安徽省合肥市第十中学2023-2024学年高二下学期文化素养第一次绿色评价（4月）数学试卷（含解析）

合肥市第十中学2023-2024学年高二下学期文化素养第一次绿色评价
数学试题
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知函数的图象如图，则其导函数的图象为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A．0 B．－2023 C．－2024 D．2023
4．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ）
A．24种 B．10种 C．9种 D．14种
6．已知，是的导函数，即，，…，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数在上存在导数，是偶函数，在上．若，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对得6分，部分选对得3分，有错选或不选得0分）
9．下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则t的最小值为2
D．若方程有两个实根，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若函数存在增区间，则实数a的取值范围为______．
13．已知直线l是曲线与的公共切线，则l的方程为______．
14．设a、b为实数，函数在处取得极值10，则______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题13分）
已知函数．
（1）求的单调增区间；
（2）方程在有解，求实数m的范围．
16．（本小题15分）
设函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：当时，．
17．（本小题15分）
已知函数在点处的切线与x轴平行．
（1）求实数a的值及的极值；
（2）若对任意的，都有，求实数k的取值范围．
18．（本小题17分）
已知函数．
（1）若在上单调递减，求a的取值范围；
（2）若的最小值为3，求实数a的值．
19．（本小题17分）
用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
（1）求曲线在处的曲率的平方；
（2）求余弦曲线曲率的最大值．
合肥市第十中学2023-2024学年高二下学期文化素养第一次绿色评价参考答案
1．A 【详解】因为函数在处的导数为1，根据导数的定义可知，故选：A．
2．A 【详解】由原函数的图象可知，在区间上递减，；在区间上递增，．故A选项符合．故选：A．
3．C 【详解】求导得：，
所以，
即，解得：．故选：C．
4．B 【详解】由．
①当时，函数单调递增，不合题意；
②当时，函数的极值点为，
若函数在区间不单调，必有，解得；
综上所述：实数a的取值范围为．故选：B．
5．D 【详解】分两类：
第一类：选衬衣加裙子，共有种选法；
第二类：选连衣裙，共有2种选法，
根据分类加法计数原理共有14种选法．故选：D．
6．A 【详解】，则，
，，，
故是以4为周期的函数，，故选：A．
7．C 【详解】由的图象可知当时，则，
当时，则，
当时，则，
当时，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
故符合题意的只有C．故选：C．
8．A 【详解】在上有，∴，
故在上单调递增，根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，
由得
，
即，∴，
即，解得．故选：A．
9．BC 【详解】，，
，．故选：BC．
10．AB 【详解】解：对于A：，，
∵，∴，在上是凸函数，故A正确；
对于B：，，故在上是凸函数，故B正确；
对于C：，，故在上不是凸函数，故C错误；
对于D：，，故在上不是凸函数，故D错误．
故选：AB．
11．BD 【详解】∵定义域为，，
∴当时，；当时，；
∴在，上单调递减，在上单调递增；
对于A，∵，，，
∴在区间和内各存在一个零点；
当时，，，∴恒成立；
∴有且仅有两个不同的零点，A错误；
对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确；
对于C，∵，∴作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解，
若当时，，则，C错误；
对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点，
作出图象如下图所示，
结合图象可知：，D正确．故选：BD．
12． 【详解】，定义域为，，
由题意可知，存在使得，即．
当时，，
所以，，因此，实数a的取值范围是．故答案为：．
13．或 【详解】设l与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，整理得，解得或，
当时，l的方程为；当时，l的方程为．
故答案为：或．
14．30 【详解】因为，则，
因为函数在处取得极值10，
所以，，解得或，
当，时，则，且不恒为零，
此时，函数在上单调递增，函数无极值，不合乎题意；
当，时，则，，
由可得或，列表如下：
x 1
＋ 0 － 0 ＋
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数在处取得极小值，且极小值为，合乎题意，
所以，．故答案为：30．
15．【详解】（1）的定义域为，
，
当时，；时，；
故单调增区间为，；
（2）由（1）知，函数在区间，上单调递增，
在区间上单调递减，
∵，，，，
∴，，
故函数在区间上的最大值为4，最小值为1，
∴，∴．
16．由题知，函数的定义域为，
所以求导得，
若，
由得或，由得，
所以函数在，和上单调递增，在上单调递减，
若，恒有，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递增，
若，
由得或，由得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减．
17．（1），极小值为－1，无极大值
（2）
【分析】（1）由函数在点处的切线与x轴平行，可得，可得a，后由导数知识求得的极值；
（2）由，可得在上单调递增，即恒成立，可得答案．
【详解】（1），因函数在点处的切线与x轴平行，
则，
故，令在上单调递增；
在上单调递减，
则在处取极小值为，无极大值；
（2）因，则
在上单调递增恒成立．
因在上单调递增，则．
18．（1） （2）
【分析】（1）转化为在上恒成立，构造，，求导得到其单调性和最值情况，求出答案；
（2）先由，得到，求导后，再令，求导结合隐零点得到的单调性，从而得到的最小值，得到方程，求出a的值，舍去不合要求的解．
【详解】（1），
由题意得在上恒成立，即，
即在上恒成立，令，，
，令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，，
故，a的取值范围是．
（2）的定义域为，其中，
因为的最小值为3，所以，解得，
，
当时，设，则，
故在上递增，
因为，，
所以存在，使得，
当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，
故，
所以，又，
所以，解得或，
解得或，
当时，，解得，
当时，，解得（舍去），综上，．
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次．
19．（1） （2）1
【分析】（1）利用曲率的定义依次求，，从而代入即可得解；
（2）利用曲率的定义求得关于x的表达式，再利用三角函数基本关系式与换元法，构造，利用导数求得其最大值即可得解．
【详解】（1）因为，则，，
所以，故．
（2）因为，则，，
所以，则，
令，则，，
设，则，
显然当时，，单调递减，
所以，则最大值为1，所以的最大值为1．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解曲率的定义，从而利用导数即可得解．