）解：EC⊥CF.理由如下：
∵CE，CF分别是∠ACB及外角∠ACD的平分线，∴∠MCE=∠ACB，
∠MCF=∠ACD.
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠MCE+∠MCF=90°，即∠ECF=90°，∴EC⊥CF.
（2）解：∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=100°.
∵CF平分∠ACD，∴∠FCD=∠ACD=50°.
∵EF∥BC，∴∠F=∠FCD=50°.
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠MCE=∠ACB，∠MCF=∠ACD，再由平角的定义得 ∠ACB+∠ACD=180°， 从而可求得 ∠ECF=90° ，即可得证；
（2）根据外角的性质求得 ∠ACD ，再由角平分的定义得 ∠FCD ，再根据平行线的性质即可求解.
15．（2024八上·深圳期末）如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∵
∵
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】(1)根据平行线的判定，同位角相等，即可得到两直线平行；
(2)依据平行线的性质，可得出∠CED=∠GHD，可知EC//GF， 又因为问题1已证AB//CD，即可得出∠FED =∠D=30°，∠CED =∠EHFD=80°；进而可求∠AEM =∠CEF=110°.
四、综合题
16．（2023七下·遂川期末）（1）计算：；
（2）如图，，交于点F，，，求的度数．
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：，，
．
，
．
【知识点】角的运算；平行线的性质；单项式除以单项式
【解析】【分析】（1）先利用幂的乘方和积的乘方化简，再利用单项式除单项式的计算方法求解即可；
（2）根据平行线的性质可得，再利用角的运算求出即可.
17．（2023七下·紫金期末）如图，已知，点，分别在，上，点在，之间，，，三点均在直线的同侧．
（1）如图，试说明；
（2）如图，若，，分别平分和，求的度数；
（3）如图，若的度数为，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，请用含的代数式表示．
【答案】（1）解：如图，过点作，则，
，，
，
，
，
（2）解：，
，
由（1）知，，
，分别平分和，
，
（3）解：设的度数为，的度数为，
则由（1）得，，
由（2）得，，
，
由得，．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】(1)过点作，利用平行线的性质得到，，进而证得 .
(2)由(1)可得，再利用角平分线的定义得到，故.
(3)设的度数为，的度数为，根据(1)中的结论可知，，且，再利用角平分线的定义求得、的度数，进而得到.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 10.3 平行线的性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024八上·威宁期末）一把直尺按如图所示摆放，，且，则的度数是（ ）
A．70° B．60° C．30° D．80°
2．（2024八上·南山期末）光在不同介质中的传播速度不同，当光从空气射向某透明液体时会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，其两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，当，时，（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上.若∠1=75°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
4．（2020八上·谢家集期末）如图，把 剪成三部分，边 ， ， 放在同一直线 上，点 都落在直线 上，直线 .在 中，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·深圳开学考）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（ ）度时，AM∥BE．
A．15 B．65 C．70 D．115
6．（2024七上·衡山期末）如图，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的大小为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
7．（2024七上·衡阳期末）如图，直线，点在上，点、点在上，的角平分线交于点，过点作于点，已知，则的度数为（ ）
A．26° B．32° C．36° D．42°
8．小明和小亮一起研究一道数学题，如图，BD⊥AC于点D，E是边BC 上的一点，过点 E作 EF⊥AC于点F，点G在AB上，连结DG，GE.小明说：“如果还知道∠GDB=∠FEC，则能得到∠AGD=∠ABC.”小亮说：“如果∠AGD=∠ABC，可得到∠GDB=∠FEC.”下列判断正确的是（ ）
A．小明的说法正确，小亮的说法错误
B．小明的说法正确，小亮的说法正确
C．小明的说法错误，小亮的说法正确
D．小明的说法错误，小亮的说法错误
二、填空题
9．（2024八上·贵阳月考）如图所示，直线l1∥l2，∠1=55°，∠2=65°，则∠3为 .
10．若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α=（2x+10）°，∠β=（3x-20）°，则∠α的度数为 。
11．如图，直线l1∥l2，∠1=20°，则∠2+∠3= °.
12．如图，在三角形ABC中，点D，F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1=∠B，∠2+∠3=180°.
（1）EH 与AD 的位置关系为
（2）若∠DGC=58°，且则∠H= .
13．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线之间，∠AEG和∠GHF的平分线相交于点M.C若∠EGH=82°，∠HFD=20°，则∠M的度数为 °.
三、解答题
14．（2024八上·贵阳月考）如图所示，在△ABC中，CE，CF分别是∠ACB及外角∠ACD的平分线，且CE交AB于点E，EF∥BC交AC于点M.
（1）判断EC与CF的位置关系，并说明理由；
（2）若∠B=40°，∠A=60°，求∠F的度数.
15．（2024八上·深圳期末）如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
四、综合题
16．（2023七下·遂川期末）（1）计算：；
（2）如图，，交于点F，，，求的度数．
17．（2023七下·紫金期末）如图，已知，点，分别在，上，点在，之间，，，三点均在直线的同侧．
（1）如图，试说明；
（2）如图，若，，分别平分和，求的度数；
（3）如图，若的度数为，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，请用含的代数式表示．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：EF//HG，
∴∠1=∠3=70°，
∵AB//CD，
∴∠3=∠2=70°，
故答案为：70°.
【分析】利用平行线的性质可得∠1=∠3=70°，再结合AB//CD，可得∠3=∠2=70°.
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵水面和杯底互相平行，
∴，
∵两条入射光线互相平行，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质得，，从而可求得的值．
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：因为直尺的两条长边平行
∴∠1=∠3=75°
∵三角尺的直角为90°
∴∠2=180°-75°-90°=15°
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质和平角的性质即可解题.
4．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线之间的距离；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，过点O分别作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵直线MN∥l，
∴OD=OE=OF，
∴点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，
∴∠BOC=180- （180-∠BAC）=90°+ ∠BAC=130°，
∴∠BAC=80°.
故答案为：C.
【分析】首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，从而容易得到∠BOC=90°+ ∠BAC，通过计算即可得到答案．
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：AB∥L，CD∥L，
AB∥CD，
∠BCD＝∠ABC=60°，
∠BAC＝50°，
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=70°，
当∠MAC=∠ACB=70°时，AM∥BE．
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC=60°，再利用三角形的内角和定理求得∠ACB=70°，最后根据两直线平行的判定定理即可求解.
6．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】根据题意可得：∠CAB=90°，
∵a//b，，，
∴∠ABC=180°-∠1-∠CAB-∠2=180°-15°-90°-25°=50°，
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质及，，列出算式求出∠ABC的度数即可.
7．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ ∠OGD=148°，
∴∠EGO=32°
∵AB∥CD，
∴∠EGO =∠GOF，
∵的角平分线交于点，
∴∠GOE =∠GOF，
∵∠EGO=32°
∠EGO =∠GOF
∠GOE =∠GOF，
∴∠GOE=∠GOF=32°，
∵，
∴=90°-32°-32°=26°
故选A.
【分析】先利用角的运算求出∠EGO=32°，再利用平行线的性质及角平分线的定义可得∠GOE=∠GOF=32°，最后利用角的运算求出=90°-32°-32°=26°即可.
8．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF⊥AC，BD⊥AC，
∴EF∥BD，
∴∠FEC=∠DBC，
如果∠GDB=∠FEC ，
则∠GDB=∠DBC，
∴GD∥BC，
∴∠AGD=∠ABC，故小明的说法正确；
如果∠AGD=∠ABC ，
则GD∥BC，
∴∠GDB=∠DBC，
∴∠GDB=∠FEC，故小亮的说法也正确.
故答案为：B.
【分析】先由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得EF∥BD，由二直线平行，同位角相等得∠FEC=∠DBC；如果∠GDB=∠FEC ，根据等量代换得∠GDB=∠DBC，由内错角相等，两直线平行得GD∥BC，再由两直线平行，同位角相等得∠AGD=∠ABC，从而即可判断小明的说法是否正确；如果∠AGD=∠ABC ，由同位角相等两直线平行得GD∥BC，由两直线平行，内错角相等得∠GDB=∠DBC，最后由等量代换可得∠GDB=∠FEC，据此可判断小亮的说法是否正确.
9．【答案】60°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=55°，
∴∠4=∠1=55° ，
∵直线l1∥l2，∠2=65°，
∴∠5=∠2=65°，
∴∠3=l80°-55°-65°=60°.
故答案为：60°.
【分析】先根据对顶角相等得出∠4的度数，再由平行线的性质得出∠5的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论.
10．【答案】70°或86°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠α与∠β的两边分别平行，
∴∠α与∠β相等或互补；
∵∠α=（2x+10）°，∠β=（3x-20）°，
∴（2x+10）+（3x-20）=180或2x+10=3x-20，
解得x=38或x=30，
当x=38°时，∠α=86°，
当x=30°时，∠α=70°．
故答案为：70°或86°．
【分析】根据∠α与∠β的两边分别平行，可得∠α与∠β相等或互补，因此可得出（2x+10）+（3x-20）=180或2x+10=3x-20，求出x，代入∠α求出即可．
11．【答案】200
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BD∥l1，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥BD，
∴∠1=∠ABD=20°，∠DBC+∠3=180°，
∴∠ABD+∠3=180°+20°=200°，
即∠2+∠3=200°.
故答案为：200.
【分析】过点B作BD∥l1，由平行于同一直线的两条直线互相平行得l1∥l2∥BD，进而根据平行线的性质可得∠1=∠ABD=20°，∠DBC+∠3=180°，最后根据角的和差可得答案.
12．【答案】（1）EH∥AD
（2）34°
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）EH∥AD，理由如下：
∵∠1=∠B，
∴AB∥GD，
∴∠2=∠BAD，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠BAD+∠3=180°，
∴EH∥AD；
故答案为：EH∥AD；
（2）由（1）得AB∥GD，
∴∠2=∠BAD，∠DGC=∠BAC，
∵∠DGC=58°，
∴∠BAC=58°，
∵EH∥AD，
∴∠2=∠H，
∴∠H=∠BAD，
∴∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=58°，
∵∠H=∠4+10°，
∴∠4=∠H-10°，
∴∠H+∠H-10°=58°，
∴∠H=34°．
故答案为：34°．
【分析】（1）平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，平行线的性质：两直线平行，内错角相等；
（2）由平行线的性质得到∠2=∠BAD=∠H，∠DGC=∠BAC=58°，再根据角度之间的等量关系求解.
13．【答案】31
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过点G、M、H作GN∥AB，MP∥AB，HK∥AB，如图：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵∠AEG和∠GHF的平分线相交于点M，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即
故答案为：31.
【分析】过点G、M、H作GN∥AB，MP∥AB，HK∥AB，则然后根据角平分线的定义得到进而即可求解.
14．【答案】（1）解：EC⊥CF.理由如下：
∵CE，CF分别是∠ACB及外角∠ACD的平分线，∴∠MCE=∠ACB，
∠MCF=∠ACD.
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠MCE+∠MCF=90°，即∠ECF=90°，∴EC⊥CF.
（2）解：∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=100°.
∵CF平分∠ACD，∴∠FCD=∠ACD=50°.
∵EF∥BC，∴∠F=∠FCD=50°.
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠MCE=∠ACB，∠MCF=∠ACD，再由平角的定义得 ∠ACB+∠ACD=180°， 从而可求得 ∠ECF=90° ，即可得证；
（2）根据外角的性质求得 ∠ACD ，再由角平分的定义得 ∠FCD ，再根据平行线的性质即可求解.
15．【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∵
∵
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】(1)根据平行线的判定，同位角相等，即可得到两直线平行；
(2)依据平行线的性质，可得出∠CED=∠GHD，可知EC//GF， 又因为问题1已证AB//CD，即可得出∠FED =∠D=30°，∠CED =∠EHFD=80°；进而可求∠AEM =∠CEF=110°.
16．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：，，
．
，
．
【知识点】角的运算；平行线的性质；单项式除以单项式
【解析】【分析】（1）先利用幂的乘方和积的乘方化简，再利用单项式除单项式的计算方法求解即可；
（2）根据平行线的性质可得，再利用角的运算求出即可.
17．【答案】（1）解：如图，过点作，则，
，，
，
，
，
（2）解：，
，
由（1）知，，
，分别平分和，
，
（3）解：设的度数为，的度数为，
则由（1）得，，
由（2）得，，
，
由得，．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】(1)过点作，利用平行线的性质得到，，进而证得 .
(2)由(1)可得，再利用角平分线的定义得到，故.
(3)设的度数为，的度数为，根据(1)中的结论可知，，且，再利用角平分线的定义求得、的度数，进而得到.
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