2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 1.1 建立二元一次方程组同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2022七下·尧都期末）金山银山不如绿水青山，某地准备购买一些松树苗和梭梭树苗绿化荒山，已知购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元，设每棵松树苗元，每棵梭梭树苗元，则列出的方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023七下·黄冈期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长水，长木还剩余1尺，问木长多少尺。设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步。问人与车各几何 ”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．如果方程组的解为那么被“★”“■”遮住的两个数分别为（ ）
A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3
5．若方程2x-1=3y+2的解为则b的值为（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
6．已知是关于x，y的方程2x+ay=6的一个解，则 a的值为 （ ）
A．3 B．2 C．2 D．3
7．如图，某个足球由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮可看作正五边形，白皮可以看作正六边形，黑、白皮的块数之比为3：5.设白皮有x块，黑皮有y 块，则根据题意，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
8．若方程■是二元一次方程，■是被污染的x的系数，则推断■的值 （ ）
A．不可能是2 B．不可能是1 C．不可能是0 D．不可能是-1
二、填空题
9．（2024八上·双流期末）已知是二元一次方程的一个解，则a的值为 ．
10．若方程是二元一次方程，则m= ，n= .
11．我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡.若公鸡有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为 .
12．（2023七上·安庆月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解为则关于x，y的方程组的解为 .
13．已知方程x+2y=9．
（1）写出满足该方程的一对整数解： .
（2）写出满足该方程的所有自然数解： .
三、解答题
14．（2023八上·南海期中）在一次知识竞赛中，学校为获得一等奖和二等奖共30名学生购买奖品，共花费528元，其中一等奖奖品每件20元，二等奖奖品每件16元，求获得一等奖和二等奖的学生分别有多少名.根据题意列方程组.
15．（2023七下·恩阳期中）如图，大长方形中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，求图中空白部分的面积．
四、综合题
16．（2022七下·安岳月考）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数” .将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n).例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F(123) =6.
（1）计算：F(315)，F(746)；
（2）若s、t都是“相异数”，其中s=100x+42，t=160+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数），当F(s)+F(t)=17时，求x、y的值.
17．（2023·合川九上期末）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）.例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6.
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：购买4棵松树苗和3棵梭梭树苗需要180元，
；
购买1棵梭梭树苗比1棵松树苗少花费10元，
．
所列方程组为．
故答案为：．
【分析】根据购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元，列方程组求解即可。
2．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可列出二元一次方程组如下，
故选：B.
【分析】根据题干 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺 ，列二元一次方程：y=x+4.5，根据题干 将绳子对折再量长水，长木还剩余1尺 ，列二元一次方程：，再将两个二元一次方程联立成二元一次方程组求解.
3．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，依题意有：
，
故答案为：D．【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，可得出两个等量关系式，由此可得出关于x，y的二元一次方程组，即可解答．
4．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把x=6代入2x+y=16，得y=4，
∴x+y=10.
故答案为：A.
【分析】把把x=6代入2x+y=16，得y=4，再把x、y的值代入x+y即可.
5．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把代入 方程2x-1=3y+2 可得：
b=-3.
故答案为：D.
【分析】通过观察、分析可知，把直接代入方程2x-1=3y+2可以直接求出b的值即可.
6．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的方程2x+ay=6的一个解，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据题意将代入方程得到即可求出a的值.
7．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设白皮有x块，黑皮有y 块，则根据题意，可列方程组 得：
故答案为：C.
【分析】根据黑皮和白皮共32块和黑、白皮的块数之比为3∶5分别列方程，组成方程组.
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：∵被污染的x的系数如果是1，那么移项合并同类项后，就没有了两个未知数，就不是二元一次方程了，
∴被污染的数不可能是1.
故答案为：B.
【分析】根据二元一次方程的定义判断即可.
9．【答案】2
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把 代入二元一次方程得：-2a+4×3=8，解得：a=2.
故答案为：2.
【分析】根据二元一次方程的解的意义可得-2a+4×3=8，解得：a=2.
10．【答案】；-1
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：∵方程x3m-1+5y-3n-2=4是二元一次方程，
∴3m-1=1，-3n-2=1，
解得：m=，n=-1.
故答案为：m=，n=-1.
【分析】由二元一次方程的定义可知：3m-1=1，-3n-2=1，进而求出m、n的值.
11．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设母鸡有x只，小鸡有y只，
根据题意得：.
故答案为：.
【分析】设母鸡有x只，小鸡有y只，根据题意列出方程组，即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵的解为
∴的解为，即：；
故答案为：
【分析】先根据方程组的解得到的解为，进而即可求解。
13．【答案】（1）
（2），，，，
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：（1）将原方程改写为：
当时，
∴满足该方程的一对整数解为：，
故答案为：.
（2）当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
∴综上所述，满足该方程的所有自然数解为
故答案为：，，，，.
【分析】（1）将原方程改写为：要使x和y均为整数，可取y为整数，则x一定为整数；
（2）根据自然数为非负整数，据此写出所有满足条件的x和y的值，即可求解.
14．【答案】解：设获得一等奖的学生有x名，二等奖的学生有y名，
根据题意得：.
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【分析】设获得一等奖的学生有x名，二等奖的学生有y名，根据题干"学校为获得一等奖和二等奖共30名学生购买奖品"，据此可列方程：再根据题干"一等奖奖品每件20元，二等奖奖品每件16元，学校共花费528元"，据此可列方程：联立两个方程即可求解.
15．【答案】解：设小长方形的长为，宽为，
根据图形得大长方形的边长为，宽为
根据题意得： ，
化简得，
解方程组：，
∴大长方形的长为，宽为，
∴大长方形的面积为：，
∴小长方形的面积为：，
∴阴影部分的面积为：，
∴空白部分的面积为：．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题目中图形的等量关系列出二元一次方程组即可解答
16．【答案】（1）解：根据题意可得315的三个数的和为：315+531+153=999
所以999÷111=9
故F(315)=9
746的三个三位数的和为：746+674+467=1887
所以1887÷111=17
故F(746)=17
（2）解： s、t都是相异数，s=100x+42， t=160+y
F(s)=（100x+42+420+x+204+10x）÷111=x+6
F(t)=(160+y+601+10y+100y+16) ÷111=y+7
F(s)+F(t)=17
x+y=4
1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数
或 或
s和t都是相异数
，
.
【知识点】二元一次方程的解；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据“相异数”的意义可得315的另两个数，求出这三个数的和，再用和除以111即可求得F(315)，同理可求得F(746)；
（2）根据“相异数”的意义可求解.
17．【答案】（1）解：F（243）=（423+342+234）÷111=9；
F（617）=（167+716+671）÷111=14.
（2）解：∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，
∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6.
∵F（t）+F（s）=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=18，
∴x+y=7.
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴或或或或或.
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3.
∵t是“相异数”，
∴y≠1，y≠5.
∴或或，
∴或或，
∴或或，
∴k的最大值为.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；二元一次方程的解；定义新运算
【解析】【分析】（1）直接根据定义的新运算进行计算；
（2）根据定义的新运算可得F(s)=x+5，F(t)=y+6，结合F(s)+F(t)=18可得x+y=7，根据x、y的范围结合x、y为正整数可得x、y的值，然后求出F(s)、F(t)，进而求出k的值，据此可得k的最大值.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 1.1 建立二元一次方程组同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2022七下·尧都期末）金山银山不如绿水青山，某地准备购买一些松树苗和梭梭树苗绿化荒山，已知购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元，设每棵松树苗元，每棵梭梭树苗元，则列出的方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：购买4棵松树苗和3棵梭梭树苗需要180元，
；
购买1棵梭梭树苗比1棵松树苗少花费10元，
．
所列方程组为．
故答案为：．
【分析】根据购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元，列方程组求解即可。
2．（2023七下·黄冈期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长水，长木还剩余1尺，问木长多少尺。设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可列出二元一次方程组如下，
故选：B.
【分析】根据题干 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺 ，列二元一次方程：y=x+4.5，根据题干 将绳子对折再量长水，长木还剩余1尺 ，列二元一次方程：，再将两个二元一次方程联立成二元一次方程组求解.
3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步。问人与车各几何 ”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，依题意有：
，
故答案为：D．【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，可得出两个等量关系式，由此可得出关于x，y的二元一次方程组，即可解答．
4．如果方程组的解为那么被“★”“■”遮住的两个数分别为（ ）
A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把x=6代入2x+y=16，得y=4，
∴x+y=10.
故答案为：A.
【分析】把把x=6代入2x+y=16，得y=4，再把x、y的值代入x+y即可.
5．若方程2x-1=3y+2的解为则b的值为（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把代入 方程2x-1=3y+2 可得：
b=-3.
故答案为：D.
【分析】通过观察、分析可知，把直接代入方程2x-1=3y+2可以直接求出b的值即可.
6．已知是关于x，y的方程2x+ay=6的一个解，则 a的值为 （ ）
A．3 B．2 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的方程2x+ay=6的一个解，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据题意将代入方程得到即可求出a的值.
7．如图，某个足球由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮可看作正五边形，白皮可以看作正六边形，黑、白皮的块数之比为3：5.设白皮有x块，黑皮有y 块，则根据题意，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设白皮有x块，黑皮有y 块，则根据题意，可列方程组 得：
故答案为：C.
【分析】根据黑皮和白皮共32块和黑、白皮的块数之比为3∶5分别列方程，组成方程组.
8．若方程■是二元一次方程，■是被污染的x的系数，则推断■的值 （ ）
A．不可能是2 B．不可能是1 C．不可能是0 D．不可能是-1
【答案】B
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：∵被污染的x的系数如果是1，那么移项合并同类项后，就没有了两个未知数，就不是二元一次方程了，
∴被污染的数不可能是1.
故答案为：B.
【分析】根据二元一次方程的定义判断即可.
二、填空题
9．（2024八上·双流期末）已知是二元一次方程的一个解，则a的值为 ．
【答案】2
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把 代入二元一次方程得：-2a+4×3=8，解得：a=2.
故答案为：2.
【分析】根据二元一次方程的解的意义可得-2a+4×3=8，解得：a=2.
10．若方程是二元一次方程，则m= ，n= .
【答案】；-1
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：∵方程x3m-1+5y-3n-2=4是二元一次方程，
∴3m-1=1，-3n-2=1，
解得：m=，n=-1.
故答案为：m=，n=-1.
【分析】由二元一次方程的定义可知：3m-1=1，-3n-2=1，进而求出m、n的值.
11．我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡.若公鸡有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为 .
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设母鸡有x只，小鸡有y只，
根据题意得：.
故答案为：.
【分析】设母鸡有x只，小鸡有y只，根据题意列出方程组，即可得出答案.
12．（2023七上·安庆月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解为则关于x，y的方程组的解为 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵的解为
∴的解为，即：；
故答案为：
【分析】先根据方程组的解得到的解为，进而即可求解。
13．已知方程x+2y=9．
（1）写出满足该方程的一对整数解： .
（2）写出满足该方程的所有自然数解： .
【答案】（1）
（2），，，，
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：（1）将原方程改写为：
当时，
∴满足该方程的一对整数解为：，
故答案为：.
（2）当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
∴综上所述，满足该方程的所有自然数解为
故答案为：，，，，.
【分析】（1）将原方程改写为：要使x和y均为整数，可取y为整数，则x一定为整数；
（2）根据自然数为非负整数，据此写出所有满足条件的x和y的值，即可求解.
三、解答题
14．（2023八上·南海期中）在一次知识竞赛中，学校为获得一等奖和二等奖共30名学生购买奖品，共花费528元，其中一等奖奖品每件20元，二等奖奖品每件16元，求获得一等奖和二等奖的学生分别有多少名.根据题意列方程组.
【答案】解：设获得一等奖的学生有x名，二等奖的学生有y名，
根据题意得：.
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【分析】设获得一等奖的学生有x名，二等奖的学生有y名，根据题干"学校为获得一等奖和二等奖共30名学生购买奖品"，据此可列方程：再根据题干"一等奖奖品每件20元，二等奖奖品每件16元，学校共花费528元"，据此可列方程：联立两个方程即可求解.
15．（2023七下·恩阳期中）如图，大长方形中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，求图中空白部分的面积．
【答案】解：设小长方形的长为，宽为，
根据图形得大长方形的边长为，宽为
根据题意得： ，
化简得，
解方程组：，
∴大长方形的长为，宽为，
∴大长方形的面积为：，
∴小长方形的面积为：，
∴阴影部分的面积为：，
∴空白部分的面积为：．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题目中图形的等量关系列出二元一次方程组即可解答
四、综合题
16．（2022七下·安岳月考）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数” .将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n).例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F(123) =6.
（1）计算：F(315)，F(746)；
（2）若s、t都是“相异数”，其中s=100x+42，t=160+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数），当F(s)+F(t)=17时，求x、y的值.
【答案】（1）解：根据题意可得315的三个数的和为：315+531+153=999
所以999÷111=9
故F(315)=9
746的三个三位数的和为：746+674+467=1887
所以1887÷111=17
故F(746)=17
（2）解： s、t都是相异数，s=100x+42， t=160+y
F(s)=（100x+42+420+x+204+10x）÷111=x+6
F(t)=(160+y+601+10y+100y+16) ÷111=y+7
F(s)+F(t)=17
x+y=4
1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数
或 或
s和t都是相异数
，
.
【知识点】二元一次方程的解；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据“相异数”的意义可得315的另两个数，求出这三个数的和，再用和除以111即可求得F(315)，同理可求得F(746)；
（2）根据“相异数”的意义可求解.
17．（2023·合川九上期末）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）.例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6.
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值.
【答案】（1）解：F（243）=（423+342+234）÷111=9；
F（617）=（167+716+671）÷111=14.
（2）解：∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，
∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6.
∵F（t）+F（s）=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=18，
∴x+y=7.
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴或或或或或.
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3.
∵t是“相异数”，
∴y≠1，y≠5.
∴或或，
∴或或，
∴或或，
∴k的最大值为.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；二元一次方程的解；定义新运算
【解析】【分析】（1）直接根据定义的新运算进行计算；
（2）根据定义的新运算可得F(s)=x+5，F(t)=y+6，结合F(s)+F(t)=18可得x+y=7，根据x、y的范围结合x、y为正整数可得x、y的值，然后求出F(s)、F(t)，进而求出k的值，据此可得k的最大值.
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