2023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 26.2.3 概率在实际生活中的应用同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024九上·衡阳期末） 七年级一班同学组织了元旦联欢会，文艺委员准备在“横扫千军”“飞花令”“成语接龙”“看图猜诗词”四个项目中选择两个，则她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【解答】解：“横扫千军”“飞花令”“成语接龙”“看图猜诗词”四个项目分别用A、B、C、D表示，画出树状图如下；
共有12种等可能的情况数，其中她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的有2种，
∴她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的概率为：．
故答案为：B
【分析】利用画树状图求概率。先画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
2．（2023九上·怀仁月考）甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（ ）
A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同
C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平
【答案】C
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，共有9种等可能的结果，其中甲乙获胜的都有3种，
甲乙获胜的概率分别为
A、B、D正确；C错误；
故答案为：C.
【分析】分别求得甲乙获胜的概率都为从而得出结论.
3．（2023九上·太原期中）如图是2023年8月19日由中国人民银行发行的三江源国家公园纪念币银币的正反面．若视其质地均匀，小文连续掷一枚这种纪念币两次，则两次落地后都是反面朝上的概率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【解答】根据题意作出如图所示的树状图：
∴共有4种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有1种，
∴P（两次落地后都是反面朝上）=，
故答案为：C.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
4．（2023·宿州模拟）在一个桌子上放着若干张背面向上的扑克牌，这些扑克牌背面图案相同，正面为3张方块、2张红桃和张梅花．若从这些打乱的扑克牌中任意摸出1张扑克牌，这张扑克牌是梅花的概率为，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据题意先求出 从这些打乱的扑克牌中任意摸出1张扑克牌，这张扑克牌是梅花的概率为， 列方程，再求解即可。
5．（2023·石家庄模拟）甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（ ）
A．公平 B．对甲有利
C．对乙有利 D．公平性不可预测
【答案】A
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】列表如下：
第一次
第二次 -1 1 -1 2
2 1 3 1 4
-2 -3 -1 -3 0
总的情况数为8种，为正数的情况有4种，为非正数的情况有4种，
指针指向的数的和为正数的概率为：；
指针指向的数的和为非正数的概率为：；
∵，概率相同，
∴甲、乙获胜的概率相同，
即游戏对二人公平，
故答案为：A．
【分析】先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
6．（2022·鄞州模拟）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ）
A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜
B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜
C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得5分，游戏结束后，累计得分高的人获胜
D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜
【答案】A
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：在上的点有，，，四点；在上的点有，，三点，因此该游戏不公平，故A符合题意；
取出两个数的乘积不大于15的有5、6、7、8、10、12、14、15共8种情况，取出两个数的乘积大于15的有16、18、20、21、24、24、28、32共8种情况，因此该游戏公平，故B项不符合题意；
取出的两个数乘积小于20的情况数为10种，可得分，取出的两个数乘积不小于20的情况数为6种，可得分，因此该游戏公平，故C项不符合题意；
取出的两个数相加和为奇数有8种，和不为奇数的有8种，因此该游戏公平，故D项不符合题意
故答案为：A．
【分析】根据题意共有：（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8）、（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8）种拿法，其中在直线y=x+4上的点有（1，5）、（2，6）、（3，7）、（4，8）四种，在直线y=-x+8上的有（1，7）、（2，6）、（3，5）三种，根据概率公式算出各自获胜的概率，再比较即可判断A；16种取法中乘积不大于15的有（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（3，5）八种，乘积大于15的有（2，8）、（3，6）、（3，7）、（3，8）、（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8）八种，根据概率公式算出各自获胜的概率，再比较即可判断B；16种取法中乘积小于20的有（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（3，5）、（3，6）十种，种，取出的两个数乘积不小于20的情况数为6种，根据各自的积分规则算出各自的积分，再比大小即可判断C；取出的两个数相加和为奇数有8种，和不为奇数的有8种，根据概率公式算出各自获胜的概率，再比较即可判断D.
7．（2019八上·唐河期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：（1）AE＝CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）S四边形AEPF＝ S△ABC；（4）当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时始终有EF＝AP.（点E不与A、B重合），上述结论中是正确的结论的概率是（ ）
A．1个 B．3个 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；概率的简单应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是BC的中点，
∴ ， .
（ 1 ）在△AEP与△CFP中，
∵∠EAP＝∠C＝45°，AP＝CP，∠APE＝∠CPF＝90°﹣∠APF，
∴△AEP≌△CFP
∴AE＝CF.（1）正确；
（ 2 ）由（1）知，△AEP≌△CFP，
∴PE＝PF，
又∵∠EPF＝90°，
∴△EPF是等腰直角三角形.（2）正确；
（ 3 ）∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE.
∴ .（3）正确；
（ 4 ）当EF＝AP始终相等时，由勾股定理可得：
则有： ，
∵AP的长为定值，而PF的长为变化值，
∴ 与 不可能始终相等，
即EF与AP不可能始终相等，（4）错误，
综上所述，正确的个数有3个，
故正确的结论的概率是 .
故答案为：D.
【分析】根据题意，容易证明△AEP≌△CFP，然后能推理得到选项A，B，C都是正确的，当EF＝AP始终相等时，可推出 ，由AP的长为定值，而PF的长为变化值可知选项D不正确.从而求出正确的结论的概率.
8．（2022·钦州模拟），甲，乙两辆汽车即将经过该丁字路口，它们各自可能向左转或向右转，且两种情况的可能性相等，则它们经过丁字路口时，都向右转的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【解答】解：由题意，画树状图如下：
可知共有4种等可能的结果，符合条件的只有1种，
故两辆汽车都向右转的概率为，
故答案为：A.
【分析】此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，表示出所有等可能出现的结果数，再从中找出都向右转的结果数，最后根据概率公式计算即可.
二、填空题
9．（2023九上·达川月考）将号码分别为1，2，…，9的9个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使等式成立的事件发生的概率等于 ．
【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵将号码分别为1、2、...、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.
甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后，乙从此袋再摸出一个球，其号码为b，
基本事件总数n=9×9=81个，
要使等式a+2b=20成立，
则当a=2时，b=9；
当a=4时，b=8；
当a=6时，b=7；
当a=8时，b=6；
故满足a+2b=20的基本事件共有m=4个，
∴使等式a+2b=20成立的事件发生的概率P=.
故答案为：.
【分析】基本事件总数n=9×9=81个，利用列举法求出使等式a+2b=20成立的基本事件个数，由此能求出使等式a+2b=20成立的事件发生的概率.
10．（2023九上·太原期中）小明要用如图的两个转盘做“配紫色”游戏，每个转盘均被等分成若干个扇形，他同时转动两个转盘，停止时指针所指的颜色恰好配成紫色(一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色即为配成紫色)的概率为 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【解答】根据题意可得下列表格：
∴共有6种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有2种，
∴P（配成紫色）=，
故答案为：.
【分析】先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
11．如图所示，从地到地有两条路线可走，从地到火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从地计发经过地到达火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是 .
【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解，从A地到B地的两条路分别用A、B表示，从B地到火车站的三座桥，分别用C、D、E表示，根据题意画出树状图如下：
由图可知，共有6钟等可能的结果数，其中恰好选到经过西流湾大桥的路线的等可能情况数有2种，
∴ 选到经过西流湾大桥的路线的概率 为：.
故答案为：.
【分析】从A地到B地的两条路分别用A、B表示，从B地到火车站的三座桥，分别用C、D、E表示，根据题意画出树状图，由图可知，共有6钟等可能的结果数，其中恰好选到经过西流湾大桥的路线的等可能情况数有2种，从而根据概率公式计算可得答案.
12．（2020九上·越城月考）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于 ，则密码的位数至少需要 位．
【答案】4
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】 解：∵每个数位上的数都是0到9的自然数，
∴当密码为三位数时，一次就拨对密码的概率为：P=，
当密码为四位数时，一次就拨对密码的概率为：P=，
∴ 要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要4位.
故答案为：4.
【分析】结合题意先求得当密码为三位数时，一次就拨对密码的概率；当密码为四位数时，一次就拨对密码的概率，再由题意即可得出答案.
13．（2021七下·城阳期末）提出问题：在不透明口袋中放入16种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各50个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？
建立模型：为解决上面的“问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
（1）在不透明的口袋中装有红、黄、蓝三种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在要确保从口袋中随机摸出的小球至少有4个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？为了找到解决问题的办法，我们可以把上述问题简单化：
①我们首先考虑最简单的情况：既要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需要再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需要摸出小数的个数是：1+3=4；
②若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需要在①的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可以确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7
③若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个小球同色，即最少需要摸出小球的个数是：1+3×3=10
④若要确保从口袋中摸出的小球至少有a个是同色的呢？即最少需要摸出小球的个数是 ．
（2）模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、蓝、白、绿、紫六种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在从袋中随机摸球：
①若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；
②若要确保摸出的小球至少有12个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；
③若要确保摸出的小球至少有a个同色（a<50），则最少需摸出小球的个数是 ；
（3）模型拓展二：在不透明口袋中装有n中颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现从袋中随机魔球：
①若要确保摸出的小球至少有3个同色，则最少需摸出小球的个数是
②若要确保摸出的小球至少有a个同色（a<50），则最少需摸出小球的个数是 ．
（4）问题解决：在不透明口袋中放入16种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各50个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出小球的个数是 ．
【答案】（1）1+3（a-1）
（2）1+6=7；1+6×11=67；1+6（a-1）
（3）1+2n；1+n（a-1）
（4）145
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：建立模型：为解决上面的“问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
在不透明的口袋中装有红、黄、蓝三种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在要确保从口袋中随机摸出的小球至少有4个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？为了找到解决问题的办法，我们可以把上述问题简单化：
①我们首先考虑最简单的情况：既要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需要再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需要摸出小数的个数是：1+3=4；
②若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需要在①的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可以确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7．
③若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个小球同色，即最少需要摸出小球的个数是：1+3×3=10；…
④若要确保从口袋中摸出的小球至少有a个是同色的呢？
即最少需要摸出小球的个数是1+3（a-1）．
故答案为：1+3（a-1）
模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、光、蓝、白、绿、紫六种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在从袋中随机摸球：
①若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是1+6=7；
②若要确保摸出的小球至少有12个同色，则最少需摸出小球的个数是1+6×11=67；
③若要确保摸出的小球至少有a个同色（a＜50），则最少需摸出小球的个数是1+6（a-1）；
故答案为：1+6=7；1+6×11；1+6（a-1）；
模型拓展二：在不透明口袋中装有n种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现从袋中随机魔球：
①若要确保摸出的小球至少有3个同色，则最少需摸出小球的个数是1+2n；
②若要确保摸出的小球至少有a个同色（a＜50），则最少需摸出小球的个数是1+n（a-1）；
故答案为：1+2n；1+n（a-1）
问题解决：1+9×16=145．
故最少需摸出小球的个数是145．
故答案为：145．
【分析】（1）利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题；
（2）利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题；
（3）利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题；
（4）根据模型拓展得到的规律，列出算式计算即可求解。
三、解答题
14．用二维码(如图①)可以表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．例如，网格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．
（1）用画树状图或列表的方法，求图③可表示不同信息的总个数(图中标号1，2表示两个不同位置的小方格，下同)．
（2）图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为 .
（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息．若该校师生共492人，则n的最小值为 .
【答案】（1）解：画树状图如图①，
由图可知共有4种等可能结果；
（2）16
（3）3
【知识点】复合事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（2）画树状图如图②，
由图可知共有16种等可能结果；
故答案为：16；
（3）当n=1时，21=2；当n=2时，22×22=16，
∴当n=3时，23×23×23=512．
∵16<492<512，
∴n的最小值为3．
故答案为：3.
【分析】（1）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，列举出所有等可能的情况数；
（2）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，列举出所有等可能的情况数；
（3）分别算出n=1、n=2，n=3的结果数，即可判断得出答案.
15．模拟经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当同向行驶的三辆汽车经过这个十字路口时，
（1）求三辆车全部同向而行的概率．
（2）求至少有两辆车向左转的概率．
（3）这个路口汽车左转．右转、直行的指示绿灯交替亮起，亮的时间均为30秒．交管部门对这个十字路口交通高峰时段车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为，在绿灯亮的总时间不变的条件下，为使交通更加通畅，请你用统计的知识对此十字路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
【答案】（1）解：分别用A、B、C表示向左转，直行，向右转，根据题意画出树状图如下：
由图可知：共有27种等可能的结果数，三辆车全部同向而行的有3种情况，
∴P（ 三辆车全部同向而行的概率）= ；
（2）解：∵至少有两辆车向左转的情况数有7种，
∴P（ 至少有两辆车向左转 ）=；
（3）解：∵汽车向右转、向左转，直行的概率分别为，
∴ 在绿灯亮的总时间不变的条件下可以调整绿灯亮的时间如下：
向左转及直行的绿灯亮的时间都为：（秒），
向右转绿灯亮的时间为：（秒）.
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与三辆车全部同向而行的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（2）由（1）中的树状图即可求得至少有两辆车向左转的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（3）由汽车向右转、向左转、直行的概率分别，进而用绿灯亮的总时间乘以各自的概率即可求得答案.
四、综合题
16．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．由于该十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为 ，向左转和直行的频率均为 .
（1）假设平均每天通过该路口的汽车为5000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆；
（2）目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
【答案】（1）解：汽车在此左转的车辆数为5000× ＝1500(辆)，(2分)在此右转的车辆数为5000× ＝2000(辆)，(4分)在此直行的车辆数为5000× ＝1500(辆)．
（2）解：根据频率估计概率的知识，得P(汽车向左转)＝ ，P(汽车向右转)＝ ，P(汽车直行)＝ .(9分)∴可调整绿灯亮的时间如下：左转绿灯亮的时间为90× ＝27(秒)，右转绿灯亮的时间为90× ＝36(秒)，直行绿灯亮的时间为90× ＝27(秒)
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】（1）分别用5000乘以汽车在此十字路口向右转的频率、向左转和直行的频率，分别列式计算，就可求出答案。
（2）由汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，据此可分别求出调整绿灯亮的时间，分别用90乘以 汽车在此十字路口向右转的频率、向左转和直行的频率，分别列式计算，就可求出答案。
17．（2018八上·河南期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2）
（1）若点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标为 ；
（2）将点A向右平移5个单位得到点D，则点D的坐标为 ；
（3）由点A，B，C，D组成的四边形ABCD内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．
【答案】（1）（2，﹣2）
（2）（3，2）
（3）∵在平行四边形ABCD内横、纵坐标均为整数的点有15个，其中横、纵坐标和为零的点有3个，即（﹣1，1），（0，0），（1，﹣1），
∴所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率 。
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；关于原点对称的点的坐标特征；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）关于原点对称的坐标，横坐标、纵坐标的符号相反，所以C的坐标为（2，﹣2）。
（ 2 ）由题意可知点D的坐标为（-2+5，2），即（3，2）。
【分析】（1）关于原点对称的坐标，横坐标、纵坐标的符号相反，得到 点C的坐标 ；（2）根据平移的性质向右平移是横坐标加5，求出点D的坐标 ；（3）根据图形得到在平行四边形ABCD内横、纵坐标均为整数的点有15个， 横、纵坐标和为零的点有3个， 求出所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率 .
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 26.2.3 概率在实际生活中的应用同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024九上·衡阳期末） 七年级一班同学组织了元旦联欢会，文艺委员准备在“横扫千军”“飞花令”“成语接龙”“看图猜诗词”四个项目中选择两个，则她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·怀仁月考）甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（ ）
A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同
C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平
3．（2023九上·太原期中）如图是2023年8月19日由中国人民银行发行的三江源国家公园纪念币银币的正反面．若视其质地均匀，小文连续掷一枚这种纪念币两次，则两次落地后都是反面朝上的概率为 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·宿州模拟）在一个桌子上放着若干张背面向上的扑克牌，这些扑克牌背面图案相同，正面为3张方块、2张红桃和张梅花．若从这些打乱的扑克牌中任意摸出1张扑克牌，这张扑克牌是梅花的概率为，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2023·石家庄模拟）甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（ ）
A．公平 B．对甲有利
C．对乙有利 D．公平性不可预测
6．（2022·鄞州模拟）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ）
A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜
B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜
C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得5分，游戏结束后，累计得分高的人获胜
D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜
7．（2019八上·唐河期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：（1）AE＝CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）S四边形AEPF＝ S△ABC；（4）当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时始终有EF＝AP.（点E不与A、B重合），上述结论中是正确的结论的概率是（ ）
A．1个 B．3个 C． D．
8．（2022·钦州模拟），甲，乙两辆汽车即将经过该丁字路口，它们各自可能向左转或向右转，且两种情况的可能性相等，则它们经过丁字路口时，都向右转的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·达川月考）将号码分别为1，2，…，9的9个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使等式成立的事件发生的概率等于 ．
10．（2023九上·太原期中）小明要用如图的两个转盘做“配紫色”游戏，每个转盘均被等分成若干个扇形，他同时转动两个转盘，停止时指针所指的颜色恰好配成紫色(一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色即为配成紫色)的概率为 .
11．如图所示，从地到地有两条路线可走，从地到火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从地计发经过地到达火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是 .
12．（2020九上·越城月考）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于 ，则密码的位数至少需要 位．
13．（2021七下·城阳期末）提出问题：在不透明口袋中放入16种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各50个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？
建立模型：为解决上面的“问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
（1）在不透明的口袋中装有红、黄、蓝三种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在要确保从口袋中随机摸出的小球至少有4个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？为了找到解决问题的办法，我们可以把上述问题简单化：
①我们首先考虑最简单的情况：既要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需要再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需要摸出小数的个数是：1+3=4；
②若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需要在①的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可以确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7
③若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个小球同色，即最少需要摸出小球的个数是：1+3×3=10
④若要确保从口袋中摸出的小球至少有a个是同色的呢？即最少需要摸出小球的个数是 ．
（2）模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、蓝、白、绿、紫六种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在从袋中随机摸球：
①若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；
②若要确保摸出的小球至少有12个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；
③若要确保摸出的小球至少有a个同色（a<50），则最少需摸出小球的个数是 ；
（3）模型拓展二：在不透明口袋中装有n中颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现从袋中随机魔球：
①若要确保摸出的小球至少有3个同色，则最少需摸出小球的个数是
②若要确保摸出的小球至少有a个同色（a<50），则最少需摸出小球的个数是 ．
（4）问题解决：在不透明口袋中放入16种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各50个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出小球的个数是 ．
三、解答题
14．用二维码(如图①)可以表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．例如，网格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．
（1）用画树状图或列表的方法，求图③可表示不同信息的总个数(图中标号1，2表示两个不同位置的小方格，下同)．
（2）图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为 .
（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息．若该校师生共492人，则n的最小值为 .
15．模拟经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当同向行驶的三辆汽车经过这个十字路口时，
（1）求三辆车全部同向而行的概率．
（2）求至少有两辆车向左转的概率．
（3）这个路口汽车左转．右转、直行的指示绿灯交替亮起，亮的时间均为30秒．交管部门对这个十字路口交通高峰时段车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为，在绿灯亮的总时间不变的条件下，为使交通更加通畅，请你用统计的知识对此十字路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
四、综合题
16．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．由于该十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为 ，向左转和直行的频率均为 .
（1）假设平均每天通过该路口的汽车为5000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆；
（2）目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
17．（2018八上·河南期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2）
（1）若点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标为 ；
（2）将点A向右平移5个单位得到点D，则点D的坐标为 ；
（3）由点A，B，C，D组成的四边形ABCD内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【解答】解：“横扫千军”“飞花令”“成语接龙”“看图猜诗词”四个项目分别用A、B、C、D表示，画出树状图如下；
共有12种等可能的情况数，其中她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的有2种，
∴她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的概率为：．
故答案为：B
【分析】利用画树状图求概率。先画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
2．【答案】C
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，共有9种等可能的结果，其中甲乙获胜的都有3种，
甲乙获胜的概率分别为
A、B、D正确；C错误；
故答案为：C.
【分析】分别求得甲乙获胜的概率都为从而得出结论.
3．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【解答】根据题意作出如图所示的树状图：
∴共有4种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有1种，
∴P（两次落地后都是反面朝上）=，
故答案为：C.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
4．【答案】B
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据题意先求出 从这些打乱的扑克牌中任意摸出1张扑克牌，这张扑克牌是梅花的概率为， 列方程，再求解即可。
5．【答案】A
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】列表如下：
第一次
第二次 -1 1 -1 2
2 1 3 1 4
-2 -3 -1 -3 0
总的情况数为8种，为正数的情况有4种，为非正数的情况有4种，
指针指向的数的和为正数的概率为：；
指针指向的数的和为非正数的概率为：；
∵，概率相同，
∴甲、乙获胜的概率相同，
即游戏对二人公平，
故答案为：A．
【分析】先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
6．【答案】A
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：在上的点有，，，四点；在上的点有，，三点，因此该游戏不公平，故A符合题意；
取出两个数的乘积不大于15的有5、6、7、8、10、12、14、15共8种情况，取出两个数的乘积大于15的有16、18、20、21、24、24、28、32共8种情况，因此该游戏公平，故B项不符合题意；
取出的两个数乘积小于20的情况数为10种，可得分，取出的两个数乘积不小于20的情况数为6种，可得分，因此该游戏公平，故C项不符合题意；
取出的两个数相加和为奇数有8种，和不为奇数的有8种，因此该游戏公平，故D项不符合题意
故答案为：A．
【分析】根据题意共有：（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8）、（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8）种拿法，其中在直线y=x+4上的点有（1，5）、（2，6）、（3，7）、（4，8）四种，在直线y=-x+8上的有（1，7）、（2，6）、（3，5）三种，根据概率公式算出各自获胜的概率，再比较即可判断A；16种取法中乘积不大于15的有（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（3，5）八种，乘积大于15的有（2，8）、（3，6）、（3，7）、（3，8）、（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8）八种，根据概率公式算出各自获胜的概率，再比较即可判断B；16种取法中乘积小于20的有（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（3，5）、（3，6）十种，种，取出的两个数乘积不小于20的情况数为6种，根据各自的积分规则算出各自的积分，再比大小即可判断C；取出的两个数相加和为奇数有8种，和不为奇数的有8种，根据概率公式算出各自获胜的概率，再比较即可判断D.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；概率的简单应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是BC的中点，
∴ ， .
（ 1 ）在△AEP与△CFP中，
∵∠EAP＝∠C＝45°，AP＝CP，∠APE＝∠CPF＝90°﹣∠APF，
∴△AEP≌△CFP
∴AE＝CF.（1）正确；
（ 2 ）由（1）知，△AEP≌△CFP，
∴PE＝PF，
又∵∠EPF＝90°，
∴△EPF是等腰直角三角形.（2）正确；
（ 3 ）∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE.
∴ .（3）正确；
（ 4 ）当EF＝AP始终相等时，由勾股定理可得：
则有： ，
∵AP的长为定值，而PF的长为变化值，
∴ 与 不可能始终相等，
即EF与AP不可能始终相等，（4）错误，
综上所述，正确的个数有3个，
故正确的结论的概率是 .
故答案为：D.
【分析】根据题意，容易证明△AEP≌△CFP，然后能推理得到选项A，B，C都是正确的，当EF＝AP始终相等时，可推出 ，由AP的长为定值，而PF的长为变化值可知选项D不正确.从而求出正确的结论的概率.
8．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【解答】解：由题意，画树状图如下：
可知共有4种等可能的结果，符合条件的只有1种，
故两辆汽车都向右转的概率为，
故答案为：A.
【分析】此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，表示出所有等可能出现的结果数，再从中找出都向右转的结果数，最后根据概率公式计算即可.
9．【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵将号码分别为1、2、...、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.
甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后，乙从此袋再摸出一个球，其号码为b，
基本事件总数n=9×9=81个，
要使等式a+2b=20成立，
则当a=2时，b=9；
当a=4时，b=8；
当a=6时，b=7；
当a=8时，b=6；
故满足a+2b=20的基本事件共有m=4个，
∴使等式a+2b=20成立的事件发生的概率P=.
故答案为：.
【分析】基本事件总数n=9×9=81个，利用列举法求出使等式a+2b=20成立的基本事件个数，由此能求出使等式a+2b=20成立的事件发生的概率.
10．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【解答】根据题意可得下列表格：
∴共有6种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有2种，
∴P（配成紫色）=，
故答案为：.
【分析】先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
11．【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解，从A地到B地的两条路分别用A、B表示，从B地到火车站的三座桥，分别用C、D、E表示，根据题意画出树状图如下：
由图可知，共有6钟等可能的结果数，其中恰好选到经过西流湾大桥的路线的等可能情况数有2种，
∴ 选到经过西流湾大桥的路线的概率 为：.
故答案为：.
【分析】从A地到B地的两条路分别用A、B表示，从B地到火车站的三座桥，分别用C、D、E表示，根据题意画出树状图，由图可知，共有6钟等可能的结果数，其中恰好选到经过西流湾大桥的路线的等可能情况数有2种，从而根据概率公式计算可得答案.
12．【答案】4
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】 解：∵每个数位上的数都是0到9的自然数，
∴当密码为三位数时，一次就拨对密码的概率为：P=，
当密码为四位数时，一次就拨对密码的概率为：P=，
∴ 要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要4位.
故答案为：4.
【分析】结合题意先求得当密码为三位数时，一次就拨对密码的概率；当密码为四位数时，一次就拨对密码的概率，再由题意即可得出答案.
13．【答案】（1）1+3（a-1）
（2）1+6=7；1+6×11=67；1+6（a-1）
（3）1+2n；1+n（a-1）
（4）145
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：建立模型：为解决上面的“问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
在不透明的口袋中装有红、黄、蓝三种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在要确保从口袋中随机摸出的小球至少有4个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？为了找到解决问题的办法，我们可以把上述问题简单化：
①我们首先考虑最简单的情况：既要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需要再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需要摸出小数的个数是：1+3=4；
②若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需要在①的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可以确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7．
③若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个小球同色，即最少需要摸出小球的个数是：1+3×3=10；…
④若要确保从口袋中摸出的小球至少有a个是同色的呢？
即最少需要摸出小球的个数是1+3（a-1）．
故答案为：1+3（a-1）
模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、光、蓝、白、绿、紫六种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在从袋中随机摸球：
①若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是1+6=7；
②若要确保摸出的小球至少有12个同色，则最少需摸出小球的个数是1+6×11=67；
③若要确保摸出的小球至少有a个同色（a＜50），则最少需摸出小球的个数是1+6（a-1）；
故答案为：1+6=7；1+6×11；1+6（a-1）；
模型拓展二：在不透明口袋中装有n种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现从袋中随机魔球：
①若要确保摸出的小球至少有3个同色，则最少需摸出小球的个数是1+2n；
②若要确保摸出的小球至少有a个同色（a＜50），则最少需摸出小球的个数是1+n（a-1）；
故答案为：1+2n；1+n（a-1）
问题解决：1+9×16=145．
故最少需摸出小球的个数是145．
故答案为：145．
【分析】（1）利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题；
（2）利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题；
（3）利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题；
（4）根据模型拓展得到的规律，列出算式计算即可求解。
14．【答案】（1）解：画树状图如图①，
由图可知共有4种等可能结果；
（2）16
（3）3
【知识点】复合事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（2）画树状图如图②，
由图可知共有16种等可能结果；
故答案为：16；
（3）当n=1时，21=2；当n=2时，22×22=16，
∴当n=3时，23×23×23=512．
∵16<492<512，
∴n的最小值为3．
故答案为：3.
【分析】（1）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，列举出所有等可能的情况数；
（2）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，列举出所有等可能的情况数；
（3）分别算出n=1、n=2，n=3的结果数，即可判断得出答案.
15．【答案】（1）解：分别用A、B、C表示向左转，直行，向右转，根据题意画出树状图如下：
由图可知：共有27种等可能的结果数，三辆车全部同向而行的有3种情况，
∴P（ 三辆车全部同向而行的概率）= ；
（2）解：∵至少有两辆车向左转的情况数有7种，
∴P（ 至少有两辆车向左转 ）=；
（3）解：∵汽车向右转、向左转，直行的概率分别为，
∴ 在绿灯亮的总时间不变的条件下可以调整绿灯亮的时间如下：
向左转及直行的绿灯亮的时间都为：（秒），
向右转绿灯亮的时间为：（秒）.
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与三辆车全部同向而行的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（2）由（1）中的树状图即可求得至少有两辆车向左转的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（3）由汽车向右转、向左转、直行的概率分别，进而用绿灯亮的总时间乘以各自的概率即可求得答案.
16．【答案】（1）解：汽车在此左转的车辆数为5000× ＝1500(辆)，(2分)在此右转的车辆数为5000× ＝2000(辆)，(4分)在此直行的车辆数为5000× ＝1500(辆)．
（2）解：根据频率估计概率的知识，得P(汽车向左转)＝ ，P(汽车向右转)＝ ，P(汽车直行)＝ .(9分)∴可调整绿灯亮的时间如下：左转绿灯亮的时间为90× ＝27(秒)，右转绿灯亮的时间为90× ＝36(秒)，直行绿灯亮的时间为90× ＝27(秒)
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】（1）分别用5000乘以汽车在此十字路口向右转的频率、向左转和直行的频率，分别列式计算，就可求出答案。
（2）由汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，据此可分别求出调整绿灯亮的时间，分别用90乘以 汽车在此十字路口向右转的频率、向左转和直行的频率，分别列式计算，就可求出答案。
17．【答案】（1）（2，﹣2）
（2）（3，2）
（3）∵在平行四边形ABCD内横、纵坐标均为整数的点有15个，其中横、纵坐标和为零的点有3个，即（﹣1，1），（0，0），（1，﹣1），
∴所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率 。
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；关于原点对称的点的坐标特征；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）关于原点对称的坐标，横坐标、纵坐标的符号相反，所以C的坐标为（2，﹣2）。
（ 2 ）由题意可知点D的坐标为（-2+5，2），即（3，2）。
【分析】（1）关于原点对称的坐标，横坐标、纵坐标的符号相反，得到 点C的坐标 ；（2）根据平移的性质向右平移是横坐标加5，求出点D的坐标 ；（3）根据图形得到在平行四边形ABCD内横、纵坐标均为整数的点有15个， 横、纵坐标和为零的点有3个， 求出所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率 .
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