2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 18.2 勾股定理的逆定理同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024八上·威宁期末）下列各组数，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5
C．，， D．7，24，25
2．（2023八下·赣州期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·贵阳月考）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是( )
A．直角三角形两个锐角互余
B．三角形内角和等于180°
C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
4．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何 ”大意是：“有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈(1丈=10尺)，那么门的高和宽各是多少 ”如果设门的宽为x尺，根据题意，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·乌当期末）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为（ ）
A． B．2 C． D．3
6．（2023八下·兴仁月考）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，树干顶部落在与树干底部距离4米处，这棵大树在折断前的高度为（ ）米
A．5 B．7 C．3 D．8
7．（2024八上·贵阳月考）如图所示，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
8．（2024八上·深圳期末） 小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度。将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1. 2米，则适合小华的绳长为（ ）
A．2. 2米 B．2. 4米 C．2. 6米 D．2. 8米
二、填空题
9．（2024八上·乌当期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，观察尺规作图的痕迹，若BE＝2，则BC的长是 ．
10．（2021七下·回民期中）如图，每个小正方形的边长都相等，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ．
11．（2024八上·金华期末）如图，在的网格中， .
12．（2024八上·达州期末）如图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是 三角形．
13．（2024八上·贵阳月考）棱长分别为3 cm和2 cm的两个正方体如图所示放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱E1F1的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是 .
三、解答题
14．（2023八下·兴仁月考）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米.
（1）求这块空地的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
15．（2024八上·乌当期末）高州市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．
（1）求空地的面积；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
四、综合题
16．（2021八上·即墨期中）笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B、其中AB＝AC，由于周边施工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．
（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．
17．（2020八上·丹东期中）如图，在△ABC中，AB=17cm，AC=8cm，BC=15cm，将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合.
（1）证明：△ABC是直角三角形；
（2）求△AEB的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A、∵12+22≠32，∴A不符合题意；
B、∵0.3，0.4和0.5是小数不是整数，∴B不符合题意；
C、∵，和不是整数，∴C不符合题意；
D、∵72+242=252，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用勾股数的定义逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵22+32≠42，∴不是勾股数，故不符合题意；
B、∵42+52≠62，∴不是勾股数，故不符合题意；
C、∵72+82≠92，∴不是勾股数，故不符合题意；
D、∵62+82≠102，∴是勾股数，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】勾股数满足的两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设相邻两个结点之间的距离为m，
则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，
∵(3m)2+(4m)2=(5m)2，
∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理即可求解.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： 设门的宽为x尺 ，则门高尺，
由题意得： ，
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理列出方程，即可得解.
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∵ab=10，
∴，
∵a-b＞0，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据正方形和三角形的面积公式以及勾股定理找出等量关系求出，再利用完全平方公式计算求解即可。
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：BC=3m，AC=4m，∠C=90°，
在直角△ABC中，AB=，
∴这棵大树在折断前的高度为BC+AB=3+5=8m，
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差求出BC+AB即可.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知AB=8，
∵点C是AB的中点，
∴AC=BC=AB=4cm，
∵CD⊥AB，
在Rt△ACD中，AC=4cm，CD=3cm，
∴AD==5(cm)，
∵C为AB的中点，CD⊥AB，
∴CD垂直平分AB，
∴AD= BD=5cm，
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm)，
∴橡皮筋被拉长了2cm.
故答案为：A.
【分析】根据题意得AB=8，则AC=BC=4，CD=3且CD⊥AB，根据勾股定理可求出AD的长度，根据CD是AB边上的中垂线得AD=DB，由橡皮筋被拉的长度=AD+DB-AB，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：标字母如图所示，过C作CD⊥AB于点D.
由题意得：AC=BC，AB=1米，
∴AD=BD=0.5（米）.
在Rt△BCD中，∴BD=1.2米，
∴BC=AC===1.3（米），
∴绳长为1.3×2=2.6（米）.
故答案为：C.
【分析】由题意得出图形是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理求解即可.
9．【答案】2
【知识点】勾股定理的应用；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵AB=AC=5，BE=2，
∴AE=AB-BE=3，
由尺规作图可得：CE⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出AE=AB-BE=3，再根据尺规作图求出CE⊥AB，最后利用勾股定理计算求解即可。
10．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，连接
，
设小正方形的边长为
，由勾股定理得：
，
，
，
∴ ，
，
∴ ，
，
∴ ．
故答案为：
．
【分析】连接AC，根据设小正方形的边长为
，由勾股定理得：AC、BC、AB，则
，
，可得
，
，可求得
．
11．【答案】45
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如下图，
∵
∴
∴
∵
∴
∴为等腰直角三角形，
∴
∴
故答案为：45.
【分析】利用"SAS"证明得到进而利用勾股定理逆定理证明为等腰直角三角形，进而即可求解.
12．【答案】直角
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由图可知：，
，，
，
是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】结合图形，先利用勾股定理求出AC2、AB2、BC2，再利用勾股定理的逆定理判断即可.
13．【答案】 cm
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，有两种展开方法：
方法一(如图1）：PA=(cm)，
方法二(如图2)：PA=(cm)，
故需要爬行的最短距离是.
故答案为：.
【分析】求出两种展开图PA的值，比较即可判断.
14．【答案】（1）解：连接AC，如图所示：
在Rt△ACD中，AC=，
∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴这块空地的面积=S△ABC-S△ACD=×AC×BC-×AD×CD=×5×12-×4×3=24m2；
故答案为：24m2；
（2）解：根据题意可得：24×200=4800（元），
故答案为：4800元.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，最后利用三角形的面积公式及割补法求出这块空地的面积即可；
（2）利用“总价=单价×总面积”列出算式求解即可.
15．【答案】（1）解：∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2+AC2＝DC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝＝60+54＝114（m2），
答：空地的面积为114m2；
（2）解：150×114＝17100（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AC的值，再求出 △ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）根据平均每平方米空地的绿化费用为150元，再结合（1）所求计算求解即可。
16．【答案】（1）解：△BCH是直角三角形，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=82+62=100，
BC2=100，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；
（2）设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=（x-6）千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-6，CH=8，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，
∴x2=（x-6）2+82，
解这个方程，得x= ，
答：原来的路线AC的长为 千米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可。
17．【答案】（1）证明：∵AC2+BC2=82+152=289，AB2=289，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形.
（2）解：由翻折不变性可知：EC=DE，AC=AD=8cm，∠ADE=∠C=∠BDE=90°，
设EC=DE=x，在Rt△BDE中，∵DE2+BD2=BE2，
∴x2+92=(15-x)2，解得x= .
∴DE=
∴S△ABE= ×AB×DE= ×17 = .
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由题意计算AC2+BC2和AB2的值，观察它们的值是否相等，再根据勾股定理的逆定理可判断三角形ABC是直角三角形；
（2）由折叠的性质可得 EC=DE，AC=AD，∠ADE=∠C=∠BDE=90°，设EC=DE=x，在Rt△BDE中， 用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求得x的值，然后根据S△=底×高即可求解.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 18.2 勾股定理的逆定理同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024八上·威宁期末）下列各组数，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5
C．，， D．7，24，25
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A、∵12+22≠32，∴A不符合题意；
B、∵0.3，0.4和0.5是小数不是整数，∴B不符合题意；
C、∵，和不是整数，∴C不符合题意；
D、∵72+242=252，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用勾股数的定义逐项分析判断即可.
2．（2023八下·赣州期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵22+32≠42，∴不是勾股数，故不符合题意；
B、∵42+52≠62，∴不是勾股数，故不符合题意；
C、∵72+82≠92，∴不是勾股数，故不符合题意；
D、∵62+82≠102，∴是勾股数，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】勾股数满足的两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可.
3．（2024八上·贵阳月考）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是( )
A．直角三角形两个锐角互余
B．三角形内角和等于180°
C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设相邻两个结点之间的距离为m，
则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，
∵(3m)2+(4m)2=(5m)2，
∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理即可求解.
4．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何 ”大意是：“有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈(1丈=10尺)，那么门的高和宽各是多少 ”如果设门的宽为x尺，根据题意，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： 设门的宽为x尺 ，则门高尺，
由题意得： ，
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理列出方程，即可得解.
5．（2024八上·乌当期末）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∵ab=10，
∴，
∵a-b＞0，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据正方形和三角形的面积公式以及勾股定理找出等量关系求出，再利用完全平方公式计算求解即可。
6．（2023八下·兴仁月考）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，树干顶部落在与树干底部距离4米处，这棵大树在折断前的高度为（ ）米
A．5 B．7 C．3 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：BC=3m，AC=4m，∠C=90°，
在直角△ABC中，AB=，
∴这棵大树在折断前的高度为BC+AB=3+5=8m，
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差求出BC+AB即可.
7．（2024八上·贵阳月考）如图所示，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知AB=8，
∵点C是AB的中点，
∴AC=BC=AB=4cm，
∵CD⊥AB，
在Rt△ACD中，AC=4cm，CD=3cm，
∴AD==5(cm)，
∵C为AB的中点，CD⊥AB，
∴CD垂直平分AB，
∴AD= BD=5cm，
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm)，
∴橡皮筋被拉长了2cm.
故答案为：A.
【分析】根据题意得AB=8，则AC=BC=4，CD=3且CD⊥AB，根据勾股定理可求出AD的长度，根据CD是AB边上的中垂线得AD=DB，由橡皮筋被拉的长度=AD+DB-AB，即可求解.
8．（2024八上·深圳期末） 小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度。将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1. 2米，则适合小华的绳长为（ ）
A．2. 2米 B．2. 4米 C．2. 6米 D．2. 8米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：标字母如图所示，过C作CD⊥AB于点D.
由题意得：AC=BC，AB=1米，
∴AD=BD=0.5（米）.
在Rt△BCD中，∴BD=1.2米，
∴BC=AC===1.3（米），
∴绳长为1.3×2=2.6（米）.
故答案为：C.
【分析】由题意得出图形是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理求解即可.
二、填空题
9．（2024八上·乌当期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，观察尺规作图的痕迹，若BE＝2，则BC的长是 ．
【答案】2
【知识点】勾股定理的应用；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵AB=AC=5，BE=2，
∴AE=AB-BE=3，
由尺规作图可得：CE⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出AE=AB-BE=3，再根据尺规作图求出CE⊥AB，最后利用勾股定理计算求解即可。
10．（2021七下·回民期中）如图，每个小正方形的边长都相等，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，连接
，
设小正方形的边长为
，由勾股定理得：
，
，
，
∴ ，
，
∴ ，
，
∴ ．
故答案为：
．
【分析】连接AC，根据设小正方形的边长为
，由勾股定理得：AC、BC、AB，则
，
，可得
，
，可求得
．
11．（2024八上·金华期末）如图，在的网格中， .
【答案】45
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如下图，
∵
∴
∴
∵
∴
∴为等腰直角三角形，
∴
∴
故答案为：45.
【分析】利用"SAS"证明得到进而利用勾股定理逆定理证明为等腰直角三角形，进而即可求解.
12．（2024八上·达州期末）如图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是 三角形．
【答案】直角
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由图可知：，
，，
，
是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】结合图形，先利用勾股定理求出AC2、AB2、BC2，再利用勾股定理的逆定理判断即可.
13．（2024八上·贵阳月考）棱长分别为3 cm和2 cm的两个正方体如图所示放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱E1F1的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是 .
【答案】 cm
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，有两种展开方法：
方法一(如图1）：PA=(cm)，
方法二(如图2)：PA=(cm)，
故需要爬行的最短距离是.
故答案为：.
【分析】求出两种展开图PA的值，比较即可判断.
三、解答题
14．（2023八下·兴仁月考）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米.
（1）求这块空地的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
【答案】（1）解：连接AC，如图所示：
在Rt△ACD中，AC=，
∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴这块空地的面积=S△ABC-S△ACD=×AC×BC-×AD×CD=×5×12-×4×3=24m2；
故答案为：24m2；
（2）解：根据题意可得：24×200=4800（元），
故答案为：4800元.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，最后利用三角形的面积公式及割补法求出这块空地的面积即可；
（2）利用“总价=单价×总面积”列出算式求解即可.
15．（2024八上·乌当期末）高州市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．
（1）求空地的面积；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】（1）解：∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2+AC2＝DC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝＝60+54＝114（m2），
答：空地的面积为114m2；
（2）解：150×114＝17100（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AC的值，再求出 △ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）根据平均每平方米空地的绿化费用为150元，再结合（1）所求计算求解即可。
四、综合题
16．（2021八上·即墨期中）笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B、其中AB＝AC，由于周边施工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．
（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．
【答案】（1）解：△BCH是直角三角形，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=82+62=100，
BC2=100，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；
（2）设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=（x-6）千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-6，CH=8，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，
∴x2=（x-6）2+82，
解这个方程，得x= ，
答：原来的路线AC的长为 千米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可。
17．（2020八上·丹东期中）如图，在△ABC中，AB=17cm，AC=8cm，BC=15cm，将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合.
（1）证明：△ABC是直角三角形；
（2）求△AEB的面积.
【答案】（1）证明：∵AC2+BC2=82+152=289，AB2=289，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形.
（2）解：由翻折不变性可知：EC=DE，AC=AD=8cm，∠ADE=∠C=∠BDE=90°，
设EC=DE=x，在Rt△BDE中，∵DE2+BD2=BE2，
∴x2+92=(15-x)2，解得x= .
∴DE=
∴S△ABE= ×AB×DE= ×17 = .
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由题意计算AC2+BC2和AB2的值，观察它们的值是否相等，再根据勾股定理的逆定理可判断三角形ABC是直角三角形；
（2）由折叠的性质可得 EC=DE，AC=AD，∠ADE=∠C=∠BDE=90°，设EC=DE=x，在Rt△BDE中， 用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求得x的值，然后根据S△=底×高即可求解.
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