2023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 25.1.1 平行投影与中心投影同步分层训练基础题
一、选择题
1．在同一时刻，两根长度不等的杆子置于阳光之下，但它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是（ ）
A．两根都垂直于地面 B．两根平行斜插在地上
C．两根竿子不平行 D．一根倒在地上
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：因为两根长度不等的杆子置于阳光之下，但它们的影长相等，
所以两根竿子不平行．
故答案为：C．
【分析】根据平行投影的性质判断即可．
2．（2021九上·枣庄月考）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：太阳光下的影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的统一方向上可知，选项C中的图形比较符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行投影的性质可得：同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的统一方向上。
3．（2021九上·乐清月考）如图，身高为1.6 m的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2 m，AB＝10 m，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设旗杆高度为h，由题意得： ，解得： h＝8.
故答案为：C.
【分析】设旗杆高度为h，由平行线分线段成比例的性质可得： ，求解即可.
4．（2024九上·盘州期末）在一间黑屋子里用一盏白炽灯照如图所示的球，球在地面上的影子是圆形，当把球竖直向上靠近白炽灯时，影子的大小会怎样变化（ ）
A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定
【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】当把球向上平移时，圆形阴影的大小的变化情况是：越来越大，
故答案为：B.
【分析】利用中心投影的特点可得，灯光下影子与物体离灯源的距离有关，此距离越小，影子越大。
5．（2021·临海模拟）如图，为测量楼高 ，在适当位置竖立一根高 的标杆 ，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长 ，则楼高 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴AB＝16（米）.
故答案为：B.
【分析】利用同一时刻，同一地点，同一平面上，不同物体的高度与影长成比例建立方程，可求出AB的长.
6．（2020九上·张店期末）如图，在平面直角坐标系中，点 是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为 ， ．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图
∵P（3，2），A（0，1），B（4，1）．
∴PD＝1，PE＝2，AB＝4，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴ ，即
∴A′B′＝8，
故答案为：D．
【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，可得出△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比即可求出A′B′的长。
7．（2020九上·沂水期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长 尺.同时立一根 尺的小标杆，它的影长是 尺。如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（ ）尺
A．50 B．45 C．5 D．4.5
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】设竹竿的长度为x尺，
∵太阳光为平行光，
∴ ，
解得x＝45（尺）．．
故答案为：B．
【分析】设竹竿的长度为x尺，根据同一时刻物高与影长成正比可得出 ，再解即可。
8．（2021九上·皇姑期末）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源.木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）.则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；中心投影
【解析】【解答】延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）.
∴PD＝1，PE＝2，AB＝3，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴ ，即
∴A′B′＝6，
故答案为：C.
【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长.
二、填空题
9．太阳光线下形成的投影是 投影．（平行或中心）
【答案】平行
【知识点】平行投影
【解析】【解答】太阳光线下形成的投影是平行投影．
故答案为：平行．
【分析】太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影．
10．（2023九上·武义期末）已知同一时刻物体的高与影子的长成正比例.身高的小明的影子长为，这时测得一棵树的影长为，则这棵树的高为 .
【答案】8
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设这棵树的高为，依题意得，
解得：，
故答案为：8.
【分析】设这棵树的高为xm，根据同一时刻物体的高与影子的长成正比例可得，求解即可.
11．（2022·南海模拟）如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC． 若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=5m，则路灯的高度OP为 m．
【答案】
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变：
∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=5m
∴ ，
代入得：
∴
故答案为：．
【分析】根据中心投影的性质可得，再将数据代入可得，然后求出即可。
12．（2021九上·泰和期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为 ．
【答案】3.2m
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC，过点M作MF⊥PQ，
∵PQ⊥QN，MN⊥QN，
∴四边形FQNM是矩形，
∴FQ=MN=0.8，
∵同一时刻物体影子与实际高度成比例，
∴，
∴，
∴PF=2.4，
∴PQ=PF+FQ=2.4+0.8=3.2（m），
故答案为：3.2m．
【分析】连接AC，过点M作MF⊥PQ，根据题意可得，将数据代入可得，求出PF的长，最后利用线段的和差求出PQ的长即可。
13．（2021九上·皇姑期末）如图，数学兴趣小组下午测得一根长为1m的竹竿影长是0.8m，同一时刻测量树高时发现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影高为1.2m，地面上的影长为2.6m，请你帮算一下，树高是 m．
【答案】4.45
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图，
设BD是BC在地面的影子，树高为x，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，
则，
解得：BD＝0.96，
∴树在地面的实际影子长是0.96＋2.6＝3.56（m），
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得：，
∴解得：x＝4.45，
∴树高是4.45m．
故答案为：4.45．
【分析】要先知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论即可求解。
三、解答题
14．（2022九下·泾阳月考）如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射人室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1m．已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5m，AC在地面的影长CM=4.5m，求窗户的高度AB．
【答案】解：∵BN∥AM，
∴∠CBN=∠A，∠CNB=∠M，
∴△CBN∽△CAM，
∴ 即
解得：CA=3，
∴AB=3-1=2，
答：窗户的高度AB为2m．
【知识点】相似三角形的性质；平行投影
【解析】【分析】阳光可看作一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BN与AE仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形的性质可求出AC的长，进而求出AB的长即窗户的高度.
15．（2022·陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB.
【答案】解：∵AD∥EG，
∴∠ADO=∠EGF.
又∵∠AOD=∠EFG=90°，
∴△AOD∽△EFG.
∴.
∴.
同理，△BOC∽△AOD.
∴.
∴.
∴AB=OA OB=3（米）.
∴旗杆的高AB为3米.
【知识点】平行投影
【解析】【分析】根据平行线性质得∠ADO=∠EGF，∠BCO=∠ADO，证明△BOC∽△AOD，△AOD∽△EFG，根据相似三角形的性质可得AO、BO，然后根据AB=OA-OB进行计算.
四、综合题
16．（2023九上·榆林期末）如图，小亮利用所学的数学知识测量某旗杆AB的高度，旗杆AB垂直于地面．
（1）请你根据小亮在阳光下的投影，画出此刻旗杆AB在阳光下的投影；
（2）已知直立于地面的小亮的身高为1.72m，在同一时刻测得小亮和旗杆AB在太阳光下的影长分别为0.86m和6m，求旗杆AB的高．
【答案】（1）解：如图所示，BC即为此刻旗杆AB在阳光下的投影．
（2）解：∵DE，AB都垂直于地面，且光线 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即旗杆AB的高为12 m．
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【分析】（1）利用平行投影的性质，过小亮的头顶和它的影子末端作射线FD，再过点A作AC∥DF，可得到旗杆AB在阳光下的投影.
（2）利用平行线的性质可证得∠DFE=∠ACB，∠DEF=∠ABC=90°，可推出△DEF∽△ABC，利用相似三角形的性质，可得对应边成比例，由此可求出AB的长.
17．（2022·莲湖模拟）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量秦始皇雕塑的高度.如图所示，首先，在阳光下，某一时刻，小玉在雕塑影子顶端处竖立一根高2米的标杆，此时测得标杆的影子为2米；然后，在处竖立一根高2.5米的标杆，小婷从处沿后退0.8米到处恰好看到点、在一条直线上，小婷的眼睛到地面的距离米，米，已知，，，，点、、、、在同一水平直线上，请根据以上数据求出秦始皇雕塑的高度.
【答案】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
∴.
过点作于点，交于点，，，
，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴秦始皇雕塑的高度为14米.
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】易得∠ADB=∠DAB=45°，可得AB=BD，从而得出， 过点M作于点O，交GH于点P，证明，可得，据此可求出AB的长.
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 25.1.1 平行投影与中心投影同步分层训练基础题
一、选择题
1．在同一时刻，两根长度不等的杆子置于阳光之下，但它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是（ ）
A．两根都垂直于地面 B．两根平行斜插在地上
C．两根竿子不平行 D．一根倒在地上
2．（2021九上·枣庄月考）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021九上·乐清月考）如图，身高为1.6 m的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2 m，AB＝10 m，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
4．（2024九上·盘州期末）在一间黑屋子里用一盏白炽灯照如图所示的球，球在地面上的影子是圆形，当把球竖直向上靠近白炽灯时，影子的大小会怎样变化（ ）
A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定
5．（2021·临海模拟）如图，为测量楼高 ，在适当位置竖立一根高 的标杆 ，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长 ，则楼高 为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九上·张店期末）如图，在平面直角坐标系中，点 是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为 ， ．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．8
7．（2020九上·沂水期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长 尺.同时立一根 尺的小标杆，它的影长是 尺。如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（ ）尺
A．50 B．45 C．5 D．4.5
8．（2021九上·皇姑期末）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源.木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）.则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
二、填空题
9．太阳光线下形成的投影是 投影．（平行或中心）
10．（2023九上·武义期末）已知同一时刻物体的高与影子的长成正比例.身高的小明的影子长为，这时测得一棵树的影长为，则这棵树的高为 .
11．（2022·南海模拟）如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC． 若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=5m，则路灯的高度OP为 m．
12．（2021九上·泰和期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为 ．
13．（2021九上·皇姑期末）如图，数学兴趣小组下午测得一根长为1m的竹竿影长是0.8m，同一时刻测量树高时发现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影高为1.2m，地面上的影长为2.6m，请你帮算一下，树高是 m．
三、解答题
14．（2022九下·泾阳月考）如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射人室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1m．已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5m，AC在地面的影长CM=4.5m，求窗户的高度AB．
15．（2022·陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB.
四、综合题
16．（2023九上·榆林期末）如图，小亮利用所学的数学知识测量某旗杆AB的高度，旗杆AB垂直于地面．
（1）请你根据小亮在阳光下的投影，画出此刻旗杆AB在阳光下的投影；
（2）已知直立于地面的小亮的身高为1.72m，在同一时刻测得小亮和旗杆AB在太阳光下的影长分别为0.86m和6m，求旗杆AB的高．
17．（2022·莲湖模拟）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量秦始皇雕塑的高度.如图所示，首先，在阳光下，某一时刻，小玉在雕塑影子顶端处竖立一根高2米的标杆，此时测得标杆的影子为2米；然后，在处竖立一根高2.5米的标杆，小婷从处沿后退0.8米到处恰好看到点、在一条直线上，小婷的眼睛到地面的距离米，米，已知，，，，点、、、、在同一水平直线上，请根据以上数据求出秦始皇雕塑的高度.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：因为两根长度不等的杆子置于阳光之下，但它们的影长相等，
所以两根竿子不平行．
故答案为：C．
【分析】根据平行投影的性质判断即可．
2．【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：太阳光下的影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的统一方向上可知，选项C中的图形比较符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行投影的性质可得：同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的统一方向上。
3．【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设旗杆高度为h，由题意得： ，解得： h＝8.
故答案为：C.
【分析】设旗杆高度为h，由平行线分线段成比例的性质可得： ，求解即可.
4．【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】当把球向上平移时，圆形阴影的大小的变化情况是：越来越大，
故答案为：B.
【分析】利用中心投影的特点可得，灯光下影子与物体离灯源的距离有关，此距离越小，影子越大。
5．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴AB＝16（米）.
故答案为：B.
【分析】利用同一时刻，同一地点，同一平面上，不同物体的高度与影长成比例建立方程，可求出AB的长.
6．【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图
∵P（3，2），A（0，1），B（4，1）．
∴PD＝1，PE＝2，AB＝4，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴ ，即
∴A′B′＝8，
故答案为：D．
【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，可得出△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比即可求出A′B′的长。
7．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】设竹竿的长度为x尺，
∵太阳光为平行光，
∴ ，
解得x＝45（尺）．．
故答案为：B．
【分析】设竹竿的长度为x尺，根据同一时刻物高与影长成正比可得出 ，再解即可。
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；中心投影
【解析】【解答】延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）.
∴PD＝1，PE＝2，AB＝3，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴ ，即
∴A′B′＝6，
故答案为：C.
【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长.
9．【答案】平行
【知识点】平行投影
【解析】【解答】太阳光线下形成的投影是平行投影．
故答案为：平行．
【分析】太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影．
10．【答案】8
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设这棵树的高为，依题意得，
解得：，
故答案为：8.
【分析】设这棵树的高为xm，根据同一时刻物体的高与影子的长成正比例可得，求解即可.
11．【答案】
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变：
∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=5m
∴ ，
代入得：
∴
故答案为：．
【分析】根据中心投影的性质可得，再将数据代入可得，然后求出即可。
12．【答案】3.2m
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC，过点M作MF⊥PQ，
∵PQ⊥QN，MN⊥QN，
∴四边形FQNM是矩形，
∴FQ=MN=0.8，
∵同一时刻物体影子与实际高度成比例，
∴，
∴，
∴PF=2.4，
∴PQ=PF+FQ=2.4+0.8=3.2（m），
故答案为：3.2m．
【分析】连接AC，过点M作MF⊥PQ，根据题意可得，将数据代入可得，求出PF的长，最后利用线段的和差求出PQ的长即可。
13．【答案】4.45
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图，
设BD是BC在地面的影子，树高为x，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，
则，
解得：BD＝0.96，
∴树在地面的实际影子长是0.96＋2.6＝3.56（m），
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得：，
∴解得：x＝4.45，
∴树高是4.45m．
故答案为：4.45．
【分析】要先知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论即可求解。
14．【答案】解：∵BN∥AM，
∴∠CBN=∠A，∠CNB=∠M，
∴△CBN∽△CAM，
∴ 即
解得：CA=3，
∴AB=3-1=2，
答：窗户的高度AB为2m．
【知识点】相似三角形的性质；平行投影
【解析】【分析】阳光可看作一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BN与AE仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形的性质可求出AC的长，进而求出AB的长即窗户的高度.
15．【答案】解：∵AD∥EG，
∴∠ADO=∠EGF.
又∵∠AOD=∠EFG=90°，
∴△AOD∽△EFG.
∴.
∴.
同理，△BOC∽△AOD.
∴.
∴.
∴AB=OA OB=3（米）.
∴旗杆的高AB为3米.
【知识点】平行投影
【解析】【分析】根据平行线性质得∠ADO=∠EGF，∠BCO=∠ADO，证明△BOC∽△AOD，△AOD∽△EFG，根据相似三角形的性质可得AO、BO，然后根据AB=OA-OB进行计算.
16．【答案】（1）解：如图所示，BC即为此刻旗杆AB在阳光下的投影．
（2）解：∵DE，AB都垂直于地面，且光线 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即旗杆AB的高为12 m．
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【分析】（1）利用平行投影的性质，过小亮的头顶和它的影子末端作射线FD，再过点A作AC∥DF，可得到旗杆AB在阳光下的投影.
（2）利用平行线的性质可证得∠DFE=∠ACB，∠DEF=∠ABC=90°，可推出△DEF∽△ABC，利用相似三角形的性质，可得对应边成比例，由此可求出AB的长.
17．【答案】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
∴.
过点作于点，交于点，，，
，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴秦始皇雕塑的高度为14米.
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】易得∠ADB=∠DAB=45°，可得AB=BD，从而得出， 过点M作于点O，交GH于点P，证明，可得，据此可求出AB的长.
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