2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 19.2 平行四边形同步分层训练基础题
一、选择题
1．如图，在△ABC 中，BC=4，D，E分别为AB，AC的中点，则 DE的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，若∠A=65°，∠ANM=45°，则∠B的度数为 （ ）
A．20° B．45° C．65° D．70°
3．（2023八下·官渡期末）如图，在 中，，为上一点，，分别为，的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．不确定
4．（2023九上·福州开学考）如图1，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
图1
A．， B．，
C．， D．，
5．（2023八下·兴仁月考）如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，的周长为15，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，在□ABCD中，已知AB=12，AD=8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2023八下·台山期末）如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若，则的周长为（ ）
A．24 B．22 C．16 D．12
8．（2023九上·游仙开学考）如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E.若∠A=60°，则∠DEB的大小为 ( )
A．130° B．125°
C．120° D．115°
二、填空题
9．（2023八下·北京市期中）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则 cm．
10．（2024八上·依安期末）如图，等边的边长为1，第一次取点、、分别是边、、的中点，连接、、得到第一个等边；第二次取点、、分别是边、、的中点，连接、、得到第二个等边；第三次取点、、分别是边、、的中点，连接、、得到第三个等边；…；按此做法依次进行下去，则得到的第个等边的边长为 .
11．如图，在ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAD，且AB=AE，连结DE并延长与AB的延长线交于点F，连结CF，若AB=1 cm，则△CEF的面积是 cm2．
12．如图，在 ABCD中，AB=2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点E.若点E恰好在边AD上，则 .
13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，AC=5，点D在边BC上.若以AD，CD为边，AC为对角线，作 ADCE，则对角线DE的长的最小值为 .
三、解答题
14．如图，在 ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 上的点，且满足 AE=CG，BF=DH，连结 EG，FH.求证：EG，FH 互相平分.
15．如图，在 ABCD 中，延长 DA 到点 E，延长BC到点 F，使得 AE=CF，连结 EF，分别交AB，CD于点M，N，连结 DM，BN.求证：
（1）△AEM≌△CFN.
（2）四边形 BMDN 是平行四边形.
四、综合题
16．（2021九上·汕头开学考）如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD BC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AC=8，BD=6，求平行四边形ABCD的面积．
17．（2023八下·大兴期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象的交点为C（m，4）．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）D是平面内一点，以O、C、D、B四点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标．（不必写出推理过程）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ D，E分别为AB，AC的中点
∴DE为△ABC的中位线，
∴ DE=BC=2.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半可得答案.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
∴ MN∥BC，
∴ ∠B=∠AMN，
∵ ∠A=65°，∠ANM=45°，
∴ ∠AMN=180°-∠A-∠ANM=70°，
∴ ∠B=70°.
故答案为：D.
【分析】根据中位线平行于第三边得 MN∥BC，由二直线平行，同位角相等得∠B=∠AMN，根据三角形的内角和定理得∠AMN，即可求得.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意，在中，BC=AD=8，因为M、N分别是BE、CE的中点，所以MN是△EBC的中位线，所以MN=BC=4.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形对边相等求得BC=8，在根据三角形中位线定理求得MN=4.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，A不符合题意；
B、∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，B不符合题意；
C、∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，C不符合题意；
D、AB=DC，AD∥BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；进行分析即可得出结论.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵平行四边形的对角线，交于点，已知，，
∴BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，
∵的周长为15，
∴BC=15-（BO+CO）=15-（5+3）=7，
∴AD=BC=7，
故答案为：C.
【分析】先利用平行四边形的性质可得BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，再利用三角形的周长公式求出BC的长，最后利用平行四边形的性质可得AD=BC.
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC=AD=8，CD=AB=12，
∴∠CBM=∠CMB，
∴∠CMB=∠CBM，
∴CM=BC=8，
∴DM=CD-CM=12-8=4.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，BC=AD=8，CD=AB=12，利用平行线的性质及角平分线的定义可得∠CMB=∠CBM，从而得出CM=BC=8，利用DM=CD-CM即可求解.
7．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=60°，AB=CD=4，
∵△ADC 沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处
∴AD=AE，CD=CE=4，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE=CE+CD=8
∴ △ADE的周长 =AD+DC+CE+AE=8+4+4+8=24.
故答案为：A.
【分析】再根据平行四边形的性质得∠D=∠B=60°，AB=CD=4，由翻折得AD=AE，CD=CE=4，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质得AD=AE=DE=CE+CD=8，最后根据三角形周长计算公式计算可得答案.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，CD//AB，
∵∠A=60°，
∴∠ABC=180°-∠A=120°，
∵ BE平分∠ABC ，
∴∠ABE=60°，
∴∠DEB=180°-∠ABE=120°，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质求出AD//BC，CD//AB，再根据角平分线求出∠ABE=60°，最后计算求解即可。
9．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=4cm，AD=7cm，
∴AB=CD=4cm，AB∥CD，BC=AD=7cm，
∴∠ABE=∠F，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，
∴∠FBC=∠F，
∴CF=BC=7cm，
∴DF=FC-CD=7-4=3cm；
故答案为：3.
【分析】由平形四边形的性质可得AB=CD=4cm，AB∥CD，BC=AD=7cm，利用平行线的性质及角平分线的定义可得∠FBC=∠F，可得CF=BC=7cm，利用DF=FC-CD即可求解.
10．【答案】
【知识点】探索图形规律；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 、、分别是边、、的中点 ，
∴，
即是边长为的等边三角形；
同理，第二个等边的边长为；
第三个等边的边长为；
……
第n个等边的边长为．
故答案为：．
【分析】根据中位线定理，得出是边长为的等边三角形，的边长为， 的边长为，则第n个等边三角形的边长为．
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，
∵AB=AE，∴△ABE是等边三角形，
∴△ABE的面积为：，
∵△FCD与△ABC等底等高，∴，又∵△AEC与△DEC同底等高，∴，∴.
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义可证明△ABE是等边三角形，根据等边三角形面积公式得，由△FCD与△ABC等底等高，△AEC与△DEC同底等高，可得，即可得解.
12．【答案】16
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形 ，
∴∠ABC+∠BCD=180°，AB=CD=2，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABE=∠EBC，∠BCE=∠ECD，
∴∠AEB=∠ABE，∠EBC+∠ECB=90°，
∴AE=AB=2，∠BEC=90°，
同理可证DE=CD=2，
∴BC=AD=AE+ED=4，
∴BC2=42=16.
故答案为：16.
【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义可推出∠EBC+∠ECB=90°，AE=AB=2，DE=CD=2，从而得出∠BEC=90°，再利用勾股定理即可求解.
13．【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，BC=4，AC=5，
∴AB=3，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC=2.5，
∴当OD取最小值时，线段DE最短，即OD⊥BC时最短，
∴OD∥AB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AB=1.5，
∴DE=2OD=3.
故答案为：3.
【分析】由平行四边形的对角线互相平分以及垂线段最短可知：当OD⊥BC时DE最短，由三角形的中位线定理克求出OD的值，然后由DE=2OD可求解.
14．【答案】证明：连接EH，EF，FG，HG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，
∵ BF=DH ，
∴AH=CF，
在△AEH和△CGF中
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=FG，
同理可证EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴FH和EG互相平分.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】连接EH，EF，FG，HG，利用平行四边形的性质可知∠A=∠C，AD=BC，可推出AH=CF，利用SAS证明△AEH≌△CGF，利用全等三角形的对应边相等，可证得EH=FG，同理可证EF=HG，可得到四边形EFGH是平行四边形，利用平行四边形的性质，可证得结论.
15．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，
∴∠E=∠F，∠EAM=∠ABC=∠FCN，
在△AEM和△CFN中
∴△AEM≌△CFN（ASA）
（2）证明：由（1）可知△AEM≌△CFN，
∴AM=CN，
∵AB=CD，
∴BM=DN，
∵BM∥DN，
∴四边形BMDN是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AB=CD，∠E=∠F，∠EAM=∠ABC=∠FCN，利用ASA可证得结论.
（2）由（1）可知△AEM≌△CFN，利用全等三角形的性质可证得AM=CN，由此可推出BM=DN，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
16．【答案】（1）证明：∵AD BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴OD＝OB，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴平行四边形ABCD的面积＝ AC×BD＝ ×8×6＝24．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】 (1)由已知可证△AOD≌△COB ，可得OD=OB，进而可证结论；
(2)由(1)的结论和已知条件可证明四边形ABCD是菱形，然后由菱形的面积公式即可求解。
17．【答案】（1）解：把点C（m，4），代入正比例函数y＝x得，
4＝m，解得m＝3，
∴点C的坐标为（3，4），
∵A的坐标为（-3，0），
∴，
解得．
∴一次函数的解析式为：y＝x+2
（2）解：（-3，-2）、（3，2）、（3，6）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（2）在直线y=x+2中，令x=0，y=2
∴点B的坐标为(0，2)
∴OB=2
∵D是平面内一点，以O、C、D、B四点为顶点的四边形是平行四边形
∴只要BD平行且等于OC；CD平行且等于OB即可。
当BD平行且等于OC时，
∵点C向左平移3个单位长度、再向下平移4个单位长度得到点O，
∴将点B向左平移3个单位长度、再向下平移4个单位长度得到点D，此时，点D的坐标为（-3，-2)；
当CD平行且等于OB时，
∵点B在y轴上，且OB=2
∴将点C向上（或下）平移2个单位长度得到点D，此时，点D的坐标为（3，2）或（3，6)，
综上，点D的坐标为（-3，-2)或（3，2）或（3，6)。
【分析】（1）根据题意把点C的坐标代入正比例函数的解析式，可求得m的值，故而得出点C的坐标，再根据待定系数法即可求解；
（2）先求出B点的坐标，利用BD平行且等于OC，CD平行且等于OB即可求解。
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 19.2 平行四边形同步分层训练基础题
一、选择题
1．如图，在△ABC 中，BC=4，D，E分别为AB，AC的中点，则 DE的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ D，E分别为AB，AC的中点
∴DE为△ABC的中位线，
∴ DE=BC=2.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半可得答案.
2．如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，若∠A=65°，∠ANM=45°，则∠B的度数为 （ ）
A．20° B．45° C．65° D．70°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
∴ MN∥BC，
∴ ∠B=∠AMN，
∵ ∠A=65°，∠ANM=45°，
∴ ∠AMN=180°-∠A-∠ANM=70°，
∴ ∠B=70°.
故答案为：D.
【分析】根据中位线平行于第三边得 MN∥BC，由二直线平行，同位角相等得∠B=∠AMN，根据三角形的内角和定理得∠AMN，即可求得.
3．（2023八下·官渡期末）如图，在 中，，为上一点，，分别为，的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意，在中，BC=AD=8，因为M、N分别是BE、CE的中点，所以MN是△EBC的中位线，所以MN=BC=4.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形对边相等求得BC=8，在根据三角形中位线定理求得MN=4.
4．（2023九上·福州开学考）如图1，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
图1
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，A不符合题意；
B、∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，B不符合题意；
C、∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，C不符合题意；
D、AB=DC，AD∥BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；进行分析即可得出结论.
5．（2023八下·兴仁月考）如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，的周长为15，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵平行四边形的对角线，交于点，已知，，
∴BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，
∵的周长为15，
∴BC=15-（BO+CO）=15-（5+3）=7，
∴AD=BC=7，
故答案为：C.
【分析】先利用平行四边形的性质可得BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，再利用三角形的周长公式求出BC的长，最后利用平行四边形的性质可得AD=BC.
6．如图，在□ABCD中，已知AB=12，AD=8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC=AD=8，CD=AB=12，
∴∠CBM=∠CMB，
∴∠CMB=∠CBM，
∴CM=BC=8，
∴DM=CD-CM=12-8=4.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，BC=AD=8，CD=AB=12，利用平行线的性质及角平分线的定义可得∠CMB=∠CBM，从而得出CM=BC=8，利用DM=CD-CM即可求解.
7．（2023八下·台山期末）如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若，则的周长为（ ）
A．24 B．22 C．16 D．12
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=60°，AB=CD=4，
∵△ADC 沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处
∴AD=AE，CD=CE=4，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE=CE+CD=8
∴ △ADE的周长 =AD+DC+CE+AE=8+4+4+8=24.
故答案为：A.
【分析】再根据平行四边形的性质得∠D=∠B=60°，AB=CD=4，由翻折得AD=AE，CD=CE=4，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质得AD=AE=DE=CE+CD=8，最后根据三角形周长计算公式计算可得答案.
8．（2023九上·游仙开学考）如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E.若∠A=60°，则∠DEB的大小为 ( )
A．130° B．125°
C．120° D．115°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，CD//AB，
∵∠A=60°，
∴∠ABC=180°-∠A=120°，
∵ BE平分∠ABC ，
∴∠ABE=60°，
∴∠DEB=180°-∠ABE=120°，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质求出AD//BC，CD//AB，再根据角平分线求出∠ABE=60°，最后计算求解即可。
二、填空题
9．（2023八下·北京市期中）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则 cm．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=4cm，AD=7cm，
∴AB=CD=4cm，AB∥CD，BC=AD=7cm，
∴∠ABE=∠F，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，
∴∠FBC=∠F，
∴CF=BC=7cm，
∴DF=FC-CD=7-4=3cm；
故答案为：3.
【分析】由平形四边形的性质可得AB=CD=4cm，AB∥CD，BC=AD=7cm，利用平行线的性质及角平分线的定义可得∠FBC=∠F，可得CF=BC=7cm，利用DF=FC-CD即可求解.
10．（2024八上·依安期末）如图，等边的边长为1，第一次取点、、分别是边、、的中点，连接、、得到第一个等边；第二次取点、、分别是边、、的中点，连接、、得到第二个等边；第三次取点、、分别是边、、的中点，连接、、得到第三个等边；…；按此做法依次进行下去，则得到的第个等边的边长为 .
【答案】
【知识点】探索图形规律；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 、、分别是边、、的中点 ，
∴，
即是边长为的等边三角形；
同理，第二个等边的边长为；
第三个等边的边长为；
……
第n个等边的边长为．
故答案为：．
【分析】根据中位线定理，得出是边长为的等边三角形，的边长为， 的边长为，则第n个等边三角形的边长为．
11．如图，在ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAD，且AB=AE，连结DE并延长与AB的延长线交于点F，连结CF，若AB=1 cm，则△CEF的面积是 cm2．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，
∵AB=AE，∴△ABE是等边三角形，
∴△ABE的面积为：，
∵△FCD与△ABC等底等高，∴，又∵△AEC与△DEC同底等高，∴，∴.
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义可证明△ABE是等边三角形，根据等边三角形面积公式得，由△FCD与△ABC等底等高，△AEC与△DEC同底等高，可得，即可得解.
12．如图，在 ABCD中，AB=2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点E.若点E恰好在边AD上，则 .
【答案】16
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形 ，
∴∠ABC+∠BCD=180°，AB=CD=2，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABE=∠EBC，∠BCE=∠ECD，
∴∠AEB=∠ABE，∠EBC+∠ECB=90°，
∴AE=AB=2，∠BEC=90°，
同理可证DE=CD=2，
∴BC=AD=AE+ED=4，
∴BC2=42=16.
故答案为：16.
【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义可推出∠EBC+∠ECB=90°，AE=AB=2，DE=CD=2，从而得出∠BEC=90°，再利用勾股定理即可求解.
13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，AC=5，点D在边BC上.若以AD，CD为边，AC为对角线，作 ADCE，则对角线DE的长的最小值为 .
【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，BC=4，AC=5，
∴AB=3，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC=2.5，
∴当OD取最小值时，线段DE最短，即OD⊥BC时最短，
∴OD∥AB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AB=1.5，
∴DE=2OD=3.
故答案为：3.
【分析】由平行四边形的对角线互相平分以及垂线段最短可知：当OD⊥BC时DE最短，由三角形的中位线定理克求出OD的值，然后由DE=2OD可求解.
三、解答题
14．如图，在 ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 上的点，且满足 AE=CG，BF=DH，连结 EG，FH.求证：EG，FH 互相平分.
【答案】证明：连接EH，EF，FG，HG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，
∵ BF=DH ，
∴AH=CF，
在△AEH和△CGF中
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=FG，
同理可证EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴FH和EG互相平分.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】连接EH，EF，FG，HG，利用平行四边形的性质可知∠A=∠C，AD=BC，可推出AH=CF，利用SAS证明△AEH≌△CGF，利用全等三角形的对应边相等，可证得EH=FG，同理可证EF=HG，可得到四边形EFGH是平行四边形，利用平行四边形的性质，可证得结论.
15．如图，在 ABCD 中，延长 DA 到点 E，延长BC到点 F，使得 AE=CF，连结 EF，分别交AB，CD于点M，N，连结 DM，BN.求证：
（1）△AEM≌△CFN.
（2）四边形 BMDN 是平行四边形.
【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，
∴∠E=∠F，∠EAM=∠ABC=∠FCN，
在△AEM和△CFN中
∴△AEM≌△CFN（ASA）
（2）证明：由（1）可知△AEM≌△CFN，
∴AM=CN，
∵AB=CD，
∴BM=DN，
∵BM∥DN，
∴四边形BMDN是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AB=CD，∠E=∠F，∠EAM=∠ABC=∠FCN，利用ASA可证得结论.
（2）由（1）可知△AEM≌△CFN，利用全等三角形的性质可证得AM=CN，由此可推出BM=DN，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
四、综合题
16．（2021九上·汕头开学考）如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD BC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AC=8，BD=6，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵AD BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴OD＝OB，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴平行四边形ABCD的面积＝ AC×BD＝ ×8×6＝24．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】 (1)由已知可证△AOD≌△COB ，可得OD=OB，进而可证结论；
(2)由(1)的结论和已知条件可证明四边形ABCD是菱形，然后由菱形的面积公式即可求解。
17．（2023八下·大兴期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象的交点为C（m，4）．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）D是平面内一点，以O、C、D、B四点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标．（不必写出推理过程）．
【答案】（1）解：把点C（m，4），代入正比例函数y＝x得，
4＝m，解得m＝3，
∴点C的坐标为（3，4），
∵A的坐标为（-3，0），
∴，
解得．
∴一次函数的解析式为：y＝x+2
（2）解：（-3，-2）、（3，2）、（3，6）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（2）在直线y=x+2中，令x=0，y=2
∴点B的坐标为(0，2)
∴OB=2
∵D是平面内一点，以O、C、D、B四点为顶点的四边形是平行四边形
∴只要BD平行且等于OC；CD平行且等于OB即可。
当BD平行且等于OC时，
∵点C向左平移3个单位长度、再向下平移4个单位长度得到点O，
∴将点B向左平移3个单位长度、再向下平移4个单位长度得到点D，此时，点D的坐标为（-3，-2)；
当CD平行且等于OB时，
∵点B在y轴上，且OB=2
∴将点C向上（或下）平移2个单位长度得到点D，此时，点D的坐标为（3，2）或（3，6)，
综上，点D的坐标为（-3，-2)或（3，2）或（3，6)。
【分析】（1）根据题意把点C的坐标代入正比例函数的解析式，可求得m的值，故而得出点C的坐标，再根据待定系数法即可求解；
（2）先求出B点的坐标，利用BD平行且等于OC，CD平行且等于OB即可求解。
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