2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 19.4 综合与实践 多边形的镶嵌同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八下·南海期末）用下列一种正多边形瓷砖铺设地面，不能镶嵌整个平面的图形是（ ）
A．正六边形 B．正五边形 C．正四边形 D．正三角形
2．（2023八上·中江期中） 有足够多的如下4种边长相等的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（ ）
A．①②④ B．①② C．①④ D．②③
3．（2021七下·朝阳期末）如图，张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八上·怀仁期中）下列正多边形的地板瓷砖中，单独使用一种不能铺满地面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
5．（2023七下·衡阳期末）如图，将若干个全等的正五边形按图排列组成一个圆圈，图中只排列了前两个正五边形．若要完成这一个圆圈共需要（ ）个这样的正五边形．
A．10 B．9 C．8 D．7
6．（2019八下·利辛期末）用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有m个正三角形、n 个正六边形，则m，n满足的关系式是( )
A．2m+3n=12 B．m+n=8 C．2m+n=6 D．m+2n=6
7．（2023七下·温州期末）四个大小相同的大正方形和一个小正方形的面积之和为260，四个大小相同的长方形的面积之和为64，将它们无缝隙不重叠地摆成图1所示的正方形.现将这四个长方形再次无缝隙不重叠地拼成如图2所示的图形，则该图形的周长为（ ）
A．9 B．18 C．36 D．64
8．在下列四种边长均为a的正多边形中，能与边长为a的正三角形作平面镶嵌的正多边形有（ ）
①正方形； ②正五边形； ③正六边形； ④正八边形
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
二、填空题
9．（2023八下·市南区期末）用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有个等边三角形和 个正方形．
10．（2023七下·长春期末）如图，用正多边形镶嵌地面，则图中α的大小为 度．
11．（2023八下·徐汇期末）图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数是 ．
12．（2021八上·逊克期末）现要用两种不同的正多边形地砖铺地板，若已选用正方形，则还可以选用 形与它搭配铺成无空隙且不重叠的地面（只需要写出一种即可）
13．（2022七下·长春期末）如图，将完全相同的正三角形和完全相同的平行四边形镶嵌成平面图案．则平行四边形中较大的角度数为 °．
三、解答题
14．（2023八下·肥城期中）我们学面图形的镶嵌，即用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．镶嵌平面的图形有很多，值得我们研究的问题也有许多！如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，如果整个镶嵌图三角形ABC的面积为75，则图中阴影部分的面积是多少？
15．（2023八下·瑞安期中）
如何设计计算油漆用量的方案？
素材1 小明家的一面墙壁由边长为1分米的小正方形密铺而成，上面画了如图所示的心形图案.他现在准备将心形图案的内部刷上红色的油漆，已知刷1平方分米需要0.02升的油漆.
素材2 奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式，格点多边形的面积S与格点多边形内的格点数a和边界上的格点数b有关，面积公式可表示为（其中m，n为常数）.示例：如图2，格点多边形内的格点数，边界上的格点数，格点多边形的面积.
问题解决
任务1 在图3中画一个格点多边形，并计算它的格点多边形内的格点数a，边界上的格点数b和面积S. ▲ ▲ ▲
任务2 得出格点多边形的面积公式 根据图2和图3的数据，求常数m，n的值.
任务3 计算油漆的用量 求需要红色油漆多少升？
四、综合题
16．（2023八下·贵溪期末）在“平面图形的镶嵌”学习中，主要研究了一种或两种正多边形的镶嵌问题，请运用所学知识完成下列问题．
（1）填写表中空格．
正多边形的边数 6 8
正多边形每个内角的度数
（2）根据题意，如果仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；
（3）假设在镶嵌的平面图形的一个顶点周围有个正四边形，个正八边形，求和的值，请写出过程．
17．（2023七下·乌鲁木齐期末）
（1）一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是 ．
（2）从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为 ．（填写拼图板的代码即可）．
（3）已知：如图，，，．求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】 解：A、三个正六边形可以镶嵌整个平面，故A不符合题意；
B、正五边形不可以镶嵌整个平面，故B符合题意；
C、四个正四边形可以镶嵌整个平面，故C不符合题意；
D、六个正三边形可以镶嵌整个平面，故D不符合题意；
故选：B.
【分析】 进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍是否能等于360°即可．
2．【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】A、∵60°+90°×2+120°=360°，∴能够铺满地面，∴A不符合题意；
B、∵60°×3+90°×2=360°，∴能够铺满地面，∴B不符合题意；
C、∵60°×2+120°×2=360°，∴能够铺满地面，∴C不符合题意；
D、∵由②和③不能够构成周角，∴不能够铺满地面，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据判断一种或几种图形是否能够密铺，只要判断拼在同一个顶点处的几个角能否构成周角即可.
3．【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】由于正三角形、正方形、正五边形、正六边形的内角分别是60°、90°、108°、120°，而360°分别是60°、90°、120°的6倍、4倍、3倍，因而正五边形不能铺满地面；
故答案为：C．
【分析】正多边形镶嵌由三个条件：①边长相等，②顶点公共，③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°，判断一种或几种图形能否镶嵌，只要看拼在同一顶点出的几个角能否构成周角，据此逐一判断即可.
4．【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺，A不符合题意；
B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺，B不符合题意；
C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺，C不符合题意；
D、正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺，D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据多边形镶嵌的定义结合题意即可求解。
5．【答案】A
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】如图：
∵多边形是五边形，
∴∠2=∠3=360°÷5=72°，
∴∠O=180°-∠2-∠3=180°-72°-72°=36°，
∴正五边形的个数=360°÷36°=10，
故答案为：A.
【分析】先利用多边形的性质及三角形内角和求出∠O的度数，再求出正五边形的个数即可.
6．【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
【解答】正多边形的平面镶嵌，每一个顶点处的几个角之和应为360度，
而正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，
根据题意可知60°×m+120°×n=360°，
化简得到m+2n=6．
故选D．
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平面镶嵌（密铺）；平移的性质
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为a，四个大正方形的边长为b，则四个长方形的长为b，宽为a，
由题意得a2+4b2=260，4ab=64，
∴a2+4b2+4ab=324，即（a+2b）2=324，
∴a+2b=18，
∴新图形的周长为：4b+2a=2(a+2b)=36.
故答案为：C.
【分析】设小正方形的边长为a，四个大正方形的边长为b，则四个长方形的长为b，宽为a，由题意得a2+4b2=260，4ab=64，将两式相加后等式的左边利用完全平方公式分解因式，然后根据算术平方根可求出a+2b=18，进而利用平移的顺序可得新图形的周长为4b+2a，将其利用提取公因式法分解因式后整体代入计算可得答案.
8．【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，①正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，3×60+2×90=360°，那么3个正三角形和2个正方形可作平面镶嵌；②正五边形的一个内角度数为180﹣360÷5=108°，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌；③正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，2×60+2×120=360°或4×60+120=360°，可作平面镶嵌；④正八边形的一个内角度数为180﹣360÷8=135°，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌；能镶嵌的只有2种正多边形．故选C．
【分析】易得正三角形的一个内角为60°，找到一个顶点处若干个两种图形的内角度数加起来是360°的正多边形的个数即可．
9．【答案】2
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解： 设在它的每个顶点周围有个等边三角形和n个正方形，
由题意得：3×60+90n=360，
∴n=2，
故答案为：2.
【分析】由正多边形的组合能镶嵌成平面的条件可知：位于同一顶点处的几个角之和为360°，据此解答即可.
10．【答案】150
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：∵正方形的内角为90°，正六边形的内角为（6-2）×180°÷6=120°，
∴90°+120°+ α=360°，
解得：α=150°，
故答案为：150.
【分析】根据题意先求出正六边形的内角为120°，再求出90°+120°+ α=360°，最后计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：∵ 五边形ABCDE的内角和=（5-2）×180°=540°，，
∴∠A+∠B+∠C=360°
∵
∴ ∠A=120°
故答案为：120°.
【分析】本题考查五边形的内角和。熟悉多边形的内角和公式是关键。多边形的内角和=（n-2）×180°，其中n是边数。
12．【答案】正三角形（答案不唯一）
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：根据题意，可以分情况讨论：
①假设选用正三角形
正三角形每个内角60°，正四边形每个内角是90°，3个正三角形和2个正四边形顶点放在一起可以构成360°，则能铺成无空隙且不重叠的地面；
②假设选用正五边形
正五角形每个内角108°，正四边形每个内角是90°，则不能铺成无空隙且不重叠的地面；
③假设选用正六边形
正六边形每个内角120°，正四边形每个内角是90°，则不能铺成无空隙且不重叠的地面；
④假设选用正七边形
正七边形的每个内角约是129°，正四边形每个内角是90°，则不能铺成无空隙且不重叠的地面；
⑤假设选用正八边形
正八边形每个内角135°，正四边形每个内角是90°，2个正八边形和1个正四边形顶点放在一起可以构成360°，则能铺成无空隙且不重叠的地面；
，
故答案为：正三角形（答案不唯一）．
【分析】根据密铺的条件可得，两多边形内角和必须凑出360°，进而判断即可。
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABE和△BEF是正三角形，
∴∠ABE=∠EBF=，
∵和完全相同，
∴∠ABC=∠FBC，
∵∠ABC+∠FBC+∠ABE+∠EBF=，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正三角形、平行四边形的性质和平面镶嵌定义得∠ABC+∠FBC+∠ABE+∠EBF=，。
14．【答案】解：设图中小等边三角形的高为，则等边三角形的高为，正六边形的高为，
每个小正六边形的面积，
阴影部分的面积为，
的面积为75，
，
，
阴影部分的面积，
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】设图中小等边三角形的高为，则等边三角形的高为，正六边形的高为，进而就看得到每个小正六边形的面积，阴影部分的面积为，再根据题意列出等式即可求解。
15．【答案】解：任务1，如图所示：
；
2；4；3；
任务2：把数据代入得：
，
解得：
任务3：把代入公式－1得：，
33（升）
∴需要别0.66升红色油漆.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】（1）由题意并结合网格图的特征可求解；
（2）把（1）中的a、b、s的值代入s=ma+nb-1可得关于m、n的方程组，解方程组可求解；
（3）由题意把a=26，b=16代入（2）中的式子计算即可求得s的值，然后根据需要红色油漆=面积s×刷1平方分米需要的油漆可求解.
16．【答案】（1）解：∵正边形的内角为，
∴正五边形的内角为，正六边形的内角为：，正八边形的内角为，
故答案为：；
（2）解：∵仅用一种正多边形镶嵌，
∴，，，，，
∴仅用一种正多边形镶嵌，正三角形，正四边形，正六边形能镶嵌成平面图形；
（3）解：∵有个正四边形，个正八边形，
∴且为正整数，
∴，
∴当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
∴，，
即的值为，的值为．
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】（1）根据正边形的内角为即可求解；
（2）根据镶嵌可得多边形的一个内角能整除360，即可求解；
（3）有个正四边形，个正八边形，则根据为正整数，分类讨论，即可求解．
17．【答案】（1）12
（2）①②③④
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：（1） ∵一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成，
∴这三个角之和为360°，
∵正方形和正六边形的内角分别是90°，120°，
∴第三个角=360°-90°-120°=150°，
∴第三个正多边形的外角为30°，
∴第三个正多边形的边数=360°÷30°=12.
故答案为：12.
（2）∵矩形的四个为直角，
∴由①②③④刚好能组成一个四个角都是直角的四边形.
故答案为：①②③④.
【分析】（1）由多边形镶嵌图案一个顶点处的所有角之和为360°，由此得第三个角为150°，其外角为30°，根据正多边形的外角和为360°即可求解；
（2）根据矩形的判定即可求解；
（3）由∠3=∠4得CF∥BD，由平行的性质证明∠6=∠FAB，则有AB∥CD，再利用平行的性质证明∠1=∠EGA，从而得出ED∥FB .
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 19.4 综合与实践 多边形的镶嵌同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八下·南海期末）用下列一种正多边形瓷砖铺设地面，不能镶嵌整个平面的图形是（ ）
A．正六边形 B．正五边形 C．正四边形 D．正三角形
【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】 解：A、三个正六边形可以镶嵌整个平面，故A不符合题意；
B、正五边形不可以镶嵌整个平面，故B符合题意；
C、四个正四边形可以镶嵌整个平面，故C不符合题意；
D、六个正三边形可以镶嵌整个平面，故D不符合题意；
故选：B.
【分析】 进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍是否能等于360°即可．
2．（2023八上·中江期中） 有足够多的如下4种边长相等的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（ ）
A．①②④ B．①② C．①④ D．②③
【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】A、∵60°+90°×2+120°=360°，∴能够铺满地面，∴A不符合题意；
B、∵60°×3+90°×2=360°，∴能够铺满地面，∴B不符合题意；
C、∵60°×2+120°×2=360°，∴能够铺满地面，∴C不符合题意；
D、∵由②和③不能够构成周角，∴不能够铺满地面，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据判断一种或几种图形是否能够密铺，只要判断拼在同一个顶点处的几个角能否构成周角即可.
3．（2021七下·朝阳期末）如图，张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】由于正三角形、正方形、正五边形、正六边形的内角分别是60°、90°、108°、120°，而360°分别是60°、90°、120°的6倍、4倍、3倍，因而正五边形不能铺满地面；
故答案为：C．
【分析】正多边形镶嵌由三个条件：①边长相等，②顶点公共，③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°，判断一种或几种图形能否镶嵌，只要看拼在同一顶点出的几个角能否构成周角，据此逐一判断即可.
4．（2023八上·怀仁期中）下列正多边形的地板瓷砖中，单独使用一种不能铺满地面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺，A不符合题意；
B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺，B不符合题意；
C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺，C不符合题意；
D、正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺，D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据多边形镶嵌的定义结合题意即可求解。
5．（2023七下·衡阳期末）如图，将若干个全等的正五边形按图排列组成一个圆圈，图中只排列了前两个正五边形．若要完成这一个圆圈共需要（ ）个这样的正五边形．
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】如图：
∵多边形是五边形，
∴∠2=∠3=360°÷5=72°，
∴∠O=180°-∠2-∠3=180°-72°-72°=36°，
∴正五边形的个数=360°÷36°=10，
故答案为：A.
【分析】先利用多边形的性质及三角形内角和求出∠O的度数，再求出正五边形的个数即可.
6．（2019八下·利辛期末）用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有m个正三角形、n 个正六边形，则m，n满足的关系式是( )
A．2m+3n=12 B．m+n=8 C．2m+n=6 D．m+2n=6
【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
【解答】正多边形的平面镶嵌，每一个顶点处的几个角之和应为360度，
而正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，
根据题意可知60°×m+120°×n=360°，
化简得到m+2n=6．
故选D．
7．（2023七下·温州期末）四个大小相同的大正方形和一个小正方形的面积之和为260，四个大小相同的长方形的面积之和为64，将它们无缝隙不重叠地摆成图1所示的正方形.现将这四个长方形再次无缝隙不重叠地拼成如图2所示的图形，则该图形的周长为（ ）
A．9 B．18 C．36 D．64
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平面镶嵌（密铺）；平移的性质
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为a，四个大正方形的边长为b，则四个长方形的长为b，宽为a，
由题意得a2+4b2=260，4ab=64，
∴a2+4b2+4ab=324，即（a+2b）2=324，
∴a+2b=18，
∴新图形的周长为：4b+2a=2(a+2b)=36.
故答案为：C.
【分析】设小正方形的边长为a，四个大正方形的边长为b，则四个长方形的长为b，宽为a，由题意得a2+4b2=260，4ab=64，将两式相加后等式的左边利用完全平方公式分解因式，然后根据算术平方根可求出a+2b=18，进而利用平移的顺序可得新图形的周长为4b+2a，将其利用提取公因式法分解因式后整体代入计算可得答案.
8．在下列四种边长均为a的正多边形中，能与边长为a的正三角形作平面镶嵌的正多边形有（ ）
①正方形； ②正五边形； ③正六边形； ④正八边形
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，①正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，3×60+2×90=360°，那么3个正三角形和2个正方形可作平面镶嵌；②正五边形的一个内角度数为180﹣360÷5=108°，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌；③正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，2×60+2×120=360°或4×60+120=360°，可作平面镶嵌；④正八边形的一个内角度数为180﹣360÷8=135°，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌；能镶嵌的只有2种正多边形．故选C．
【分析】易得正三角形的一个内角为60°，找到一个顶点处若干个两种图形的内角度数加起来是360°的正多边形的个数即可．
二、填空题
9．（2023八下·市南区期末）用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有个等边三角形和 个正方形．
【答案】2
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解： 设在它的每个顶点周围有个等边三角形和n个正方形，
由题意得：3×60+90n=360，
∴n=2，
故答案为：2.
【分析】由正多边形的组合能镶嵌成平面的条件可知：位于同一顶点处的几个角之和为360°，据此解答即可.
10．（2023七下·长春期末）如图，用正多边形镶嵌地面，则图中α的大小为 度．
【答案】150
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：∵正方形的内角为90°，正六边形的内角为（6-2）×180°÷6=120°，
∴90°+120°+ α=360°，
解得：α=150°，
故答案为：150.
【分析】根据题意先求出正六边形的内角为120°，再求出90°+120°+ α=360°，最后计算求解即可。
11．（2023八下·徐汇期末）图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：∵ 五边形ABCDE的内角和=（5-2）×180°=540°，，
∴∠A+∠B+∠C=360°
∵
∴ ∠A=120°
故答案为：120°.
【分析】本题考查五边形的内角和。熟悉多边形的内角和公式是关键。多边形的内角和=（n-2）×180°，其中n是边数。
12．（2021八上·逊克期末）现要用两种不同的正多边形地砖铺地板，若已选用正方形，则还可以选用 形与它搭配铺成无空隙且不重叠的地面（只需要写出一种即可）
【答案】正三角形（答案不唯一）
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：根据题意，可以分情况讨论：
①假设选用正三角形
正三角形每个内角60°，正四边形每个内角是90°，3个正三角形和2个正四边形顶点放在一起可以构成360°，则能铺成无空隙且不重叠的地面；
②假设选用正五边形
正五角形每个内角108°，正四边形每个内角是90°，则不能铺成无空隙且不重叠的地面；
③假设选用正六边形
正六边形每个内角120°，正四边形每个内角是90°，则不能铺成无空隙且不重叠的地面；
④假设选用正七边形
正七边形的每个内角约是129°，正四边形每个内角是90°，则不能铺成无空隙且不重叠的地面；
⑤假设选用正八边形
正八边形每个内角135°，正四边形每个内角是90°，2个正八边形和1个正四边形顶点放在一起可以构成360°，则能铺成无空隙且不重叠的地面；
，
故答案为：正三角形（答案不唯一）．
【分析】根据密铺的条件可得，两多边形内角和必须凑出360°，进而判断即可。
13．（2022七下·长春期末）如图，将完全相同的正三角形和完全相同的平行四边形镶嵌成平面图案．则平行四边形中较大的角度数为 °．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABE和△BEF是正三角形，
∴∠ABE=∠EBF=，
∵和完全相同，
∴∠ABC=∠FBC，
∵∠ABC+∠FBC+∠ABE+∠EBF=，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正三角形、平行四边形的性质和平面镶嵌定义得∠ABC+∠FBC+∠ABE+∠EBF=，。
三、解答题
14．（2023八下·肥城期中）我们学面图形的镶嵌，即用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．镶嵌平面的图形有很多，值得我们研究的问题也有许多！如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，如果整个镶嵌图三角形ABC的面积为75，则图中阴影部分的面积是多少？
【答案】解：设图中小等边三角形的高为，则等边三角形的高为，正六边形的高为，
每个小正六边形的面积，
阴影部分的面积为，
的面积为75，
，
，
阴影部分的面积，
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】设图中小等边三角形的高为，则等边三角形的高为，正六边形的高为，进而就看得到每个小正六边形的面积，阴影部分的面积为，再根据题意列出等式即可求解。
15．（2023八下·瑞安期中）
如何设计计算油漆用量的方案？
素材1 小明家的一面墙壁由边长为1分米的小正方形密铺而成，上面画了如图所示的心形图案.他现在准备将心形图案的内部刷上红色的油漆，已知刷1平方分米需要0.02升的油漆.
素材2 奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式，格点多边形的面积S与格点多边形内的格点数a和边界上的格点数b有关，面积公式可表示为（其中m，n为常数）.示例：如图2，格点多边形内的格点数，边界上的格点数，格点多边形的面积.
问题解决
任务1 在图3中画一个格点多边形，并计算它的格点多边形内的格点数a，边界上的格点数b和面积S. ▲ ▲ ▲
任务2 得出格点多边形的面积公式 根据图2和图3的数据，求常数m，n的值.
任务3 计算油漆的用量 求需要红色油漆多少升？
【答案】解：任务1，如图所示：
；
2；4；3；
任务2：把数据代入得：
，
解得：
任务3：把代入公式－1得：，
33（升）
∴需要别0.66升红色油漆.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】（1）由题意并结合网格图的特征可求解；
（2）把（1）中的a、b、s的值代入s=ma+nb-1可得关于m、n的方程组，解方程组可求解；
（3）由题意把a=26，b=16代入（2）中的式子计算即可求得s的值，然后根据需要红色油漆=面积s×刷1平方分米需要的油漆可求解.
四、综合题
16．（2023八下·贵溪期末）在“平面图形的镶嵌”学习中，主要研究了一种或两种正多边形的镶嵌问题，请运用所学知识完成下列问题．
（1）填写表中空格．
正多边形的边数 6 8
正多边形每个内角的度数
（2）根据题意，如果仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；
（3）假设在镶嵌的平面图形的一个顶点周围有个正四边形，个正八边形，求和的值，请写出过程．
【答案】（1）解：∵正边形的内角为，
∴正五边形的内角为，正六边形的内角为：，正八边形的内角为，
故答案为：；
（2）解：∵仅用一种正多边形镶嵌，
∴，，，，，
∴仅用一种正多边形镶嵌，正三角形，正四边形，正六边形能镶嵌成平面图形；
（3）解：∵有个正四边形，个正八边形，
∴且为正整数，
∴，
∴当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
∴，，
即的值为，的值为．
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】（1）根据正边形的内角为即可求解；
（2）根据镶嵌可得多边形的一个内角能整除360，即可求解；
（3）有个正四边形，个正八边形，则根据为正整数，分类讨论，即可求解．
17．（2023七下·乌鲁木齐期末）
（1）一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是 ．
（2）从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为 ．（填写拼图板的代码即可）．
（3）已知：如图，，，．求证：．
【答案】（1）12
（2）①②③④
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：（1） ∵一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成，
∴这三个角之和为360°，
∵正方形和正六边形的内角分别是90°，120°，
∴第三个角=360°-90°-120°=150°，
∴第三个正多边形的外角为30°，
∴第三个正多边形的边数=360°÷30°=12.
故答案为：12.
（2）∵矩形的四个为直角，
∴由①②③④刚好能组成一个四个角都是直角的四边形.
故答案为：①②③④.
【分析】（1）由多边形镶嵌图案一个顶点处的所有角之和为360°，由此得第三个角为150°，其外角为30°，根据正多边形的外角和为360°即可求解；
（2）根据矩形的判定即可求解；
（3）由∠3=∠4得CF∥BD，由平行的性质证明∠6=∠FAB，则有AB∥CD，再利用平行的性质证明∠1=∠EGA，从而得出ED∥FB .
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