2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 19.1 多边形内角和同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024七上·揭阳期末）过八边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成三角形的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2024八上·防城期末）正多边形的每一个外角都是，则这个正多边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·合江期末）将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为D，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·丰南期中） 已知一个多边形的每个外角都等于，则从这个多边形的某个顶点画对角线，可以画出几条（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
5．（2017七上·槐荫期末）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2023八上·广州期中）如图5，已知三角形纸片ABC中，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020七上·青岛期末）在多边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，可以将多边形分割成8个三角形，则该多边形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（2021八上·瑞安期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.则下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠AGB+∠AED＝135°；③BG＝CG；④S△EGC＝S△AFE.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA.若∠ABC=56°，则∠BFD的度数为 °.
10．已知一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 .
11．（2023八上·芜湖开学考）如图，D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，P是∠BDC的角平分线的反向延长线上的一点，连接BP，∠ABP＝2∠PBD，△ABC和△ACD的外角平分线相交于点Q，若∠Q＝45，∠BDC＝4∠ABD，则∠P的度数为 ．
12．（2022七下·金湖期末）如图，，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线.若∠G＝110°，则∠H＝ °.
13．（2022七下·江都期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M、N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值．其中结论正确的有 ．
三、解答题
14．（2023八上·田家庵期中）如图，在中，，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．
（1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）连接AP，求证：AP平分；
（3）设，其他条件不变时，求的度数．（用含的式子表示）
15．（2023七上·宿州月考）观察图形，按规律解答，找出边形的对角线的总数．
图形 每个顶点对角线条数（条） 对角线总条数（条）
三角形 0 0
四边形 1
五边形 2
六边形 3
10边形
…… …… ……
边形
四、综合题
16．（2023七下·汉川期末）已知，点M、N分别是AB、CD上的两点，点在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，点是CD下方一点，MG平分，平分．若，求的度数；
（3）如图3，点是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分，平分．若，则的度数为 ．
17．（2023七下·东阿期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，
（1）请在表格中的横线上填上相应的结果：
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发 ▲ ▲
多边形对角线的总条数 ▲ ▲ ▲
（2）应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵过八边形一个顶点的对角线有5条对角线，它们把八边形分为了6个三角形，
∴分成的三角形个数是8.
故答案为：B.
【分析】根据过n边形一个顶点出发的对角线分得的三角形个数=n-2，可得：过八边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成6个三角形.
2．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正多边形的每一个外角都是且多边形的外角和为，
∴多边形的边数为.
∴这个正多边形的内角和是.
故答案为：D.
【分析】根据多边形的外角和定理，可求出多边形的变数，再根据多边形的内角和计算求得即可.
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】由题意可得：∠DBE=360°÷6=60°，∠DEB=360°÷5=72°，
则∠BDE=180°－60°-72°=48°
故答案为：A
【分析】根据多边形外角和的性质，求得∠DBE和∠DEB，再根据三角形内角和定理求解即可。
4．【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于，
∴这个多边形为8边形，
∴这个多边形的某个顶点画对角线，可以画出5条，
故答案为：A
【分析】先根据题意计算出该多边形的边数，进而结合多边形的对角线即可求解。
5．【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣2=6，
解得n=8．
故选C．
【分析】根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分为（n﹣2）的三角形作答．
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：因为 ，，所以在四边形ABED中，且， 故
故答案为：C.
【分析】先由三角形内角和定理求出角C，再由四边形内角和定理求出则
7．【答案】B
【知识点】多边形的对角线；探索图形规律
【解析】【解答】解：如图，
探究规律：
在三角形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与三角形的各顶点连接起来，可以将三角形分割成2个三角形，
在四边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与四边形的各顶点连接起来，可以将四边形分割成3个三角形，
在五边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与五边形的各顶点连接起来，可以将五边形分割成4个三角形，
总结规律：
在n边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与n边形的各顶点连接起来，可以将n边形分割成个三角形，
应用规律：
由题意得：
故答案为：B.
【分析】逐一探究在三角形、四边形、五边形一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，得到分割成三角形的数量，从而总结出规律，运用规律列出方程并解之即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意可求得DE＝2，CE＝4，AB＝BC＝AD＝6，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴∠AFE＝∠ADE＝∠ABG＝90°，AF＝AD＝AB，EF＝DE＝2
在Rt△ABG和Rt△AFG中
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴①正确；
∴BG＝GF，∠BGA＝∠FGA，
设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x，在Rt△EGC中，EG＝x+2，CG＝6﹣x，CE＝4，
∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，
解得x＝3，
∴BG＝CG＝3，
∴③正确；
在五边形ABGED中，
∠BGE+∠GED＝540°﹣90°﹣90°﹣90°＝270°，
即2∠AGB+2∠AED＝270°，
∴∠AGB+∠AED＝135°，
∴②正确；
∵S△EGC＝ GC CE＝ ×3×4＝6，S△AFE＝ AF EF＝ ×6×2＝6，
∴S△EGC＝S△AFE，
∴④正确；
故答案为：D.
【分析】易得DE＝2，CE＝4，AB＝BC＝AD＝6，由折叠的性质得∠AFE＝∠ADE＝∠ABG＝90°，AF＝AD＝AB，EF＝DE＝2，证Rt△ABG≌Rt△AFG，据此判断①；由全等三角形的性质得BG=GF，∠BGA＝∠FGA，设BG＝GF＝x，则CG＝6-x，EG＝x+2，CG＝6-x，CE＝4，由勾股定理可得x，据此判断③；由正五边形内角和可得∠BGE+∠GED＝270°，据此判断②；根据三角形的面积公式求出S△EGC，S△AFE，据此判断④.
9．【答案】152
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角；邻补角
【解析】【解答】∵在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=56°，
∴.
又∵DF平分∠CDA，
∴.
在中，，
∴.
故答案为：152.
【分析】先根据四边形ABCD的内角和求出，再根据角平线的定义得到，再由三角形的内角和解得，利用邻补角求解即可.
10．【答案】7
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
则(n-2).180°=900°，
n-2= 5，
解得n = 7.
故答案为：7
【分析】已知多边形内角和，代入到多边形内角和公式，即可求出n，即可求出结果.
11．【答案】50
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设∠PBD=α，则∠ABP=2α，
∴∠ABD=3α，
∵∠BDC=4∠ABD=12α，
∴∠BDE=6α，
∴∠PDC=6α，
∴∠P=∠BDE-∠PBD=5α，
∵∠Q=45°，
∴∠QAC+∠QCA=180°-45°=135°，
∴∠FAC+∠GCA=270°，
∴∠BAC+∠DCA=360°-270°=90°，
又∵∠BDC=∠ABD+∠DCA+∠BAC，
∴12α=3α+90°，
∴α=10°，
∴∠P=5α=50°，
故第1空答案为：50.
【分析】设∠PBD=α，则∠ABP=2α，∠ABD=3α，∠BDC=4，∠ABD=12α，再根据角平分线的定义及三角形外角的性质，得出∠P=5α，然后根据∠Q=45°，推出∠BAC+∠DCA=90°，进而根据∠BDC=∠ABD+∠DCA+∠BAC，得出12α=3α+90°，解方程，即可得出α=10°，即可得出∠P=50°。
12．【答案】135
【知识点】平行线的判定与性质；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过点作
即
EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线
在四边形中，
故答案为：135.
【分析】过点作，可得，由平行线的性质可得，，即得，从而求出，由角平分线的定义可得，利用四边形内角和可得，据此即得结论.
13．【答案】①③④
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠1＝∠DEC，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠DEC+∠2＝90°，
∴∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴∠AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1，
∴∠2＝∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF270°＝135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°，
∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正确．
故答案为：①③④.
【分析】根据余角的性质得∠1＝∠DEC，可得∠DEC+∠2=∠1+∠2＝90°，利用三角形内角和求出∠C＝90°，即得∠B+∠C＝180°，根据平行线的判定得AB∥CD，利用平行线的性质得∠BAD+∠ADC＝180°，由∠AEB≠∠BAD得∠AEB+∠ADC≠180°，据此判断①②；由角平分线的定义可得∠3＝∠1，结合∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，可得∠2＝∠4，据此判断③；根据平角的定义可求出∠EAM+∠EDN＝360°﹣（∠1+∠2）＝270°，利用角平分线的定义得∠EAF+∠EDF＝135°，结合∠3+∠4＝90°，利用角的和差求出∠FAD+∠FDA＝45°，再根据三角形的内角和求出∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝135°，据此判断④.
14．【答案】（1）证明：如图，连接PB，PC．∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴，，∴，∴点P在线段BC的垂直平分线上．
（2）证明：由（1）知，，∴，∵PE垂直平分AB，∴，，
∴，，∴，
同理，∴，即AP平分．
（3）解：∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴，，，
设，，∴，，
在中，，，
∴，即，
在四边形AEPM中，，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；多边形内角与外角；线段垂直平分线的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得，，再利用等量代换可得，最后利用垂直平分线的判定方法可得点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）利用垂直平分线的性质可得，，再利用等边对等角的性质可得，，再利用等量代换证出，即可证出AP平分；
（3）设，，∴，，利用三角形的内角和可得，即， 再利用四边形的内角和求出即可.
15．【答案】；；；；
【知识点】多边形的对角线；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵三角形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为条；
四边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为（条）；
五边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为（条）；
∴六边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为（条）；
十边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为（条）；
，
∴边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为（条），
故答案为：，，，，．
【分析】根据题意，结合图形，找出规律：边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为（条），计算求解即可。
16．【答案】（1）解：如图1，过点作，
，
，
，，
，
．
（2）解：如图，过点作，过点作，设．
平分，平分，，
，，
，，
，，，，
，，
．
（3）
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）如图，设EN与AB交于点H，
∵∠AME=50°，MF平分∠AME，
∴∠AMF=∠AME=25°，
∴∠HMG=180°-∠AMF=155°，
△AME中，∠MHN=∠MEN+∠AME=∠MEN+50°，
∵AB∥CD，
∴∠ENC=∠MHN=∠MEN+50°，
∵NE平分CNG，
∴∠ENG=∠ENC=∠MEN+50°，
在四边形GMHN中，
∠HNG+∠MHN+∠HMG+∠MGN=360°，
∴∠MEN+50°+∠MEN+50°+155°+∠MGN=360°，
∴2∠MEN+∠MGN=105°；
故答案为：105°.
【分析】（1）过点作，则，利用平行线的性质可得，，根据即可求解；
（2）过点作，过点作，设．由角平分线的定义可得∠BMP=2∠BMG=60°，利用平行线的性质可得，，从而得出，，继而求解；
（3）如图，设EN与AB交于点H，由角平分线的定义可得∠AMF=∠AME=25°，利用邻补角及三角形外角的性质可得∠HMG=180°-∠AMF=155°，∠MHN=∠MEN+50°，利用平行线的性质可得∠ENC=∠MHN=∠MEN+50°，根据角平分线的定义可得∠ENG=∠ENC=∠MEN+50°，由四边形的内角和可得∠HNG+∠MHN+∠HMG+∠MGN=360°，据此即可求解.
17．【答案】（1）填表如下：
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发 3
多边形对角线的总条数 5 9
（2）解：把代入得，．
十二边形有条对角线．
能．
由题意得，23，
解得=1014．
多边形的边数n是正整数，
过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014．
【知识点】多边形的对角线；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）六边形从一个顶点出发对角线有6-3=3条，n边形从一个顶点出发对角线有（n-3）条；
五边形对角线的总条数有）=5条，六边形对角线的总条数有）=9条，
则n边形对角线的总条数有条，
故答案为：3，（n-3），5，9，；
【分析】（1）先计算特殊值，再探求规律即可；
（2）① 把代入 进行计算即可；
②n边形从一个顶点出发有（n-3）条对角线，可把分割成（n-2）个三角形，根据题意可得方程 23， 解之并判断即可.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 19.1 多边形内角和同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024七上·揭阳期末）过八边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成三角形的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵过八边形一个顶点的对角线有5条对角线，它们把八边形分为了6个三角形，
∴分成的三角形个数是8.
故答案为：B.
【分析】根据过n边形一个顶点出发的对角线分得的三角形个数=n-2，可得：过八边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成6个三角形.
2．（2024八上·防城期末）正多边形的每一个外角都是，则这个正多边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正多边形的每一个外角都是且多边形的外角和为，
∴多边形的边数为.
∴这个正多边形的内角和是.
故答案为：D.
【分析】根据多边形的外角和定理，可求出多边形的变数，再根据多边形的内角和计算求得即可.
3．（2024八上·合江期末）将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为D，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】由题意可得：∠DBE=360°÷6=60°，∠DEB=360°÷5=72°，
则∠BDE=180°－60°-72°=48°
故答案为：A
【分析】根据多边形外角和的性质，求得∠DBE和∠DEB，再根据三角形内角和定理求解即可。
4．（2023八上·丰南期中） 已知一个多边形的每个外角都等于，则从这个多边形的某个顶点画对角线，可以画出几条（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于，
∴这个多边形为8边形，
∴这个多边形的某个顶点画对角线，可以画出5条，
故答案为：A
【分析】先根据题意计算出该多边形的边数，进而结合多边形的对角线即可求解。
5．（2017七上·槐荫期末）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣2=6，
解得n=8．
故选C．
【分析】根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分为（n﹣2）的三角形作答．
6．（2023八上·广州期中）如图5，已知三角形纸片ABC中，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：因为 ，，所以在四边形ABED中，且， 故
故答案为：C.
【分析】先由三角形内角和定理求出角C，再由四边形内角和定理求出则
7．（2020七上·青岛期末）在多边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，可以将多边形分割成8个三角形，则该多边形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【知识点】多边形的对角线；探索图形规律
【解析】【解答】解：如图，
探究规律：
在三角形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与三角形的各顶点连接起来，可以将三角形分割成2个三角形，
在四边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与四边形的各顶点连接起来，可以将四边形分割成3个三角形，
在五边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与五边形的各顶点连接起来，可以将五边形分割成4个三角形，
总结规律：
在n边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与n边形的各顶点连接起来，可以将n边形分割成个三角形，
应用规律：
由题意得：
故答案为：B.
【分析】逐一探究在三角形、四边形、五边形一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，得到分割成三角形的数量，从而总结出规律，运用规律列出方程并解之即可.
8．（2021八上·瑞安期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.则下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠AGB+∠AED＝135°；③BG＝CG；④S△EGC＝S△AFE.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意可求得DE＝2，CE＝4，AB＝BC＝AD＝6，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴∠AFE＝∠ADE＝∠ABG＝90°，AF＝AD＝AB，EF＝DE＝2
在Rt△ABG和Rt△AFG中
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴①正确；
∴BG＝GF，∠BGA＝∠FGA，
设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x，在Rt△EGC中，EG＝x+2，CG＝6﹣x，CE＝4，
∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，
解得x＝3，
∴BG＝CG＝3，
∴③正确；
在五边形ABGED中，
∠BGE+∠GED＝540°﹣90°﹣90°﹣90°＝270°，
即2∠AGB+2∠AED＝270°，
∴∠AGB+∠AED＝135°，
∴②正确；
∵S△EGC＝ GC CE＝ ×3×4＝6，S△AFE＝ AF EF＝ ×6×2＝6，
∴S△EGC＝S△AFE，
∴④正确；
故答案为：D.
【分析】易得DE＝2，CE＝4，AB＝BC＝AD＝6，由折叠的性质得∠AFE＝∠ADE＝∠ABG＝90°，AF＝AD＝AB，EF＝DE＝2，证Rt△ABG≌Rt△AFG，据此判断①；由全等三角形的性质得BG=GF，∠BGA＝∠FGA，设BG＝GF＝x，则CG＝6-x，EG＝x+2，CG＝6-x，CE＝4，由勾股定理可得x，据此判断③；由正五边形内角和可得∠BGE+∠GED＝270°，据此判断②；根据三角形的面积公式求出S△EGC，S△AFE，据此判断④.
二、填空题
9．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA.若∠ABC=56°，则∠BFD的度数为 °.
【答案】152
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角；邻补角
【解析】【解答】∵在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=56°，
∴.
又∵DF平分∠CDA，
∴.
在中，，
∴.
故答案为：152.
【分析】先根据四边形ABCD的内角和求出，再根据角平线的定义得到，再由三角形的内角和解得，利用邻补角求解即可.
10．已知一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 .
【答案】7
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
则(n-2).180°=900°，
n-2= 5，
解得n = 7.
故答案为：7
【分析】已知多边形内角和，代入到多边形内角和公式，即可求出n，即可求出结果.
11．（2023八上·芜湖开学考）如图，D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，P是∠BDC的角平分线的反向延长线上的一点，连接BP，∠ABP＝2∠PBD，△ABC和△ACD的外角平分线相交于点Q，若∠Q＝45，∠BDC＝4∠ABD，则∠P的度数为 ．
【答案】50
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设∠PBD=α，则∠ABP=2α，
∴∠ABD=3α，
∵∠BDC=4∠ABD=12α，
∴∠BDE=6α，
∴∠PDC=6α，
∴∠P=∠BDE-∠PBD=5α，
∵∠Q=45°，
∴∠QAC+∠QCA=180°-45°=135°，
∴∠FAC+∠GCA=270°，
∴∠BAC+∠DCA=360°-270°=90°，
又∵∠BDC=∠ABD+∠DCA+∠BAC，
∴12α=3α+90°，
∴α=10°，
∴∠P=5α=50°，
故第1空答案为：50.
【分析】设∠PBD=α，则∠ABP=2α，∠ABD=3α，∠BDC=4，∠ABD=12α，再根据角平分线的定义及三角形外角的性质，得出∠P=5α，然后根据∠Q=45°，推出∠BAC+∠DCA=90°，进而根据∠BDC=∠ABD+∠DCA+∠BAC，得出12α=3α+90°，解方程，即可得出α=10°，即可得出∠P=50°。
12．（2022七下·金湖期末）如图，，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线.若∠G＝110°，则∠H＝ °.
【答案】135
【知识点】平行线的判定与性质；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过点作
即
EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线
在四边形中，
故答案为：135.
【分析】过点作，可得，由平行线的性质可得，，即得，从而求出，由角平分线的定义可得，利用四边形内角和可得，据此即得结论.
13．（2022七下·江都期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M、N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值．其中结论正确的有 ．
【答案】①③④
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠1＝∠DEC，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠DEC+∠2＝90°，
∴∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴∠AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1，
∴∠2＝∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF270°＝135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°，
∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正确．
故答案为：①③④.
【分析】根据余角的性质得∠1＝∠DEC，可得∠DEC+∠2=∠1+∠2＝90°，利用三角形内角和求出∠C＝90°，即得∠B+∠C＝180°，根据平行线的判定得AB∥CD，利用平行线的性质得∠BAD+∠ADC＝180°，由∠AEB≠∠BAD得∠AEB+∠ADC≠180°，据此判断①②；由角平分线的定义可得∠3＝∠1，结合∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，可得∠2＝∠4，据此判断③；根据平角的定义可求出∠EAM+∠EDN＝360°﹣（∠1+∠2）＝270°，利用角平分线的定义得∠EAF+∠EDF＝135°，结合∠3+∠4＝90°，利用角的和差求出∠FAD+∠FDA＝45°，再根据三角形的内角和求出∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝135°，据此判断④.
三、解答题
14．（2023八上·田家庵期中）如图，在中，，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．
（1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）连接AP，求证：AP平分；
（3）设，其他条件不变时，求的度数．（用含的式子表示）
【答案】（1）证明：如图，连接PB，PC．∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴，，∴，∴点P在线段BC的垂直平分线上．
（2）证明：由（1）知，，∴，∵PE垂直平分AB，∴，，
∴，，∴，
同理，∴，即AP平分．
（3）解：∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴，，，
设，，∴，，
在中，，，
∴，即，
在四边形AEPM中，，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；多边形内角与外角；线段垂直平分线的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得，，再利用等量代换可得，最后利用垂直平分线的判定方法可得点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）利用垂直平分线的性质可得，，再利用等边对等角的性质可得，，再利用等量代换证出，即可证出AP平分；
（3）设，，∴，，利用三角形的内角和可得，即， 再利用四边形的内角和求出即可.
15．（2023七上·宿州月考）观察图形，按规律解答，找出边形的对角线的总数．
图形 每个顶点对角线条数（条） 对角线总条数（条）
三角形 0 0
四边形 1
五边形 2
六边形 3
10边形
…… …… ……
边形
【答案】；；；；
【知识点】多边形的对角线；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵三角形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为条；
四边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为（条）；
五边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为（条）；
∴六边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为（条）；
十边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为（条）；
，
∴边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为（条），
故答案为：，，，，．
【分析】根据题意，结合图形，找出规律：边形，每个顶点对角线条数为条，对角线总条数为（条），计算求解即可。
四、综合题
16．（2023七下·汉川期末）已知，点M、N分别是AB、CD上的两点，点在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，点是CD下方一点，MG平分，平分．若，求的度数；
（3）如图3，点是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分，平分．若，则的度数为 ．
【答案】（1）解：如图1，过点作，
，
，
，，
，
．
（2）解：如图，过点作，过点作，设．
平分，平分，，
，，
，，
，，，，
，，
．
（3）
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）如图，设EN与AB交于点H，
∵∠AME=50°，MF平分∠AME，
∴∠AMF=∠AME=25°，
∴∠HMG=180°-∠AMF=155°，
△AME中，∠MHN=∠MEN+∠AME=∠MEN+50°，
∵AB∥CD，
∴∠ENC=∠MHN=∠MEN+50°，
∵NE平分CNG，
∴∠ENG=∠ENC=∠MEN+50°，
在四边形GMHN中，
∠HNG+∠MHN+∠HMG+∠MGN=360°，
∴∠MEN+50°+∠MEN+50°+155°+∠MGN=360°，
∴2∠MEN+∠MGN=105°；
故答案为：105°.
【分析】（1）过点作，则，利用平行线的性质可得，，根据即可求解；
（2）过点作，过点作，设．由角平分线的定义可得∠BMP=2∠BMG=60°，利用平行线的性质可得，，从而得出，，继而求解；
（3）如图，设EN与AB交于点H，由角平分线的定义可得∠AMF=∠AME=25°，利用邻补角及三角形外角的性质可得∠HMG=180°-∠AMF=155°，∠MHN=∠MEN+50°，利用平行线的性质可得∠ENC=∠MHN=∠MEN+50°，根据角平分线的定义可得∠ENG=∠ENC=∠MEN+50°，由四边形的内角和可得∠HNG+∠MHN+∠HMG+∠MGN=360°，据此即可求解.
17．（2023七下·东阿期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，
（1）请在表格中的横线上填上相应的结果：
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发 ▲ ▲
多边形对角线的总条数 ▲ ▲ ▲
（2）应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
【答案】（1）填表如下：
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发 3
多边形对角线的总条数 5 9
（2）解：把代入得，．
十二边形有条对角线．
能．
由题意得，23，
解得=1014．
多边形的边数n是正整数，
过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014．
【知识点】多边形的对角线；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）六边形从一个顶点出发对角线有6-3=3条，n边形从一个顶点出发对角线有（n-3）条；
五边形对角线的总条数有）=5条，六边形对角线的总条数有）=9条，
则n边形对角线的总条数有条，
故答案为：3，（n-3），5，9，；
【分析】（1）先计算特殊值，再探求规律即可；
（2）① 把代入 进行计算即可；
②n边形从一个顶点出发有（n-3）条对角线，可把分割成（n-2）个三角形，根据题意可得方程 23， 解之并判断即可.
1 / 1
