2023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 26.3 用频率估计概率同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·杭州月考）在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（ ）
A．8个 B．12个 C．16个 D．20个
2．（2023九上·永修期中） 数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验， 多次试验后获得如下数据：
重复试验次数 10 50 100 500 1000
钉尖朝上次数 5 15 36 200 400
由此可以估计任意抛掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·白银期中） 某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格．则该结果发生的概率约为（ ）
实验次数 100 500 1000 2000 4000
频率 0.37 0.32 0.345 0.339 0.333
A． B． C． D．
4．（2018九上·宁波期中）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正六面体的骰子，向上的一面点数是1点的概率
B．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率
C．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率
D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率
5．（2024九上·潮阳期末）为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数估计为（ ）
A．600条 B．1200条 C．2200条 D．3000条
6．（2024九上·盘州期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能是
试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上
B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是5
C．在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“剪刀”
D．将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃
7．（2023九上·大城期中）在做抛硬币试验时，抛掷n次，若正面向上的次数为m次，则记正面向上的频率．下列说法正确的是（ ）
A．P一定等于
B．P一定不等于
C．多抛一次，P更接近
D．随着抛掷次数的逐渐增加，P稳定在附近
8．（2023九上·从江期中）绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如表所示：
每批 粒数n 100 300 400 600 1 000 2 000 3 000
发芽的 粒数m 96 282 382 570 948 1 904 2 850
发芽的 频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.952 0.950
下面有三个推断：
①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率是0.955；
②根据上表，估计绿豆发芽的概率是0.95；
③若n为4 000，估计绿豆发芽的粒数为 3 800 粒.
其中推断合理的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③
二、填空题
9．（2024·深圳模拟） 为了估计抛掷同一枚瓶盖落地后凸面向上的概率， 小明做了大量重复试验. 经过统计得到凸面向上的次数为 450 次， 凸面向下的次数为 550 次， 由此可估计抛郑瓶盖落地后凸面向上的概率约为 .
10．（2023九上·武侯月考）如图，是一个面积为正方形微信二维码．小明利用所学概率知识估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为 ．
11．（2024九上·双流期末）在一个不透明的袋子里装有6个白色乒乓球和若干个黄色的乒乓球，这些乒乓球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.625，则可估算袋中黄色的乒乓球约有 个．
12．（2024九上·蛟河期末）小刚的爸爸是养鱼专业户，他想对自己鱼池中的鱼的总数进行评估，第一次捞出条，将每条鱼做出记号放入水中，待它们充分混入鱼群后，又捞出条，且带有记号的鱼有条，其鱼池中估计有鱼 条．
13．（2024九上·朝阳期末）在一个不透明口袋中装有1个红球和个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别．搅匀后从口袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回口袋中并搅匀，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在，则的值为 ．
三、解答题
14．（2024九上·万源期末）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，七年级（2）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下面是全班各小组的汇总数据统计表：
摸球次数 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数 63 123 247 365 484 603
摸到白球的频率
（1）表中的 ；
（2）请估计当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到）
（3）试估算摸到红球的概率是 （精确到）
（4）试估算这个不透明的口袋中红球的个数．
15．（2023九上·临汾月考）在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球实验，将球摚匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 500 1000 1500 2000 2500 3000
摸到白球的频率 0.748 0.751 0.754 0.747 0.750 0.749
（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 ．（精确到）
（2）试估算口袋中白球有 个．
（3）现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同．一学生从两个口袋中各摸出一个球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率．
四、综合题
16．（2023七下·平远期末）在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 59 96 116 290 480 601
摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 0.60 0.601
（1）表中的a= ；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？
17．（2023七下·榆林期末）一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从一定高度抛掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如下表：
试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“帅”字面朝上的频数 18 38 47 52 66 77 88
“帅”字面朝上的频数 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 0.55 0.55
（1）求出上表中数据a和b的值；
（2）根据表格，请你估计将它从一定高度抛掷，落地反弹后“帅”字面朝上的概率是多少？（保留两位小数）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：设袋中红球的个数为x，
根据题意，得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
即袋中红球可能有16个，
故答案为：C．
【分析】设袋中红球的个数为x，由摸到白球的频率稳定在附近，得出口袋中得到白色球的概率为，列出方程求解即可．
2．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】依题意，次数越多越接近概率，
∵，
∴可以估计任意抛掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为
故答案为：B．
【分析】根据频率估计概率，根据次数越多越接近概率，用，即可求解．
3．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格数据，实验次数4000次，频率0.333，可知某一结果发生的概率约为0.333，0.333≈，
故答案为：B
【分析】由表格数据，可知某一结果发生的概率约为0.33，根据选项最接近033即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由频率统计图可知，随着次数的增加，频率稳定在30%~35%.
A. 掷一枚质地均匀的正六面体的骰子，向上的一面点数是1点的概率是 ，故A不符合题意；
B.抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率是 ，故B不符合题意；
C.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是 ，故C不符合题意；
D.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是 ， ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】在重复实验次数的增加，频率最终会稳定在一个较小的范围内，把这个频率估计为该事件发生的概率.依次求出A，B，C，D中四个事件的概率，并与频率进行对比即可.
5．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：鱼塘中鱼的条数估计为：
故答案为：B.
【分析】利用频率表示概率结合概率公式即可计算.
6．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】根据表格中的数据可得概率最接近0.333约等于，
A、∵掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率是≠，∴A不符合题意；
B、∵掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是5的概率是≠，∴B不符合题意；
C、∵在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“剪刀”的概率是，∴C符合题意；
D、∵将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃的概率是≠，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先根据表格中的数据可得概率最接近0.333约等于，再分别求出各项中的概率并比较即可.
7．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：硬币只有正反两面
∴ 投掷时正面向上的概率是
∴ 随着抛掷次数的逐渐增加，P稳定在附近
故答案为：D
【分析】本题考查用频率估计概率， 在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率．据此可得答案。
8．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率大约是0.955，∴①错误；
②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，所以估计绿豆发芽的概率是0.95，∴②正确；
③若n为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为4000x0.950=3800粒，∴③正确，
综上，正确的结论是②③，
故答案为：D.
【分析】利用表格中的数据及信息，再根据频率得到定义逐项分析判断即可.
9．【答案】0.45
【知识点】利用频率估计概率；模拟实验
【解析】【解答】解：∵经过统计得到凸面向上的次数为 450 次， 凸面向下的次数为 550 次，
∴一共做了450+550=1000次实验，
∴由此可估计抛郑瓶盖落地后凸面向上的概率约为450÷1000=0.45.
故答案为：0.45.
【分析】利用已知可得到实验的总次数，由此求出抛郑瓶盖落地后凸面向上的概率.
10．【答案】
【知识点】频数与频率；几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：落入黑色部分的频率稳定在左右，正方形面积为，
黑色部分的面积约为.
故答案为：.
【分析】根据频率稳定性定理、频率集中趋势估计概率的性质，所得的近似值即这个事件的概率，结合题意加以计算即可求解。
11．【答案】10
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】设袋中黄色的乒乓球约有n个，
∵摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.625，
∴，
解得：n=10，
∴袋中黄色的乒乓球约有10个，
故答案为：10.
【分析】设袋中黄色的乒乓球约有n个，根据“摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.625”列出方程，再求解即可.
12．【答案】4000
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设鱼的总数为条，
鱼的概率近似等于
解得．
故答案为：．
【分析】基本关系：概率=频率=所求情况数÷总情况数，据此列方程求解即可．
13．【答案】4
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】∵摸到白球的频率逐渐稳定在，
∴，
解得：n=4，
故答案为：4.
【分析】利用频率与概率的关系及摸到白球的频率逐渐稳定在，可得，再求出n的值即可.
14．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：设红球的个数为x，根据题意，
得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：这个不透明的口袋中红球有15个．
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）由表中数据可知：
摸到白球的频率为：
故答案为：
（2）由表格中计算得频率过程可知
当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4
故答案为：0.4
（3）由题意可得：
摸到白球的概率为0.4
则摸到红球的概率为1-0.4=0.6
故答案为：0.6
【分析】（1）根据摸到白球的频率为：，代入相应值计算即可求出答案；
（2）根据表中的数据分析即可求出答案；
（3）先根据频率估计概率得到摸到白球的概率，再根据1-白球概率即可求出答案；
（4） 设红球的个数为x， 根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】（1）
（2）3
（3）解：将第一个口袋中3个白球分别记为，画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中两个球颜色相同的情况有4种．
∴两个球颜色相同的的概率为
【知识点】列表法与树状图法；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）根据表格可得当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75；
（2）由题意可得（个）；
【分析】（1）根据表格信息即可求解；
（2）根据频率估计概率，利用摸到白球的频率口袋中球的总个数，从而求解；
（3）画出树状图得到共有8种等可能的结果，其中两个球颜色相同的情况有4种，利用概率公式代入数据进行计算即可求解.
16．【答案】（1）0.58
（2）0.6
（3）解：因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
所以白球的个数约为20×0.6=12个，黑球有20-12=8个．
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：(1).
故答案为：0.58.
(2)根据表格中的统计数据可知，摸到白球的频率在0.6附近浮动，
故摸到白球的概率的估计值是0.6.
故答案为：0.6.
【分析】(1)摸到白球的次数除以摸球的次数就是摸到白球的频率.
(2)通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
(3)摸到白球的概率估计值是0.6，通过概率与总球数的乘积求得白球的个数，进而得到黑球个数.
17．【答案】（1）解：；．
（2）估计落地反弹后“帅”字面朝上的概率是0.55．
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据频率=频数÷总数可求出a、b的值；
（2）随着实验次数的增加，“帅” 字面朝上的频率逐渐稳定在0.55附近，据此即可估计概率.
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一、选择题
1．（2023九上·杭州月考）在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（ ）
A．8个 B．12个 C．16个 D．20个
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：设袋中红球的个数为x，
根据题意，得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
即袋中红球可能有16个，
故答案为：C．
【分析】设袋中红球的个数为x，由摸到白球的频率稳定在附近，得出口袋中得到白色球的概率为，列出方程求解即可．
2．（2023九上·永修期中） 数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验， 多次试验后获得如下数据：
重复试验次数 10 50 100 500 1000
钉尖朝上次数 5 15 36 200 400
由此可以估计任意抛掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】依题意，次数越多越接近概率，
∵，
∴可以估计任意抛掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为
故答案为：B．
【分析】根据频率估计概率，根据次数越多越接近概率，用，即可求解．
3．（2023九上·白银期中） 某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格．则该结果发生的概率约为（ ）
实验次数 100 500 1000 2000 4000
频率 0.37 0.32 0.345 0.339 0.333
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格数据，实验次数4000次，频率0.333，可知某一结果发生的概率约为0.333，0.333≈，
故答案为：B
【分析】由表格数据，可知某一结果发生的概率约为0.33，根据选项最接近033即可求出答案.
4．（2018九上·宁波期中）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正六面体的骰子，向上的一面点数是1点的概率
B．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率
C．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率
D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由频率统计图可知，随着次数的增加，频率稳定在30%~35%.
A. 掷一枚质地均匀的正六面体的骰子，向上的一面点数是1点的概率是 ，故A不符合题意；
B.抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率是 ，故B不符合题意；
C.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是 ，故C不符合题意；
D.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是 ， ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】在重复实验次数的增加，频率最终会稳定在一个较小的范围内，把这个频率估计为该事件发生的概率.依次求出A，B，C，D中四个事件的概率，并与频率进行对比即可.
5．（2024九上·潮阳期末）为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数估计为（ ）
A．600条 B．1200条 C．2200条 D．3000条
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：鱼塘中鱼的条数估计为：
故答案为：B.
【分析】利用频率表示概率结合概率公式即可计算.
6．（2024九上·盘州期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能是
试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上
B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是5
C．在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“剪刀”
D．将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】根据表格中的数据可得概率最接近0.333约等于，
A、∵掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率是≠，∴A不符合题意；
B、∵掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是5的概率是≠，∴B不符合题意；
C、∵在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“剪刀”的概率是，∴C符合题意；
D、∵将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃的概率是≠，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先根据表格中的数据可得概率最接近0.333约等于，再分别求出各项中的概率并比较即可.
7．（2023九上·大城期中）在做抛硬币试验时，抛掷n次，若正面向上的次数为m次，则记正面向上的频率．下列说法正确的是（ ）
A．P一定等于
B．P一定不等于
C．多抛一次，P更接近
D．随着抛掷次数的逐渐增加，P稳定在附近
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：硬币只有正反两面
∴ 投掷时正面向上的概率是
∴ 随着抛掷次数的逐渐增加，P稳定在附近
故答案为：D
【分析】本题考查用频率估计概率， 在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率．据此可得答案。
8．（2023九上·从江期中）绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如表所示：
每批 粒数n 100 300 400 600 1 000 2 000 3 000
发芽的 粒数m 96 282 382 570 948 1 904 2 850
发芽的 频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.952 0.950
下面有三个推断：
①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率是0.955；
②根据上表，估计绿豆发芽的概率是0.95；
③若n为4 000，估计绿豆发芽的粒数为 3 800 粒.
其中推断合理的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率大约是0.955，∴①错误；
②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，所以估计绿豆发芽的概率是0.95，∴②正确；
③若n为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为4000x0.950=3800粒，∴③正确，
综上，正确的结论是②③，
故答案为：D.
【分析】利用表格中的数据及信息，再根据频率得到定义逐项分析判断即可.
二、填空题
9．（2024·深圳模拟） 为了估计抛掷同一枚瓶盖落地后凸面向上的概率， 小明做了大量重复试验. 经过统计得到凸面向上的次数为 450 次， 凸面向下的次数为 550 次， 由此可估计抛郑瓶盖落地后凸面向上的概率约为 .
【答案】0.45
【知识点】利用频率估计概率；模拟实验
【解析】【解答】解：∵经过统计得到凸面向上的次数为 450 次， 凸面向下的次数为 550 次，
∴一共做了450+550=1000次实验，
∴由此可估计抛郑瓶盖落地后凸面向上的概率约为450÷1000=0.45.
故答案为：0.45.
【分析】利用已知可得到实验的总次数，由此求出抛郑瓶盖落地后凸面向上的概率.
10．（2023九上·武侯月考）如图，是一个面积为正方形微信二维码．小明利用所学概率知识估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为 ．
【答案】
【知识点】频数与频率；几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：落入黑色部分的频率稳定在左右，正方形面积为，
黑色部分的面积约为.
故答案为：.
【分析】根据频率稳定性定理、频率集中趋势估计概率的性质，所得的近似值即这个事件的概率，结合题意加以计算即可求解。
11．（2024九上·双流期末）在一个不透明的袋子里装有6个白色乒乓球和若干个黄色的乒乓球，这些乒乓球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.625，则可估算袋中黄色的乒乓球约有 个．
【答案】10
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】设袋中黄色的乒乓球约有n个，
∵摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.625，
∴，
解得：n=10，
∴袋中黄色的乒乓球约有10个，
故答案为：10.
【分析】设袋中黄色的乒乓球约有n个，根据“摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.625”列出方程，再求解即可.
12．（2024九上·蛟河期末）小刚的爸爸是养鱼专业户，他想对自己鱼池中的鱼的总数进行评估，第一次捞出条，将每条鱼做出记号放入水中，待它们充分混入鱼群后，又捞出条，且带有记号的鱼有条，其鱼池中估计有鱼 条．
【答案】4000
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设鱼的总数为条，
鱼的概率近似等于
解得．
故答案为：．
【分析】基本关系：概率=频率=所求情况数÷总情况数，据此列方程求解即可．
13．（2024九上·朝阳期末）在一个不透明口袋中装有1个红球和个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别．搅匀后从口袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回口袋中并搅匀，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】∵摸到白球的频率逐渐稳定在，
∴，
解得：n=4，
故答案为：4.
【分析】利用频率与概率的关系及摸到白球的频率逐渐稳定在，可得，再求出n的值即可.
三、解答题
14．（2024九上·万源期末）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，七年级（2）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下面是全班各小组的汇总数据统计表：
摸球次数 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数 63 123 247 365 484 603
摸到白球的频率
（1）表中的 ；
（2）请估计当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到）
（3）试估算摸到红球的概率是 （精确到）
（4）试估算这个不透明的口袋中红球的个数．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：设红球的个数为x，根据题意，
得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：这个不透明的口袋中红球有15个．
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）由表中数据可知：
摸到白球的频率为：
故答案为：
（2）由表格中计算得频率过程可知
当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4
故答案为：0.4
（3）由题意可得：
摸到白球的概率为0.4
则摸到红球的概率为1-0.4=0.6
故答案为：0.6
【分析】（1）根据摸到白球的频率为：，代入相应值计算即可求出答案；
（2）根据表中的数据分析即可求出答案；
（3）先根据频率估计概率得到摸到白球的概率，再根据1-白球概率即可求出答案；
（4） 设红球的个数为x， 根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
15．（2023九上·临汾月考）在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球实验，将球摚匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 500 1000 1500 2000 2500 3000
摸到白球的频率 0.748 0.751 0.754 0.747 0.750 0.749
（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 ．（精确到）
（2）试估算口袋中白球有 个．
（3）现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同．一学生从两个口袋中各摸出一个球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率．
【答案】（1）
（2）3
（3）解：将第一个口袋中3个白球分别记为，画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中两个球颜色相同的情况有4种．
∴两个球颜色相同的的概率为
【知识点】列表法与树状图法；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）根据表格可得当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75；
（2）由题意可得（个）；
【分析】（1）根据表格信息即可求解；
（2）根据频率估计概率，利用摸到白球的频率口袋中球的总个数，从而求解；
（3）画出树状图得到共有8种等可能的结果，其中两个球颜色相同的情况有4种，利用概率公式代入数据进行计算即可求解.
四、综合题
16．（2023七下·平远期末）在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 59 96 116 290 480 601
摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 0.60 0.601
（1）表中的a= ；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？
【答案】（1）0.58
（2）0.6
（3）解：因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
所以白球的个数约为20×0.6=12个，黑球有20-12=8个．
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：(1).
故答案为：0.58.
(2)根据表格中的统计数据可知，摸到白球的频率在0.6附近浮动，
故摸到白球的概率的估计值是0.6.
故答案为：0.6.
【分析】(1)摸到白球的次数除以摸球的次数就是摸到白球的频率.
(2)通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
(3)摸到白球的概率估计值是0.6，通过概率与总球数的乘积求得白球的个数，进而得到黑球个数.
17．（2023七下·榆林期末）一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从一定高度抛掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如下表：
试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“帅”字面朝上的频数 18 38 47 52 66 77 88
“帅”字面朝上的频数 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 0.55 0.55
（1）求出上表中数据a和b的值；
（2）根据表格，请你估计将它从一定高度抛掷，落地反弹后“帅”字面朝上的概率是多少？（保留两位小数）
【答案】（1）解：；．
（2）估计落地反弹后“帅”字面朝上的概率是0.55．
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据频率=频数÷总数可求出a、b的值；
（2）随着实验次数的增加，“帅” 字面朝上的频率逐渐稳定在0.55附近，据此即可估计概率.
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