2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.1.4 多项式的乘法同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八上·德惠月考）若中不含的一次项，则的值为（ ）
A．8 B． C．0 D．8或
2．（【全效期末导与练】浙教版数学七下专题3整式的乘除）李老师做了个长方形教具，若其中一边长为2a+b，另一边长为a-b，则该长方形的面积为（ ）
A．6a+b B． C． D．10a-b
3．（2024八上·松原期末）若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x－4，则长方体的体积为（ ）
A．3x3－4x2 B．6x2－8x C．6x3－8x2 D．6x3－8x
4．已知 的展开式中不含x2的项，则a 的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．已知xy2=-2，则-xy（x2y5-xy3-y）的值为（ ）
A．2 B．6 C．10 D．14
6．有下列各式：①(3a+b)(- 2b+a)=3a2-5ab+2b2；②(x+y)(x-y)=x2-y2；③(x+2)(3x+6)=3x2+6x+12；④(x-3)(x+2)=x2-x-6．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2023七上·东阳月考）图1是长为，宽为（）的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，且为定值，则，满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·思茅开学考）以下计算正确的是（ ）
A．（﹣2ab2）3＝8a3b6 B．3ab+2b＝5ab
C．（﹣x2） （﹣2x）3＝﹣8x5 D．2m（mn2﹣3m2）＝2m2n2﹣6m3
二、填空题
9．已知x2+mx+n=(x-3)(x+5)，则3m-n= .
10．（2024八上·九台期末）若，则的值为 ．
11．（2019八上·陵县月考）因式分解 ，甲看错了a的值，分解的结果是 ，乙看错了b的值，分解的结果为 ，那么 分解因式正确的结果为 ．
12．（多项式乘多项式+++++++++++++++）如果（x2+p）（x2+7）的展开式中不含有x2项，则p= ．
13．已知A是关于x的三次多项式，B是关于x的四次多项式，则下列结论：①A+B是七次式；②A-B是一次式；③AB是七次式；④A-B是四次式，其中正确的是 （填序号）.
三、解答题
14．甲、乙两人分别计算(3x+a)(4x+b).甲抄错了a的符号，得到的结果是(乙漏抄了第二个括号中x的系数，得到的结果是
（1）求a，b的值.
（2）请计算这道题的正确结果.
15．一块长方形硬纸片，长为宽为6a （m），在它的四个角上分别剪去一个边长为 的小正方形（如图），然后折成一个无盖的盒子，请你求出这个无盖盒子的外表面积.
四、综合题
16．（2023七下·定远期中）下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
（1）请根据规律，写出第4个等式： ；
（2）猜想： （其中为正整数，且）；
（3）利用（2）猜想的结论计算：．
17．（2023七上·安岳期末）如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面．请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图中，第一横行共 块瓷砖，第一竖列共有 块瓷砖；（均用含n的代数式表示）
（2）在铺设第n个图形时，共用多少块瓷砖？
（3）若黑瓷砖每块15元，白瓷砖每块12元，当白砖共有10横行时，共需花多少钱购买瓷砖？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
中不含的一次项，
，
，
故答案为：A．
【分析】将式子按照多项式乘多项式法则展开后，进行加减计算，令x的一次项系数为0，据此求解．
2．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵长方形教具，若其中一边长为2a+b，另一边长为a-b，
∴长方形的面积为：
故答案为：B.
【分析】根据长方形面积计算公式列出式子，进而根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可求出其面积.
3．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x－4，
∴长方体的体积为：2x·x·（3x－4）=6x3－8x2.
故答案为：C.
【分析】基本关系：长方体的体积=长×宽×高，用整式的乘法计算即可。
4．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（x+a）（x2-x）
=x3-x2+ax2-ax
=x3+（a-1）x2-ax
∵（x+a）（x2-x）的展开式中不含x2项，
∴a-1=0，
解得：a=1；
故答案为：C.
【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加”化简，再利用含x2项的系数为零，进而得出答案.
5．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵xy2=-2，
∴-xy（x2y5-xy3-y）
=-x3y6+x2y4+xy2
=-（xy2）3+（xy2）2+xy2
=-（-2）3+（-2）2+（-2）
=8+4-2
=10；
故答案为：C.
【分析】先根据单项式乘多项式的法则化简，然后运用积的乘方的逆运算整理结果，使其中含有xy2，再整体代入xy2=-2进行计算即可.
6．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：①（3a+b）（-2b+a）=-6ab+3a2-2b2+ab=3a2-5ab-2b2，①错误；
②（x+y）（x-y）=x2-y2，②正确；
③（x+2）（3x+6）=3x2+6x+6x+12=3x2+12x+12，③错误；
④（x-3）（x+2）=x2+2x-3x-6=x2 -x-6，④正确；
综上所述，其中正确的有2个；
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设，可得阴影的面积分别为，，
∴，
又∵的取值与无关，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】先设，可求出阴影部分的面积，再根据面积差为定值，即可求得与的关系.
8．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A： （﹣2ab2）3＝-8a3b6，错误，不符合题意；
B：3ab+2b＝b(3a+2)，错误，不符合题意；
C：（﹣x2） （﹣2x）3＝8x5，错误，不符合题意；
D：2m(mn2-3m2)=2m2n2-6m3，正确，符合题意.
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，单项式乘多项式即可求出答案.
9．【答案】21
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵
又x2+mx+n=(x-3)(x+5)
∴
∴
故答案为：21.
【分析】利用多项式乘以多项式的计算法则计算，最后根据多项式的系数和次数即可求解.
10．【答案】4
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：4．
【分析】利用多项式乘以多项式运算法则计算，将关于x的一次项合并，再与等式右边的结果比较即可得出的值．
11．【答案】(x-6)(x+2)
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】甲错了a的值， ，
，
乙看错了b的值， ，
．
分解因式正确的结果： ．
故答案为 ．
【分析】分别将甲乙两人的分解结果利用多项式乘法公式进行计算，然后取两人没看错的系数进行组合，重新分解因式.
12．【答案】﹣7
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：原式=x4+（7+p）x2+7p
∵（x2+p）（x2+7）的展开式中不含有x2项，
∴7+p=0，
∴p=﹣7；
故答案为﹣7．
【分析】先把（x2+p）（x2+7）的展开，再让x2项的系数为0即可得出p的值．
13．【答案】③④
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，那么A+B和A-B是四次多项式，AB是一个七次多项式.
综上，正确的 ③④ .
故答案为：③④ .
【分析】根据多项式乘多项式的法则和整式的加减法则分别求出A+B、A-B和AB最高次项，即可作答.
14．【答案】（1）解：
∵甲抄错了a的符号，得到的结果是
∴
∴
∴
∵乙漏抄了第二个括号中x的系数，
∴
∴
∴.
（2）解：原式=.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据甲的结果求出正确的b的值，根据乙的结果求出正确的a的值，即可求解；
（2）将正确的a和b的值代入原式计算即可.
15．【答案】解：纸片的面积是：（5a2+4b2）·6a4=30a6+24a4b2（m2）；
小正方形的面积是：（m2）；
则无盖盒子的表面积是：.
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式
【解析】【分析】根据纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积列出关系式，结合整式的混合运算即可求解.
16．【答案】（1）
（2）
（3）解：设（2）式中的，，，则有
即
∴，
∴．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】（1）
故答案为：
（2）若n为大于1的正整数，则＝
故答案为：；
（3）设（2）式中的，，，则有
∴，
∴．
【分析】（1）根据多项式乘多项式的乘法计算可得；
（2）利用（1）中已知等式得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差；
（3）将原式变形为，再利用所得规律计算可得．
17．【答案】（1）（n+3）；（n+2）
（2）解：铺设地面所用瓷砖的总块数为（n+3）（n+2）＝（n2+5n+6）块
（3）解：当白砖共有10横行时，白砖共有10×11＝110（块），
黑砖共有（10+3）×（10+2）-110＝46（块），
共需花费：46×15+110×12＝2010（元）．
答：当白砖共有10横行时，共需花2010元购买瓷砖．
【知识点】多项式乘多项式；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）∵第1个图中，第一横行有瓷砖4块，第一竖行有瓷砖3块，
第2个图中，第一横行有瓷砖5块，第一竖行有瓷砖4块，
第3个图中，第一横行有瓷砖6块，第一竖行有瓷砖5块，
…，
∴第n个图中，第一横行有瓷砖（n+3）块，第一竖行有瓷砖（n+2）块，
故答案为：（n+3），（n+2）；
【分析】（1）根据各图中第一横行、第一竖列瓷砖的数量，可得出第n个图中第一横行、第一竖列瓷砖的数量；
（2）利用铺设地面所用瓷砖的总块数＝第一横行瓷砖的数量×第一竖列瓷砖的数量，即可找出铺设地面所用瓷砖的总块数；
（3）通过观察发现白色瓷砖的行数与图形的序号一致，每行白色瓷砖的数量比行数多1，据此可算出当白砖共有10横行时，每行白色瓷砖的数量为11块，从而即可算出白色瓷砖的总数量，进而结合（2）可算出需要黑、白色瓷砖的数量，最后根据单价乘以数量=总价即可算出答案.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.1.4 多项式的乘法同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八上·德惠月考）若中不含的一次项，则的值为（ ）
A．8 B． C．0 D．8或
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
中不含的一次项，
，
，
故答案为：A．
【分析】将式子按照多项式乘多项式法则展开后，进行加减计算，令x的一次项系数为0，据此求解．
2．（【全效期末导与练】浙教版数学七下专题3整式的乘除）李老师做了个长方形教具，若其中一边长为2a+b，另一边长为a-b，则该长方形的面积为（ ）
A．6a+b B． C． D．10a-b
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵长方形教具，若其中一边长为2a+b，另一边长为a-b，
∴长方形的面积为：
故答案为：B.
【分析】根据长方形面积计算公式列出式子，进而根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可求出其面积.
3．（2024八上·松原期末）若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x－4，则长方体的体积为（ ）
A．3x3－4x2 B．6x2－8x C．6x3－8x2 D．6x3－8x
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x－4，
∴长方体的体积为：2x·x·（3x－4）=6x3－8x2.
故答案为：C.
【分析】基本关系：长方体的体积=长×宽×高，用整式的乘法计算即可。
4．已知 的展开式中不含x2的项，则a 的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（x+a）（x2-x）
=x3-x2+ax2-ax
=x3+（a-1）x2-ax
∵（x+a）（x2-x）的展开式中不含x2项，
∴a-1=0，
解得：a=1；
故答案为：C.
【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加”化简，再利用含x2项的系数为零，进而得出答案.
5．已知xy2=-2，则-xy（x2y5-xy3-y）的值为（ ）
A．2 B．6 C．10 D．14
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵xy2=-2，
∴-xy（x2y5-xy3-y）
=-x3y6+x2y4+xy2
=-（xy2）3+（xy2）2+xy2
=-（-2）3+（-2）2+（-2）
=8+4-2
=10；
故答案为：C.
【分析】先根据单项式乘多项式的法则化简，然后运用积的乘方的逆运算整理结果，使其中含有xy2，再整体代入xy2=-2进行计算即可.
6．有下列各式：①(3a+b)(- 2b+a)=3a2-5ab+2b2；②(x+y)(x-y)=x2-y2；③(x+2)(3x+6)=3x2+6x+12；④(x-3)(x+2)=x2-x-6．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：①（3a+b）（-2b+a）=-6ab+3a2-2b2+ab=3a2-5ab-2b2，①错误；
②（x+y）（x-y）=x2-y2，②正确；
③（x+2）（3x+6）=3x2+6x+6x+12=3x2+12x+12，③错误；
④（x-3）（x+2）=x2+2x-3x-6=x2 -x-6，④正确；
综上所述，其中正确的有2个；
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可得出答案.
7．（2023七上·东阳月考）图1是长为，宽为（）的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，且为定值，则，满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设，可得阴影的面积分别为，，
∴，
又∵的取值与无关，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】先设，可求出阴影部分的面积，再根据面积差为定值，即可求得与的关系.
8．（2023七下·思茅开学考）以下计算正确的是（ ）
A．（﹣2ab2）3＝8a3b6 B．3ab+2b＝5ab
C．（﹣x2） （﹣2x）3＝﹣8x5 D．2m（mn2﹣3m2）＝2m2n2﹣6m3
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A： （﹣2ab2）3＝-8a3b6，错误，不符合题意；
B：3ab+2b＝b(3a+2)，错误，不符合题意；
C：（﹣x2） （﹣2x）3＝8x5，错误，不符合题意；
D：2m(mn2-3m2)=2m2n2-6m3，正确，符合题意.
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，单项式乘多项式即可求出答案.
二、填空题
9．已知x2+mx+n=(x-3)(x+5)，则3m-n= .
【答案】21
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵
又x2+mx+n=(x-3)(x+5)
∴
∴
故答案为：21.
【分析】利用多项式乘以多项式的计算法则计算，最后根据多项式的系数和次数即可求解.
10．（2024八上·九台期末）若，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：4．
【分析】利用多项式乘以多项式运算法则计算，将关于x的一次项合并，再与等式右边的结果比较即可得出的值．
11．（2019八上·陵县月考）因式分解 ，甲看错了a的值，分解的结果是 ，乙看错了b的值，分解的结果为 ，那么 分解因式正确的结果为 ．
【答案】(x-6)(x+2)
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】甲错了a的值， ，
，
乙看错了b的值， ，
．
分解因式正确的结果： ．
故答案为 ．
【分析】分别将甲乙两人的分解结果利用多项式乘法公式进行计算，然后取两人没看错的系数进行组合，重新分解因式.
12．（多项式乘多项式+++++++++++++++）如果（x2+p）（x2+7）的展开式中不含有x2项，则p= ．
【答案】﹣7
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：原式=x4+（7+p）x2+7p
∵（x2+p）（x2+7）的展开式中不含有x2项，
∴7+p=0，
∴p=﹣7；
故答案为﹣7．
【分析】先把（x2+p）（x2+7）的展开，再让x2项的系数为0即可得出p的值．
13．已知A是关于x的三次多项式，B是关于x的四次多项式，则下列结论：①A+B是七次式；②A-B是一次式；③AB是七次式；④A-B是四次式，其中正确的是 （填序号）.
【答案】③④
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，那么A+B和A-B是四次多项式，AB是一个七次多项式.
综上，正确的 ③④ .
故答案为：③④ .
【分析】根据多项式乘多项式的法则和整式的加减法则分别求出A+B、A-B和AB最高次项，即可作答.
三、解答题
14．甲、乙两人分别计算(3x+a)(4x+b).甲抄错了a的符号，得到的结果是(乙漏抄了第二个括号中x的系数，得到的结果是
（1）求a，b的值.
（2）请计算这道题的正确结果.
【答案】（1）解：
∵甲抄错了a的符号，得到的结果是
∴
∴
∴
∵乙漏抄了第二个括号中x的系数，
∴
∴
∴.
（2）解：原式=.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据甲的结果求出正确的b的值，根据乙的结果求出正确的a的值，即可求解；
（2）将正确的a和b的值代入原式计算即可.
15．一块长方形硬纸片，长为宽为6a （m），在它的四个角上分别剪去一个边长为 的小正方形（如图），然后折成一个无盖的盒子，请你求出这个无盖盒子的外表面积.
【答案】解：纸片的面积是：（5a2+4b2）·6a4=30a6+24a4b2（m2）；
小正方形的面积是：（m2）；
则无盖盒子的表面积是：.
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式
【解析】【分析】根据纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积列出关系式，结合整式的混合运算即可求解.
四、综合题
16．（2023七下·定远期中）下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
（1）请根据规律，写出第4个等式： ；
（2）猜想： （其中为正整数，且）；
（3）利用（2）猜想的结论计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）解：设（2）式中的，，，则有
即
∴，
∴．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】（1）
故答案为：
（2）若n为大于1的正整数，则＝
故答案为：；
（3）设（2）式中的，，，则有
∴，
∴．
【分析】（1）根据多项式乘多项式的乘法计算可得；
（2）利用（1）中已知等式得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差；
（3）将原式变形为，再利用所得规律计算可得．
17．（2023七上·安岳期末）如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面．请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图中，第一横行共 块瓷砖，第一竖列共有 块瓷砖；（均用含n的代数式表示）
（2）在铺设第n个图形时，共用多少块瓷砖？
（3）若黑瓷砖每块15元，白瓷砖每块12元，当白砖共有10横行时，共需花多少钱购买瓷砖？
【答案】（1）（n+3）；（n+2）
（2）解：铺设地面所用瓷砖的总块数为（n+3）（n+2）＝（n2+5n+6）块
（3）解：当白砖共有10横行时，白砖共有10×11＝110（块），
黑砖共有（10+3）×（10+2）-110＝46（块），
共需花费：46×15+110×12＝2010（元）．
答：当白砖共有10横行时，共需花2010元购买瓷砖．
【知识点】多项式乘多项式；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）∵第1个图中，第一横行有瓷砖4块，第一竖行有瓷砖3块，
第2个图中，第一横行有瓷砖5块，第一竖行有瓷砖4块，
第3个图中，第一横行有瓷砖6块，第一竖行有瓷砖5块，
…，
∴第n个图中，第一横行有瓷砖（n+3）块，第一竖行有瓷砖（n+2）块，
故答案为：（n+3），（n+2）；
【分析】（1）根据各图中第一横行、第一竖列瓷砖的数量，可得出第n个图中第一横行、第一竖列瓷砖的数量；
（2）利用铺设地面所用瓷砖的总块数＝第一横行瓷砖的数量×第一竖列瓷砖的数量，即可找出铺设地面所用瓷砖的总块数；
（3）通过观察发现白色瓷砖的行数与图形的序号一致，每行白色瓷砖的数量比行数多1，据此可算出当白砖共有10横行时，每行白色瓷砖的数量为11块，从而即可算出白色瓷砖的总数量，进而结合（2）可算出需要黑、白色瓷砖的数量，最后根据单价乘以数量=总价即可算出答案.
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