2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 19.2 平行四边形同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023·凉州模拟）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·福田开学考）下列命题是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则1－2a＞1－2b
B．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角等于60°
3．（2024九上·涪城开学考）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，若AD=5，BE∶CE=3∶2，则四边形ABCD的周长是 ( )
A．16 B．14 C．12 D．10
4．（2024九上·涪城开学考）如图，E，F分别是 ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC'D'，ED'交BC于点G，则△GEF的周长为 ( )
A．6 B．12 C．18 D．24
5．（2021·滨州）如图，在 中，BE平分∠ABC交DC于点E．若 ，则∠DEB的大小为（ ）
A．130° B．125° C．120° D．115°
6．（2023九上·南昌开学考）如图，在中，点D，E，F分别是，，中点，以这些点为顶点，在图中能画出多少个平行四边形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A，C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2023八下·黄州期末）如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
二、填空题
9．如图，在 ABCD中，BC的长为4，∠ABC的平分线交AD 于点E，且 E恰好是AD 的中点，过点A作AG⊥BE，垂足为G.若AG=1，则BE的长为 .
10．如图，在 ABCD中，∠ABD=25°，现将 ABCD 折叠成如图所示的形状，使点B与点D 重合，EF 为折痕，点C的对应点为C′，则∠C'EF 的度数为
11．（2024九上·双流期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交CB，CD于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，连接CP并延长交AD于点Q，连接BQ．若时，则与的周长之差为 ．
12．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，E，F 分别是边 AD，AB 上的点，连结 OE，OF，EF.若 ∠DAB=45°，则点 C到直线 AB 的距离是 ，△OEF周长的最小值是 .
13．（2023八下·相城期末）如图，将一副三角尺中，含30°角的三角尺（）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边重合，P，Q分别是边AC，BC上的两点，AB与CD交于E，且四边形EPQB是面积为3的平行四边形，则线段DE的长为 .
三、解答题
14．如图，在 ABCD中，AF 平分∠BAD，交 BC 于点F，CE平分∠BCD，交 AD于点 E.
（1）若AD=12，AB=8，求CF 的长.
（2）连结 BE，与 AF 相交于点 G，连结 DF，与CE 相交于点 H，连结 EF，GH 相交于点O.求证：EF 和GH 互相平分.
15．（2024八上·通榆期末） 如图：是边长为的等边三角形，是边上一动点．由点向点运动与点，不重合，是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动点不与点重合，过点作于点，连接交于点．
（1）若设的长为，则 ， ；
（2）当时，求的长；
（3）过点作交延长线于点，则，有怎样的数量关系？说明理由．
（4）点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由．
四、综合题
16．（2023九上·开州开学考）如图，一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点在轴上，且满足，求点的坐标；
（3）一次函数有一点，点的纵坐标为，点为坐标轴上一动点，在函数上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一个情况的过程．
17．（2023八下·武鸣期末）在平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，且与直线：交于点．
（1）分别求出，，三点的坐标．
（2）若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】
由平行四边形ABCD可得AB∥CD，∴∠BAB′＝∠1＝36°
由折叠可知，∠BAC＝∠B′AC
∴∠BAC＝∠BAB′＝18°
∴∠B＝180°-∠BAC-∠2＝180°-18°-36°＝126°。
故答案为：D
【分析】根据折叠的性质可推导出∠BAC＝∠BAB′，再结合平行线的性质和三角形内角和定理求出∠B。
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A.若a＞b，则1－2a＜1－2b，故A不符合题意；
B.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边的高重合，故B不符合题意；
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，故C不符合题意；
D.一个正多边形的内角和为720°，则该多边形的边数为，则这个正六边形的一个外角等于，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和多边形的内角和外角逐一判断即可.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=5，
∴BC=AD=5，AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵ BE∶CE=3∶2 ，
∴BE=3，CE=2，
∴AB=3，
∴四边形ABCD的周长是2（AB+AD)=2×（3+5）=16，
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质求出BC=AD=5，AD//BC，再根据角平分线求出∠DAE=∠BAE，最后计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEG=∠FGE，
∵ 将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC'D'，
∴∠GEF=∠DEF=60°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠DEF=60°，
∴∠FGE=∠AEG=60°，
∴△GFE是等边三角形，
∵EF=6，
∴△GFE的周长为3×6=18，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质求出AD//BC，再根据折叠的性质求出∠GEF=∠DEF=60°，最后根据等边三角形的判定与性质证明求解即可。
5．【答案】C
【知识点】角的运算；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠A+∠ABC=180°，∠ABE+∠DEB=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC=120°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=60°，
∴∠DEB=120°，
故答案为：C．
【分析】先利用平行四边形的性质：邻角互补求出∠ABC的度数，再利用角平分线的定义求出∠ABE，再根据平行线的性质得到∠CEB=∠ABE，最后利用邻补角的性质求解即可。
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】D、F是中点，即DF是底边BC的中位线，
四边形DFEB是平行四边形
同理，四边形DFEC、DEFA也都是平行四边形
故选：C
【分析】根据中位线定理，得到平行四边形的判定条件，三角形三边分别可做底边，在图中可画出3个平行四边形。
7．【答案】C
【知识点】全等三角形的应用；平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，
∵直线x=1与直线x=4都垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC，
在△OAF和△BCD中
∴△OAF≌△BCD（ASA）
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
∵OE的值是定值，
∴当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE=5.
故答案为：C.
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得OB=，根据四边形OABC是平行四边形可得OA=BC，由平行线的性质可得∠OAF=∠BCD，结合已知用角边角易证△OAF≌△BCD，由OE的值是定值即可得当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE可求解.
8．【答案】B
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∵，，
∴AC=，
∵四边形PAQC为平行四边形，
∴PQ=2OP，OC=AO=，
欲求的最小值，即是求出PO的最小值，
当OP⊥BC时，OP即最小，
过点O作OP'⊥BC，则△COP'为等腰直角三角形，
∴OP'=OC=1，
∴的最小值为2OP'=2；
故答案为：B.
【分析】由等腰直角三角形求出AC=2，利用平行四边形的性质可得PQ=2OP，OC=AO=，欲求的最小值，即是求出PO的最小值，当OP⊥BC时，OP即最小，过点O作OP'⊥BC，则△COP'为等腰直角三角形，可得OP'=OC=1，继而求解.
9．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解： 在 ABCD中，AD=BC=4，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵ E恰好是AD 的中点 ，
∴AE=AD=2，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=2，
∵ AG⊥BE，
∴BG=GE，
∵GE=，
∴BE=2GE=.
故答案为：.
【分析】由平行四边形的性质及角平分线的定义可推出∠ABE=∠AEB，可得AB=AE=2，利用等腰三角形三线合一的性质可得BG=GE，由勾股定理求出GE的长，继而得解.
10．【答案】115°
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠ABD=∠CDB＝25°
∵翻折的原理
∴DF=BF，EF⊥BD， C'E ∥DF，∠FDB＝∠ABD＝25°
∴∠DFE=90°-25°=65°
∵C'E ∥DF，
∴∠ C'EF =180°-65°=115°
故答案为：115°.
【分析】根据平行四边形的性质，可得CD∥AB，由平行线的性质可得∠ABD=∠CDB；根据翻折的性质，可得DF=BF，EF⊥BD， C'E ∥DF，∠FDB＝∠ABD＝25°；最后根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠C'EF的度数.
11．【答案】5
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】根据题干中的作图方法CQ平分∠BCD，
∴∠BCQ=∠DCQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，AD//BC，
∴∠BCQ=∠DQC，
∴∠DCQ=∠DQC，
∴DQ=DC=5，
∴与的周长之差=（BC+BQ+CQ）-（DC+DQ+CQ）=8+7+CQ-5-5-CQ=5，
故答案为：5.
【分析】利用平行四边形的性质可得CD=AB=5，∠BCQ=∠DQC，再利用角平分线的定义可得∠BCQ=∠DCQ，再利用等量代换可得∠DCQ=∠DQC，再利用等角对等边的性质可得DQ=DC=5，再利用三角形的周长公式求解即可.
12．【答案】；
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图， 过点C作CH⊥AB交延长线于H，
在 ABCD中， AD∥BC，∠DAB=45°，
∴∠CBH=∠DAB=45°，
∴∠BCH=90°-∠CBH=45°，
∴CH=BH=BC=×=5，
即点C到直线AB的距离是5；
如图，过点O分别作关于AD、AB的对称点N、M，连接MN，分别交于AD、AB于点E、F，
此时△OEF的周长最小，最小值为MN的长，
连接AN、AM，
由对称性可得AN=AO=AM，∠NAD=∠DAO，∠MAB=∠OAB，
∵ ∠DAB=∠DAO+∠OAB=45° ，
∴∠MAN=2∠DAB=90°，
在Rt△CAH中，AB=AB+BH=12，CH=5，
由勾股定理可得AC=13，
∴AO=AC=6.5，
∴AN=AO=AM=6.5，
∴MN=AM=
∴ △OEF周长的最小值是 .
故答案为：5，.
【分析】 过点C作CH⊥AB交延长线于H，易得△CBH为等腰直角三角形，可得CH=BH=BC，求出CH的长，即得点C到直线 AB的距离；如图，过点O分别作关于AD、AB的对称点N、M，连接MN，分别交于AD、AB于点E、F，此时△OEF的周长最小，最小值为MN的长，根据轴对称的性质及勾股定理求出MN的长即可.
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点Q作QF⊥AB，垂足为F，
设EB=a，PE=x，则BQ=PE=x，PQ=BE=a，
∵∠B=60°，
∴BF=BQ=x，QF=x，
∵ 四边形EPQB是面积为3的平行四边形，
∴BE·QF=a·x=3，
∴ax=①，
∵四边形EPQB是平行四边形，∠ACB=90°，
∴PE∥BC，PQ∥BA，
∴∠EPC=90°，∠CPQ=∠CAB=30°，
∵∠ACD=45°，
∴∠PEC=45°，
∴PC=PE=x，
在Rt△PCQ中，∠CPQ=30°，
∴PC=PQ，即x=a②，
联立①②，解得：a=2，x=，
∴CQ=PQ=1，PC=，BC=CQ+BQ=1+
∴CE=PC=，AC=BC=（1+），
∴CD=AC=，
∴DE=CD-CE=；
故答案为：.
【分析】过点Q作QF⊥AB，垂足为F，设EB=a，PE=x，则BQ=PE=x，PQ=BE=a，由直角三角形的性质可得BF=BQ=x，QF=x，根据平行四边形的面积可得BE·QF=a·x=3，即得ax=①，易得△PCE为等腰直角三角形，可得PC=PE=x，再由直角三角形的性质可得PC=PQ，即x=a②，联立①②，可得a=2，x=，从而求出CE、CD的长，利用DE=CD-CE即可求解.
14．【答案】（1）解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF=8，
∴CF=BC-BF=12-8=4
（2）证明：同理可证DE=DC=8，
∴AE=AD-DE=12-8=4，
∵CF=4，BF=8，
∴AE=CF，BF=DE，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形，
∴AF∥CE，BE∥DF，
∴四边形EHFG是平行四边形，
∴EF和GH互相平分.
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AD∥BC，AD=BC，∠DAF=∠AFB，利用角平分线的定义可推出∠BAF=∠AFB；再利用等角对等边可求出BF的长，然后根据CF=BC-BF，可求出CF的长.
（2）同理可证DE=DC=8，由此可求出AE的长，可证得AE=CF，BF=DE，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形，可推出四边形EHFG是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分，可证得结论.
15．【答案】（1）6-x；6+x
（2）解：因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
（3）解：，
理由如下：
如图，
点、速度相同，
，
是等边三角形，
，
，，，
在和中
≌，
．
（4）解：的长度不变．
连接，，
≌
，
，
．
，，
，且，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（1）解：是边长为6的等边三角形，
设，则，
故答案为∶；
【分析】（1）根据等边三角形的性质，由线段和差关系可求解；
（2）根据直角三角形的性质列方程，解方程即可求的长；
（3）根据等边三角形的性质，由""证明，可得；
（4）连接，利用全等三角形的性质证明，再证四边形是平行四边形，可得。
16．【答案】（1）解：，
，
直线经过点，且点的横坐标为，
，
把，代入，得，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）设，则，
，
，
即，
解得：，
点的坐标为或；
（3）由知，
一次函数有一点，点的纵坐标为，
，
点在直线上，
设，
当点在轴上时，设，
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
当点在轴上时，设，
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或或或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数-动态几何问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，根据面积求坐标和一次函数与四边形的几何问题，熟悉平行四边形的性质是关键。（1）根据B的横坐标和y=-3x，可得B坐标，结合A的坐标，可得一次函数解析式；（2）根据 ，设C（0，y），得y值，得C坐标；（3）根据D在一次函数y=x+4，得D（-3，1），根据N在y=-3x上得N（n，-3n）， 要使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，分类讨论M在x轴上BM、DN和BD、MN和BN、DM分别为对角线和y轴上BM、DN和 、 分别为对角线的情况，根据平行四边形的性质，列出对应的方程组，求解可得N坐标。
17．【答案】（1）解：直线，当时，，当时，，
，，
解方程组：，
得：，
，
即：，，；
（2）解：是射线上的点，
设，
由（1）得，，
，
的面积为12，
，
解得：，
，
设直线的函数表达式是，
把，代入得：
，
解得：，
，
即直线的函数表达式是；
（3）解：存在点，分以下三种情况：
以为对角线时，，如图，
，，，
点即为点向上平移6个单位，
；
以为对角线时，，
，，，
点即为点向下平移6个单位，
；
以为对角线时，
，，，四边形是平行四边形，
的中点坐标与的中点坐标相同，为，
；
综上所述，符合条件的点坐标有或或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）将x=0代入即可解出点C的坐标；将y=0代入即可解出点B的值坐标，联立两个函数，即可解得点A的坐标.
（2）首先设出点D的坐标，根据的面积即可得出点D的坐标，再设出CD的函数解析式，将点C点D代入运用待定系数法解出解析式即可.
（3）本题分三种情况可解：①以CD为对角线，OC∥DP；②以OD为对角线，OC∥DP'；③以OC为对角线，分别解出上述情况的点P的坐标即可.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 19.2 平行四边形同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023·凉州模拟）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】
由平行四边形ABCD可得AB∥CD，∴∠BAB′＝∠1＝36°
由折叠可知，∠BAC＝∠B′AC
∴∠BAC＝∠BAB′＝18°
∴∠B＝180°-∠BAC-∠2＝180°-18°-36°＝126°。
故答案为：D
【分析】根据折叠的性质可推导出∠BAC＝∠BAB′，再结合平行线的性质和三角形内角和定理求出∠B。
2．（2023九上·福田开学考）下列命题是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则1－2a＞1－2b
B．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角等于60°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A.若a＞b，则1－2a＜1－2b，故A不符合题意；
B.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边的高重合，故B不符合题意；
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，故C不符合题意；
D.一个正多边形的内角和为720°，则该多边形的边数为，则这个正六边形的一个外角等于，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和多边形的内角和外角逐一判断即可.
3．（2024九上·涪城开学考）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，若AD=5，BE∶CE=3∶2，则四边形ABCD的周长是 ( )
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=5，
∴BC=AD=5，AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵ BE∶CE=3∶2 ，
∴BE=3，CE=2，
∴AB=3，
∴四边形ABCD的周长是2（AB+AD)=2×（3+5）=16，
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质求出BC=AD=5，AD//BC，再根据角平分线求出∠DAE=∠BAE，最后计算求解即可。
4．（2024九上·涪城开学考）如图，E，F分别是 ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC'D'，ED'交BC于点G，则△GEF的周长为 ( )
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEG=∠FGE，
∵ 将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC'D'，
∴∠GEF=∠DEF=60°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠DEF=60°，
∴∠FGE=∠AEG=60°，
∴△GFE是等边三角形，
∵EF=6，
∴△GFE的周长为3×6=18，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质求出AD//BC，再根据折叠的性质求出∠GEF=∠DEF=60°，最后根据等边三角形的判定与性质证明求解即可。
5．（2021·滨州）如图，在 中，BE平分∠ABC交DC于点E．若 ，则∠DEB的大小为（ ）
A．130° B．125° C．120° D．115°
【答案】C
【知识点】角的运算；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠A+∠ABC=180°，∠ABE+∠DEB=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC=120°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=60°，
∴∠DEB=120°，
故答案为：C．
【分析】先利用平行四边形的性质：邻角互补求出∠ABC的度数，再利用角平分线的定义求出∠ABE，再根据平行线的性质得到∠CEB=∠ABE，最后利用邻补角的性质求解即可。
6．（2023九上·南昌开学考）如图，在中，点D，E，F分别是，，中点，以这些点为顶点，在图中能画出多少个平行四边形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】D、F是中点，即DF是底边BC的中位线，
四边形DFEB是平行四边形
同理，四边形DFEC、DEFA也都是平行四边形
故选：C
【分析】根据中位线定理，得到平行四边形的判定条件，三角形三边分别可做底边，在图中可画出3个平行四边形。
7．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A，C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】全等三角形的应用；平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，
∵直线x=1与直线x=4都垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC，
在△OAF和△BCD中
∴△OAF≌△BCD（ASA）
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
∵OE的值是定值，
∴当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE=5.
故答案为：C.
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得OB=，根据四边形OABC是平行四边形可得OA=BC，由平行线的性质可得∠OAF=∠BCD，结合已知用角边角易证△OAF≌△BCD，由OE的值是定值即可得当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE可求解.
8．（2023八下·黄州期末）如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∵，，
∴AC=，
∵四边形PAQC为平行四边形，
∴PQ=2OP，OC=AO=，
欲求的最小值，即是求出PO的最小值，
当OP⊥BC时，OP即最小，
过点O作OP'⊥BC，则△COP'为等腰直角三角形，
∴OP'=OC=1，
∴的最小值为2OP'=2；
故答案为：B.
【分析】由等腰直角三角形求出AC=2，利用平行四边形的性质可得PQ=2OP，OC=AO=，欲求的最小值，即是求出PO的最小值，当OP⊥BC时，OP即最小，过点O作OP'⊥BC，则△COP'为等腰直角三角形，可得OP'=OC=1，继而求解.
二、填空题
9．如图，在 ABCD中，BC的长为4，∠ABC的平分线交AD 于点E，且 E恰好是AD 的中点，过点A作AG⊥BE，垂足为G.若AG=1，则BE的长为 .
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解： 在 ABCD中，AD=BC=4，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵ E恰好是AD 的中点 ，
∴AE=AD=2，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=2，
∵ AG⊥BE，
∴BG=GE，
∵GE=，
∴BE=2GE=.
故答案为：.
【分析】由平行四边形的性质及角平分线的定义可推出∠ABE=∠AEB，可得AB=AE=2，利用等腰三角形三线合一的性质可得BG=GE，由勾股定理求出GE的长，继而得解.
10．如图，在 ABCD中，∠ABD=25°，现将 ABCD 折叠成如图所示的形状，使点B与点D 重合，EF 为折痕，点C的对应点为C′，则∠C'EF 的度数为
【答案】115°
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠ABD=∠CDB＝25°
∵翻折的原理
∴DF=BF，EF⊥BD， C'E ∥DF，∠FDB＝∠ABD＝25°
∴∠DFE=90°-25°=65°
∵C'E ∥DF，
∴∠ C'EF =180°-65°=115°
故答案为：115°.
【分析】根据平行四边形的性质，可得CD∥AB，由平行线的性质可得∠ABD=∠CDB；根据翻折的性质，可得DF=BF，EF⊥BD， C'E ∥DF，∠FDB＝∠ABD＝25°；最后根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠C'EF的度数.
11．（2024九上·双流期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交CB，CD于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，连接CP并延长交AD于点Q，连接BQ．若时，则与的周长之差为 ．
【答案】5
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】根据题干中的作图方法CQ平分∠BCD，
∴∠BCQ=∠DCQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，AD//BC，
∴∠BCQ=∠DQC，
∴∠DCQ=∠DQC，
∴DQ=DC=5，
∴与的周长之差=（BC+BQ+CQ）-（DC+DQ+CQ）=8+7+CQ-5-5-CQ=5，
故答案为：5.
【分析】利用平行四边形的性质可得CD=AB=5，∠BCQ=∠DQC，再利用角平分线的定义可得∠BCQ=∠DCQ，再利用等量代换可得∠DCQ=∠DQC，再利用等角对等边的性质可得DQ=DC=5，再利用三角形的周长公式求解即可.
12．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，E，F 分别是边 AD，AB 上的点，连结 OE，OF，EF.若 ∠DAB=45°，则点 C到直线 AB 的距离是 ，△OEF周长的最小值是 .
【答案】；
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图， 过点C作CH⊥AB交延长线于H，
在 ABCD中， AD∥BC，∠DAB=45°，
∴∠CBH=∠DAB=45°，
∴∠BCH=90°-∠CBH=45°，
∴CH=BH=BC=×=5，
即点C到直线AB的距离是5；
如图，过点O分别作关于AD、AB的对称点N、M，连接MN，分别交于AD、AB于点E、F，
此时△OEF的周长最小，最小值为MN的长，
连接AN、AM，
由对称性可得AN=AO=AM，∠NAD=∠DAO，∠MAB=∠OAB，
∵ ∠DAB=∠DAO+∠OAB=45° ，
∴∠MAN=2∠DAB=90°，
在Rt△CAH中，AB=AB+BH=12，CH=5，
由勾股定理可得AC=13，
∴AO=AC=6.5，
∴AN=AO=AM=6.5，
∴MN=AM=
∴ △OEF周长的最小值是 .
故答案为：5，.
【分析】 过点C作CH⊥AB交延长线于H，易得△CBH为等腰直角三角形，可得CH=BH=BC，求出CH的长，即得点C到直线 AB的距离；如图，过点O分别作关于AD、AB的对称点N、M，连接MN，分别交于AD、AB于点E、F，此时△OEF的周长最小，最小值为MN的长，根据轴对称的性质及勾股定理求出MN的长即可.
13．（2023八下·相城期末）如图，将一副三角尺中，含30°角的三角尺（）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边重合，P，Q分别是边AC，BC上的两点，AB与CD交于E，且四边形EPQB是面积为3的平行四边形，则线段DE的长为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点Q作QF⊥AB，垂足为F，
设EB=a，PE=x，则BQ=PE=x，PQ=BE=a，
∵∠B=60°，
∴BF=BQ=x，QF=x，
∵ 四边形EPQB是面积为3的平行四边形，
∴BE·QF=a·x=3，
∴ax=①，
∵四边形EPQB是平行四边形，∠ACB=90°，
∴PE∥BC，PQ∥BA，
∴∠EPC=90°，∠CPQ=∠CAB=30°，
∵∠ACD=45°，
∴∠PEC=45°，
∴PC=PE=x，
在Rt△PCQ中，∠CPQ=30°，
∴PC=PQ，即x=a②，
联立①②，解得：a=2，x=，
∴CQ=PQ=1，PC=，BC=CQ+BQ=1+
∴CE=PC=，AC=BC=（1+），
∴CD=AC=，
∴DE=CD-CE=；
故答案为：.
【分析】过点Q作QF⊥AB，垂足为F，设EB=a，PE=x，则BQ=PE=x，PQ=BE=a，由直角三角形的性质可得BF=BQ=x，QF=x，根据平行四边形的面积可得BE·QF=a·x=3，即得ax=①，易得△PCE为等腰直角三角形，可得PC=PE=x，再由直角三角形的性质可得PC=PQ，即x=a②，联立①②，可得a=2，x=，从而求出CE、CD的长，利用DE=CD-CE即可求解.
三、解答题
14．如图，在 ABCD中，AF 平分∠BAD，交 BC 于点F，CE平分∠BCD，交 AD于点 E.
（1）若AD=12，AB=8，求CF 的长.
（2）连结 BE，与 AF 相交于点 G，连结 DF，与CE 相交于点 H，连结 EF，GH 相交于点O.求证：EF 和GH 互相平分.
【答案】（1）解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF=8，
∴CF=BC-BF=12-8=4
（2）证明：同理可证DE=DC=8，
∴AE=AD-DE=12-8=4，
∵CF=4，BF=8，
∴AE=CF，BF=DE，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形，
∴AF∥CE，BE∥DF，
∴四边形EHFG是平行四边形，
∴EF和GH互相平分.
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AD∥BC，AD=BC，∠DAF=∠AFB，利用角平分线的定义可推出∠BAF=∠AFB；再利用等角对等边可求出BF的长，然后根据CF=BC-BF，可求出CF的长.
（2）同理可证DE=DC=8，由此可求出AE的长，可证得AE=CF，BF=DE，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形，可推出四边形EHFG是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分，可证得结论.
15．（2024八上·通榆期末） 如图：是边长为的等边三角形，是边上一动点．由点向点运动与点，不重合，是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动点不与点重合，过点作于点，连接交于点．
（1）若设的长为，则 ， ；
（2）当时，求的长；
（3）过点作交延长线于点，则，有怎样的数量关系？说明理由．
（4）点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）6-x；6+x
（2）解：因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
（3）解：，
理由如下：
如图，
点、速度相同，
，
是等边三角形，
，
，，，
在和中
≌，
．
（4）解：的长度不变．
连接，，
≌
，
，
．
，，
，且，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（1）解：是边长为6的等边三角形，
设，则，
故答案为∶；
【分析】（1）根据等边三角形的性质，由线段和差关系可求解；
（2）根据直角三角形的性质列方程，解方程即可求的长；
（3）根据等边三角形的性质，由""证明，可得；
（4）连接，利用全等三角形的性质证明，再证四边形是平行四边形，可得。
四、综合题
16．（2023九上·开州开学考）如图，一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点在轴上，且满足，求点的坐标；
（3）一次函数有一点，点的纵坐标为，点为坐标轴上一动点，在函数上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一个情况的过程．
【答案】（1）解：，
，
直线经过点，且点的横坐标为，
，
把，代入，得，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）设，则，
，
，
即，
解得：，
点的坐标为或；
（3）由知，
一次函数有一点，点的纵坐标为，
，
点在直线上，
设，
当点在轴上时，设，
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
当点在轴上时，设，
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或或或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数-动态几何问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，根据面积求坐标和一次函数与四边形的几何问题，熟悉平行四边形的性质是关键。（1）根据B的横坐标和y=-3x，可得B坐标，结合A的坐标，可得一次函数解析式；（2）根据 ，设C（0，y），得y值，得C坐标；（3）根据D在一次函数y=x+4，得D（-3，1），根据N在y=-3x上得N（n，-3n）， 要使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，分类讨论M在x轴上BM、DN和BD、MN和BN、DM分别为对角线和y轴上BM、DN和 、 分别为对角线的情况，根据平行四边形的性质，列出对应的方程组，求解可得N坐标。
17．（2023八下·武鸣期末）在平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，且与直线：交于点．
（1）分别求出，，三点的坐标．
（2）若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：直线，当时，，当时，，
，，
解方程组：，
得：，
，
即：，，；
（2）解：是射线上的点，
设，
由（1）得，，
，
的面积为12，
，
解得：，
，
设直线的函数表达式是，
把，代入得：
，
解得：，
，
即直线的函数表达式是；
（3）解：存在点，分以下三种情况：
以为对角线时，，如图，
，，，
点即为点向上平移6个单位，
；
以为对角线时，，
，，，
点即为点向下平移6个单位，
；
以为对角线时，
，，，四边形是平行四边形，
的中点坐标与的中点坐标相同，为，
；
综上所述，符合条件的点坐标有或或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）将x=0代入即可解出点C的坐标；将y=0代入即可解出点B的值坐标，联立两个函数，即可解得点A的坐标.
（2）首先设出点D的坐标，根据的面积即可得出点D的坐标，再设出CD的函数解析式，将点C点D代入运用待定系数法解出解析式即可.
（3）本题分三种情况可解：①以CD为对角线，OC∥DP；②以OD为对角线，OC∥DP'；③以OC为对角线，分别解出上述情况的点P的坐标即可.
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