2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.2.3 运用乘法公式进行计算同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024·清城模拟）下列计算正确的是（ ）
A．x4+x4＝2x8 B．x3 x2＝x6
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．（x2y）3＝x6y3
2．已知a+b=-5，ab=-4，则的值为（ ）
A．21 B．29 C．33 D．37
3．已知长方形的长为 a，宽为b，周长为16，两边的平方和为34，则它的面积是 （ ）
A．8 B．12 C．15 D．16
4．如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b=7，ab=11，那么阴影部分的面积为 （ ）
A．24 B．16 C．9 D．8
5．下列运算中，错误的运算有（ ）.
①(2x+y)2=4x2+y2
②(a-3b)2=a2-9b2
③(-x-y)2=x2-2xy+y2
④(x-)2=x2-2x+
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024八上·东莞期末）下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）
①x2﹣4x+8；②﹣x2﹣2x﹣1；③4m2+4m﹣1；④﹣m2+m；⑤4a4﹣a2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023·牡丹江）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·临洮月考）计算：（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）下列步骤出现错误的是（ ）
①（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）
②[（a﹣c）+b][（a﹣c）﹣b]
③（a﹣c）2﹣b2
④a2﹣2ac﹣c2﹣b2
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题
9．（2022七下·沈北新期中）已知 ．
10．（2024八上·白城期末）若是完全平方式，则 ．
11．（2020八上·重庆月考）已知 ，求 的值为 .
12．（2023八上·花垣月考） 数字“1”非常的神奇，它可以写成，也可以写成，还可以写成，请把数字“1”进行转换然后计算： .
13．已知(2a+2b-1)(2 a+2b+1)=63，则a+b的值为 ．
三、解答题
14．
（1）计算：
（2）已知a-b=10，b-c=5，利用(1)的结论，求：的值.
15．（2024八上·桦甸期末）探究活动：
（1）如图是边长分别为、的正方形，可以求出阴影部分的面积是 写成两数平方差的形式
（2）如图，若将图中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 写成多项式乘积的形式
（3）比较图、图阴影部分的面积，可以得到等式： ．
（4）计算：
计算．
四、综合题
16．（2023七下·泗阳期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 .
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式.
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 .
17．（2023八下·二道期末）阅读材料：
若x满足，求的值．
解：设，，则，
∴，
∴．
类比应用：
（1）若，求的值．
（2）若，则的值为 ．
（3）已知正方形的边长为a，点P和点R分别是边和上的点，且，，分别以和为边长作正方形和正方形．若图中阴影部分长方形的面积是4，则正方形和正方形的面积和为 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、则本项不符合题意，
B、则本项不符合题意，
C、则本项不符合题意，
D、则本项符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式和积的乘方计算法则逐项计算即可.
2．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b=-5，ab=-4，
∴a2-ab+b2=(a+b)2-3ab
=（-5）2-3×（-4）
=25+12
=27.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式将所求代数式变形得：a2-ab+b2=(a+b)2-3ab，然后整体代换计算即可求解.
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ∵长方形的长为a，宽为b，周长为16，两边的平方和为34，
∴a+b=8，a2+b2=34，
∴(a+b)2=64，即a2+b2+2ab=64，
∴ab=15
∴ 长方形的面积是15.
故答案为：C.
【分析】由长方形的周长计算公式可得a+b=8，结合a2+b2=34，根据2ab=(a+b)2-(a2+b2)可求出ab的值，即得结论.
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由图形可得阴影部分面积为
整理得：
变形得：
a+b=7，ab=11，
故答案为：D.
【分析】先结合图形表示出阴影部分的面积的式子，再对式子进行变形将已知条件代入计算即可求解.
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：①(2x+y)2=4x2+4xy+y2，故①计算错误；
②(a-3b)2=a2-6ab+9b2，故②计算错误；
③(-x-y)2=x2+2xy+y2，故③计算错误；
④(x-)2=x2-x+，故④计算错误，
综上错误的有4个.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式“(a±b)2=a2±2ab+b2”即可逐个判断得出答案.
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：①x2-4x+8， 故不能用完全平方公式分解；
②-x2-2x-1=-（x+1）2，故能用完全平方公式分解；
③4m2+4m-1，不能；
④，故能用完全平方公式分解；
⑤4a4-a2+
1
a
，不能；
则不能用完全平方公式分解的个数为3个，
故答案为：C.
【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，根据完全平方公式的结构特征判断.
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a2·a4=a6，故错误；
B、3a3-a3=a3，故错误；
C、(ab2)3=a3b6，故正确；
D、(a+b)2=a2+b2+2ab，故错误.
故答案为：C.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断B；幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方：先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断C；根据完全平方公式可判断D.
8．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】（a﹣c）2﹣=a2-2ab+c2，
由 ③（a﹣c）2﹣b2 到 ④a2﹣2ac﹣c2﹣b2时错误，
故答案为D.
【分析】进行逐一检查步骤的值完全平方公式计算位置出错，从而求解.
9．【答案】49
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
∴原式＝，
故答案为：49．
【分析】将代数式变形为，再将代入计算即可。
10．【答案】或7
【知识点】完全平方公式及运用；解一元一次方程
【解析】【解答】解：由于
故2(m-3)=±8，
解得m=-1或m=7.
故答案为：-1或7.
【分析】本题考查的是完全平方式，这里首末两项是x和4的平方，那么中间项为加上或减去×和4的乘积的2倍，故2(m-3）=士8，解得m的值即可得出答案。
11．【答案】47
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：47.
【分析】在已知的等式两边同时除以a可得a=3，将这个变形后的等式两边平方并移项得a2+=7，继续把这个等式两边平方整理即可求解.
12．【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式
故答案为：．
【分析】在原式中增加一个因数1，把它转化为， 再用平方差公式计算即可。
13．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ (2a+2b-1)(2 a+2b+1)=63 ，
∴（2a+2b）2-1=63，
∴（2a+2b）2=64，
∴2a+2b=，
∴ a+b=.
故答案为：.
【分析】把2a+2b看作一个整体，利用平方差公式计算，再开方即可.
14．【答案】（1）解：原式=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2
=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac.
（2）解：原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）
=[（a-b）2+（b-c）2+(a-c)2]
∵a-b=10，b-c=5，
∴a-c=15，
∴原式=（102+52+152）=×350=175.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”去括号，然后合并同类项即可求解；
（2）根据（1）的结论，可将所求代数式化为[（a-b）2+（b-c）2+(a-c)2]，将已知的两个等式相加求出a-c的值，然后整体代换计算即可求解.
15．【答案】（1）a2-b2
（2）
（3）知识应用：
（4）解：原式
；
原式
．
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）
（2）
（3）（等号左右顺序可互换）；
【分析】（1）结合题意运用大正方形的面积与小正方形的面积的差就是阴影部分的面积；
（2）利用矩形的面积公式结合题意即可求解；
（3）根据（1）（2）表示的阴影部分面积相等，进而即可求解；
（4）①运用平方差公式结合题意，进而即可求解；
②把化为，再结合题意即可求解．
16．【答案】（1）
（2）解：∵
，
∴
（3）104
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）解：∵大正方形的面积，
又∵大正方形的面积，
∴.
故答案为：；
（3）解：由（1）中得到的结论可得：，
又∵，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：104.
【分析】（1）根据面积间的和差关系可得：大正方形的面积为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，由图形可得大正方形的边长为(a+b+c)，结合正方形的面积公式可得其面积，然后根据两种情况表示出的面积相等进行解答；
（2）(a+b+c)2=[(a+b)+c]2，然后结合完全平方公式进行验证；
（3）由（1）中得到的结论(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可得：a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2bc+2ac)，然后代入进行计算.
17．【答案】（1）解：设，，则，，
∴
．
（2）
（3）12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（2）设 ， ，则 ， ，
∴ ，
∴
．
故答案为： ．
（3）由题意可知： ， ，
∴ ，
图中阴影部分的面积为 ，
则正方形 和正方形 的面积和为：
，
故答案为：12
【分析】（1）根据题意设，，进而得到，结合题意即可求解；
（2）设 ， ，则 ， ，进而即可求解；
（3）由题意可知： ， ，进而得到 ，再结合题意即可求出正方形和正方形的面积。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.2.3 运用乘法公式进行计算同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024·清城模拟）下列计算正确的是（ ）
A．x4+x4＝2x8 B．x3 x2＝x6
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．（x2y）3＝x6y3
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、则本项不符合题意，
B、则本项不符合题意，
C、则本项不符合题意，
D、则本项符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式和积的乘方计算法则逐项计算即可.
2．已知a+b=-5，ab=-4，则的值为（ ）
A．21 B．29 C．33 D．37
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b=-5，ab=-4，
∴a2-ab+b2=(a+b)2-3ab
=（-5）2-3×（-4）
=25+12
=27.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式将所求代数式变形得：a2-ab+b2=(a+b)2-3ab，然后整体代换计算即可求解.
3．已知长方形的长为 a，宽为b，周长为16，两边的平方和为34，则它的面积是 （ ）
A．8 B．12 C．15 D．16
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ∵长方形的长为a，宽为b，周长为16，两边的平方和为34，
∴a+b=8，a2+b2=34，
∴(a+b)2=64，即a2+b2+2ab=64，
∴ab=15
∴ 长方形的面积是15.
故答案为：C.
【分析】由长方形的周长计算公式可得a+b=8，结合a2+b2=34，根据2ab=(a+b)2-(a2+b2)可求出ab的值，即得结论.
4．如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b=7，ab=11，那么阴影部分的面积为 （ ）
A．24 B．16 C．9 D．8
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由图形可得阴影部分面积为
整理得：
变形得：
a+b=7，ab=11，
故答案为：D.
【分析】先结合图形表示出阴影部分的面积的式子，再对式子进行变形将已知条件代入计算即可求解.
5．下列运算中，错误的运算有（ ）.
①(2x+y)2=4x2+y2
②(a-3b)2=a2-9b2
③(-x-y)2=x2-2xy+y2
④(x-)2=x2-2x+
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：①(2x+y)2=4x2+4xy+y2，故①计算错误；
②(a-3b)2=a2-6ab+9b2，故②计算错误；
③(-x-y)2=x2+2xy+y2，故③计算错误；
④(x-)2=x2-x+，故④计算错误，
综上错误的有4个.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式“(a±b)2=a2±2ab+b2”即可逐个判断得出答案.
6．（2024八上·东莞期末）下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）
①x2﹣4x+8；②﹣x2﹣2x﹣1；③4m2+4m﹣1；④﹣m2+m；⑤4a4﹣a2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：①x2-4x+8， 故不能用完全平方公式分解；
②-x2-2x-1=-（x+1）2，故能用完全平方公式分解；
③4m2+4m-1，不能；
④，故能用完全平方公式分解；
⑤4a4-a2+
1
a
，不能；
则不能用完全平方公式分解的个数为3个，
故答案为：C.
【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，根据完全平方公式的结构特征判断.
7．（2023·牡丹江）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a2·a4=a6，故错误；
B、3a3-a3=a3，故错误；
C、(ab2)3=a3b6，故正确；
D、(a+b)2=a2+b2+2ab，故错误.
故答案为：C.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断B；幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方：先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断C；根据完全平方公式可判断D.
8．（2024八上·临洮月考）计算：（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）下列步骤出现错误的是（ ）
①（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）
②[（a﹣c）+b][（a﹣c）﹣b]
③（a﹣c）2﹣b2
④a2﹣2ac﹣c2﹣b2
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】（a﹣c）2﹣=a2-2ab+c2，
由 ③（a﹣c）2﹣b2 到 ④a2﹣2ac﹣c2﹣b2时错误，
故答案为D.
【分析】进行逐一检查步骤的值完全平方公式计算位置出错，从而求解.
二、填空题
9．（2022七下·沈北新期中）已知 ．
【答案】49
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
∴原式＝，
故答案为：49．
【分析】将代数式变形为，再将代入计算即可。
10．（2024八上·白城期末）若是完全平方式，则 ．
【答案】或7
【知识点】完全平方公式及运用；解一元一次方程
【解析】【解答】解：由于
故2(m-3)=±8，
解得m=-1或m=7.
故答案为：-1或7.
【分析】本题考查的是完全平方式，这里首末两项是x和4的平方，那么中间项为加上或减去×和4的乘积的2倍，故2(m-3）=士8，解得m的值即可得出答案。
11．（2020八上·重庆月考）已知 ，求 的值为 .
【答案】47
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：47.
【分析】在已知的等式两边同时除以a可得a=3，将这个变形后的等式两边平方并移项得a2+=7，继续把这个等式两边平方整理即可求解.
12．（2023八上·花垣月考） 数字“1”非常的神奇，它可以写成，也可以写成，还可以写成，请把数字“1”进行转换然后计算： .
【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式
故答案为：．
【分析】在原式中增加一个因数1，把它转化为， 再用平方差公式计算即可。
13．已知(2a+2b-1)(2 a+2b+1)=63，则a+b的值为 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ (2a+2b-1)(2 a+2b+1)=63 ，
∴（2a+2b）2-1=63，
∴（2a+2b）2=64，
∴2a+2b=，
∴ a+b=.
故答案为：.
【分析】把2a+2b看作一个整体，利用平方差公式计算，再开方即可.
三、解答题
14．
（1）计算：
（2）已知a-b=10，b-c=5，利用(1)的结论，求：的值.
【答案】（1）解：原式=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2
=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac.
（2）解：原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）
=[（a-b）2+（b-c）2+(a-c)2]
∵a-b=10，b-c=5，
∴a-c=15，
∴原式=（102+52+152）=×350=175.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”去括号，然后合并同类项即可求解；
（2）根据（1）的结论，可将所求代数式化为[（a-b）2+（b-c）2+(a-c)2]，将已知的两个等式相加求出a-c的值，然后整体代换计算即可求解.
15．（2024八上·桦甸期末）探究活动：
（1）如图是边长分别为、的正方形，可以求出阴影部分的面积是 写成两数平方差的形式
（2）如图，若将图中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 写成多项式乘积的形式
（3）比较图、图阴影部分的面积，可以得到等式： ．
（4）计算：
计算．
【答案】（1）a2-b2
（2）
（3）知识应用：
（4）解：原式
；
原式
．
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）
（2）
（3）（等号左右顺序可互换）；
【分析】（1）结合题意运用大正方形的面积与小正方形的面积的差就是阴影部分的面积；
（2）利用矩形的面积公式结合题意即可求解；
（3）根据（1）（2）表示的阴影部分面积相等，进而即可求解；
（4）①运用平方差公式结合题意，进而即可求解；
②把化为，再结合题意即可求解．
四、综合题
16．（2023七下·泗阳期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 .
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式.
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 .
【答案】（1）
（2）解：∵
，
∴
（3）104
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）解：∵大正方形的面积，
又∵大正方形的面积，
∴.
故答案为：；
（3）解：由（1）中得到的结论可得：，
又∵，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：104.
【分析】（1）根据面积间的和差关系可得：大正方形的面积为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，由图形可得大正方形的边长为(a+b+c)，结合正方形的面积公式可得其面积，然后根据两种情况表示出的面积相等进行解答；
（2）(a+b+c)2=[(a+b)+c]2，然后结合完全平方公式进行验证；
（3）由（1）中得到的结论(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可得：a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2bc+2ac)，然后代入进行计算.
17．（2023八下·二道期末）阅读材料：
若x满足，求的值．
解：设，，则，
∴，
∴．
类比应用：
（1）若，求的值．
（2）若，则的值为 ．
（3）已知正方形的边长为a，点P和点R分别是边和上的点，且，，分别以和为边长作正方形和正方形．若图中阴影部分长方形的面积是4，则正方形和正方形的面积和为 ．
【答案】（1）解：设，，则，，
∴
．
（2）
（3）12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（2）设 ， ，则 ， ，
∴ ，
∴
．
故答案为： ．
（3）由题意可知： ， ，
∴ ，
图中阴影部分的面积为 ，
则正方形 和正方形 的面积和为：
，
故答案为：12
【分析】（1）根据题意设，，进而得到，结合题意即可求解；
（2）设 ， ，则 ， ，进而即可求解；
（3）由题意可知： ， ，进而得到 ，再结合题意即可求出正方形和正方形的面积。
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