2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.1.2 幂的乘方与积的乘方同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024八上·黔南期末）式子（﹣ab）4 a2化简后的结果是（ ）
A．a2b4 B．a6b4 C．a8b4 D．a16b4
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·东莞期末）化简：（﹣2a） a﹣（2a）2的结果是（ ）
A．0 B．2a2 C．﹣4a2 D．﹣6a2
4．（2023七下·宿州月考）已知，，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·凤山期末）计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2023八上·花垣月考） 在比较和的大小时，老师给出了如下的方法：
因为，，所以.
请你仿照上面的方法试比较和的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法比较
7．（2023八上·巴东月考）若x，y均为正整数，且，则x＋y的值为（ ）
A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5
8．（2023八上·江北开学考）若是二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．有下列运算：① .其中正确的是 （填序号）.
10．（2024八上·临洮月考）已知：xa＝4，xb＝2，则x2a﹣b＝ ．
11．填空：
（1） ( )2=-8a6．
（2）()200·(-3)200= ．
（3）[()2] 6×(23)2=
12．（2023七上·上海市期中）计算： ．
13．（2023·）已知2a=8b=64c(a≠0)，则= .
三、解答题
14．（2024八上·重庆市期末）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如．
（1）填空：当，时， ；
（2）若，，求的值．
15．（2023八上·潞州月考）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（m，n为正整数）．
请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
（1）已知，请把用“<”连接起来： ．
（2）若，求的值．
（3）计算：．
四、综合题
16．（2023七下·槐荫期中）阅读下列材料，并补充完整，然后解答问题
（1）试比较的大小，并完成填空
解：（ ）11，同理：（ ）11，（ ）11
因为：当底数大于1，指数大于1且相同时，底数越大，幂就越大．所以： ＜ ＜ ．
（2）请利用上述解题思路比较的大小．
17．（2023七下·淮安期中）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题：
（1）的值为 ；
（2）若，求的值；
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】（﹣ab）4 a2=a4b4a2=a6b4，
故答案为：B.
【分析】利用积的乘方和同底数幂的乘方计算方法求解即可.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：A、 a2、a3两项不是同类项无法合并，则本项不符合题意；
B、 本项符合题意；
C、 ，则本项不符合题意；
D、 则本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方运算法则逐项计算即可.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解： （﹣2a） a﹣（2a）2
=-2a2-4a2
=-6a2
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，合并同类项原则进行计算即可.
4．【答案】A
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解：，，，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】利用幂的乘方将a、b、c变形为，，，再比较底数大小即可。
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则，进行计算求解即可．
6．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：，
，
∵，，
∴，故A正确．
故答案为：A．
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的法则把比较的两个数转化为同指数的幂，通过比较底数的大小来解决问题。
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】因为 且，，
所以，，整理可得：，
所以，，
所以，，
所以，，
因为x，y均为正整数，满足条件的有，x=2，y=2，x=4，y=1，
所以x+y的值有，2+2=4，或4+1=5，
故选项A、B、D不符合题意，故选项C符合题意；
故答案为：C。
【分析】本题考查同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、积的乘方以及负指数幂等相关知识点。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(am)·（an）=a(m+n)；
同底数幂相除，底数不变，指数相减；(am)÷（an）=a(m-n)；
幂的乘方， 底数不变，指数相乘；(am)n=a(mn)；
积的乘方，等于每一个因式分别乘方；(ab)n=(an)(bn)。
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程组的解，
∴把分别代入方程①②得：，
∴ab =(-5)-1 =-.
故答案为：D.
【分析】把代入方程组分别求出a、b的值，再求ab 的值.
9．【答案】②
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：①（-x2）3=-x6，故原计算错误；①不符合题意；
②3xy-3yx=0，故原计算正确；②符合题意；
③3100×（-3）100=3200，故原计算错误；③不符合题意；
④m·m5·m7=m13，故原计算错误；④不符合题意；
⑤3a4+a4=4a4，故原计算错误；⑤不符合题意；
⑥（x4）2=x8，故原计算错误；⑥不符合题意；
故答案为：②.
【分析】根据积的乘方：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项的法则：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；同底数幂相乘的性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；对各小题进行计算，即可求解.
10．【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】xa＝4，xb＝2，
故答案为：8.
【分析】利用同底数幂的乘法法则的逆运算以及幂的乘方法则进行变形即可求解.
11．【答案】（1）(-2a2)3
（2）1
（3）1
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：（1） (-2a2)3=-8a6．
故答案为： (-2a2)3.
（2）原式=[×（-3）]200=1.
故答案为：1.
（3） [()2]6 ×(23)2=()12 ×26=（×2）18=1.
故答案为：1.
【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方进行解答即可；
（2）利用积的乘方变形再计算即可；
（3）先算幂的乘方，再利用积的乘方进行计算即可.
12．【答案】
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】原式=
=
=
【分析】利用积的乘方的逆运算即可求解.
13．【答案】
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解：由题意可知，2a=23b=26c，
∴a=3b=6c，即a=6c，b=2c．
∵a≠0，
∴==
故答案为：.
【分析】 将2a=8b=64c转化为同底数幂2a=23b=26c，可得a=3b=6c，将a、b都转化为含c的代数式，即a=6c，b=2c，代入所求比例式得a b ca+b+c=6c 2c c6c+2c+c=.
14．【答案】（1）3
（2）解：，，
，，
整理得：，，解得：，
．
【知识点】定义新运算；幂的乘方
【解析】【解答】解： 当，时，
，
故答案为：3.
【分析】（1）直接利用定义式计算；
（2）先利用定义式建立方程求出4n=9，4m=6，再利用同底数幂的乘除运算法则的逆运算、幂的乘方的逆运算求解即可。
15．【答案】（1）
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：
．
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：（1）∵，
且，
∴，
即 .
故答案为： .
【分析】（1）根据幂的乘方把a、b、c变形后，即可求解.
（2）利用幂的运算法则变形即可求解.
（3）利用幂的运算法则变形即可求解.
16．【答案】（1）243；256；125；；；
（2）解：∵，，，
且，
∴，
所以．
【知识点】有理数的乘方法则；幂的乘方
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，，
∴＜＜，
故答案为：243；256；125；；；；
【分析】（1）根据有理数的乘方结合题意即可求解；
（2）根据（1）中的思路即可直接求解。
17．【答案】（1）96
（2）解：∵，
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算；幂的乘方
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意得：
；
故答案为：96；
【分析】（1）直接根据新定义运算法则列出式子，然后按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可；
（2）直接根据新定义运算法则列出式子，然后根据幂的乘方运算法则及同底数幂的运算法则的逆用将式子变形，最后整体代入按含加减乘除混合运算的运算顺序，计算即可.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.1.2 幂的乘方与积的乘方同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024八上·黔南期末）式子（﹣ab）4 a2化简后的结果是（ ）
A．a2b4 B．a6b4 C．a8b4 D．a16b4
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】（﹣ab）4 a2=a4b4a2=a6b4，
故答案为：B.
【分析】利用积的乘方和同底数幂的乘方计算方法求解即可.
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：A、 a2、a3两项不是同类项无法合并，则本项不符合题意；
B、 本项符合题意；
C、 ，则本项不符合题意；
D、 则本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方运算法则逐项计算即可.
3．（2024八上·东莞期末）化简：（﹣2a） a﹣（2a）2的结果是（ ）
A．0 B．2a2 C．﹣4a2 D．﹣6a2
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解： （﹣2a） a﹣（2a）2
=-2a2-4a2
=-6a2
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，合并同类项原则进行计算即可.
4．（2023七下·宿州月考）已知，，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解：，，，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】利用幂的乘方将a、b、c变形为，，，再比较底数大小即可。
5．（2024八上·凤山期末）计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则，进行计算求解即可．
6．（2023八上·花垣月考） 在比较和的大小时，老师给出了如下的方法：
因为，，所以.
请你仿照上面的方法试比较和的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法比较
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：，
，
∵，，
∴，故A正确．
故答案为：A．
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的法则把比较的两个数转化为同指数的幂，通过比较底数的大小来解决问题。
7．（2023八上·巴东月考）若x，y均为正整数，且，则x＋y的值为（ ）
A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】因为 且，，
所以，，整理可得：，
所以，，
所以，，
所以，，
因为x，y均为正整数，满足条件的有，x=2，y=2，x=4，y=1，
所以x+y的值有，2+2=4，或4+1=5，
故选项A、B、D不符合题意，故选项C符合题意；
故答案为：C。
【分析】本题考查同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、积的乘方以及负指数幂等相关知识点。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(am)·（an）=a(m+n)；
同底数幂相除，底数不变，指数相减；(am)÷（an）=a(m-n)；
幂的乘方， 底数不变，指数相乘；(am)n=a(mn)；
积的乘方，等于每一个因式分别乘方；(ab)n=(an)(bn)。
8．（2023八上·江北开学考）若是二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程组的解，
∴把分别代入方程①②得：，
∴ab =(-5)-1 =-.
故答案为：D.
【分析】把代入方程组分别求出a、b的值，再求ab 的值.
二、填空题
9．有下列运算：① .其中正确的是 （填序号）.
【答案】②
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：①（-x2）3=-x6，故原计算错误；①不符合题意；
②3xy-3yx=0，故原计算正确；②符合题意；
③3100×（-3）100=3200，故原计算错误；③不符合题意；
④m·m5·m7=m13，故原计算错误；④不符合题意；
⑤3a4+a4=4a4，故原计算错误；⑤不符合题意；
⑥（x4）2=x8，故原计算错误；⑥不符合题意；
故答案为：②.
【分析】根据积的乘方：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项的法则：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；同底数幂相乘的性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；对各小题进行计算，即可求解.
10．（2024八上·临洮月考）已知：xa＝4，xb＝2，则x2a﹣b＝ ．
【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】xa＝4，xb＝2，
故答案为：8.
【分析】利用同底数幂的乘法法则的逆运算以及幂的乘方法则进行变形即可求解.
11．填空：
（1） ( )2=-8a6．
（2）()200·(-3)200= ．
（3）[()2] 6×(23)2=
【答案】（1）(-2a2)3
（2）1
（3）1
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：（1） (-2a2)3=-8a6．
故答案为： (-2a2)3.
（2）原式=[×（-3）]200=1.
故答案为：1.
（3） [()2]6 ×(23)2=()12 ×26=（×2）18=1.
故答案为：1.
【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方进行解答即可；
（2）利用积的乘方变形再计算即可；
（3）先算幂的乘方，再利用积的乘方进行计算即可.
12．（2023七上·上海市期中）计算： ．
【答案】
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】原式=
=
=
【分析】利用积的乘方的逆运算即可求解.
13．（2023·）已知2a=8b=64c(a≠0)，则= .
【答案】
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解：由题意可知，2a=23b=26c，
∴a=3b=6c，即a=6c，b=2c．
∵a≠0，
∴==
故答案为：.
【分析】 将2a=8b=64c转化为同底数幂2a=23b=26c，可得a=3b=6c，将a、b都转化为含c的代数式，即a=6c，b=2c，代入所求比例式得a b ca+b+c=6c 2c c6c+2c+c=.
三、解答题
14．（2024八上·重庆市期末）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如．
（1）填空：当，时， ；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）3
（2）解：，，
，，
整理得：，，解得：，
．
【知识点】定义新运算；幂的乘方
【解析】【解答】解： 当，时，
，
故答案为：3.
【分析】（1）直接利用定义式计算；
（2）先利用定义式建立方程求出4n=9，4m=6，再利用同底数幂的乘除运算法则的逆运算、幂的乘方的逆运算求解即可。
15．（2023八上·潞州月考）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（m，n为正整数）．
请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
（1）已知，请把用“<”连接起来： ．
（2）若，求的值．
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：
．
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：（1）∵，
且，
∴，
即 .
故答案为： .
【分析】（1）根据幂的乘方把a、b、c变形后，即可求解.
（2）利用幂的运算法则变形即可求解.
（3）利用幂的运算法则变形即可求解.
四、综合题
16．（2023七下·槐荫期中）阅读下列材料，并补充完整，然后解答问题
（1）试比较的大小，并完成填空
解：（ ）11，同理：（ ）11，（ ）11
因为：当底数大于1，指数大于1且相同时，底数越大，幂就越大．所以： ＜ ＜ ．
（2）请利用上述解题思路比较的大小．
【答案】（1）243；256；125；；；
（2）解：∵，，，
且，
∴，
所以．
【知识点】有理数的乘方法则；幂的乘方
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，，
∴＜＜，
故答案为：243；256；125；；；；
【分析】（1）根据有理数的乘方结合题意即可求解；
（2）根据（1）中的思路即可直接求解。
17．（2023七下·淮安期中）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题：
（1）的值为 ；
（2）若，求的值；
【答案】（1）96
（2）解：∵，
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算；幂的乘方
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意得：
；
故答案为：96；
【分析】（1）直接根据新定义运算法则列出式子，然后按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可；
（2）直接根据新定义运算法则列出式子，然后根据幂的乘方运算法则及同底数幂的运算法则的逆用将式子变形，最后整体代入按含加减乘除混合运算的运算顺序，计算即可.
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