2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.1.1 同底数幂的乘法同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024八上·博罗期末） 若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算进行求解即可.
2．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆."说明了大数之间的关系：1亿=1万×1万，1兆=1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1亿=1万×1万=
1兆=1万×1万×1亿=1亿×1亿 =
故答案为：C.
【分析】1万=104，1亿=104×104，1兆=108×108，根据同底数幂的乘法的法则先求出1亿，再求1兆即可.掌握am an=am+n是解题的关键.
3．（2023七下·常熟期末）计算a3 a2的结果是（ ）
A．2a5 B．a5 C．a6 D．a9
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，计算即可.
4．（2023七下·茶陵期末）若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂的乘法计算方法求解即可.
5．（2022·河南）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆.”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】∵1兆＝1万×1万×1亿，
∴1兆＝ ，
故答案为：C.
【分析】由于1万=104，1亿=108，然后根据同底数幂的乘法法则计算即可.
6．（2022七下·姜堰期中）代数式55+55+55+55+55化简的结果是（ ）
A．52 B．55 C．56 D．5+55
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：
=
=．
故答案为：C.
【分析】根据几个相同加数的和可以写成乘法形式得，然后根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加进行计算.
7．（2022七下·滨湖期中）已知10a=6，10b=2，10c=72，用含有a和b的代数式表示c为（ ）
A．c=a+b B．c=2a+b C．c=2a+2b D．c=2a+3b
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵10a=6，10b=2，10c=72，6×6×2=72，
∴10c=10a×10a×10b，
∴10c=102a+b，
∴c=2a+b.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法法则结合已知条件可得10c=102a+b，据此可得a、b、c的关系.
8．（2021八上·抚顺期末）已知，，则（ ）
A．2 B．3 C．9 D．18
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可。
二、填空题
9．若am=16．an=4，则am+n=
【答案】64
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解： am+n=am·an=16×4=64.
故答案为：64.
【分析】利用同底数幂相乘的法则的逆运算，可得到am+n=am·an，再代入求值即可.
10．（2023七上·上海市期中）计算： .（结果用幂的形式表示）
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】原式=
=
=
【分析】根据同底数幂的乘法法则运算即可求解.
11．（2023七下·嵊州期末）若，，，且，则此时值为 ．
【答案】21
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵a+b=c，
∴2a+b=2c，
∴2a·2b=2c，
∴3×7=m，
∴m=21.
故答案为：21.
【分析】根据a+b=c可得2a+b=2c，由同底数幂的乘法法则可得2a·2b=2c，然后代入进行计算.
12．（2023七下·成都期末）已知，，则 ．
【答案】16
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】mx+y=mx.my=2×8=16.
故第1空答案为：16.
【分析】直接根据同底数幂的乘法的逆运用，即可求得16。
13．（2023七下·沭阳期中）我们约定，如．那么 ．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算
【解析】【解答】解：133=513×53=516.
故答案为：516.
【分析】根据定义的新运算可得133=513×53，然后根据同底数幂的乘法法则进行计算.
三、解答题
14．世界上最大的金字塔—胡夫金字塔高达136.5m，底边长230.4m，用了约2.3×106块的大石块，每块质量约为2.5×103kg.请问：胡夫金字塔总质量约为多少千克？
【答案】解：2.3×106×2.5×103=5.75×109（kg）.
答：总质量约为5.75×109kg.
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】根据大理石的总质量=大理石块的总数×每块大理石的质量列出代数式，再根据同底数幂乘法法则即可求出胡夫金字塔总质量.
15．（2023八上·武汉月考）先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．
例如：，记为（即），则4叫做以3为底81的对数．可以记为．
（1）①计算以下各对数的值：
， ， ；
②、、之间的数量关系是 ；
（2）猜想一般性的结论： ▲ （结果用含a，M，N的式子表示）（且），并写出证明过程．
【答案】（1）2；4；6；
（2）.
证明：设，则，
故可得，
即.
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：（1）①∵4=22，64=26，16=24，
∴2， 4，6.
故答案为：2，4，6.
②∵2+4=6，
∴+=.
故答案为：+=.
【分析】（1）①根据材料中对数的定义求解；②根据①结果可得等式；
（2）设，则，分别求出MN及b1+b2的值，即可得出猜想.
四、综合题
16．（2023七下·沭阳期中）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果，求x的值；
（2）如果，求x的值．
【答案】（1）解：
∴，
；
（2）解：
则．
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则可得2x+1·2x=2x·2·2x=22x+1=25，则2x+1=5，求解可得x的值；
（2）根据同底数幂的乘法法则可得2x+1+2x=2x(2+1)=24，则2x=8=23，据此可得x的值.
17．（2022七下·渠县月考）先阅读下列材料，再解答后面的问题.
一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）.
如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）.
（1）计算以下各对数的值：log2 4= ，log2 16= ，log2 64= .
（2）观察（1）中的结果， 则log2 4、 log2 16、log2 64之间的关系是 .
（3）猜想：logaM+logaN= （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：am an=am+n以及对数的含义证明你的猜想.
【答案】（1）2；4；6
（2）log24+log216=log264
（3）解：logaM+logaN=loga（MN）.证明：设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N，故可得MN= ab1 ab2=ab1+b2，b1+b2=loga（MN），即logaM+logaN=loga（MN）.
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）log24=2；log216=4；log264=6，
故答案为：2；4；6.
（2）∵2+4=6，
∴log24+log216=log264.
【分析】（1）根据对数与指数的互化方法进行解答；
（2）由指数与对数的互化可得log24=2，log216=4，log264=6，据此解答；
（3）
设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N，
故可得MN= ab1 ab2=a2b1+2，b1+b2=loga(MN)，据此解答.
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一、选择题
1．（2024八上·博罗期末） 若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆."说明了大数之间的关系：1亿=1万×1万，1兆=1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·常熟期末）计算a3 a2的结果是（ ）
A．2a5 B．a5 C．a6 D．a9
4．（2023七下·茶陵期末）若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆.”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2022七下·姜堰期中）代数式55+55+55+55+55化简的结果是（ ）
A．52 B．55 C．56 D．5+55
7．（2022七下·滨湖期中）已知10a=6，10b=2，10c=72，用含有a和b的代数式表示c为（ ）
A．c=a+b B．c=2a+b C．c=2a+2b D．c=2a+3b
8．（2021八上·抚顺期末）已知，，则（ ）
A．2 B．3 C．9 D．18
二、填空题
9．若am=16．an=4，则am+n=
10．（2023七上·上海市期中）计算： .（结果用幂的形式表示）
11．（2023七下·嵊州期末）若，，，且，则此时值为 ．
12．（2023七下·成都期末）已知，，则 ．
13．（2023七下·沭阳期中）我们约定，如．那么 ．
三、解答题
14．世界上最大的金字塔—胡夫金字塔高达136.5m，底边长230.4m，用了约2.3×106块的大石块，每块质量约为2.5×103kg.请问：胡夫金字塔总质量约为多少千克？
15．（2023八上·武汉月考）先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．
例如：，记为（即），则4叫做以3为底81的对数．可以记为．
（1）①计算以下各对数的值：
， ， ；
②、、之间的数量关系是 ；
（2）猜想一般性的结论： ▲ （结果用含a，M，N的式子表示）（且），并写出证明过程．
四、综合题
16．（2023七下·沭阳期中）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果，求x的值；
（2）如果，求x的值．
17．（2022七下·渠县月考）先阅读下列材料，再解答后面的问题.
一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）.
如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）.
（1）计算以下各对数的值：log2 4= ，log2 16= ，log2 64= .
（2）观察（1）中的结果， 则log2 4、 log2 16、log2 64之间的关系是 .
（3）猜想：logaM+logaN= （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：am an=am+n以及对数的含义证明你的猜想.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算进行求解即可.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1亿=1万×1万=
1兆=1万×1万×1亿=1亿×1亿 =
故答案为：C.
【分析】1万=104，1亿=104×104，1兆=108×108，根据同底数幂的乘法的法则先求出1亿，再求1兆即可.掌握am an=am+n是解题的关键.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，计算即可.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂的乘法计算方法求解即可.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】∵1兆＝1万×1万×1亿，
∴1兆＝ ，
故答案为：C.
【分析】由于1万=104，1亿=108，然后根据同底数幂的乘法法则计算即可.
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：
=
=．
故答案为：C.
【分析】根据几个相同加数的和可以写成乘法形式得，然后根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加进行计算.
7．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵10a=6，10b=2，10c=72，6×6×2=72，
∴10c=10a×10a×10b，
∴10c=102a+b，
∴c=2a+b.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法法则结合已知条件可得10c=102a+b，据此可得a、b、c的关系.
8．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可。
9．【答案】64
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解： am+n=am·an=16×4=64.
故答案为：64.
【分析】利用同底数幂相乘的法则的逆运算，可得到am+n=am·an，再代入求值即可.
10．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】原式=
=
=
【分析】根据同底数幂的乘法法则运算即可求解.
11．【答案】21
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵a+b=c，
∴2a+b=2c，
∴2a·2b=2c，
∴3×7=m，
∴m=21.
故答案为：21.
【分析】根据a+b=c可得2a+b=2c，由同底数幂的乘法法则可得2a·2b=2c，然后代入进行计算.
12．【答案】16
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】mx+y=mx.my=2×8=16.
故第1空答案为：16.
【分析】直接根据同底数幂的乘法的逆运用，即可求得16。
13．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算
【解析】【解答】解：133=513×53=516.
故答案为：516.
【分析】根据定义的新运算可得133=513×53，然后根据同底数幂的乘法法则进行计算.
14．【答案】解：2.3×106×2.5×103=5.75×109（kg）.
答：总质量约为5.75×109kg.
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】根据大理石的总质量=大理石块的总数×每块大理石的质量列出代数式，再根据同底数幂乘法法则即可求出胡夫金字塔总质量.
15．【答案】（1）2；4；6；
（2）.
证明：设，则，
故可得，
即.
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：（1）①∵4=22，64=26，16=24，
∴2， 4，6.
故答案为：2，4，6.
②∵2+4=6，
∴+=.
故答案为：+=.
【分析】（1）①根据材料中对数的定义求解；②根据①结果可得等式；
（2）设，则，分别求出MN及b1+b2的值，即可得出猜想.
16．【答案】（1）解：
∴，
；
（2）解：
则．
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则可得2x+1·2x=2x·2·2x=22x+1=25，则2x+1=5，求解可得x的值；
（2）根据同底数幂的乘法法则可得2x+1+2x=2x(2+1)=24，则2x=8=23，据此可得x的值.
17．【答案】（1）2；4；6
（2）log24+log216=log264
（3）解：logaM+logaN=loga（MN）.证明：设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N，故可得MN= ab1 ab2=ab1+b2，b1+b2=loga（MN），即logaM+logaN=loga（MN）.
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）log24=2；log216=4；log264=6，
故答案为：2；4；6.
（2）∵2+4=6，
∴log24+log216=log264.
【分析】（1）根据对数与指数的互化方法进行解答；
（2）由指数与对数的互化可得log24=2，log216=4，log264=6，据此解答；
（3）
设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N，
故可得MN= ab1 ab2=a2b1+2，b1+b2=loga(MN)，据此解答.
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