2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 19.4 综合与实践 多边形的镶嵌同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024七上·吉林期末）某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是（ ）
A．正五角形 B．正六边形 C．正七边形 D．正九边形
2．（2023七下·朝阳期末）下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ）
A．正方形和正八边形 B．正五边形和正六边形
C．正方形和正五边形 D．正三角形和正八边形
3．（2023八下·深圳期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌.在镶嵌图案里若基本图形只有一种，则称为单元镶嵌.下面基本图形不能进行单元镶嵌的是（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
4．（2022七下·宜宾期末）用边长相等的正三角形地砖和正方形地砖铺地面，围绕在一个顶点处正三角形地砖和正方形地砖的块数是（ ）
A．2块正三角形地砖和2块正方形地砖
B．2块正三角形地砖和3块正方形地砖
C．3块正三角形地砖和2块正方形地砖
D．3块正三角形地砖和3块正方形地砖
5．（2022八下·禅城期末）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，利用相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．请问下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是（ ）
A．全等三角形 B．边长相等的正方形
C．边长相等的正三角形 D．边长相等的正五边形
6．（2021九上·虎林期末）垦区小城镇建设如火如荼，小红家买了新楼．爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖中，只购买一种瓷砖进行平铺，有几种购买方式（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
7．（2021七下·射洪期末）下列边长相等的正多边形能完成镶嵌的是（ ）
A．2个正八边形和1个正三角形 B．3个正方形和2个正三角形
C．1个正五边形和1个正十边形 D．2个正六边形和2个正三角形
8．（2020七下·江阴期中）用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面.已知正多边形的边数为x，y，z，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
9．（2023七下·农安期末）与正三角形组合在一起能铺满地面的另一种正多边形是 .（只要求写出一种即可）
10．（2021八下·青岛期末）某装修公司拟用三种边长相同的正多边形地砖无缝隙、无重叠的铺满整个客厅，如图所示，已知点 周围有三块地砖，则第三块地砖的边数为 ．
11．（2020八上·沧州期末）用4个全等的正八边形拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为 ．
12．把边长为2 的正方形纸片 ABCD 分割成如图所示的四块，其中点O为正方形的中心，E，F分别为AB，AD的中点.用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ(要求这四块纸片不重叠、无缝 隙)，则四边形 MNPQ 的周长是
13．如图是以正八边形为“基本单位”铺成的图案的一部分，（其中有4×3个“基本单位”），其间存有若干个小正方形空隙，以及图案的4个角处有更小的三角形空隙，若密铺5×4个“基本单位”的图案，并填满空隙，则需要 个小正方形， 小三角形．（不含图案的4个角）
三、解答题
14．某公园准备用如图所示的材料给一块矩形的场地铺地面
①请设计一种用材料a铺满地面的方案；
②请设计一种用材料b铺满地面的方案．
15．（2017七下·新野期末）我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？
问题解决：
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：90x+ y=360，整理得：2x+3y=8，
我们可以找到方程的正整数解为 ．
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
四、综合题
16．
（1）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则它是几边形？
（2）某学校想用地砖铺地，学校已准备了一批完全相同的正n边形[n为（1）中的所求值]，如果单独用这种地砖能密铺吗？
（3）如果不能，请你自己只选用一种同（2）边长相同的正方形地砖搭配能密铺吗？如果能，请你画出一片密铺的示意图．
17．已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的 ．
（1）试分别确定A、B是什么正多边形？
（2）画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）；
（3）判断你所画图形的对称性（直接写出结果）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、正五边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，A不符合题意；
B、正六边形的一个内角度数为，能整除，能进行平面镶嵌，B符合题意；
C、正七边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，C不符合题意；
D、正九边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据多边形的内角和公式结合平面镶嵌的定义对选项逐一分析即可求解。
2．【答案】A
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A：正方形每个内角90°，正八边形每个内角135°，因为135°×2+90°=360°，所以边长相等的正方形和正八边形能够密铺。故A正确，B、C、D错误。
故答案为：A.
【分析】两种边长相等正多边形的若干内角和能组成周角的可以铺满地面（密铺）。
3．【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、∵等边三角形的每一个内角为60°，
∴360°÷60°=6，
∴等边三角形能进行单元镶嵌，故A不符合题意；
B、∵正方形的每一个内角为90°，
∴360°÷90°=4，
∴正方形能进行单元镶嵌，故B不符合题意；
C、∵正五边形的每一个内角为108°，
∴360°÷108°不能整除，
∴正五边形不能进行单元镶嵌，故C符合题意；
D、∵正六边形的每一个内角为120°，
∴360°÷120°=3，
∴正六边形能进行单元镶嵌，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用单元镶嵌的定义可知，用360°除以此正多边形的一个内角的度数，若能整除，则能进行单元镶嵌，否则不能，再对各选项逐一判断即可.
4．【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正三角形，正方形的内角分别为60°、90°．
设用m块正三角形，n块正方形．
则有，
得
当时，m=3，符合题意；
当时，，不符合题意；
当n=4时，m=0，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的性质可得正三角形，正方形的内角分别为60°、90°，平面镶嵌中，同一顶点处各个角之和为360°，设用m块正三角形，n块正方形．则60m+90n=360，然后表示出m，根据m、n为正整数进行解答.
5．【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、三角形内角和是180°，180°×2=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
B、正方形的每个内角是90°，90°×4=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
C、正三角形的每个内角是60°，60°×6=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
D、正五边形的每个内角是108°，不能镶嵌，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据判断一种或几种的图形是否能够镶嵌，只要看看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360度，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可。
6．【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正三角形每个内角是60°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
正方形每个内角是90°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
正五边形每个内角是108°，不能被360°整除，所以不能单独镶嵌成一个平面；
正六边形每个内角是120°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面．
故只购买一种瓷砖进行平铺，有3种方式．
故答案为：C．
【分析】分别求出正多边形的内角，再看内角能否被360°整除即可。
7．【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A. 2个正八边形和1个正三角形：135°+135°+60°=330°，故不符合；
B. 3个正方形和2个正三角形：90°+90°+90°+60°+60°=390°，故不符合；
C. 1个正五边形和1个正十边形：108°+144°=252°，故不符合；
D. 2个正六边形和2个正三角形：120°+120°+60°+60°=360°，符合；
故答案为：D.
【分析】正多边形的组合能否镶嵌地面，关键是看位于同一个顶点处的几个角之和能否为360°，若能，则说明能镶嵌；反之，则说明不能镶嵌.
8．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为： + + =360，两边都除以180得：1﹣ +1﹣ +1﹣ =2，两边都除以2得： + + = .
故答案为：C.
【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案.
9．【答案】正方形
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：∵正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，
∴3×60°+2×90°=360°，
∴2个正方形和3个正三角形能铺满地面，
故答案为：正方形.
【分析】利用密铺的计算方法求解即可.
10．【答案】12
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°，
因此第三块地砖的每一个内角为：360°-120°-90°=150°，
设第三块地砖的边数为n，则有，
解得，n=12，
故答案为：12．
【分析】根据正多边形的平铺原理，得到第三块地砖的每个内角度数，根据三角形的内角和公式，得到第三块地砖的边。
11．【答案】6
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：两个正六边形拼接，一个公共点处组成的角度为240°，
故如果要密铺，则中间需要一个内角为120°的正多边形，
而正六边形的内角为120°，所以中间的多边形为正六边形，
故n=6.
故答案为6．
【分析】先求出中间需要一个内角为120°的正多边形，再计算求解即可。
12．【答案】10或或
【知识点】勾股定理；平面镶嵌（密铺）；正方形的性质
【解析】【解答】解：可拼成如下图：
①
①中周长为1+2+3+=6+；
②
②中周长为1+4+1+4=10；
③
③中周长为3+5++=8+2；
故四边形的周长为10或或.
故答案为：10或或.
【分析】分类讨论，先根据题意分别画出图形，再根据多边形的周长公式计算即可.
13．【答案】12；14
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：小正方形4×3=12；小三角形的个数为4×2+3×2=14，
故答案为：12，14．
【分析】观察图形即可得出图中需要的小正方形和小三角形的个数.判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
14．【答案】【解答】①如图所示：
；
②如图所示：
.
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】①利用已知图形得出镶嵌方案进而得出答案；
②利用已知图形得出镶嵌方案进而得出答案
15．【答案】解：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角，
根据题意，可得方程：60a+120b=360．
整理得：a+2b=6，
方程的正整数解为 ， ．
所以可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌，在一个顶点周围围绕2个正三角形和2个正六边形或者围绕着4个正三角形和1个正六边形．
【知识点】二元一次方程的应用；平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据平面镶嵌的体积可得方程：60a+120b=360．整理得：a+2b=6，求出正整数解即可．
16．【答案】（1）解：设为n边形，由题意得：
（n﹣2）180°=3×360°，
∴n=8
（2）解：正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺
（3）解：所画图形如下：
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）等量关系为：一个多边形的内角和=它的外角和×3，据此设未知数，列方程求解即可。
（2）先求出正八边形的一个内角的度数，用360°除以内角的度数，就可得出结果。
（3）选用正四边形，画出图形即可。
17．【答案】（1）解：设B的内角为x，则A的内角为 x，
∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），
∴3x+2× x=360°，
解得：x=60°，
∴可确定A为正四边形，B为正三边形．
（2）解：所画图形如下：
（3）解：根据（2）的图形及轴对称的定义可得所产生的密铺图形是轴对称图形．
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】（1）直接利用平面镶嵌的条件可知：
2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌，进而得出内角之间关系进而得出答案；
（2）根据（1）所求出的正多边形画出一种图形即可；
（3）利用轴对称图形的性质得出答案.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 19.4 综合与实践 多边形的镶嵌同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024七上·吉林期末）某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是（ ）
A．正五角形 B．正六边形 C．正七边形 D．正九边形
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、正五边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，A不符合题意；
B、正六边形的一个内角度数为，能整除，能进行平面镶嵌，B符合题意；
C、正七边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，C不符合题意；
D、正九边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据多边形的内角和公式结合平面镶嵌的定义对选项逐一分析即可求解。
2．（2023七下·朝阳期末）下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ）
A．正方形和正八边形 B．正五边形和正六边形
C．正方形和正五边形 D．正三角形和正八边形
【答案】A
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A：正方形每个内角90°，正八边形每个内角135°，因为135°×2+90°=360°，所以边长相等的正方形和正八边形能够密铺。故A正确，B、C、D错误。
故答案为：A.
【分析】两种边长相等正多边形的若干内角和能组成周角的可以铺满地面（密铺）。
3．（2023八下·深圳期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌.在镶嵌图案里若基本图形只有一种，则称为单元镶嵌.下面基本图形不能进行单元镶嵌的是（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、∵等边三角形的每一个内角为60°，
∴360°÷60°=6，
∴等边三角形能进行单元镶嵌，故A不符合题意；
B、∵正方形的每一个内角为90°，
∴360°÷90°=4，
∴正方形能进行单元镶嵌，故B不符合题意；
C、∵正五边形的每一个内角为108°，
∴360°÷108°不能整除，
∴正五边形不能进行单元镶嵌，故C符合题意；
D、∵正六边形的每一个内角为120°，
∴360°÷120°=3，
∴正六边形能进行单元镶嵌，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用单元镶嵌的定义可知，用360°除以此正多边形的一个内角的度数，若能整除，则能进行单元镶嵌，否则不能，再对各选项逐一判断即可.
4．（2022七下·宜宾期末）用边长相等的正三角形地砖和正方形地砖铺地面，围绕在一个顶点处正三角形地砖和正方形地砖的块数是（ ）
A．2块正三角形地砖和2块正方形地砖
B．2块正三角形地砖和3块正方形地砖
C．3块正三角形地砖和2块正方形地砖
D．3块正三角形地砖和3块正方形地砖
【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正三角形，正方形的内角分别为60°、90°．
设用m块正三角形，n块正方形．
则有，
得
当时，m=3，符合题意；
当时，，不符合题意；
当n=4时，m=0，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的性质可得正三角形，正方形的内角分别为60°、90°，平面镶嵌中，同一顶点处各个角之和为360°，设用m块正三角形，n块正方形．则60m+90n=360，然后表示出m，根据m、n为正整数进行解答.
5．（2022八下·禅城期末）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，利用相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．请问下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是（ ）
A．全等三角形 B．边长相等的正方形
C．边长相等的正三角形 D．边长相等的正五边形
【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、三角形内角和是180°，180°×2=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
B、正方形的每个内角是90°，90°×4=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
C、正三角形的每个内角是60°，60°×6=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
D、正五边形的每个内角是108°，不能镶嵌，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据判断一种或几种的图形是否能够镶嵌，只要看看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360度，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可。
6．（2021九上·虎林期末）垦区小城镇建设如火如荼，小红家买了新楼．爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖中，只购买一种瓷砖进行平铺，有几种购买方式（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正三角形每个内角是60°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
正方形每个内角是90°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
正五边形每个内角是108°，不能被360°整除，所以不能单独镶嵌成一个平面；
正六边形每个内角是120°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面．
故只购买一种瓷砖进行平铺，有3种方式．
故答案为：C．
【分析】分别求出正多边形的内角，再看内角能否被360°整除即可。
7．（2021七下·射洪期末）下列边长相等的正多边形能完成镶嵌的是（ ）
A．2个正八边形和1个正三角形 B．3个正方形和2个正三角形
C．1个正五边形和1个正十边形 D．2个正六边形和2个正三角形
【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A. 2个正八边形和1个正三角形：135°+135°+60°=330°，故不符合；
B. 3个正方形和2个正三角形：90°+90°+90°+60°+60°=390°，故不符合；
C. 1个正五边形和1个正十边形：108°+144°=252°，故不符合；
D. 2个正六边形和2个正三角形：120°+120°+60°+60°=360°，符合；
故答案为：D.
【分析】正多边形的组合能否镶嵌地面，关键是看位于同一个顶点处的几个角之和能否为360°，若能，则说明能镶嵌；反之，则说明不能镶嵌.
8．（2020七下·江阴期中）用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面.已知正多边形的边数为x，y，z，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为： + + =360，两边都除以180得：1﹣ +1﹣ +1﹣ =2，两边都除以2得： + + = .
故答案为：C.
【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案.
二、填空题
9．（2023七下·农安期末）与正三角形组合在一起能铺满地面的另一种正多边形是 .（只要求写出一种即可）
【答案】正方形
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：∵正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，
∴3×60°+2×90°=360°，
∴2个正方形和3个正三角形能铺满地面，
故答案为：正方形.
【分析】利用密铺的计算方法求解即可.
10．（2021八下·青岛期末）某装修公司拟用三种边长相同的正多边形地砖无缝隙、无重叠的铺满整个客厅，如图所示，已知点 周围有三块地砖，则第三块地砖的边数为 ．
【答案】12
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°，
因此第三块地砖的每一个内角为：360°-120°-90°=150°，
设第三块地砖的边数为n，则有，
解得，n=12，
故答案为：12．
【分析】根据正多边形的平铺原理，得到第三块地砖的每个内角度数，根据三角形的内角和公式，得到第三块地砖的边。
11．（2020八上·沧州期末）用4个全等的正八边形拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为 ．
【答案】6
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：两个正六边形拼接，一个公共点处组成的角度为240°，
故如果要密铺，则中间需要一个内角为120°的正多边形，
而正六边形的内角为120°，所以中间的多边形为正六边形，
故n=6.
故答案为6．
【分析】先求出中间需要一个内角为120°的正多边形，再计算求解即可。
12．把边长为2 的正方形纸片 ABCD 分割成如图所示的四块，其中点O为正方形的中心，E，F分别为AB，AD的中点.用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ(要求这四块纸片不重叠、无缝 隙)，则四边形 MNPQ 的周长是
【答案】10或或
【知识点】勾股定理；平面镶嵌（密铺）；正方形的性质
【解析】【解答】解：可拼成如下图：
①
①中周长为1+2+3+=6+；
②
②中周长为1+4+1+4=10；
③
③中周长为3+5++=8+2；
故四边形的周长为10或或.
故答案为：10或或.
【分析】分类讨论，先根据题意分别画出图形，再根据多边形的周长公式计算即可.
13．如图是以正八边形为“基本单位”铺成的图案的一部分，（其中有4×3个“基本单位”），其间存有若干个小正方形空隙，以及图案的4个角处有更小的三角形空隙，若密铺5×4个“基本单位”的图案，并填满空隙，则需要 个小正方形， 小三角形．（不含图案的4个角）
【答案】12；14
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：小正方形4×3=12；小三角形的个数为4×2+3×2=14，
故答案为：12，14．
【分析】观察图形即可得出图中需要的小正方形和小三角形的个数.判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
三、解答题
14．某公园准备用如图所示的材料给一块矩形的场地铺地面
①请设计一种用材料a铺满地面的方案；
②请设计一种用材料b铺满地面的方案．
【答案】【解答】①如图所示：
；
②如图所示：
.
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】①利用已知图形得出镶嵌方案进而得出答案；
②利用已知图形得出镶嵌方案进而得出答案
15．（2017七下·新野期末）我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？
问题解决：
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：90x+ y=360，整理得：2x+3y=8，
我们可以找到方程的正整数解为 ．
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
【答案】解：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角，
根据题意，可得方程：60a+120b=360．
整理得：a+2b=6，
方程的正整数解为 ， ．
所以可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌，在一个顶点周围围绕2个正三角形和2个正六边形或者围绕着4个正三角形和1个正六边形．
【知识点】二元一次方程的应用；平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据平面镶嵌的体积可得方程：60a+120b=360．整理得：a+2b=6，求出正整数解即可．
四、综合题
16．
（1）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则它是几边形？
（2）某学校想用地砖铺地，学校已准备了一批完全相同的正n边形[n为（1）中的所求值]，如果单独用这种地砖能密铺吗？
（3）如果不能，请你自己只选用一种同（2）边长相同的正方形地砖搭配能密铺吗？如果能，请你画出一片密铺的示意图．
【答案】（1）解：设为n边形，由题意得：
（n﹣2）180°=3×360°，
∴n=8
（2）解：正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺
（3）解：所画图形如下：
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）等量关系为：一个多边形的内角和=它的外角和×3，据此设未知数，列方程求解即可。
（2）先求出正八边形的一个内角的度数，用360°除以内角的度数，就可得出结果。
（3）选用正四边形，画出图形即可。
17．已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的 ．
（1）试分别确定A、B是什么正多边形？
（2）画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）；
（3）判断你所画图形的对称性（直接写出结果）．
【答案】（1）解：设B的内角为x，则A的内角为 x，
∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），
∴3x+2× x=360°，
解得：x=60°，
∴可确定A为正四边形，B为正三边形．
（2）解：所画图形如下：
（3）解：根据（2）的图形及轴对称的定义可得所产生的密铺图形是轴对称图形．
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】（1）直接利用平面镶嵌的条件可知：
2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌，进而得出内角之间关系进而得出答案；
（2）根据（1）所求出的正多边形画出一种图形即可；
（3）利用轴对称图形的性质得出答案.
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