2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 1.3 二元一次方程组的应用同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024九下·深圳开学考） 在学习完“垃圾分类”的相关知识后，小明和小丽一起收集了一些废电池，小明说：“我比你多收集了7节废电池啊！”小丽说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”．如果他们说的都是真的，设小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·成都）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．某课外小组分组开展活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则不足5人.设课外小组的人数为x，分成的组数为y，则根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．为了增强学生的安全防范意识，某校举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分.小红一共得到 70分，则小红答对的题的个数为 （ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
5．如图，利用两块相同的长方体木块(阴影部分)测量一件长方体物品的高度，首先按左图方式放置，再按右图方式放置，测量的数据如图，则长方体物品的高度为（ ）
A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm
6．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形，恰好可以拼成一个大的长方形(如图1)；小红看见了，说：“我也来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个面积为4cm 的小正方形的空缺，则每个小长方形的面积为（ ）
A．135cm B．108cm C．68cm D．60cm
7．某九年一贯制学校共有学生3 000人，计划一年后初中在校生增加8%，小学在校生增加11%，这样全校在校生将增加10%，设这所学校现初中在校生有x人，小学在校生有y人，则根据题意，可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，直线a∥b，∠1的度数比∠2 的度数大 56°.若设∠1=x°，∠2=y°，则根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，则根据题意，可列方程组为 ，解得篮球的单价为 元，足球的单价为 元.
10．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个 ”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买七个苦果，十一文钱可以买九个甜果.问：苦、甜果各有几个 设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为 .
11． 根据如图所示的数 据求出桌子的高度为 cm.
12．甲、乙两人匀速骑车分别从相距60km的A，B两地同时出发，若两人相向而行，则两人在出发2h 后相遇；若两人同向而行，则甲在出发6 h 后追上乙，则甲的速度为 km/h.
13．在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积为 cm .
三、解答题
14．（2024八上·威宁期末）某中学为了在11月中旬举办体育文化节，学校委托后勤处张主任去购买奖品，张主任回校后向财务处的陈老师交账说：“我买了足球和篮球共20个，足球每个60元，篮球每个80元，去买之前我领了1500元，现在还余70元.”陈老师算了一下，说：“你肯定搞错了.”
（1）陈老师为什么说张主任肯定搞错了？试用方程的知识给予解释.
（2）张主任连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了几个（大于1小于4）单价为15元的水龙头，但是发票上的个数看不清了，请你帮他算一算，他买了几个水龙头？
15．（2024八上·揭阳期末）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人.已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多.
（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车；
（2）共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车.如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人。
四、综合题
16．（2023七下·海淀期末）某博物馆有A，B两种不同的文创纪念品，花费400元可以购买10件A纪念品和4件B纪念品，或者购买5件A纪念品和10件B纪念品．
（1）A，B两种纪念品的单价各多少元？
（2）如果想购买两种纪念品共20件，其中A纪念品不少于8件，最少花费多少元？请说明理由．
17．（2022七下·诸暨月考）某物流公司在运货时有A、B两种车型，如果用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运17吨货物；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运18吨货物.现需要运输货物32吨，计划同时租用A型车和B型车若干辆，一次运完，且每辆车都载满货物.
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物，一次可分别运输货物多少吨？
（2）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次.请帮物流公司设计租车方案，并选出最省钱的方案及最少租金.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，
由题意，得
故答案为：B.
【分析】设小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，由小明说：“我比你多收集了7节废电池啊！”列出方程x-y=7，由小丽说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”列出方程2(x-8)=y+8，然后联立两方程即可.
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：依题意，得： ，
故答案为：A.
【分析】由题意可得相等关系“甲的钱+乙的钱的一半=50；乙的钱+甲所有钱的=50”，根据相等关系即可列方程组.
3．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设课外小组的人数为x人，分成的组数为y组，则根据题意，可列方程组为：
故答案为：C.
【分析】根据两种分法人数固定不变，组数固定不变，列两个方程组成方程组即可.
4．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设小红答对的题的个数为x个，答错或不答的个数为y个，
∴
∴小红答对的题的个数为15个，
故答案为：B.
【分析】设小红答对的题的个数为x个，答错或不答的个数为y个，根据总共有20道题，得到一个数量关系为再根据"每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，且小红一共得到70分"，据此得到第二个数量关系为将两个方程联立得到二元一次方程组，解此方程组即可求解.
5．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方体木块得宽为x，长为y，长方体物品的高度为a，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】设长方体木块得宽为x，长为y，长方体物品的高度为a，根据图中数据列出方程组解方程组即可求解.
6．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意可得：
解得：
∴xy=10×6=60，
答：小长方形的面积是60cm2.
故答案为：D.
【分析】根据左图中大长方形对边相等可以得到一个方程；再根据面积为4cm2的小正方形的边长为2cm，右图中两个小长方形的宽减去2cm和一个小长方形的长相等列出一个方程，组成方程组解出即可.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设这所学校现初中在校生有x人，小学在校生有y人，则根据题意，可列方程组为 ：
故答案为：A.
【分析】根据这所学校现在初中在校生人数+小学在校生人数=3000和一年后初中在校生增加人数+一年后小学在校生增加人数=一年后全校在校生增加人数，分别列方程，组成方程组即可.
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设∠1=x°，∠2=y°， 根据题意，可列方程组 得：
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得：x+y=180，由∠1的度数比∠2的度数大56°可得：x=y+56，组成方程组即可.
9．【答案】；50；47
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解： 设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，则根据题意，可列方程组为 ：
解得
故答案为： 篮球的单价为50元，足球的单价为47元. .
【分析】先分别用字母表示篮球和足球的单价，然后根据题中的数量关系列出方程组，进而求解即可.
10．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为 ：
故答案为：.
【分析】由甜果和苦果数量共一千；买一千个甜果和苦果共花费999文钱，可以找到两个相等关系，设未知数列出方程组即可.
11．【答案】130
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设桌子的高度为xcm，站立的小猫高度为ycm，趴下的小猫高度为zcm，根据题意得：
①+②得：2x=260，
x=130.
∴桌子的高度是130cm.
故答案为130：.
【分析】先分别设桌子的高度，站立的小猫的高度和趴下的小猫的高度，然后根据图形中的数量关系分别列出方程，组成方程组，求出桌子的高度即可.
12．【答案】20
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，
依题意，得：，
解得：；
故答案为：20.
【分析】设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，根据题意列出二元一次方程组，求解即可.
13．【答案】44
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据题意，得：，
解得：；
故阴影部分的面积为：14×（6+2×2）-6×8×2=44（cm2）．
故答案为：44.
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形，可得出关于x，y的二元一次方程组，求解得出x，y的值；根据阴影部分的面积=大长方形的面积-6×小长方形的面积，即可求解.
14．【答案】（1）解：设足球买了个，篮球买了个.
依题意，得解得.
，均为正整数，
不符合题意，即张主任肯定搞错了.
（2）解：设张主任买了个足球，个水龙头，则买的篮球的个数为个.
依题意，得，
整理，得.
，都是整数，且，
可能为2或3.
当时，，解得，符合题意；
当时，，解得，不符合题意，
他买了2个水龙头.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设足球买了个，篮球买了个，根据“买了足球和篮球共20个，足球每个60元，篮球每个80元，去买之前我领了1500元，现在还余70元”列出方程组再求解即可；
（2）设张主任买了个足球，个水龙头，则买的篮球的个数为个，根据题意列出方程，再求解即可.
15．【答案】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，新工人每天可以安装y辆共享单车，由题意得：，
解得：，
故每名熟练工人每天可以安装10辆共享单车，新工人每天可以安装8辆共享单车；
（2）设熟练工人a人，新工人b人，
依题意得：25（10a+8b）＝3500，
整理得：5a+4b＝70，
∵a、b都为正整数，
∴或或，
故熟练工人2人、新工人15人或熟练工人6人、新工人10人或熟练工人10人、新工人5人．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，新工人每天可以安装y辆共享单车，根据“ 2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多”列出方程组并解之即可；
（2）设熟练工人a人，新工人b人，由“ 25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场 ”可得方程5a+4b＝70，求出其正整数解即可.
16．【答案】（1）解：设A，B两种纪念品的单价分别为x元、y元，根据题意得：
，
解得：，
答：A，B两种纪念品的单价分别为30元、25元．
（2）解：设购买A纪念品m件，则购买B纪念品为件，根据题意得：，
∵，即A纪念品的价格大于B纪念品的价格，且两种纪念品的总件数一定，
∴购买的A纪念品越少花费越少，
∴当购买纪念品8件，纪念品购买（件）时，花费最少，
则最少花费为（元），
答：最少花费为540元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程组即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出购买的A纪念品越少花费越少， 最后求解即可。
17．【答案】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运输货物x吨，1辆B型车载满货物一次可运输货物y吨，
依题意得： ，
解得：，
答：1辆A型车载满货物一次可运输货物3吨，1辆B型车载满货物一次可运输货物4吨；
（2）解：设需租用A型车m辆，B型车n辆，依题意得：3m＋4n＝32，
∴n＝8 m，
又∵m，n均为正整数，
∴m＝4，n＝5或m＝8，n＝2，
∴该物流公司共有2种租车方案，
方案1：租用4辆A型车，5辆B型车，所需租车费用为200×4＋240×5＝2000（元）；
方案2：租用8辆A型车，2辆B型车，所需租车费用为200×8＋240×2＝2080（元）.
∵2000＜2080，
∴当租用4辆A型车，5辆B型车时，租金最少，最少租金为2000元.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1） 设1辆A型车载满货物一次可运输货物x吨，1辆B型车载满货物一次可运输货物y吨， 根据3辆A型车一次运输的货物的数量+2辆B型车一次运输的货物的数量=17及2辆A型车一次运输的货物的数量+3辆B型车一次运输的货物的数量=18列出方程组，求解即可；
（2） 设需租用A型车m辆，B型车n辆 ，根据m辆A型车一次运输的货物的数量+n辆B型车一次运输的货物的数量=32建立出方程，再求出该方程的整数解可得物流公司的租车方案，进而再根据A、B两种型号车的收费标准分别计算出各自收取的费用，最后比较大小即可选出最省钱的方案及最少租金.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 1.3 二元一次方程组的应用同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024九下·深圳开学考） 在学习完“垃圾分类”的相关知识后，小明和小丽一起收集了一些废电池，小明说：“我比你多收集了7节废电池啊！”小丽说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”．如果他们说的都是真的，设小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，
由题意，得
故答案为：B.
【分析】设小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，由小明说：“我比你多收集了7节废电池啊！”列出方程x-y=7，由小丽说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”列出方程2(x-8)=y+8，然后联立两方程即可.
2．（2021·成都）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：依题意，得： ，
故答案为：A.
【分析】由题意可得相等关系“甲的钱+乙的钱的一半=50；乙的钱+甲所有钱的=50”，根据相等关系即可列方程组.
3．某课外小组分组开展活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则不足5人.设课外小组的人数为x，分成的组数为y，则根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设课外小组的人数为x人，分成的组数为y组，则根据题意，可列方程组为：
故答案为：C.
【分析】根据两种分法人数固定不变，组数固定不变，列两个方程组成方程组即可.
4．为了增强学生的安全防范意识，某校举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分.小红一共得到 70分，则小红答对的题的个数为 （ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设小红答对的题的个数为x个，答错或不答的个数为y个，
∴
∴小红答对的题的个数为15个，
故答案为：B.
【分析】设小红答对的题的个数为x个，答错或不答的个数为y个，根据总共有20道题，得到一个数量关系为再根据"每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，且小红一共得到70分"，据此得到第二个数量关系为将两个方程联立得到二元一次方程组，解此方程组即可求解.
5．如图，利用两块相同的长方体木块(阴影部分)测量一件长方体物品的高度，首先按左图方式放置，再按右图方式放置，测量的数据如图，则长方体物品的高度为（ ）
A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方体木块得宽为x，长为y，长方体物品的高度为a，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】设长方体木块得宽为x，长为y，长方体物品的高度为a，根据图中数据列出方程组解方程组即可求解.
6．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形，恰好可以拼成一个大的长方形(如图1)；小红看见了，说：“我也来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个面积为4cm 的小正方形的空缺，则每个小长方形的面积为（ ）
A．135cm B．108cm C．68cm D．60cm
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意可得：
解得：
∴xy=10×6=60，
答：小长方形的面积是60cm2.
故答案为：D.
【分析】根据左图中大长方形对边相等可以得到一个方程；再根据面积为4cm2的小正方形的边长为2cm，右图中两个小长方形的宽减去2cm和一个小长方形的长相等列出一个方程，组成方程组解出即可.
7．某九年一贯制学校共有学生3 000人，计划一年后初中在校生增加8%，小学在校生增加11%，这样全校在校生将增加10%，设这所学校现初中在校生有x人，小学在校生有y人，则根据题意，可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设这所学校现初中在校生有x人，小学在校生有y人，则根据题意，可列方程组为 ：
故答案为：A.
【分析】根据这所学校现在初中在校生人数+小学在校生人数=3000和一年后初中在校生增加人数+一年后小学在校生增加人数=一年后全校在校生增加人数，分别列方程，组成方程组即可.
8．如图，直线a∥b，∠1的度数比∠2 的度数大 56°.若设∠1=x°，∠2=y°，则根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设∠1=x°，∠2=y°， 根据题意，可列方程组 得：
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得：x+y=180，由∠1的度数比∠2的度数大56°可得：x=y+56，组成方程组即可.
二、填空题
9．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，则根据题意，可列方程组为 ，解得篮球的单价为 元，足球的单价为 元.
【答案】；50；47
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解： 设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，则根据题意，可列方程组为 ：
解得
故答案为： 篮球的单价为50元，足球的单价为47元. .
【分析】先分别用字母表示篮球和足球的单价，然后根据题中的数量关系列出方程组，进而求解即可.
10．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个 ”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买七个苦果，十一文钱可以买九个甜果.问：苦、甜果各有几个 设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为 ：
故答案为：.
【分析】由甜果和苦果数量共一千；买一千个甜果和苦果共花费999文钱，可以找到两个相等关系，设未知数列出方程组即可.
11． 根据如图所示的数 据求出桌子的高度为 cm.
【答案】130
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设桌子的高度为xcm，站立的小猫高度为ycm，趴下的小猫高度为zcm，根据题意得：
①+②得：2x=260，
x=130.
∴桌子的高度是130cm.
故答案为130：.
【分析】先分别设桌子的高度，站立的小猫的高度和趴下的小猫的高度，然后根据图形中的数量关系分别列出方程，组成方程组，求出桌子的高度即可.
12．甲、乙两人匀速骑车分别从相距60km的A，B两地同时出发，若两人相向而行，则两人在出发2h 后相遇；若两人同向而行，则甲在出发6 h 后追上乙，则甲的速度为 km/h.
【答案】20
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，
依题意，得：，
解得：；
故答案为：20.
【分析】设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，根据题意列出二元一次方程组，求解即可.
13．在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积为 cm .
【答案】44
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据题意，得：，
解得：；
故阴影部分的面积为：14×（6+2×2）-6×8×2=44（cm2）．
故答案为：44.
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形，可得出关于x，y的二元一次方程组，求解得出x，y的值；根据阴影部分的面积=大长方形的面积-6×小长方形的面积，即可求解.
三、解答题
14．（2024八上·威宁期末）某中学为了在11月中旬举办体育文化节，学校委托后勤处张主任去购买奖品，张主任回校后向财务处的陈老师交账说：“我买了足球和篮球共20个，足球每个60元，篮球每个80元，去买之前我领了1500元，现在还余70元.”陈老师算了一下，说：“你肯定搞错了.”
（1）陈老师为什么说张主任肯定搞错了？试用方程的知识给予解释.
（2）张主任连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了几个（大于1小于4）单价为15元的水龙头，但是发票上的个数看不清了，请你帮他算一算，他买了几个水龙头？
【答案】（1）解：设足球买了个，篮球买了个.
依题意，得解得.
，均为正整数，
不符合题意，即张主任肯定搞错了.
（2）解：设张主任买了个足球，个水龙头，则买的篮球的个数为个.
依题意，得，
整理，得.
，都是整数，且，
可能为2或3.
当时，，解得，符合题意；
当时，，解得，不符合题意，
他买了2个水龙头.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设足球买了个，篮球买了个，根据“买了足球和篮球共20个，足球每个60元，篮球每个80元，去买之前我领了1500元，现在还余70元”列出方程组再求解即可；
（2）设张主任买了个足球，个水龙头，则买的篮球的个数为个，根据题意列出方程，再求解即可.
15．（2024八上·揭阳期末）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人.已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多.
（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车；
（2）共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车.如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人。
【答案】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，新工人每天可以安装y辆共享单车，由题意得：，
解得：，
故每名熟练工人每天可以安装10辆共享单车，新工人每天可以安装8辆共享单车；
（2）设熟练工人a人，新工人b人，
依题意得：25（10a+8b）＝3500，
整理得：5a+4b＝70，
∵a、b都为正整数，
∴或或，
故熟练工人2人、新工人15人或熟练工人6人、新工人10人或熟练工人10人、新工人5人．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，新工人每天可以安装y辆共享单车，根据“ 2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多”列出方程组并解之即可；
（2）设熟练工人a人，新工人b人，由“ 25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场 ”可得方程5a+4b＝70，求出其正整数解即可.
四、综合题
16．（2023七下·海淀期末）某博物馆有A，B两种不同的文创纪念品，花费400元可以购买10件A纪念品和4件B纪念品，或者购买5件A纪念品和10件B纪念品．
（1）A，B两种纪念品的单价各多少元？
（2）如果想购买两种纪念品共20件，其中A纪念品不少于8件，最少花费多少元？请说明理由．
【答案】（1）解：设A，B两种纪念品的单价分别为x元、y元，根据题意得：
，
解得：，
答：A，B两种纪念品的单价分别为30元、25元．
（2）解：设购买A纪念品m件，则购买B纪念品为件，根据题意得：，
∵，即A纪念品的价格大于B纪念品的价格，且两种纪念品的总件数一定，
∴购买的A纪念品越少花费越少，
∴当购买纪念品8件，纪念品购买（件）时，花费最少，
则最少花费为（元），
答：最少花费为540元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程组即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出购买的A纪念品越少花费越少， 最后求解即可。
17．（2022七下·诸暨月考）某物流公司在运货时有A、B两种车型，如果用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运17吨货物；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运18吨货物.现需要运输货物32吨，计划同时租用A型车和B型车若干辆，一次运完，且每辆车都载满货物.
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物，一次可分别运输货物多少吨？
（2）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次.请帮物流公司设计租车方案，并选出最省钱的方案及最少租金.
【答案】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运输货物x吨，1辆B型车载满货物一次可运输货物y吨，
依题意得： ，
解得：，
答：1辆A型车载满货物一次可运输货物3吨，1辆B型车载满货物一次可运输货物4吨；
（2）解：设需租用A型车m辆，B型车n辆，依题意得：3m＋4n＝32，
∴n＝8 m，
又∵m，n均为正整数，
∴m＝4，n＝5或m＝8，n＝2，
∴该物流公司共有2种租车方案，
方案1：租用4辆A型车，5辆B型车，所需租车费用为200×4＋240×5＝2000（元）；
方案2：租用8辆A型车，2辆B型车，所需租车费用为200×8＋240×2＝2080（元）.
∵2000＜2080，
∴当租用4辆A型车，5辆B型车时，租金最少，最少租金为2000元.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1） 设1辆A型车载满货物一次可运输货物x吨，1辆B型车载满货物一次可运输货物y吨， 根据3辆A型车一次运输的货物的数量+2辆B型车一次运输的货物的数量=17及2辆A型车一次运输的货物的数量+3辆B型车一次运输的货物的数量=18列出方程组，求解即可；
（2） 设需租用A型车m辆，B型车n辆 ，根据m辆A型车一次运输的货物的数量+n辆B型车一次运输的货物的数量=32建立出方程，再求出该方程的整数解可得物流公司的租车方案，进而再根据A、B两种型号车的收费标准分别计算出各自收取的费用，最后比较大小即可选出最省钱的方案及最少租金.
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