2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 18.1 勾股定理同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八下·兴仁月考）已知如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程(x-6)(x-10)=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24或2 B．24 C．2 D．8或24
3．（2023八上·临平月考）如图，轴、轴上分别有两点、，以点为圆心，为半径的弧交轴负半轴于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E，分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG交BC于点D.若AC=3，BC=4，则CD的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．将一副直角三角板和一把宽度为2的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上.这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2024八上·德惠期末）如图，在中，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点B为圆心，BD长为半径画弧，交线段BC于点E．若，则AC的长为（ ）
A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm
7．（2023八上·宁波期末）如图，在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④
8．（2024八上·奉化期末）如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则的值为（ ）
A．18 B．24 C．25 D．36
二、填空题
9．（2019八上·凤翔期中）如图，一架15m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时梯子的顶端A离地面距离OA为12m，如果梯子顶端A沿墙下滑3m至C点，那么梯子底端B向外移至D点，则BD的长为 m.
10．（2024八上·玉林期末）如图，在中，，以为圆心，CD为半径画弧，交斜边AD于点，则下列说法正确的是 .(填序号)
①是等边三角形，②，③，④
11．（2024八上·双流期末）如图，数轴上点A，B分别对应2，4，过点B作，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则BM的长为 ．
12．（2024八上·南山期末）如图，在中，，，点是边上一点（点不与点，重合），将沿翻折，点的对应点为点，交于点，若，则点到线段的距离为 ．
13．（2024八上·坪山期末）如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则 ．
三、解答题
14．（2024八上·双流期末）如图1，在中，，，点D为内部一点，，连接DC，将DC绕点D逆时针旋转得到DE，连接CE交AD于点F，连接AE，BD．
（1）求证：；
（2）如图2，当点E落在AB上时，求的度数；
（3）如图3，若F为AD的中点，，求AD的长．
15．（2024八上·贵阳月考）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处.
（1）求AB的长.
（2）求点C和点D的坐标.
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB=S△OCD 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
四、综合题
16．（2024八上·威宁期末）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，且.
（1）求的值；
（2）若将一次函数的图象绕点顺时针旋转90°，所得的直线与轴交于点，且，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若是轴上任意一点，当是以为腰的等腰三角形时，请求出点的坐标.
17．（2022八下·凉城期末）如下图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长
（2）求点C和点D的坐标
（3）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵矩形ABCD，BC=10m，
∴AD=BC=10m，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF=AD=BC=10m，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF=，
∴CF=BC-BF=10-6=4cm，
设EC=x，则DE=EF=6-x，
在Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2，
∴42+x2=（6-x）2，
解得：x=3，
∴EC=3cm，
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理求出BF的长，再利用矩形的性质及线段的和差求出CF的长，再设EC=x，则DE=EF=6-x，利用勾股定理可得42+x2=（6-x）2，最后求出x的值即可.
2．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵(x-6)(x-10)=0，
∴x-6=0或x-10=0
解之：x1=6，x2=10，
当x=6时，三角形的两边长分别是8和6，
∴此三角形是等腰三角形，
底边上的高为，
∴此时三角形的面积为；
x=10时，
∵62+82=102，
∴此时的三角形是直角三角形，
此三角形的面积为，
∴此三角形的面积为 8或24 .
故答案为：D.
【分析】先求出方程的解。再分情况讨论：当x=6时，三角形的两边长分别是8和6，利用勾股定理求出底边上的高，再利用三角形的面积公式求出此时的三角形的面积；x=10时，利用勾股定理的逆定理可证得三角形是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式可求出此时的三角形的面积.
3．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，A(3，0)、B(0，2)
∴OA=3，OB=2
在直角△AOB中，由勾股定理得
AB==
∵以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半x轴于点C
∴AC=AB
∴OC=AC-OA=-3
又∵点C在x轴的负半轴上
∴C（-3，0）
故选：D
【分析】本题主要考查勾股定理，坐标与图形性质，点C位于x轴的负半轴，所以点C的横坐标为负数．
4．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：根据题意可得：AD平分∠BAC；
过D作DH⊥AB于H，如图：
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴；
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH=DC；
在Rt△ACD与Rt△AHD中，
∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），
∴AH=AC=3，
∴BH=AB-AH=5-3=2，
∵BH2+DH2=BD2，
∴22+CD2=（4-CD）2，
∴；
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得AB=5，过D作DH⊥AB于H，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得DH=DC，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等得Rt△ACD≌Rt△AHD，由全等三角形的对应边相等可得AH=AC=3，求得BH=2，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可得到结论.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴∠CAD＝45°＝∠ACD，
∴AD＝CD＝2cm，
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴BC＝2CD＝4cm，
∴BD2（cm），
∴AB＝BD﹣AD＝（22）（cm）．
故答案为：B．
【分析】先由等腰直角三角形的性质求出AD＝CD＝2cm，然后利用30°角的直角三角形的性质求出BC的长，再根据勾股定理求出BD的长，最后由AB＝BD﹣AD即可解答．
6．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】根据题意可得：AD=AC，BD=BE=CE，
∵BC=BE+CE=2BE=16，
∴BE=BD=CE=8，
设AC=AD=x，则AB=x+8，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴x2+162=（x+8）2，
解得：x=12，
∴AC的长为12cm，
故答案为：A.
【分析】先求出BE=BD=CE=8，设AC=AD=x，则AB=x+8，利用勾股定理可得x2+162=（x+8）2，再求出x的值即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：连接CD， 在中，，点D为中点 ，
∴AC=BC=AB，CD=BD，∠ACD=∠B=45°，∠CDB=90°，
∵ ，∠CDF+∠FDB=90°，
∴∠CDE=∠FDB，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE=BF，DE=DF，S△CDE≌S△BDF，
同理可证△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，
∴AE+BF=AE+CE=AC=AB，△DEF为等腰直角三角形，
，
故①③④正确；
在Rt△CEF中，CE2+CF2=BF2+AE2=EF2，故②正确，
综上，正确的有①②③④.
故答案为：D.
【分析】连接CD，根据等腰直角三角形的性质得AC=BC=AB，CD=BD，∠ACD=∠B=45°，∠CDB=90°，用ASA证明△CDE≌△BDF，得CE=BF，DE=DF，S△CDE≌S△BDF，同理证△ADE≌△CDF，得AE=CF，进而根据线段的和差结合图形面积的计算方法割补法及勾股定理分别判断即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：过点F作FD⊥AM，连接FP，如图，
∵ AF=BA，FD=AC，∠TAC=∠KFD，
∴ Rt△ADF≌Rt△BCA（HL）， Rt△TAC≌Rt△KFD（HL），
∴ S2=S△ABC，
∵ Rt△TAC≌Rt△KFD，
∴ AT=FK，
∴ AF-AT=FE-FK，
∴ FT=EK，
∴ △FPT≌△EMK（AAS），
∴ S1+S3=S△ABC，
∵ AB=EB，∠ABC=∠EBN，
∴ △ABC≌△EBN（AAS），
∴ S4=S△ABC，
∴ S1+S2+S3+S4=3S△ABC=3××AC×BC=3××12=18.
故答案为：A.
【分析】过点F作FD⊥AM，连接FP，通过证明Rt△ADF≌Rt△BCA， Rt△TAC≌Rt△KFD，△FPT≌△EMK，△ABC≌△EBN可得 S1+S2+S3+S4=3S△ABC，即可求得.
9．【答案】3
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABO中，
∵AB＝15m，AO＝12m，
∴OB＝ ＝9m.
同理，在Rt△COD中，DO＝ ＝12m，
∴BD＝OD﹣OB＝12﹣9＝3(m).
故答案是：3.
【分析】先根据勾股定理求出OB的长，再在Rt△COD中求出OD的长，进而可得出结论.
10．【答案】①③
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由尺规作图得，
∴是等边三角形，故①正确；
在中，，，，
∴，故②错误；
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，，，，，
∴，故④错误，
∴说法正确的是①③．
故答案为：①③．
【分析】根据尺规作图可得，由三角形的内角和定理得，根据等边三角形的判定可判断①；在中利用三边关系定理可判断②；根据等边三角形的性质和的直角三角形的性质可判断③；根据勾股定理可判断④.
11．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意知：OB=4，BC=BA=2，
∴OC=，
∵OM=OC=，
∴BM=OM-OB=-4.
故答案为：-4.
【分析】首先根据勾股定理求得OC=，进而得出OM=OC=，从而得出 BM=OM-OB=-4.
12．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点作于点，
∵，，
∴，
由勾股定理得：
∵，
∴，，
由折叠的性质得：，，，
∴
∴
∴
由勾股定理得：
设点到的距离为，则
，即
解得：.
故答案为．
【分析】过点作于点，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出，，由折叠的性质得：，，得出，证出，得出又由勾股定理得利用三角形等面积得，代数求解即可．
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
由等腰三角形的性质可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，
即，
解得：，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：
【分析】连接，由等腰三角形的性质可得：，结合，证明，可得，从而得到，再由勾股定理求出，然后根据三角形等面积 ，可得，在中，由勾股定理得，即可得解．
14．【答案】（1）证明：∵，∴
∵，∴，
∵，∴，∵，∴
（2）解：过点C作于点H，连接DH，过点D作，交CH于点P
则，，
∵，∴，∴，∴
∵，∴
∵，∴
∴，∴
∵，∴，∴
∵，∴
∵，∴
设，则，
∵，∴，∴
∴
（3）解：过点A作，交CE于点G
则，
∵，∴
∴，
∵，∴
∵，∴
∵，∴
∵，∴
∴
∵，∴，∴，
∵，∴
∴
∴，，∴，∴
∴，∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据SAS即可证明 ；
（2） 过点C作于点H，连接DH，过点D作，交CH于点P ，可证明 ， ，再结合（1）中，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得出 ， 设， 列方程求解即可得出答案；
（3） ：过点A作，交CE于点G ，根据三角形全等的判定得出， ， 再由（1）中，利用全等性质，结合等腰直角三角形判定与性质及勾股定理即可得出答案。
15．【答案】（1）解：令x=0，得y=4，∴B(0，4)，∴OB=4.
令y=0，得0=-x+4，解得x=3，∴A(3，0)，∴OA=3.
在Rt△OAB中，AB==5.
（2）解：由折叠，得AC=AB=5，∴OC=OA+AC=3+5=8，∴C(8，0).
设OD=m，则CD=DB=m+4.
在Rt△OCD中，DC2=OD2+OC2，即(m+4)2=m2+82，解得m=6.
∵点D在y轴的负半轴上，∴D(0，-6).
（3）解：y轴上存在一点P，使得S△PAB=S△OCD.
∵S△OCD=OD·OC=×6×8=24，∴S△PAB=S△OCD=12.
∵点P在y轴上，∴S△PAB=PB·OA，
即×3PB=12，解得PB=8，
∴点P的坐标为(0，12)或(0，-4).
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）由一次函数解析式求得A、B的坐标，再利用勾股定理即可求出AB；
（2） 由折叠，得AC=AB=5， 从而得C的坐标， 设OD=m，则CD=DB=m+4，在Rt△OCD中，利用勾股定理得方程，解方程即可求解；
（3）根据面积公式求得S△OCD=24，从而得S△PAB=12，根据面积公式求得PB长，从而可得解.
16．【答案】（1）解：把代入中，
得，解得.
（2）解：一次函数的图象与轴交于点，，
，，即.
，
，
，
点的坐标为.
（3）解：.
①当时，点在原点的左侧，点的坐标为；
点在原点的右侧，点的坐标为；
②当时，点在原点的左侧，点的坐标为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】 解：（3）.
①当时，
点在原点的左侧，点的坐标为；
点在原点的右侧，点的坐标为；
②当时，点在原点的左侧，点的坐标为.
综上，点P的坐标为：，，，
故答案为：，，.
【分析】（1）将点A的坐标代入，再求出k的值即可；
（2）利用求出AC的长，再结合点A的坐标可得OA的长，再求出OC的长即可得到点C的坐标；
（3）先利用勾股定理求出BC的长，再分类讨论： ①当时，②当时， 再分别求出点P的坐标即可.
17．【答案】（1）解：令x=0得：y=4，
∴B(0，4)．
∴OB=4
令y=0得：，解得：x=3，
∴A(3，0)．
∴OA=3．
在Rt△OAB中，；
（2）解：由翻折可知AC=AB=5，CD=BD，
∴OC=OA+AC=3+5=8，
∴C(8，0)．
设OD=x，则CD=DB=OD+OB=x+4．
在Rt△OCD中，，即，
解得：x=6，
∴D(0，-6)；
（3）P点的坐标为(0，12)或(0，-4)
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（3）∵，，
∴．
∵点P在y轴上，，
∴，即，
解得：BP=8，
∴P点的坐标为(0，12)或(0，-4)．
【分析】（1）由直线求出A(3，0) ， B(0，4)，再利用勾股定理求出AB即可；
（2）由翻折可知AC=AB=5，CD=BD，可得OC=8，即得C(8，0) ， 设OD=x，则CD=DB=OD+OB=x+4 ，在Rt△OCD中， 由勾股定理建立关于x方程并解之即可；
（3）由于 =12，据陈可求出PB=8，继而得解.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 18.1 勾股定理同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八下·兴仁月考）已知如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵矩形ABCD，BC=10m，
∴AD=BC=10m，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF=AD=BC=10m，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF=，
∴CF=BC-BF=10-6=4cm，
设EC=x，则DE=EF=6-x，
在Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2，
∴42+x2=（6-x）2，
解得：x=3，
∴EC=3cm，
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理求出BF的长，再利用矩形的性质及线段的和差求出CF的长，再设EC=x，则DE=EF=6-x，利用勾股定理可得42+x2=（6-x）2，最后求出x的值即可.
2．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程(x-6)(x-10)=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24或2 B．24 C．2 D．8或24
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵(x-6)(x-10)=0，
∴x-6=0或x-10=0
解之：x1=6，x2=10，
当x=6时，三角形的两边长分别是8和6，
∴此三角形是等腰三角形，
底边上的高为，
∴此时三角形的面积为；
x=10时，
∵62+82=102，
∴此时的三角形是直角三角形，
此三角形的面积为，
∴此三角形的面积为 8或24 .
故答案为：D.
【分析】先求出方程的解。再分情况讨论：当x=6时，三角形的两边长分别是8和6，利用勾股定理求出底边上的高，再利用三角形的面积公式求出此时的三角形的面积；x=10时，利用勾股定理的逆定理可证得三角形是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式可求出此时的三角形的面积.
3．（2023八上·临平月考）如图，轴、轴上分别有两点、，以点为圆心，为半径的弧交轴负半轴于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，A(3，0)、B(0，2)
∴OA=3，OB=2
在直角△AOB中，由勾股定理得
AB==
∵以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半x轴于点C
∴AC=AB
∴OC=AC-OA=-3
又∵点C在x轴的负半轴上
∴C（-3，0）
故选：D
【分析】本题主要考查勾股定理，坐标与图形性质，点C位于x轴的负半轴，所以点C的横坐标为负数．
4．如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E，分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG交BC于点D.若AC=3，BC=4，则CD的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：根据题意可得：AD平分∠BAC；
过D作DH⊥AB于H，如图：
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴；
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH=DC；
在Rt△ACD与Rt△AHD中，
∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），
∴AH=AC=3，
∴BH=AB-AH=5-3=2，
∵BH2+DH2=BD2，
∴22+CD2=（4-CD）2，
∴；
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得AB=5，过D作DH⊥AB于H，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得DH=DC，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等得Rt△ACD≌Rt△AHD，由全等三角形的对应边相等可得AH=AC=3，求得BH=2，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可得到结论.
5．将一副直角三角板和一把宽度为2的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上.这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴∠CAD＝45°＝∠ACD，
∴AD＝CD＝2cm，
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴BC＝2CD＝4cm，
∴BD2（cm），
∴AB＝BD﹣AD＝（22）（cm）．
故答案为：B．
【分析】先由等腰直角三角形的性质求出AD＝CD＝2cm，然后利用30°角的直角三角形的性质求出BC的长，再根据勾股定理求出BD的长，最后由AB＝BD﹣AD即可解答．
6．（2024八上·德惠期末）如图，在中，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点B为圆心，BD长为半径画弧，交线段BC于点E．若，则AC的长为（ ）
A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】根据题意可得：AD=AC，BD=BE=CE，
∵BC=BE+CE=2BE=16，
∴BE=BD=CE=8，
设AC=AD=x，则AB=x+8，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴x2+162=（x+8）2，
解得：x=12，
∴AC的长为12cm，
故答案为：A.
【分析】先求出BE=BD=CE=8，设AC=AD=x，则AB=x+8，利用勾股定理可得x2+162=（x+8）2，再求出x的值即可.
7．（2023八上·宁波期末）如图，在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：连接CD， 在中，，点D为中点 ，
∴AC=BC=AB，CD=BD，∠ACD=∠B=45°，∠CDB=90°，
∵ ，∠CDF+∠FDB=90°，
∴∠CDE=∠FDB，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE=BF，DE=DF，S△CDE≌S△BDF，
同理可证△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，
∴AE+BF=AE+CE=AC=AB，△DEF为等腰直角三角形，
，
故①③④正确；
在Rt△CEF中，CE2+CF2=BF2+AE2=EF2，故②正确，
综上，正确的有①②③④.
故答案为：D.
【分析】连接CD，根据等腰直角三角形的性质得AC=BC=AB，CD=BD，∠ACD=∠B=45°，∠CDB=90°，用ASA证明△CDE≌△BDF，得CE=BF，DE=DF，S△CDE≌S△BDF，同理证△ADE≌△CDF，得AE=CF，进而根据线段的和差结合图形面积的计算方法割补法及勾股定理分别判断即可.
8．（2024八上·奉化期末）如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则的值为（ ）
A．18 B．24 C．25 D．36
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：过点F作FD⊥AM，连接FP，如图，
∵ AF=BA，FD=AC，∠TAC=∠KFD，
∴ Rt△ADF≌Rt△BCA（HL）， Rt△TAC≌Rt△KFD（HL），
∴ S2=S△ABC，
∵ Rt△TAC≌Rt△KFD，
∴ AT=FK，
∴ AF-AT=FE-FK，
∴ FT=EK，
∴ △FPT≌△EMK（AAS），
∴ S1+S3=S△ABC，
∵ AB=EB，∠ABC=∠EBN，
∴ △ABC≌△EBN（AAS），
∴ S4=S△ABC，
∴ S1+S2+S3+S4=3S△ABC=3××AC×BC=3××12=18.
故答案为：A.
【分析】过点F作FD⊥AM，连接FP，通过证明Rt△ADF≌Rt△BCA， Rt△TAC≌Rt△KFD，△FPT≌△EMK，△ABC≌△EBN可得 S1+S2+S3+S4=3S△ABC，即可求得.
二、填空题
9．（2019八上·凤翔期中）如图，一架15m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时梯子的顶端A离地面距离OA为12m，如果梯子顶端A沿墙下滑3m至C点，那么梯子底端B向外移至D点，则BD的长为 m.
【答案】3
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABO中，
∵AB＝15m，AO＝12m，
∴OB＝ ＝9m.
同理，在Rt△COD中，DO＝ ＝12m，
∴BD＝OD﹣OB＝12﹣9＝3(m).
故答案是：3.
【分析】先根据勾股定理求出OB的长，再在Rt△COD中求出OD的长，进而可得出结论.
10．（2024八上·玉林期末）如图，在中，，以为圆心，CD为半径画弧，交斜边AD于点，则下列说法正确的是 .(填序号)
①是等边三角形，②，③，④
【答案】①③
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由尺规作图得，
∴是等边三角形，故①正确；
在中，，，，
∴，故②错误；
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，，，，，
∴，故④错误，
∴说法正确的是①③．
故答案为：①③．
【分析】根据尺规作图可得，由三角形的内角和定理得，根据等边三角形的判定可判断①；在中利用三边关系定理可判断②；根据等边三角形的性质和的直角三角形的性质可判断③；根据勾股定理可判断④.
11．（2024八上·双流期末）如图，数轴上点A，B分别对应2，4，过点B作，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则BM的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意知：OB=4，BC=BA=2，
∴OC=，
∵OM=OC=，
∴BM=OM-OB=-4.
故答案为：-4.
【分析】首先根据勾股定理求得OC=，进而得出OM=OC=，从而得出 BM=OM-OB=-4.
12．（2024八上·南山期末）如图，在中，，，点是边上一点（点不与点，重合），将沿翻折，点的对应点为点，交于点，若，则点到线段的距离为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点作于点，
∵，，
∴，
由勾股定理得：
∵，
∴，，
由折叠的性质得：，，，
∴
∴
∴
由勾股定理得：
设点到的距离为，则
，即
解得：.
故答案为．
【分析】过点作于点，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出，，由折叠的性质得：，，得出，证出，得出又由勾股定理得利用三角形等面积得，代数求解即可．
13．（2024八上·坪山期末）如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
由等腰三角形的性质可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，
即，
解得：，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：
【分析】连接，由等腰三角形的性质可得：，结合，证明，可得，从而得到，再由勾股定理求出，然后根据三角形等面积 ，可得，在中，由勾股定理得，即可得解．
三、解答题
14．（2024八上·双流期末）如图1，在中，，，点D为内部一点，，连接DC，将DC绕点D逆时针旋转得到DE，连接CE交AD于点F，连接AE，BD．
（1）求证：；
（2）如图2，当点E落在AB上时，求的度数；
（3）如图3，若F为AD的中点，，求AD的长．
【答案】（1）证明：∵，∴
∵，∴，
∵，∴，∵，∴
（2）解：过点C作于点H，连接DH，过点D作，交CH于点P
则，，
∵，∴，∴，∴
∵，∴
∵，∴
∴，∴
∵，∴，∴
∵，∴
∵，∴
设，则，
∵，∴，∴
∴
（3）解：过点A作，交CE于点G
则，
∵，∴
∴，
∵，∴
∵，∴
∵，∴
∵，∴
∴
∵，∴，∴，
∵，∴
∴
∴，，∴，∴
∴，∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据SAS即可证明 ；
（2） 过点C作于点H，连接DH，过点D作，交CH于点P ，可证明 ， ，再结合（1）中，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得出 ， 设， 列方程求解即可得出答案；
（3） ：过点A作，交CE于点G ，根据三角形全等的判定得出， ， 再由（1）中，利用全等性质，结合等腰直角三角形判定与性质及勾股定理即可得出答案。
15．（2024八上·贵阳月考）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处.
（1）求AB的长.
（2）求点C和点D的坐标.
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB=S△OCD 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：令x=0，得y=4，∴B(0，4)，∴OB=4.
令y=0，得0=-x+4，解得x=3，∴A(3，0)，∴OA=3.
在Rt△OAB中，AB==5.
（2）解：由折叠，得AC=AB=5，∴OC=OA+AC=3+5=8，∴C(8，0).
设OD=m，则CD=DB=m+4.
在Rt△OCD中，DC2=OD2+OC2，即(m+4)2=m2+82，解得m=6.
∵点D在y轴的负半轴上，∴D(0，-6).
（3）解：y轴上存在一点P，使得S△PAB=S△OCD.
∵S△OCD=OD·OC=×6×8=24，∴S△PAB=S△OCD=12.
∵点P在y轴上，∴S△PAB=PB·OA，
即×3PB=12，解得PB=8，
∴点P的坐标为(0，12)或(0，-4).
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）由一次函数解析式求得A、B的坐标，再利用勾股定理即可求出AB；
（2） 由折叠，得AC=AB=5， 从而得C的坐标， 设OD=m，则CD=DB=m+4，在Rt△OCD中，利用勾股定理得方程，解方程即可求解；
（3）根据面积公式求得S△OCD=24，从而得S△PAB=12，根据面积公式求得PB长，从而可得解.
四、综合题
16．（2024八上·威宁期末）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，且.
（1）求的值；
（2）若将一次函数的图象绕点顺时针旋转90°，所得的直线与轴交于点，且，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若是轴上任意一点，当是以为腰的等腰三角形时，请求出点的坐标.
【答案】（1）解：把代入中，
得，解得.
（2）解：一次函数的图象与轴交于点，，
，，即.
，
，
，
点的坐标为.
（3）解：.
①当时，点在原点的左侧，点的坐标为；
点在原点的右侧，点的坐标为；
②当时，点在原点的左侧，点的坐标为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】 解：（3）.
①当时，
点在原点的左侧，点的坐标为；
点在原点的右侧，点的坐标为；
②当时，点在原点的左侧，点的坐标为.
综上，点P的坐标为：，，，
故答案为：，，.
【分析】（1）将点A的坐标代入，再求出k的值即可；
（2）利用求出AC的长，再结合点A的坐标可得OA的长，再求出OC的长即可得到点C的坐标；
（3）先利用勾股定理求出BC的长，再分类讨论： ①当时，②当时， 再分别求出点P的坐标即可.
17．（2022八下·凉城期末）如下图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长
（2）求点C和点D的坐标
（3）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）解：令x=0得：y=4，
∴B(0，4)．
∴OB=4
令y=0得：，解得：x=3，
∴A(3，0)．
∴OA=3．
在Rt△OAB中，；
（2）解：由翻折可知AC=AB=5，CD=BD，
∴OC=OA+AC=3+5=8，
∴C(8，0)．
设OD=x，则CD=DB=OD+OB=x+4．
在Rt△OCD中，，即，
解得：x=6，
∴D(0，-6)；
（3）P点的坐标为(0，12)或(0，-4)
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（3）∵，，
∴．
∵点P在y轴上，，
∴，即，
解得：BP=8，
∴P点的坐标为(0，12)或(0，-4)．
【分析】（1）由直线求出A(3，0) ， B(0，4)，再利用勾股定理求出AB即可；
（2）由翻折可知AC=AB=5，CD=BD，可得OC=8，即得C(8，0) ， 设OD=x，则CD=DB=OD+OB=x+4 ，在Rt△OCD中， 由勾股定理建立关于x方程并解之即可；
（3）由于 =12，据陈可求出PB=8，继而得解.
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