2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.2.1 平方差公式同步分层训练提升题
一、选择题
1．化简(2+1)(22+1)(24 +1)(28+1)(216+1)的结果是（ ）
A．232-1 B．232+1 C．(216+1)2 D．(216-1)2
2．计算+1的结果是 （ ）
A．332+1 B．332-1 C．33 D．332
3．（2024八上·长春期末）如图，从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·临洮月考）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
5．（2023八上·朔州月考）数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材都安排了运用图形面积来加以验证．现有下图中甲、乙两种方案，能借助图形面积验证的正确性方案的是（ ）
甲 乙
A．只有甲能 B．只有乙能
C．甲、乙都不能 D．甲、乙都能
6．（2023八上·衡阳期中）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
7．计算（－4x－5y）（5y－4x）的结果是（ ）
A．16x2－25y2 B．25y2－16x2
C．－16x2－25y2 D．16x2+25y2
8．（2023八上·大化期中）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
二、填空题
9．（2020八上·通辽期末）计算： ．
10．（2023八上·花垣月考） 在一次数学活动中，小聪和小明发现了有些正整数能够写成两个正整数的平方之差，例如：，，然后他们就和数学老师一起把这样的正整数称为“华鑫之星数”.老师又给出了一些数：①31 ②41 ③16 ④54，请你将其中的“华鑫之星数”找出来 .
11．两个相同的小长方形按如图1所示的方式摆放，重叠部分是边长为b的正方形，阴影部分的面积为S.四个相同的小长方形按如图2所示的方式摆放，左上角形成的是边长为b的正方形阴影，此阴影部分的面积为 S ，另一阴影部分的面积为S ，则S，S ，S 之间的数量关系为
12．（2023八上·武汉月考）计算的结果是 ．
13．（2024八上·长春期中）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1）．然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是
三、解答题
14．（2024八上·德惠期末）阅读例题的解答过程，并解答（1）、（2）.
例：用简便方法计算195×205.
解：
①
②
.
（1）例题求解过程中，第②步变形依据是 ；
（2）用简便方法计算：.
15．（2023八上·德惠月考）从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是（ ）（请选择正确的一个）．
A． B． C．
（2）若，求的值；
四、综合题
16．（2023·张家界）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当，时， ， ；
（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当，时，令，，，…，，且，求T的值．
17．（2022·叶县期末）乘法公式的探究及应用．
（1），阴影部分的面积可表示为 ；用含字母，的式子表示
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 均用含字母，的代数式表示
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ；用式子表达
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①；
②．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=
，
故答案为：A.
【分析】观察式子可知后一个因式最高次都是前一个的2倍，可以由平方得到，因此在式子前面乘（2-1）与（2+1）凑成平方差的形式，利用平方差公式计算的结果刚好与后一个因式构成平方差，依次计算即可得到答案.
2．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=+1
故答案为：D.
【分析】利用平方差公式进行计算即可求解.
3．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：左图，涂色部分的面积为，拼成右图的长为，宽为，因此面积为，
因此有：，
故答案为：D．
【分析】根据平方差公式的几何背景求解。先用代数式分别表示出左图、右图的涂色部分的面积，利用面积相等得出结论．
4．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】由图1可的绿色部分的面积+灰色部分的面积=a2﹣b2 ，
由图1可的绿色部分的面积+灰色部分的面积=（a+b）（a﹣b） ，
能验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ，
故答案为：B.
【分析】利用绿色部分的面积+灰色部分的面积是一个定值，结合图形即可求解.
5．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】由甲图可得即 符合题意；
由乙图可得，即 符合题意；
故答案为：D.
【分析】甲中利用两个长方形的面积之和等于大正方形的面积减去小正方形的面积；乙中利用4个等腰梯形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列出算式化简从而求解.
6．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】根据题意结合平方差公式的背景即可得到。
7．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式：（a+b)（a－b)=a2－b2，即可得到结果。
【解答】（－4x－5y)（5y－4x)=16x2－25y2.
故选A.
【点评】使用平方差公式去括号的关键是要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方。
8．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：左边阴影图形的面积为：
右边阴影图形的面积为：
∴
故答案为：A.
【分析】根据题意分别用含a和b的式子表示阴影部分面积即可求解.
9．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】由平方差公式得：原式 .
【分析】利用平方差公式即可得.
10．【答案】①②③
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得有些正整数能够写成两个正整数的平方之差，这样的正整数称为“华鑫之星数”．
，
，
，
故均为“华鑫之星数”，54无法找到满足题意的正整数，不是“华鑫之星数”．
故答案为：①②③．
【分析】根据平方差公式求解即可。
11．【答案】S=S +S
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵图1中，阴影部分是边长为的正方形，
∴
图2中，两个阴影部分的面积之和等于边长为的正方形面积减去6个小长方形的面积，
∴
故答案为：S=S +S .
【分析】根据图1用含a、b的代数式表示出S，根据图2用含a、b的代数式表示出S1，S2，进而即可求解.
12．【答案】216
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： =(2-1)
=(22-1)=216-1+1=216.
故答案为：216.
【分析】将原式变形为(2-1) ，再利用平方差公式计算即可.
13．【答案】
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图1得，，
图2得，，
∴.
故答案为：.
【分析】分别表示出图1阴影部分的面积和图2阴影部分的面积，由二者相等可得等式.
14．【答案】（1）平方差公式
（2）解：.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）符合完全平方公式。
故答案为：完全平方公式.
【分析】（1）根据题意根据完全平方公式的运用，即可得出答案；
（2）根据题意先将9×11转化为100-1，101则可以转化为100+1，然后再依据完全平方公式进行计算即可。
15．【答案】（1）B
（2）解：，
∴，
∵，
，
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，∵图1和图2中的阴影部分面积相等，∴上述操作能验证的等式是，
故答案为：B．
【分析】（1）分别用代数式表示出图1和图2中阴影部分的面积，再根据图1和图2中的阴影部分面积相等进行判定即可；
（2）先利用平方差公式分解因式，结合x+3Y=4可得，再把所求的代数式变形为3（x-3y)+1，利用整体代入法求解即可．
16．【答案】（1）；
（2）解：猜想结论：
证明：
；
（3）解：
．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
，
∵，，
∴，，
故答案为：，，
【分析】（1）根据题意运用平方差公式即可得到，，进而代入数值即可求解；
（2）猜想结论：，进而根据题目例子，运用平方差公式即可求解；
（3）先根据题意得到，进而代入求值即可求解。
17．【答案】（1）
（2）；；
（3）
（4）解：原式，
，
；
原式，
，
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1阴影部分的面积为a2-b2；
故答案为：a2-b2.
（2）由图形可得长方形的长为a+b，宽为a-b，则面积为(a+b)(a-b)；
故答案为：a-b，a+b，(a+b)(a-b)；
（3）由(1)(2)可知图阴影部分面积与图拼成的长方形面积相等，所以有，，故答案为：；
【分析】（1）根据面积间的和差关系可得图1阴影部分的面积；
（2）由题意可得：图2长方形的长为a+b，宽为a-b，结合长方形的面积公式可得图2阴影部分的面积；
（3）根据图1、图2阴影部分面积相等可得等式；
（4）①原式可变形为20222-(2022-1)×(2022+1)，然后结合平方差公式进行计算；
②原式可变形为[(2m+n)+p]·[(2m+n)-p]，然后结合平方差公式进行计算.
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一、选择题
1．化简(2+1)(22+1)(24 +1)(28+1)(216+1)的结果是（ ）
A．232-1 B．232+1 C．(216+1)2 D．(216-1)2
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=
，
故答案为：A.
【分析】观察式子可知后一个因式最高次都是前一个的2倍，可以由平方得到，因此在式子前面乘（2-1）与（2+1）凑成平方差的形式，利用平方差公式计算的结果刚好与后一个因式构成平方差，依次计算即可得到答案.
2．计算+1的结果是 （ ）
A．332+1 B．332-1 C．33 D．332
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=+1
故答案为：D.
【分析】利用平方差公式进行计算即可求解.
3．（2024八上·长春期末）如图，从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：左图，涂色部分的面积为，拼成右图的长为，宽为，因此面积为，
因此有：，
故答案为：D．
【分析】根据平方差公式的几何背景求解。先用代数式分别表示出左图、右图的涂色部分的面积，利用面积相等得出结论．
4．（2024八上·临洮月考）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】由图1可的绿色部分的面积+灰色部分的面积=a2﹣b2 ，
由图1可的绿色部分的面积+灰色部分的面积=（a+b）（a﹣b） ，
能验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ，
故答案为：B.
【分析】利用绿色部分的面积+灰色部分的面积是一个定值，结合图形即可求解.
5．（2023八上·朔州月考）数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材都安排了运用图形面积来加以验证．现有下图中甲、乙两种方案，能借助图形面积验证的正确性方案的是（ ）
甲 乙
A．只有甲能 B．只有乙能
C．甲、乙都不能 D．甲、乙都能
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】由甲图可得即 符合题意；
由乙图可得，即 符合题意；
故答案为：D.
【分析】甲中利用两个长方形的面积之和等于大正方形的面积减去小正方形的面积；乙中利用4个等腰梯形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列出算式化简从而求解.
6．（2023八上·衡阳期中）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】根据题意结合平方差公式的背景即可得到。
7．计算（－4x－5y）（5y－4x）的结果是（ ）
A．16x2－25y2 B．25y2－16x2
C．－16x2－25y2 D．16x2+25y2
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式：（a+b)（a－b)=a2－b2，即可得到结果。
【解答】（－4x－5y)（5y－4x)=16x2－25y2.
故选A.
【点评】使用平方差公式去括号的关键是要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方。
8．（2023八上·大化期中）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：左边阴影图形的面积为：
右边阴影图形的面积为：
∴
故答案为：A.
【分析】根据题意分别用含a和b的式子表示阴影部分面积即可求解.
二、填空题
9．（2020八上·通辽期末）计算： ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】由平方差公式得：原式 .
【分析】利用平方差公式即可得.
10．（2023八上·花垣月考） 在一次数学活动中，小聪和小明发现了有些正整数能够写成两个正整数的平方之差，例如：，，然后他们就和数学老师一起把这样的正整数称为“华鑫之星数”.老师又给出了一些数：①31 ②41 ③16 ④54，请你将其中的“华鑫之星数”找出来 .
【答案】①②③
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得有些正整数能够写成两个正整数的平方之差，这样的正整数称为“华鑫之星数”．
，
，
，
故均为“华鑫之星数”，54无法找到满足题意的正整数，不是“华鑫之星数”．
故答案为：①②③．
【分析】根据平方差公式求解即可。
11．两个相同的小长方形按如图1所示的方式摆放，重叠部分是边长为b的正方形，阴影部分的面积为S.四个相同的小长方形按如图2所示的方式摆放，左上角形成的是边长为b的正方形阴影，此阴影部分的面积为 S ，另一阴影部分的面积为S ，则S，S ，S 之间的数量关系为
【答案】S=S +S
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵图1中，阴影部分是边长为的正方形，
∴
图2中，两个阴影部分的面积之和等于边长为的正方形面积减去6个小长方形的面积，
∴
故答案为：S=S +S .
【分析】根据图1用含a、b的代数式表示出S，根据图2用含a、b的代数式表示出S1，S2，进而即可求解.
12．（2023八上·武汉月考）计算的结果是 ．
【答案】216
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： =(2-1)
=(22-1)=216-1+1=216.
故答案为：216.
【分析】将原式变形为(2-1) ，再利用平方差公式计算即可.
13．（2024八上·长春期中）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1）．然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是
【答案】
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图1得，，
图2得，，
∴.
故答案为：.
【分析】分别表示出图1阴影部分的面积和图2阴影部分的面积，由二者相等可得等式.
三、解答题
14．（2024八上·德惠期末）阅读例题的解答过程，并解答（1）、（2）.
例：用简便方法计算195×205.
解：
①
②
.
（1）例题求解过程中，第②步变形依据是 ；
（2）用简便方法计算：.
【答案】（1）平方差公式
（2）解：.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）符合完全平方公式。
故答案为：完全平方公式.
【分析】（1）根据题意根据完全平方公式的运用，即可得出答案；
（2）根据题意先将9×11转化为100-1，101则可以转化为100+1，然后再依据完全平方公式进行计算即可。
15．（2023八上·德惠月考）从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是（ ）（请选择正确的一个）．
A． B． C．
（2）若，求的值；
【答案】（1）B
（2）解：，
∴，
∵，
，
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，∵图1和图2中的阴影部分面积相等，∴上述操作能验证的等式是，
故答案为：B．
【分析】（1）分别用代数式表示出图1和图2中阴影部分的面积，再根据图1和图2中的阴影部分面积相等进行判定即可；
（2）先利用平方差公式分解因式，结合x+3Y=4可得，再把所求的代数式变形为3（x-3y)+1，利用整体代入法求解即可．
四、综合题
16．（2023·张家界）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当，时， ， ；
（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当，时，令，，，…，，且，求T的值．
【答案】（1）；
（2）解：猜想结论：
证明：
；
（3）解：
．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
，
∵，，
∴，，
故答案为：，，
【分析】（1）根据题意运用平方差公式即可得到，，进而代入数值即可求解；
（2）猜想结论：，进而根据题目例子，运用平方差公式即可求解；
（3）先根据题意得到，进而代入求值即可求解。
17．（2022·叶县期末）乘法公式的探究及应用．
（1），阴影部分的面积可表示为 ；用含字母，的式子表示
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 均用含字母，的代数式表示
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ；用式子表达
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①；
②．
【答案】（1）
（2）；；
（3）
（4）解：原式，
，
；
原式，
，
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1阴影部分的面积为a2-b2；
故答案为：a2-b2.
（2）由图形可得长方形的长为a+b，宽为a-b，则面积为(a+b)(a-b)；
故答案为：a-b，a+b，(a+b)(a-b)；
（3）由(1)(2)可知图阴影部分面积与图拼成的长方形面积相等，所以有，，故答案为：；
【分析】（1）根据面积间的和差关系可得图1阴影部分的面积；
（2）由题意可得：图2长方形的长为a+b，宽为a-b，结合长方形的面积公式可得图2阴影部分的面积；
（3）根据图1、图2阴影部分面积相等可得等式；
（4）①原式可变形为20222-(2022-1)×(2022+1)，然后结合平方差公式进行计算；
②原式可变形为[(2m+n)+p]·[(2m+n)-p]，然后结合平方差公式进行计算.
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