2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 18.2 勾股定理的逆定理同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八下·兴仁月考）以下列各组三个数据作为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．， B．32，42，52 C．1，1，2 D．9，12，15
2．（2024八上·盐田期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
3．（2024八上·深圳期末）如图，在中，点分别在边上，连接，已知，， 都是等边三角形，点分别是的中点，连接，当时，的长度为（ ）
A． B．4 C． D．
4．（2024八上·南明期末）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米，在长方体一底面的顶点有一只蚂蚁，它想吃点处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（ ）
A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
5．（2024八上·龙岗期末）明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中，以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．意思是：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步，一步合5尺（尺），此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索的长度为（ ）
A．尺 B．尺 C．20尺 D．29尺
6．（2024八上·南山期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（ ）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3）
A．17 B． C． D．
7．（2023八上·龙岗期中）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短路线长为（ ）(杯壁厚度不计)
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
8．（2023八下·邻水期末）如图，中，，，．以，为直角边，构造；再以，为直角边，构造；……，按照这个规律，在中，点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024八上·靖边期末）如图，已知，，，，则 °．
10．（2024八上·长春期末）如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为，则着火点C受到洒水影响 秒．
11．（2024八上·万源期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 .
12．（2023八上·嘉祥月考）如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ．
13．（2023八上·市北区月考）已知一个等腰三角形纸板的顶角为，腰长为．采用先把它剪开成两个部分，再利用所得的两个部分重新拼接出三角形纸板的方法，将其改造成一个新的三角形纸板（不重不折）．在利用这个方法所得到的新的三角形纸板中，周长的最大值为 ．
三、解答题
14．已知如下数表：
n 2 3 4 5 ……
a 22-1 32-1 42-1 52-1 ……
b 4 6 8 10 ……
c 22+1 32+1 42+1 52+1 ……
（1）观察a，b，c与n之间的关系，用含自然数n（n>1）的代数式表示：a= ，b= ，c= ．
（2）试猜想：以a，b，c为边的三角形是直角三角形吗？请说明理由．
15．（2023八上·西安期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响。
（1）请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？
（2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
四、综合题
16．（2023七下·遵义期末）如图1和图2所示，是等腰三角形，，点P是底边上的一个动点（不与A，B重合），连接．
（1）如图2所示，当平分时，求证：．
（2）如图1所示，当时，结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
17．（2023八下·红谷滩期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点C，点C的横坐标为2．
（1）求一次函数的表达式；
（2）如图1，点M为线段上一点，若，求点M的坐标；
（3）如图2，点N为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D），交x轴于点E．
①当点D落在y轴上时，请直接写出点D的坐标；
②若为直角三角形，请直接写出点N的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵，∴这三个数据不能围成直角三角形，∴A不符合题意；
B、∵，∴这三个数据不能围成直角三角形，∴B不符合题意；
C、∵，∴这三个数据不能围成直角三角形，∴C不符合题意；
D、∵，∴这三个数据能围成直角三角形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的各边长为a，b，c，满足a2+c2=c2，
可以得到：阴影部分面积+小正方形面积+大正方形面积－重叠部分面积=最大正方形面积，
即：阴影部分面积+a2+b2－重叠部分面积=c2.
所以有阴影部分面积＝重叠部分面积.
故答案为：C.
【分析】结合勾股定理的几何意义，将三个正方形的面积联系起来，再用两种方法表示出最大正方形的面积，问题得到解决.
3．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理的应用；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接DM，
∵△ADF为等边三角形，
∴∠A=60°，AD=AF=DF.
又∵M为AF的中点，AD=2，
∴AM=MF=1，DM⊥AF，
∴Rt△ADM中，.
∵△BDE是等边三角形，N为DE中点，
∴∠BDE=60°，BD=DE=2DN.
∴∠A=∠BDE，
∴AC//DE，
∴DM⊥DE.
∴△DMN是直角三角形.
又∵∠DNM=45°，
∴∠DNM=∠DMN=45°，
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】连接DM，根据△ADF为等边三角形，得到AD=2AM，DM⊥AF.于是得到Rt△ADM，可以求出DM的长；再根据∠A=∠BDE=60°，得DE//AC，于是DM⊥DE.根据∠DNM=45°，得到DM=DN.再根据等边三角形BDE，可到BD=DE=2DN，问题得到解决.
4．【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：第一种：将正面右面展开，如图①所示：
，
；
第二种，如图②所示：
，
；
第三种，如图③所示：
，
，
，
蚂蚁沿长方体侧面爬行的最短路程是.
故答案为：B.
【分析】蚂蚁经过两个面都有可能是最短路径，故此展开图有三种，先分别画出每一种平面展开图，把蚂蚁所走的路线放到同一个平面内，根据两点之间，线段最短，利用勾股定理计算出每种情况所爬行的路程，比较大小即可.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意得，OC=OA-CA，CA=CB-AB=A'D-AB，
∴ OC=OA-(A'D-AB)=OA-A'D+AB=OA-5+1=OA-4，
由勾股定理得，OA' =OC +CA' ，即OA =(OA-4) +10 ，
解得，OA=14.5 (尺).
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理列出方程求解即可.
6．【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：将半圆面展开可得：
米，米，
在中，由勾股定理得米，
即滑行的最短距离为米，
故答案为：B.
【分析】将半圆面展开可得，、、三点构成直角三角形，为斜边，为半圆的长，，根据勾股定理计算求解即可．
7．【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：将被子侧面展开，作关于的对称点，则为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度，，
所以蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为，
故答案为：B.
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵，，，
由勾股定理得，
∵CB=1，∠CBO=90°，
由勾股定理得，
同理可得，
设点H到OI的距离为x，
则，
解得x=，
故答案为：B
【分析】先根据已知条件结合勾股定理即可求出BO和CO的长，同理可得，设点H到OI的距离为x，再运用等面积法即可求解。
9．【答案】45
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，，
由勾股定理可得，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理得出，进而可得是等腰直角三角形，再根据角的关系直接计算即可．
10．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：过点C作CH⊥AB，令CM=CN=260m，
∵AB=500m，AC=300m，BC=400m，
∴，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴，
∵CM=CN=260m，
∴，
∴MN=200m，
∴ 着火点C受到洒水影响的时间为：（秒），
故答案为：.
【分析】根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出，最后计算求解即可。
11．【答案】6
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
∵，
∴（a+b）2+（a2+b2）+（a-b）2=18，
∴a2+2ab+b2+a2+b2+a2-2ab+b2=18，
∴3（a2+b2）=18，
解得：a2+b2=6，
∴，
故答案为：6.
【分析】设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，结合可得3（a2+b2）=18，再求出a2+b2=6，可得，从而得解.
12．【答案】或4.8或
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，作CQ'⊥AB于Q'交AD于点P，作PQ⊥AC于点P，此时PC+PQ最短.
∵PQ⊥AC，PQ'⊥AB，AD平分∠CAB，
∴PQ=PQ'，
∴PQ+CP=PC+PQ'=CQ'，
∴此时PC+PQ最短(垂线段最短)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=，
∵，
∴CQ'=，
∴PC+PQ的最小值为4.8.
故答案为：4.8.
【分析】如图作CQ'⊥AB于Q'交AD于点P，作PQ⊥AC于点Q，此时PC+PQ最短，利用面积法求出CQ'即可解决问题.
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：取AC的中点R，连接BR．过点A作AT∥BC交BR的延长线于T，过点T作TH⊥BA交BA的延长线于H．则△ART≌△CRB，此时△ABT的周长最大．
∴△ABT的周长为，
故答案为：．
【分析】取AC的中点R，连接BR．过点A作AT∥BC交BR的延长线于T，过点T作TH⊥BA交BA的延长线于H．则△ART≌△CRB，此时△ABT的周长最大，先求出BT的长，再利用三角形的周长公式求解即可.
14．【答案】（1）n2-1；2n；n2+1
（2）解：∵a2+b2=（ n2-1 ）2+（ 2n）2=n4+2n2+1，
c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
∴ 以a，b，c为边的三角形是直角三角形 .
【知识点】勾股定理的逆定理；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由表格知：n=2时，a= 22-1 ，b=4=2×2，c= 22+1 ，
n=3时，a= 32-1 ，b=6=2×3，c= 32+1 ，
n=4时，a= 42-1 ，b=8=2×4，c= 42+1 ，
·······
∴ 用含自然数n（n>1）的代数式表示：a= n2-1 ，b= 2n ，c=n2+1 ．
【分析】（1）利用表格中的数据找出规律；
（2）利用勾股定理的逆定理进行解答即可.
15．【答案】（1）解：如图，过点C作于点D，因为，，，
所以，，
即，
所以是直角三角形
所以，
即，
解得
因为飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响.，
所以着火点C受洒水影响；
（2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点C，
在中，。
所以
因为飞机的速度为，
所以
20秒秒，
答：着火点C能被扑灭。
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案；
（2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题．
16．【答案】（1）证明：，平分，
，．
在中，；
（2）解：成立，
证明如下：如图所示，过点C作，垂足为点H．
，
．
在和中，有，．
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质（三线合一）及其勾股定理即可得出结论：
（2）过点C作CH⊥AB，垂足为点H，根据等腰三角形的性质（三线合一）及其勾股定理即可得出结论。
17．【答案】（1）解：∵点C的横坐标为2，
∴把代入得：，
∴，
把，代入得：
，
解得：，
∴一次函数表达式为；
（2）解：设点M的坐标，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
解得；，
∴点M的坐标．
（3）①
②或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（3）解：
①过点C作轴于点G，如图所示：
∵，，
∴，
根据折叠可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②当时，过点C作轴于点M，并延长，过点D作于点F，如图所示：
设点，则，
根据折叠可得：，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时点的坐标为；
当时，如图所示：
设点，则，
根据折叠可得：，，
∵，
∴轴，
∴，，
∴，，
在中根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴此时点N的坐标为：；
综上分析可知，点N的坐标为：或．
【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出一元二次函数解析式即可求出答案。
（2）设点M的坐标，先求出点B坐标，得到三角形BOC的面积，即可求出三角形BCM的面积，然后列出关于m的方程，解方程即可求出答案。
（3）①：根据折叠得出DC=BC，根据勾股定理求出DE即可求出答案。
②分两种情况，，分别画出图形，利用勾股定理即可求出答案。
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 18.2 勾股定理的逆定理同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八下·兴仁月考）以下列各组三个数据作为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．， B．32，42，52 C．1，1，2 D．9，12，15
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵，∴这三个数据不能围成直角三角形，∴A不符合题意；
B、∵，∴这三个数据不能围成直角三角形，∴B不符合题意；
C、∵，∴这三个数据不能围成直角三角形，∴C不符合题意；
D、∵，∴这三个数据能围成直角三角形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
2．（2024八上·盐田期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的各边长为a，b，c，满足a2+c2=c2，
可以得到：阴影部分面积+小正方形面积+大正方形面积－重叠部分面积=最大正方形面积，
即：阴影部分面积+a2+b2－重叠部分面积=c2.
所以有阴影部分面积＝重叠部分面积.
故答案为：C.
【分析】结合勾股定理的几何意义，将三个正方形的面积联系起来，再用两种方法表示出最大正方形的面积，问题得到解决.
3．（2024八上·深圳期末）如图，在中，点分别在边上，连接，已知，， 都是等边三角形，点分别是的中点，连接，当时，的长度为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理的应用；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接DM，
∵△ADF为等边三角形，
∴∠A=60°，AD=AF=DF.
又∵M为AF的中点，AD=2，
∴AM=MF=1，DM⊥AF，
∴Rt△ADM中，.
∵△BDE是等边三角形，N为DE中点，
∴∠BDE=60°，BD=DE=2DN.
∴∠A=∠BDE，
∴AC//DE，
∴DM⊥DE.
∴△DMN是直角三角形.
又∵∠DNM=45°，
∴∠DNM=∠DMN=45°，
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】连接DM，根据△ADF为等边三角形，得到AD=2AM，DM⊥AF.于是得到Rt△ADM，可以求出DM的长；再根据∠A=∠BDE=60°，得DE//AC，于是DM⊥DE.根据∠DNM=45°，得到DM=DN.再根据等边三角形BDE，可到BD=DE=2DN，问题得到解决.
4．（2024八上·南明期末）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米，在长方体一底面的顶点有一只蚂蚁，它想吃点处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（ ）
A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：第一种：将正面右面展开，如图①所示：
，
；
第二种，如图②所示：
，
；
第三种，如图③所示：
，
，
，
蚂蚁沿长方体侧面爬行的最短路程是.
故答案为：B.
【分析】蚂蚁经过两个面都有可能是最短路径，故此展开图有三种，先分别画出每一种平面展开图，把蚂蚁所走的路线放到同一个平面内，根据两点之间，线段最短，利用勾股定理计算出每种情况所爬行的路程，比较大小即可.
5．（2024八上·龙岗期末）明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中，以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．意思是：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步，一步合5尺（尺），此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索的长度为（ ）
A．尺 B．尺 C．20尺 D．29尺
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意得，OC=OA-CA，CA=CB-AB=A'D-AB，
∴ OC=OA-(A'D-AB)=OA-A'D+AB=OA-5+1=OA-4，
由勾股定理得，OA' =OC +CA' ，即OA =(OA-4) +10 ，
解得，OA=14.5 (尺).
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理列出方程求解即可.
6．（2024八上·南山期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（ ）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3）
A．17 B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：将半圆面展开可得：
米，米，
在中，由勾股定理得米，
即滑行的最短距离为米，
故答案为：B.
【分析】将半圆面展开可得，、、三点构成直角三角形，为斜边，为半圆的长，，根据勾股定理计算求解即可．
7．（2023八上·龙岗期中）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短路线长为（ ）(杯壁厚度不计)
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：将被子侧面展开，作关于的对称点，则为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度，，
所以蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为，
故答案为：B.
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
8．（2023八下·邻水期末）如图，中，，，．以，为直角边，构造；再以，为直角边，构造；……，按照这个规律，在中，点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵，，，
由勾股定理得，
∵CB=1，∠CBO=90°，
由勾股定理得，
同理可得，
设点H到OI的距离为x，
则，
解得x=，
故答案为：B
【分析】先根据已知条件结合勾股定理即可求出BO和CO的长，同理可得，设点H到OI的距离为x，再运用等面积法即可求解。
二、填空题
9．（2024八上·靖边期末）如图，已知，，，，则 °．
【答案】45
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，，
由勾股定理可得，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理得出，进而可得是等腰直角三角形，再根据角的关系直接计算即可．
10．（2024八上·长春期末）如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为，则着火点C受到洒水影响 秒．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：过点C作CH⊥AB，令CM=CN=260m，
∵AB=500m，AC=300m，BC=400m，
∴，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴，
∵CM=CN=260m，
∴，
∴MN=200m，
∴ 着火点C受到洒水影响的时间为：（秒），
故答案为：.
【分析】根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出，最后计算求解即可。
11．（2024八上·万源期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 .
【答案】6
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
∵，
∴（a+b）2+（a2+b2）+（a-b）2=18，
∴a2+2ab+b2+a2+b2+a2-2ab+b2=18，
∴3（a2+b2）=18，
解得：a2+b2=6，
∴，
故答案为：6.
【分析】设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，结合可得3（a2+b2）=18，再求出a2+b2=6，可得，从而得解.
12．（2023八上·嘉祥月考）如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】或4.8或
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，作CQ'⊥AB于Q'交AD于点P，作PQ⊥AC于点P，此时PC+PQ最短.
∵PQ⊥AC，PQ'⊥AB，AD平分∠CAB，
∴PQ=PQ'，
∴PQ+CP=PC+PQ'=CQ'，
∴此时PC+PQ最短(垂线段最短)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=，
∵，
∴CQ'=，
∴PC+PQ的最小值为4.8.
故答案为：4.8.
【分析】如图作CQ'⊥AB于Q'交AD于点P，作PQ⊥AC于点Q，此时PC+PQ最短，利用面积法求出CQ'即可解决问题.
13．（2023八上·市北区月考）已知一个等腰三角形纸板的顶角为，腰长为．采用先把它剪开成两个部分，再利用所得的两个部分重新拼接出三角形纸板的方法，将其改造成一个新的三角形纸板（不重不折）．在利用这个方法所得到的新的三角形纸板中，周长的最大值为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：取AC的中点R，连接BR．过点A作AT∥BC交BR的延长线于T，过点T作TH⊥BA交BA的延长线于H．则△ART≌△CRB，此时△ABT的周长最大．
∴△ABT的周长为，
故答案为：．
【分析】取AC的中点R，连接BR．过点A作AT∥BC交BR的延长线于T，过点T作TH⊥BA交BA的延长线于H．则△ART≌△CRB，此时△ABT的周长最大，先求出BT的长，再利用三角形的周长公式求解即可.
三、解答题
14．已知如下数表：
n 2 3 4 5 ……
a 22-1 32-1 42-1 52-1 ……
b 4 6 8 10 ……
c 22+1 32+1 42+1 52+1 ……
（1）观察a，b，c与n之间的关系，用含自然数n（n>1）的代数式表示：a= ，b= ，c= ．
（2）试猜想：以a，b，c为边的三角形是直角三角形吗？请说明理由．
【答案】（1）n2-1；2n；n2+1
（2）解：∵a2+b2=（ n2-1 ）2+（ 2n）2=n4+2n2+1，
c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
∴ 以a，b，c为边的三角形是直角三角形 .
【知识点】勾股定理的逆定理；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由表格知：n=2时，a= 22-1 ，b=4=2×2，c= 22+1 ，
n=3时，a= 32-1 ，b=6=2×3，c= 32+1 ，
n=4时，a= 42-1 ，b=8=2×4，c= 42+1 ，
·······
∴ 用含自然数n（n>1）的代数式表示：a= n2-1 ，b= 2n ，c=n2+1 ．
【分析】（1）利用表格中的数据找出规律；
（2）利用勾股定理的逆定理进行解答即可.
15．（2023八上·西安期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响。
（1）请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？
（2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
【答案】（1）解：如图，过点C作于点D，因为，，，
所以，，
即，
所以是直角三角形
所以，
即，
解得
因为飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响.，
所以着火点C受洒水影响；
（2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点C，
在中，。
所以
因为飞机的速度为，
所以
20秒秒，
答：着火点C能被扑灭。
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案；
（2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题．
四、综合题
16．（2023七下·遵义期末）如图1和图2所示，是等腰三角形，，点P是底边上的一个动点（不与A，B重合），连接．
（1）如图2所示，当平分时，求证：．
（2）如图1所示，当时，结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明：，平分，
，．
在中，；
（2）解：成立，
证明如下：如图所示，过点C作，垂足为点H．
，
．
在和中，有，．
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质（三线合一）及其勾股定理即可得出结论：
（2）过点C作CH⊥AB，垂足为点H，根据等腰三角形的性质（三线合一）及其勾股定理即可得出结论。
17．（2023八下·红谷滩期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点C，点C的横坐标为2．
（1）求一次函数的表达式；
（2）如图1，点M为线段上一点，若，求点M的坐标；
（3）如图2，点N为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D），交x轴于点E．
①当点D落在y轴上时，请直接写出点D的坐标；
②若为直角三角形，请直接写出点N的坐标．
【答案】（1）解：∵点C的横坐标为2，
∴把代入得：，
∴，
把，代入得：
，
解得：，
∴一次函数表达式为；
（2）解：设点M的坐标，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
解得；，
∴点M的坐标．
（3）①
②或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（3）解：
①过点C作轴于点G，如图所示：
∵，，
∴，
根据折叠可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②当时，过点C作轴于点M，并延长，过点D作于点F，如图所示：
设点，则，
根据折叠可得：，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时点的坐标为；
当时，如图所示：
设点，则，
根据折叠可得：，，
∵，
∴轴，
∴，，
∴，，
在中根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴此时点N的坐标为：；
综上分析可知，点N的坐标为：或．
【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出一元二次函数解析式即可求出答案。
（2）设点M的坐标，先求出点B坐标，得到三角形BOC的面积，即可求出三角形BCM的面积，然后列出关于m的方程，解方程即可求出答案。
（3）①：根据折叠得出DC=BC，根据勾股定理求出DE即可求出答案。
②分两种情况，，分别画出图形，利用勾股定理即可求出答案。
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