2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 18.1 勾股定理同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·凉州月考） 已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程的两个根，则此直角三角形斜边长是（ ）
A．13 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理
【解析】【解答】由题意：解方程 得x=2或x=3，
该直角三角形的两条直角边长分别为2，3，
该直角三角形的斜边为
故答案为：D.
【分析】根据题意先解得方程的两根得到该直角三角形的两直角边边长，再利用勾股定理即可求解.
2．（2024八上·坪山期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C．2.2 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接AD，则AD=AB=3，
Rt△ADC中，由勾股定理可得，.
故答案为：B．
【分析】连接AD，Rt△ADC中，由勾股定理即可得出CD的长．
3．（2023八上·滕州开学考） 如图在一个高为米，长为米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：楼梯的水平宽度为：（米），
∴地毯至少需要3+4=7（米），
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出，再计算求解即可。
4．（2024九下·淮滨开学考）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线．若，为边的中点，为射线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得CG平分∠ACB，在CB上截取CD'=CD，连接AD'交CG于点E，
∵CE平分∠DCD'，
∴CE垂直平分DD'，
∴ED'=ED，
∴AE+DE=AE+D'E=AD'，
∴此时AE+DE的值最小，最小值为AD'的长，
∵AC=4，D为AC边的中点，
∴CD'=CD=2，
在Rt△ACD'中，AD'=，
∴AE+DE的最小值为.
故答案为：B.
【分析】由作图可知CG平分∠ACB，在CB上截取CD'=CD，连接AD'交CG于点E，根据等腰三角形的三线合一可得CE垂直平分DD'，根据线段的垂直平分线的性质可得ED'=ED，然后根据两点之间线段最短可得AE+DE的值最小，最小值为AD'的长，在Rt△ACD'中，用勾股定理可求解.
5．（2024八上·福田期末）如图，由六个边长为的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设中边上的高为h，
由勾股定理，得，
∵，，
即，
解得：
故中边上的高是．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理求出，根据题意得出的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积，再利用三角形等面积法求出三角形的高即可．
6．（2024八下·宝安开学考）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，BC=AD=1，
∴，
∵ 以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，
∴AM=AC=，
∵点A所表示的数为-1，
∴点M到原点的距离为，
又∵点M在原点的右边，
∴点M表示的数为.
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质得∠B=90°，BC=AD=1，进而由勾股定理算出AC=，由同圆的半径相等得AM=AC=，然后找出点M到原点的距离，并结合点M在原点的右边即可得出点M所表示的数.
7．（2023八上·宁波期末）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为，则点F到BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ DG＝GE，
∴S△ADG=S△AEG=，即S△ADE=5，
由翻折得：△ABD≌△AED，AD垂直平分BE，
∴S△ABD=S△ADE=5，
∴AD·BF=（AF+DF）·2=5，解得DF=1，
∴DB===，
设点F到BC的距离为h，
∴S△BDF=·BF·DF=BD·h，
解得h=.
故答案为：B.
【分析】先求出△ABD的面积，利用三角形的面积公式求出DF，再利用勾股定理求出DB，设点F到BC的距离为h，再利用S△BDF=·BF·DF=BD·h即可求出h值.
8．（2024八上·遵义期末）如图，在中，平分交于点，则点到的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴，
∵BD=5，
∴CD=BC-BD=3，
∵AD 平分交于点D，
∴点D到AB的距离是3，
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出BC的值，再求出CD=3，最后由角平分线的性质计算求解即可。
二、填空题
9．（2024八上·坪山期末）2002年在北京石开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图，弦图是由四个能够重合的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若，，则小正方形的面积为 ．
【答案】4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在，，，，
由勾股定理得：，
∴小正方形面积.
故答案为：4．
【分析】利用勾股定理求得，再利用小正方形面积，计算求解即可．
10．（2019·梅列模拟）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2＝ ．
【答案】100
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝ ∠ACB，∠ACF＝ ∠ACD，即∠ECF＝ （∠ACB+∠ACD）＝90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，
由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100
【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2＝EF2．
11．（2024八下·浦北月考） 如图，在中，，，．点D为外一点，满足，，则的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：延长BD，过点A过AE⊥BE的延长线于点E，如图，
∵ ∠BAD=15°，∠ABD=30°，
∴ ∠ADE=∠BAD+∠ABD=45°，
∵ AE⊥BE，
∴ ∠E=90°，
∴ AE=DE，
∵ ∠C=90°，∠ABC=30°，AC=3，
∴ AB=2AC=6，
∵ ∠ABD=30°，
∴ AE=AB=3，
∴ DE=AE=3，
由勾股定理得，BE=，
∴ S△ABD=S△ABE-S△ADE==.
故答案为：.
【分析】延长BD，过点A过AE⊥BE的延长线于点E，如图，根据30°的直角三角形的性质可得AB，AE，再根据等腰直角三角形的性质可得DE，再根据勾股定理可得BE，S△ABD=S△ABE-S△ADE 即可求得.
12．（2024八上·福田期末）如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长到，使得，连接，，
，由等腰三角形的性质可得，
，
∴
，，
，
，，
，
，，
，
点为的中点，
，，
，∴，
在中，由勾股定理得：.
故答案为：．
【分析】延长到，使得，连接，，，由等腰三角形的性质可得，，由“”可证，可得，，在中，利用勾股定理即可求解．
13．（2024八上·深圳期末）如图，和都是等腰直角三角形，，点在边上，与交于点，若，记的面积为，的面积为，则 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过A作AH⊥DE于点H.
∵CE=1，DC=3，
∴DE=CE+DC=4.
∵△ADE是等腰直角三角形，AH⊥BE，
∴DH=AH=EH=2.
∴.
在Rt△AHC中，.
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=90°，.
∴
∴.
故答案为：.
【分析】过A作AH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质得到DH=EH=AH=2，AC=AB.在Rt△AHC中可以求出AC的长.观察发现，所以表示出△ABC和△AEC的面积，即可解决问题.
三、解答题
14．（2024八上·南宁期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
（1）如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法： ；方法： ；根据以上信息，可以得到的等式是 ；
（2）如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系；
（3）在（）的条件下，若，求斜边的值．
【答案】（1）；；
（2）解：方法：，
方法：，
∴，
∴；
（3）解：把代入得，
，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（1）用方法一得到大正方形面积为：
用方法二得到大正方形面积为：
得到的等式为：，
故答案为：，，；
【分析】（1）从整体看得到大正方形的边长，进而得到其面积；然后从组成来看即可得到大正方形的面积为四部分面积之和，进而即可得到等式；
（2）分别从整体看和从组成来看得到大正方形的面积的两种表示方法，整理后即可求解；
（3）把相关数值代入（2）得到的等式即可求出c的值.
15．（2024八上·杭州月考）已知，，，是从点出发的三条线段，且．
（1）如图①，若点在线段上，连接，，试判断的形状，并说明理由．
（2）如图②，连接，，，且与相交于点，若，，，求和的长．
【答案】（1）解：是直角三角形，
理由：，
，，
，
，
，
是直角三角形；
（2）解：，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
，
，，
，，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）利用等边对等角可证得∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，利用三角形的内角和定理可证得结论.
（2）利用线段垂直平分线的判定定理去证明CD垂直平分AB，可证得∠AEC=∠AED=90°，利用勾股定理求出DE，AC的长.
四、综合题
16．（2023·广西）如图，在中，，．
（1）在斜边上求作线段，使，连接；
（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：所作线段如图所示：
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即点O为的中点，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，BC为半径画弧，交AC于点O，连接BO即可.
（2）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得AC=2BC，利用作图可证得点O是AC的中点，可求出AC的长，然后利用勾股定理求出AB的长.
17．（2024八下·浦北月考） 如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B．
（1）求证：；
（2）设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
【答案】（1）证明：如图所示：
，，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）证明：由（1）可知：，
，，，
四边形的面积正方形的面积，
，
即，
，
，，
即，
整理得：．
【知识点】勾股定理的证明；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠1=∠2，根据AAS判定可得BF=AE，即可求得；
（2）根据的性质可得 ，，，再根据四边形ACBD的面积正方形CEDF的面积列出式子，即可证明勾股定理.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 18.1 勾股定理同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·凉州月考） 已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程的两个根，则此直角三角形斜边长是（ ）
A．13 B．5 C． D．
2．（2024八上·坪山期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C．2.2 D．3
3．（2023八上·滕州开学考） 如图在一个高为米，长为米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（2024九下·淮滨开学考）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线．若，为边的中点，为射线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
5．（2024八上·福田期末）如图，由六个边长为的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·宝安开学考）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为
A． B． C．2 D．
7．（2023八上·宁波期末）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为，则点F到BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·遵义期末）如图，在中，平分交于点，则点到的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．（2024八上·坪山期末）2002年在北京石开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图，弦图是由四个能够重合的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若，，则小正方形的面积为 ．
10．（2019·梅列模拟）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2＝ ．
11．（2024八下·浦北月考） 如图，在中，，，．点D为外一点，满足，，则的面积是 ．
12．（2024八上·福田期末）如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为 ．
13．（2024八上·深圳期末）如图，和都是等腰直角三角形，，点在边上，与交于点，若，记的面积为，的面积为，则 .
三、解答题
14．（2024八上·南宁期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
（1）如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法： ；方法： ；根据以上信息，可以得到的等式是 ；
（2）如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系；
（3）在（）的条件下，若，求斜边的值．
15．（2024八上·杭州月考）已知，，，是从点出发的三条线段，且．
（1）如图①，若点在线段上，连接，，试判断的形状，并说明理由．
（2）如图②，连接，，，且与相交于点，若，，，求和的长．
四、综合题
16．（2023·广西）如图，在中，，．
（1）在斜边上求作线段，使，连接；
（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）若，求的长．
17．（2024八下·浦北月考） 如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B．
（1）求证：；
（2）设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理
【解析】【解答】由题意：解方程 得x=2或x=3，
该直角三角形的两条直角边长分别为2，3，
该直角三角形的斜边为
故答案为：D.
【分析】根据题意先解得方程的两根得到该直角三角形的两直角边边长，再利用勾股定理即可求解.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接AD，则AD=AB=3，
Rt△ADC中，由勾股定理可得，.
故答案为：B．
【分析】连接AD，Rt△ADC中，由勾股定理即可得出CD的长．
3．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：楼梯的水平宽度为：（米），
∴地毯至少需要3+4=7（米），
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出，再计算求解即可。
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得CG平分∠ACB，在CB上截取CD'=CD，连接AD'交CG于点E，
∵CE平分∠DCD'，
∴CE垂直平分DD'，
∴ED'=ED，
∴AE+DE=AE+D'E=AD'，
∴此时AE+DE的值最小，最小值为AD'的长，
∵AC=4，D为AC边的中点，
∴CD'=CD=2，
在Rt△ACD'中，AD'=，
∴AE+DE的最小值为.
故答案为：B.
【分析】由作图可知CG平分∠ACB，在CB上截取CD'=CD，连接AD'交CG于点E，根据等腰三角形的三线合一可得CE垂直平分DD'，根据线段的垂直平分线的性质可得ED'=ED，然后根据两点之间线段最短可得AE+DE的值最小，最小值为AD'的长，在Rt△ACD'中，用勾股定理可求解.
5．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设中边上的高为h，
由勾股定理，得，
∵，，
即，
解得：
故中边上的高是．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理求出，根据题意得出的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积，再利用三角形等面积法求出三角形的高即可．
6．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，BC=AD=1，
∴，
∵ 以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，
∴AM=AC=，
∵点A所表示的数为-1，
∴点M到原点的距离为，
又∵点M在原点的右边，
∴点M表示的数为.
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质得∠B=90°，BC=AD=1，进而由勾股定理算出AC=，由同圆的半径相等得AM=AC=，然后找出点M到原点的距离，并结合点M在原点的右边即可得出点M所表示的数.
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ DG＝GE，
∴S△ADG=S△AEG=，即S△ADE=5，
由翻折得：△ABD≌△AED，AD垂直平分BE，
∴S△ABD=S△ADE=5，
∴AD·BF=（AF+DF）·2=5，解得DF=1，
∴DB===，
设点F到BC的距离为h，
∴S△BDF=·BF·DF=BD·h，
解得h=.
故答案为：B.
【分析】先求出△ABD的面积，利用三角形的面积公式求出DF，再利用勾股定理求出DB，设点F到BC的距离为h，再利用S△BDF=·BF·DF=BD·h即可求出h值.
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴，
∵BD=5，
∴CD=BC-BD=3，
∵AD 平分交于点D，
∴点D到AB的距离是3，
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出BC的值，再求出CD=3，最后由角平分线的性质计算求解即可。
9．【答案】4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在，，，，
由勾股定理得：，
∴小正方形面积.
故答案为：4．
【分析】利用勾股定理求得，再利用小正方形面积，计算求解即可．
10．【答案】100
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝ ∠ACB，∠ACF＝ ∠ACD，即∠ECF＝ （∠ACB+∠ACD）＝90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，
由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100
【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2＝EF2．
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：延长BD，过点A过AE⊥BE的延长线于点E，如图，
∵ ∠BAD=15°，∠ABD=30°，
∴ ∠ADE=∠BAD+∠ABD=45°，
∵ AE⊥BE，
∴ ∠E=90°，
∴ AE=DE，
∵ ∠C=90°，∠ABC=30°，AC=3，
∴ AB=2AC=6，
∵ ∠ABD=30°，
∴ AE=AB=3，
∴ DE=AE=3，
由勾股定理得，BE=，
∴ S△ABD=S△ABE-S△ADE==.
故答案为：.
【分析】延长BD，过点A过AE⊥BE的延长线于点E，如图，根据30°的直角三角形的性质可得AB，AE，再根据等腰直角三角形的性质可得DE，再根据勾股定理可得BE，S△ABD=S△ABE-S△ADE 即可求得.
12．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长到，使得，连接，，
，由等腰三角形的性质可得，
，
∴
，，
，
，，
，
，，
，
点为的中点，
，，
，∴，
在中，由勾股定理得：.
故答案为：．
【分析】延长到，使得，连接，，，由等腰三角形的性质可得，，由“”可证，可得，，在中，利用勾股定理即可求解．
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过A作AH⊥DE于点H.
∵CE=1，DC=3，
∴DE=CE+DC=4.
∵△ADE是等腰直角三角形，AH⊥BE，
∴DH=AH=EH=2.
∴.
在Rt△AHC中，.
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=90°，.
∴
∴.
故答案为：.
【分析】过A作AH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质得到DH=EH=AH=2，AC=AB.在Rt△AHC中可以求出AC的长.观察发现，所以表示出△ABC和△AEC的面积，即可解决问题.
14．【答案】（1）；；
（2）解：方法：，
方法：，
∴，
∴；
（3）解：把代入得，
，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（1）用方法一得到大正方形面积为：
用方法二得到大正方形面积为：
得到的等式为：，
故答案为：，，；
【分析】（1）从整体看得到大正方形的边长，进而得到其面积；然后从组成来看即可得到大正方形的面积为四部分面积之和，进而即可得到等式；
（2）分别从整体看和从组成来看得到大正方形的面积的两种表示方法，整理后即可求解；
（3）把相关数值代入（2）得到的等式即可求出c的值.
15．【答案】（1）解：是直角三角形，
理由：，
，，
，
，
，
是直角三角形；
（2）解：，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
，
，，
，，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）利用等边对等角可证得∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，利用三角形的内角和定理可证得结论.
（2）利用线段垂直平分线的判定定理去证明CD垂直平分AB，可证得∠AEC=∠AED=90°，利用勾股定理求出DE，AC的长.
16．【答案】（1）解：所作线段如图所示：
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即点O为的中点，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，BC为半径画弧，交AC于点O，连接BO即可.
（2）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得AC=2BC，利用作图可证得点O是AC的中点，可求出AC的长，然后利用勾股定理求出AB的长.
17．【答案】（1）证明：如图所示：
，，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）证明：由（1）可知：，
，，，
四边形的面积正方形的面积，
，
即，
，
，，
即，
整理得：．
【知识点】勾股定理的证明；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠1=∠2，根据AAS判定可得BF=AE，即可求得；
（2）根据的性质可得 ，，，再根据四边形ACBD的面积正方形CEDF的面积列出式子，即可证明勾股定理.
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