2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 10.3 平行线的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023七下·花溪月考） 如图，把一块含有30°角的三角尺的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=22°，那么∠2的度数是（ ）
A．22° B．32° C．38° D．44°
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由题可知：∠ABC=60°，，
，∠1=22°，
∠CBE=∠1=22°，
∠2=∠ABC-∠CBE=60°-22°=38°.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠CBE=∠1=22°，再根据角的和差计算即可.
2．如图，∠B+∠DCB=180°，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAC=5：2，则∠D的度数是 （ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠B+∠DCB=180°，
∴AB∥CD，
∴∠D+∠DAB=180°．
设∠D=5x，则∠DAC=2x，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAB=2∠DAC=2×2x=4x，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠DAB=180°．
∴5x+4x=180°，
∴x=20°，
∴∠D=5x=5×20=100°，
故答案为：100°．
【分析】首先根据平行线的判断和性质（两直线平行，同旁内角互补）得到∠D+∠DAB=180°，再根据已知比设未知数，列式求解即可.
3．（2024七上·朝阳期末）如图，直线，∠1、∠2和∠3的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过作，则，
∴，
∵，
∴，即，
故答案为：C．
【分析】过拐点作平行线，利用平行线的判定和性质求解是这类试题的常用方法。过作，则，则，根据，计算即可．
4．（2024七上·榆树期末）如图，在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东，甲、乙两地同时开工，要使若干天后公路准确接通，乙地所修的公路走向是（ ）
A．北偏东 B．南偏西 C．北偏东 D．南偏西
【答案】B
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AC∥BD，∠1=36°，
∴∠2=∠1=36°，
∴乙地所修公路的走向是南偏西36°，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到∠2=∠1=36°，进而结合方位角的定义即可求解。
5．如图，直线a，b被c，d所截，且a∥b，则下列结论中正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠2+∠4=180° D．∠1+∠4=180°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵直线a，b被c，d所截，且a∥b，
∴∠3=∠4；
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可得出答案.
6．如图，AB∥CD，将一副直角三角尺按如图摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°。有下列结论：①GE∥MP；②∠EFN=150°；③∠BEF=75°；④∠AEG=∠PMN。其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】①由题意得∠G=∠MPN=90°，∴GE∥MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，∴∠EFN=180°-∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFH=180°，FH∥CD，
∴∠HFN=∠MNP=45°，
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°，
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°，故③正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，
∵∠PMN=45°，
∴∠AEG=∠PMN，故④正确。综上所述，正确的有4个.
故答案为D.
【分析】①利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；
②∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③利用平行公理可得FH∥CD，从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°，再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④∠AEG、∠GEF和∠BEF，加起来为平角，可求出∠AEG，从而可判断．
7．如图1，当光从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1 与折射角∠2 的度数比为4：3.如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面的夹角分别为α，β，水中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（ ）
A． B．
C．α+β=γ D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：作三条平行线，如图，
根据题意得，∠1=(90°-α），∠3=(90°-β），
由平行的性质得，∠2=∠1，∠4=∠3，
∴ γ=∠2+∠4=∠1+∠3=(90°-α)+(90°-β），
∴(α+β）=135°-γ.
故答案为：B.
【分析】作三条平行线，根据题意中的光的折射原理可得，∠1=(90°-α），∠3=(90°-β），再根据平行线的性质得∠2=∠1，∠4=∠3，即可求得.
8．（2023七下·杭州期中）下列说法中：①若，，则；②两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；③若，则或；④已知二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则a的值是0.5；其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；零指数幂；二元一次方程组的解；平行线的判定与性质；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①∵am=6，an=3，∴am-n=am÷an=6÷3=2，故此小题正确；
②如图，当AB∥CD时，
∵AB∥CD，
∴∠CMP=∠BPM，
∵PQ平分∠BPM，MN平分∠CMP，
∴∠QPM=∠BPM，∠NMP=∠CMP，
∴∠QPM=∠NMP，
∴MN∥PQ；
当AB不平行CD时，∠CMP≠∠BPM，当然∠QPM≠∠NMP，当然MN就不平行PQ，故此小题错误；
③∵（t-2）2t=1，∴2t=0或t-2=±1，解得：t=0或3或1，故此小题错误；
④∵的解也是二元一次方程x-3y=-2的解，
∴的解也是ax+y=4的解，
解
得，
∴是ax+y=4的解，
∴4a+2=4，
解得a=0.5，故此小题正确，
综上正确的有①④.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法法则的逆用可判断①小题，根据平行线的性质及判断可判断②小题；根据0指数幂性质（任何一个不为0的数的0次幂都等于1），有理数的乘方运算法则（1的任何次幂都等于1，-1的偶数次幂等于1）可判断③；根据方程组的解可判断④.
二、填空题
9．如图，把 块三角板 ABC的直角顶点B放在直线EF 上，∠C=30°，AC∥EF，则∠1 的度数为 °.
【答案】60
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：60.
【分析】根据平行线的性质得到进而根据平角的定义和角的运算即可求出∠1的度数.
10．（2024七上·南关期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点、、、在同一条直线上，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据邻补角的性质求的度数，再根据平行线的性质求解即可．
11．已知，EF∥BC，BE∥CF，现将一副三角尺OAB (∠OAB=45°)和OCD(∠OCD=30°)按如图所示的方式放置，直角顶点O重合，点A，D 在EF 上.若∠1+∠2=70°，∠3 ： ∠4=4 ： 3，则∠DAB的度数为 °.
【答案】115
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABO中，∠OAB=45°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=45°，
∵BE∥CF，
∴∠BCF+∠CBE=180°，即∠1+∠3+∠ABO+∠2+∠DCO+∠4=180°，
∵∠1+∠2=70°，
∴70°+45°+30°+∠3+∠4=180°，
∴∠3+∠4=35°，
∵∠3∶∠4=4∶3，
∴∠3=35°×=20°，
∴∠ABC=45°+20°=65°，
∵EF∥BC，
∴∠DAB=180°-∠ABC=115°.
故答案为：115.
【分析】由三角形的内角和定理得∠ABO=45°，由二直线平行，同旁内角互补可得∠BCF+∠CBE=180°，结合已知推出∠3+∠4=35°，再结合∠3∶∠4=4∶3，可求出∠3的度数，最后根据二直线平行，同旁内角互补可得∠DAB=180°-∠ABC，从而代入计算可得答案.
12．如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为 .
【答案】30°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长ED交BC于点F，
∵AB∥DE，
∴∠DFB=∠B=70°，
∴∠DFC=180°-∠DFB=110°，
又 ∠FDC=180°-∠EDC=40°
∴∠BCD=180°-∠DFC-∠FDC=30°.
故答案为：30°.
【分析】延长ED由两直线平行，内错角相等得∠BFD的度数，再根据邻补角互补得到∠DFC和∠FDC度数，最后根据三角形内角和180°求出处∠BCD度数.
13．（2022七下·新余期末）已知，，若的一边EF∥BC，则另一边DE与直线AB相交于点P，且点E不在直线AB上，则的度数为 ．
【答案】10°或110°或70°或170°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：若射线BA、ED交点在两直线EF、BC之外时，如图1：
∵EF∥BC，
∴∠1=∠ABC，
又∠ABC=60°，
∴∠1=60°，
又∠1=∠DEF+∠EPB，∠DEF=50°，
∴∠EPB=10°，
又∠EPB=∠APD，
∴∠APD=10°；
若射线BA、ED交点在两直线EF、BC之间时，如图2：
∵EF∥BC，
∴∠1=∠ABC=60°，
又∠APD=∠DEF+∠1，∠DEF=50°，
∴∠APD=110°；
如图3，设DE交BC于T，
∵EF∥BC，
∴∠PTB=∠FED=50°，
∴∠APD=∠BPT=180°-∠B-∠PTB=180°-60°-50°=70°，
如图4，设AB交EF于点H，
∵EF∥BC，
∴∠AHE=∠ABC=60°，
∵∠AHE=∠APE+∠DEF，∠DEF=50°，
∴∠APE=10°，
∴∠APD=180°-∠APE=170°，
综上所述，∠APD的度数为10°或110°或70°或170°．
故答案为10°或110°或70°或170°
【分析】分类讨论，结合图形，计算求解即可。
三、解答题
14．如图，BD是∠ABC的平分线，∠ABE+∠BCF=180°。
（1）若∠ABC=70°，求∠BCF的值.
（2）试说明：DE∥CF.
（3）若CB是∠ACF 的平分线，∠ADB=k∠ABD，求k的值。
【答案】（1）解：∵∠ABE+∠ABD=180°，∠ABE+∠BCF=180°，
∴∠ABD=∠BCF，
∵BD是∠ABC的平分线，=35°.
（2）证明：∵∠ABE+∠ABD=180°，∠ABE+∠BCF=180°，
∴∠ABD=∠BCF，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠DBC=∠BCF，
∴DE∥CF.
（3）解：由(2)知，DE∥CF，
∴∠ADB=∠ACF，
∵CB是∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠BCF，
∴∠ADB=2∠BCF，
由(1)知∠ABD=∠BCF，
∴∠ADB=2∠ABD，
∵∠ADB=k∠ABD，
∴k=2.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由邻补角的定义得到∠ABE+∠ABD=180°，再通过角度之间的等量代换得到∠ABD=∠BCF，最后根据角平分线的定义即可得解；
（2）由邻补角的定义得到∠ABE+∠ABD=180°，再通过角度之间的等量代换得到∠ABD=∠BCF，根据角平分线的定义可得∠DBC=∠BCF，即可判定DE∥CF（内错角相等，两直线平行）；
（3）结合（1）（2）求解即可．
15．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点G，H，∠EHD=α(0°<α<90°).小安将一个含30°角的直角三角尺PMN按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线AB，CD上，且在点G，H的右侧，∠P=90°，∠PMN=60°.
（1）∠PNB+∠PMD ∠P(填“>”“<”或“=”).
（2）如图2，∠MNG的平分线NO交直线CD于点O.
①当NO∥EF∥PM时，求α的度数.
②小安将三角尺PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数(用含α的代数式表示).
【答案】（1）=
（2）解：①∵ NO∥PM ， ∠PMN=60° ，
∴∠ONM=∠NMP=60°（两直线平行，内错角相等），
∵NO平分∠MNG，
∴∠ANO=∠MNO=60°，
∵AB∥CD，
∴∠ANO=∠NOM=60°（两直线平行，内错角相等），
∵NO∥EF，
∴∠EHD=∠NOM=60°（两直线平行，同位角相等）；
②当点N在点G的右侧时，如图2，
∵PM∥EF，∠EHD=α，
∴∠PMD=α（二直线平行，同位角相等），
∴∠NMD=60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠ANM=∠NMD=60°+α（二直线平行，内错角相等），
∵NO平分∠ANM，
∴∠ANO=∠ANM=30°+α，
∵AB∥CD，
∴∠MON=∠ANO=30°+α（两直线平行，内错角相等）；
当点N在点G的左侧时，如图，
∵PM∥EF，∠EHD=α，
∴∠PMD=α（二直线平行，同位角相等），
∴∠NMD=60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠BNM+∠NMO=180°（二直线平行，同旁内角互补），∠BNO=∠MON（二直线平行，内错角相等），
∵NO平分∠GNM，
∴∠BNO=[180°-(60°+α)]=60°-α，
∴∠MON=60°-α；
综上∠MON的度数为：30°+α或60°-α.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）如图，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，AB∥PQ，
∴AB∥PQ∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠BNP=∠NPQ，∠PMD=∠MPQ（两直线平行，内错角相等），
∵∠MPN=∠NPQ+∠MPQ，
∴∠MPN=∠BNP+∠DMP；
故答案为：=；
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥PQ∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠BNP=∠NPQ，∠PMD=∠MPQ，继而根据角的和差及等量代换可得∠MPN=∠BNP+∠DMP；
（2）①由两直线平行，内错角相等，得∠ONM=∠NMP=60°，由角平分线的定义得∠ANO=∠MNO=60°，再由两直线平行，内错角相等，得∠ANO=∠NOM=60°，最后根据两直线平行，同位角相等可得∠EHD=∠NOM=60°；
②当点N在点G的右侧时，如图2，由二直线平行，同位角相等，得∠PMD=α，进而由角的和差及二直线平行，内错角相等得∠ANM=∠NMD=60°+α，再由角平分线的定义及二直线平行，内错角相等可得∠MON=∠ANO=30°+α；当点N在点G的左侧时，如图，由二直线平行，同位角相等，得∠PMD=α，再由二直线平行，同旁内角互补得∠BNM+∠NMO=180°，由二直线平行，内错角相等，得∠BNO=∠MON，由角平分线的定义可求出∠BNO得度数，从而即可得出∠MON的度数，综上可得答案.
四、综合题
16．（2023七上·哈尔滨月考）已知：点E在线段间（如图1）．连接．．
（1）求证：．
（2）如图2，点F在点E右侧．连接．求证．
（3）如图3在（2）的条件下，线段，的延长线交于点H．交于点K．当平分，平分，，时，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，
∴，
即.
（3）解：设，
∵平分，平分，
∴，
∴，
故，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠ABE=∠BEF，结合题意可得∠DEF=∠CDE，根据内错角相等，两直线平行即可证明；
（2）过点F作FG∥AB，结合（1）中结论可得AB∥CD∥FG，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABF+∠BFG=180°，∠CDG+∠DFGE=180°，即可证明；
（3）设∠EDF=α ，∠EBF=β ，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠EDC=α ，∠EBA=β ，推得∠HDK=180°-2α ，∠BED=α +β ，结合题意和（2）中结论可得，求解即可得出α +β =135°，根据题意，的人可求出α 的值，即可求解.
17．（2023七下·岳池期末）如图，直线，直线与，分别交于点，．小安将直角三角板（，）按如图1放置，使点分别在直线上，且．
（1）填空： （填“”“”或“=”）．
（2）如图2，的平分线交直线于点．
①当时，求的度数；
②小安将三角板沿直线左右移动，保持，点分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
【答案】（1）=
（2）解：，，
，，
，
平分，
，
，
，
；
②或
如图2，当点在点的右侧时，
，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
；
如图3，当点在点的左侧时，
，
同理可得，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为或．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）过点P作PQ//AB，如图：
∵，PQ//AB，
∴CD//PQ//AB，
∴∠BNP=∠NPQ，∠PMD=∠MPQ，
∵∠P=∠NPQ+∠MPQ，
∴∠P=∠PNB+∠PMD，
故答案为：=.
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠BNP=∠NPQ，∠PMD=∠MPQ，再利用角的运算和等量代换可得∠P=∠PNB+∠PMD；
（2）①利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，再结合平行线的性质可得；
②分类讨论：（a）当点在点的右侧时，（b）当点在点的左侧时，再分别画出图象并利用角平分线的定义及角的运算和等量代换求解即可.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 10.3 平行线的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023七下·花溪月考） 如图，把一块含有30°角的三角尺的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=22°，那么∠2的度数是（ ）
A．22° B．32° C．38° D．44°
2．如图，∠B+∠DCB=180°，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAC=5：2，则∠D的度数是 （ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
3．（2024七上·朝阳期末）如图，直线，∠1、∠2和∠3的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024七上·榆树期末）如图，在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东，甲、乙两地同时开工，要使若干天后公路准确接通，乙地所修的公路走向是（ ）
A．北偏东 B．南偏西 C．北偏东 D．南偏西
5．如图，直线a，b被c，d所截，且a∥b，则下列结论中正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠2+∠4=180° D．∠1+∠4=180°
6．如图，AB∥CD，将一副直角三角尺按如图摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°。有下列结论：①GE∥MP；②∠EFN=150°；③∠BEF=75°；④∠AEG=∠PMN。其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图1，当光从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1 与折射角∠2 的度数比为4：3.如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面的夹角分别为α，β，水中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（ ）
A． B．
C．α+β=γ D．
8．（2023七下·杭州期中）下列说法中：①若，，则；②两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；③若，则或；④已知二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则a的值是0.5；其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
二、填空题
9．如图，把 块三角板 ABC的直角顶点B放在直线EF 上，∠C=30°，AC∥EF，则∠1 的度数为 °.
10．（2024七上·南关期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点、、、在同一条直线上，若，则的度数为 ．
11．已知，EF∥BC，BE∥CF，现将一副三角尺OAB (∠OAB=45°)和OCD(∠OCD=30°)按如图所示的方式放置，直角顶点O重合，点A，D 在EF 上.若∠1+∠2=70°，∠3 ： ∠4=4 ： 3，则∠DAB的度数为 °.
12．如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为 .
13．（2022七下·新余期末）已知，，若的一边EF∥BC，则另一边DE与直线AB相交于点P，且点E不在直线AB上，则的度数为 ．
三、解答题
14．如图，BD是∠ABC的平分线，∠ABE+∠BCF=180°。
（1）若∠ABC=70°，求∠BCF的值.
（2）试说明：DE∥CF.
（3）若CB是∠ACF 的平分线，∠ADB=k∠ABD，求k的值。
15．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点G，H，∠EHD=α(0°<α<90°).小安将一个含30°角的直角三角尺PMN按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线AB，CD上，且在点G，H的右侧，∠P=90°，∠PMN=60°.
（1）∠PNB+∠PMD ∠P(填“>”“<”或“=”).
（2）如图2，∠MNG的平分线NO交直线CD于点O.
①当NO∥EF∥PM时，求α的度数.
②小安将三角尺PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数(用含α的代数式表示).
四、综合题
16．（2023七上·哈尔滨月考）已知：点E在线段间（如图1）．连接．．
（1）求证：．
（2）如图2，点F在点E右侧．连接．求证．
（3）如图3在（2）的条件下，线段，的延长线交于点H．交于点K．当平分，平分，，时，求的度数．
17．（2023七下·岳池期末）如图，直线，直线与，分别交于点，．小安将直角三角板（，）按如图1放置，使点分别在直线上，且．
（1）填空： （填“”“”或“=”）．
（2）如图2，的平分线交直线于点．
①当时，求的度数；
②小安将三角板沿直线左右移动，保持，点分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由题可知：∠ABC=60°，，
，∠1=22°，
∠CBE=∠1=22°，
∠2=∠ABC-∠CBE=60°-22°=38°.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠CBE=∠1=22°，再根据角的和差计算即可.
2．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠B+∠DCB=180°，
∴AB∥CD，
∴∠D+∠DAB=180°．
设∠D=5x，则∠DAC=2x，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAB=2∠DAC=2×2x=4x，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠DAB=180°．
∴5x+4x=180°，
∴x=20°，
∴∠D=5x=5×20=100°，
故答案为：100°．
【分析】首先根据平行线的判断和性质（两直线平行，同旁内角互补）得到∠D+∠DAB=180°，再根据已知比设未知数，列式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过作，则，
∴，
∵，
∴，即，
故答案为：C．
【分析】过拐点作平行线，利用平行线的判定和性质求解是这类试题的常用方法。过作，则，则，根据，计算即可．
4．【答案】B
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AC∥BD，∠1=36°，
∴∠2=∠1=36°，
∴乙地所修公路的走向是南偏西36°，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到∠2=∠1=36°，进而结合方位角的定义即可求解。
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵直线a，b被c，d所截，且a∥b，
∴∠3=∠4；
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】①由题意得∠G=∠MPN=90°，∴GE∥MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，∴∠EFN=180°-∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFH=180°，FH∥CD，
∴∠HFN=∠MNP=45°，
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°，
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°，故③正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，
∵∠PMN=45°，
∴∠AEG=∠PMN，故④正确。综上所述，正确的有4个.
故答案为D.
【分析】①利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；
②∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③利用平行公理可得FH∥CD，从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°，再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④∠AEG、∠GEF和∠BEF，加起来为平角，可求出∠AEG，从而可判断．
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：作三条平行线，如图，
根据题意得，∠1=(90°-α），∠3=(90°-β），
由平行的性质得，∠2=∠1，∠4=∠3，
∴ γ=∠2+∠4=∠1+∠3=(90°-α)+(90°-β），
∴(α+β）=135°-γ.
故答案为：B.
【分析】作三条平行线，根据题意中的光的折射原理可得，∠1=(90°-α），∠3=(90°-β），再根据平行线的性质得∠2=∠1，∠4=∠3，即可求得.
8．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；零指数幂；二元一次方程组的解；平行线的判定与性质；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①∵am=6，an=3，∴am-n=am÷an=6÷3=2，故此小题正确；
②如图，当AB∥CD时，
∵AB∥CD，
∴∠CMP=∠BPM，
∵PQ平分∠BPM，MN平分∠CMP，
∴∠QPM=∠BPM，∠NMP=∠CMP，
∴∠QPM=∠NMP，
∴MN∥PQ；
当AB不平行CD时，∠CMP≠∠BPM，当然∠QPM≠∠NMP，当然MN就不平行PQ，故此小题错误；
③∵（t-2）2t=1，∴2t=0或t-2=±1，解得：t=0或3或1，故此小题错误；
④∵的解也是二元一次方程x-3y=-2的解，
∴的解也是ax+y=4的解，
解
得，
∴是ax+y=4的解，
∴4a+2=4，
解得a=0.5，故此小题正确，
综上正确的有①④.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法法则的逆用可判断①小题，根据平行线的性质及判断可判断②小题；根据0指数幂性质（任何一个不为0的数的0次幂都等于1），有理数的乘方运算法则（1的任何次幂都等于1，-1的偶数次幂等于1）可判断③；根据方程组的解可判断④.
9．【答案】60
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：60.
【分析】根据平行线的性质得到进而根据平角的定义和角的运算即可求出∠1的度数.
10．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据邻补角的性质求的度数，再根据平行线的性质求解即可．
11．【答案】115
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABO中，∠OAB=45°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=45°，
∵BE∥CF，
∴∠BCF+∠CBE=180°，即∠1+∠3+∠ABO+∠2+∠DCO+∠4=180°，
∵∠1+∠2=70°，
∴70°+45°+30°+∠3+∠4=180°，
∴∠3+∠4=35°，
∵∠3∶∠4=4∶3，
∴∠3=35°×=20°，
∴∠ABC=45°+20°=65°，
∵EF∥BC，
∴∠DAB=180°-∠ABC=115°.
故答案为：115.
【分析】由三角形的内角和定理得∠ABO=45°，由二直线平行，同旁内角互补可得∠BCF+∠CBE=180°，结合已知推出∠3+∠4=35°，再结合∠3∶∠4=4∶3，可求出∠3的度数，最后根据二直线平行，同旁内角互补可得∠DAB=180°-∠ABC，从而代入计算可得答案.
12．【答案】30°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长ED交BC于点F，
∵AB∥DE，
∴∠DFB=∠B=70°，
∴∠DFC=180°-∠DFB=110°，
又 ∠FDC=180°-∠EDC=40°
∴∠BCD=180°-∠DFC-∠FDC=30°.
故答案为：30°.
【分析】延长ED由两直线平行，内错角相等得∠BFD的度数，再根据邻补角互补得到∠DFC和∠FDC度数，最后根据三角形内角和180°求出处∠BCD度数.
13．【答案】10°或110°或70°或170°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：若射线BA、ED交点在两直线EF、BC之外时，如图1：
∵EF∥BC，
∴∠1=∠ABC，
又∠ABC=60°，
∴∠1=60°，
又∠1=∠DEF+∠EPB，∠DEF=50°，
∴∠EPB=10°，
又∠EPB=∠APD，
∴∠APD=10°；
若射线BA、ED交点在两直线EF、BC之间时，如图2：
∵EF∥BC，
∴∠1=∠ABC=60°，
又∠APD=∠DEF+∠1，∠DEF=50°，
∴∠APD=110°；
如图3，设DE交BC于T，
∵EF∥BC，
∴∠PTB=∠FED=50°，
∴∠APD=∠BPT=180°-∠B-∠PTB=180°-60°-50°=70°，
如图4，设AB交EF于点H，
∵EF∥BC，
∴∠AHE=∠ABC=60°，
∵∠AHE=∠APE+∠DEF，∠DEF=50°，
∴∠APE=10°，
∴∠APD=180°-∠APE=170°，
综上所述，∠APD的度数为10°或110°或70°或170°．
故答案为10°或110°或70°或170°
【分析】分类讨论，结合图形，计算求解即可。
14．【答案】（1）解：∵∠ABE+∠ABD=180°，∠ABE+∠BCF=180°，
∴∠ABD=∠BCF，
∵BD是∠ABC的平分线，=35°.
（2）证明：∵∠ABE+∠ABD=180°，∠ABE+∠BCF=180°，
∴∠ABD=∠BCF，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠DBC=∠BCF，
∴DE∥CF.
（3）解：由(2)知，DE∥CF，
∴∠ADB=∠ACF，
∵CB是∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠BCF，
∴∠ADB=2∠BCF，
由(1)知∠ABD=∠BCF，
∴∠ADB=2∠ABD，
∵∠ADB=k∠ABD，
∴k=2.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由邻补角的定义得到∠ABE+∠ABD=180°，再通过角度之间的等量代换得到∠ABD=∠BCF，最后根据角平分线的定义即可得解；
（2）由邻补角的定义得到∠ABE+∠ABD=180°，再通过角度之间的等量代换得到∠ABD=∠BCF，根据角平分线的定义可得∠DBC=∠BCF，即可判定DE∥CF（内错角相等，两直线平行）；
（3）结合（1）（2）求解即可．
15．【答案】（1）=
（2）解：①∵ NO∥PM ， ∠PMN=60° ，
∴∠ONM=∠NMP=60°（两直线平行，内错角相等），
∵NO平分∠MNG，
∴∠ANO=∠MNO=60°，
∵AB∥CD，
∴∠ANO=∠NOM=60°（两直线平行，内错角相等），
∵NO∥EF，
∴∠EHD=∠NOM=60°（两直线平行，同位角相等）；
②当点N在点G的右侧时，如图2，
∵PM∥EF，∠EHD=α，
∴∠PMD=α（二直线平行，同位角相等），
∴∠NMD=60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠ANM=∠NMD=60°+α（二直线平行，内错角相等），
∵NO平分∠ANM，
∴∠ANO=∠ANM=30°+α，
∵AB∥CD，
∴∠MON=∠ANO=30°+α（两直线平行，内错角相等）；
当点N在点G的左侧时，如图，
∵PM∥EF，∠EHD=α，
∴∠PMD=α（二直线平行，同位角相等），
∴∠NMD=60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠BNM+∠NMO=180°（二直线平行，同旁内角互补），∠BNO=∠MON（二直线平行，内错角相等），
∵NO平分∠GNM，
∴∠BNO=[180°-(60°+α)]=60°-α，
∴∠MON=60°-α；
综上∠MON的度数为：30°+α或60°-α.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）如图，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，AB∥PQ，
∴AB∥PQ∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠BNP=∠NPQ，∠PMD=∠MPQ（两直线平行，内错角相等），
∵∠MPN=∠NPQ+∠MPQ，
∴∠MPN=∠BNP+∠DMP；
故答案为：=；
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥PQ∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠BNP=∠NPQ，∠PMD=∠MPQ，继而根据角的和差及等量代换可得∠MPN=∠BNP+∠DMP；
（2）①由两直线平行，内错角相等，得∠ONM=∠NMP=60°，由角平分线的定义得∠ANO=∠MNO=60°，再由两直线平行，内错角相等，得∠ANO=∠NOM=60°，最后根据两直线平行，同位角相等可得∠EHD=∠NOM=60°；
②当点N在点G的右侧时，如图2，由二直线平行，同位角相等，得∠PMD=α，进而由角的和差及二直线平行，内错角相等得∠ANM=∠NMD=60°+α，再由角平分线的定义及二直线平行，内错角相等可得∠MON=∠ANO=30°+α；当点N在点G的左侧时，如图，由二直线平行，同位角相等，得∠PMD=α，再由二直线平行，同旁内角互补得∠BNM+∠NMO=180°，由二直线平行，内错角相等，得∠BNO=∠MON，由角平分线的定义可求出∠BNO得度数，从而即可得出∠MON的度数，综上可得答案.
16．【答案】（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，
∴，
即.
（3）解：设，
∵平分，平分，
∴，
∴，
故，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠ABE=∠BEF，结合题意可得∠DEF=∠CDE，根据内错角相等，两直线平行即可证明；
（2）过点F作FG∥AB，结合（1）中结论可得AB∥CD∥FG，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABF+∠BFG=180°，∠CDG+∠DFGE=180°，即可证明；
（3）设∠EDF=α ，∠EBF=β ，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠EDC=α ，∠EBA=β ，推得∠HDK=180°-2α ，∠BED=α +β ，结合题意和（2）中结论可得，求解即可得出α +β =135°，根据题意，的人可求出α 的值，即可求解.
17．【答案】（1）=
（2）解：，，
，，
，
平分，
，
，
，
；
②或
如图2，当点在点的右侧时，
，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
；
如图3，当点在点的左侧时，
，
同理可得，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为或．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）过点P作PQ//AB，如图：
∵，PQ//AB，
∴CD//PQ//AB，
∴∠BNP=∠NPQ，∠PMD=∠MPQ，
∵∠P=∠NPQ+∠MPQ，
∴∠P=∠PNB+∠PMD，
故答案为：=.
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠BNP=∠NPQ，∠PMD=∠MPQ，再利用角的运算和等量代换可得∠P=∠PNB+∠PMD；
（2）①利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，再结合平行线的性质可得；
②分类讨论：（a）当点在点的右侧时，（b）当点在点的左侧时，再分别画出图象并利用角平分线的定义及角的运算和等量代换求解即可.
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