湘教版数学八年级下册 1.1 直角三角形的性质与判定（Ⅰ）同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024八上·遵义期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AC，若CD＝2，则BD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2024九下·榕江月考）如图所示，已知△OAB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（ ）
A．150° B．120° C．90° D．60°
3．（2024八上·从江月考）如图所示的是“人字形”钢架，其中斜梁AB=AC，顶角∠BAC=120°，跨度BC=10 m，AD为支柱(即底边BC的中线)，两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF等于（ ）
A．10 m B．5 m C．2.5 m D．9.5 m
4．（2020八上·全州期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD=13 cm，则AC的长是（ ）
A．13 cm B．6.5 cm C．30 cm D．6 cm
5．（2024八上·昆明期末）如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边沿所在的直线成30°角，如图所示，则三角板的直角边的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线AB∥CD，DE⊥BC于点E，若∠CDE=57°，则∠1的度数是（ ）
A．57° B．33° C．23° D．47°
7．（2024八上·怀化期末）在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'=30°，AB=A'B'=6，AC=A'C'=4，已知∠C=n°，则∠C'=（ ）
A．30° B．n°
C．n°或180°-n° D．30°或150°
8．（2023八上·朔州月考）在物理实验中，一位同学研究一个小木块在斜坡上滑下时的运动状态．如图，在中，，，小木块（斜坡上，且，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2020八上·长乐期中）如图，一棵树在离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为 米．
10．（2024八上·播州期末）如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点且，，则的长是 ．
11．（2022·嘉兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．
12．（2024八上·深圳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若CD＝1，则BD的长是 ．
13．（2024八上·双辽期末）如图，中，，将其折叠，使点落在边上的处，折痕为，则 .
三、解答题
14．（2024八上·镇赉县期末）如图，在中，，平分交于点D，是的垂直平分线，交于点E．
（1）求的度数．
（2）如果，，求的周长
15．（2024七上·铁西期末）一副三角板、，如图1放置，三角板的一边重合．
（1）请直接写出图1中， 度；
（2）如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，
①若旋转到时，请求出的度数；
②若旋转到时，请求出的度数．
四、综合题
16．（2022·百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝
（1）求证：△ABC≌△CDA ；
（2）求草坪造型的面积.
17．（2023八下·昭通期末）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上．
测量示意图
（1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段 的长度．
（2）第二小组测得米，则 ．
（3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗 如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】连接AD，如图所示：
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE垂直平分AC，CD=2，∠C=30°，
∴∠DAC=∠C=30°，AD=CD=2，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-30°=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2AD=2×2=4，
故答案为：B.
【分析】先利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出∠B=∠C=30°，再利用角的运算求出∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-30°=90°，最后利用含30°角的直角三角线的性质可得BD=2AD=2×2=4，从而得解.
2．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；图形的旋转；直角三角形的性质
【解析】【解答】△OAB是正三角形，OC⊥OB，
△OCD由△OAB绕点O按逆时针方向旋转而得，
旋转角为
故答案为：A.
【分析】先根据等边三角形以及垂直的定义求得再由旋转的性质得到代入数据计算即可求解.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】AB=AC，∠BAC=120°，AD是中线，
BC=10 m，
DE⊥AB，DF⊥AC，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可求得再结合DE⊥AB，DF⊥AC，利用直角三角形30°性质定理求得DE、DF的值，从而求解.
4．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D（已知）
∴AD=BD=13cm（线段垂直平分线的性质）
∴∠DAE=∠B=15°（等腰三角形的性质）
∴∠ADC=30°（外角性质）
∴
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，根据等边对等角得出∠DAE=∠B=15°，根据三角形外角性质得出∠ADC=30°，进而根据含0°直角三角形的边之间的关系得出 ，即可求出AC的长.
5．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过C作，CD=3cm，
在直角三角形ADC中，
因为，
所以AC=2CD=，
故答案为：B.
【分析】过另外一个顶点C作垂线CD，可得直角三角形，根据直角三角形中角所对的边等于斜边的一半，即可得出结论.
6．【答案】B
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
又∵∠CDE=57°，
∴∠DCE=90°-∠CDE=90°-57°=33°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DCE=33°，
故答案为：B．
【分析】首先根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠DCE=33°，然后根据两直线平行，内错角相等即可解答．
7．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作BC的垂线交BC 于点D，过点A' 作B' C' 的垂线交B' C ' 于点D' ，
当点D在线段BC上，点D' 在线段B' C '上时，如图所示：
∠B=∠B'=30°，AB=A'B'=6，
AD=A'D'=AB=3，
在和中，
AD=A'D'=3， AC=A'C'=4 ，∠ADC=∠A'D'C'=90°，
（HL）
∠C'= ∠C=n°；
当点D在线段BC上，点D' 在线段B' C'的延长线上时，如图所示：
同理可得：（HL）
∠ACD=n°，
∠A'C'B'=180°-n°.
综上可得： ∠C'= n°或 ∠C'= 180°-n°.
故答案为：C.
【分析】过点A作BC的垂线交BC 于点D，过点A' 作B' C' 的垂线交B' C ' 于点D' ，根据含30°的直角三角形的性质求得AD=A'D'=AB=3，分两种情况讨论，点D' 在线段B' C '上时，或点D' 在线段B' C'的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质即可求解.
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】在中，，，
∠A=90°-15°=75°，
，
=∠A=75°，
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的性质求得∠A=75°，再利用平行线的性质即可求解.
9．【答案】9
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，根据题意BC=3米，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴BC+AB=3+6=9（米）．
故答案为：9．
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可知：AB=2BC，再计算即可。
10．【答案】4
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：连接AE，如图，
∵AC边的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，
∴EA=EC，
∵∠C=15°，
∴∠EAC=∠ECA=15°，
∴∠AEB=∠EAC+∠ECA=30°，
∵∠B=90°，
在Rt△ABC中，
∵AB=2cm，AB=2cm，
∴AE=2AB=4cm，
∴EC=AE=4cm.
故答案为：4.
【分析】连接AE，由AC边的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E可知AE=CE，再根据等边对等角得∠EAC=∠ECA=15°，再根据三角形的外角的性质得∠AEB=∠EAC+∠ECA=30°，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，即可得出结论.
11．【答案】
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∠ABC=90°，∠A=60°，
∴∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，
又∵BC=3，DE=1，
∴AB=BC=，AD=DE=，
∴BD=AB-AD=-=.
故答案为：.
【分析】由平行线性质及∠ABC=90°，∠A=60°得∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，再由含30°角所对直角边等于斜边一半推得AB=BC=，AD=DE=，进而求出BD的长即可.
12．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E，
根据作图得知AD为∠CAB的角平分线，故DE=CD=1，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2.
故答案为：2.
【分析】 本题是考查了角平分线的尺规作图，通过角平分线的性质可以知道DE=CD，从而求出BD的值.
13．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠B=90°-50°=40°，
由折叠知：∠CA'D=∠A=50°，
∵∠CA'D=∠B+∠A'DB，
∴∠A'DB=∠CA'D-∠B=50°-40°=10°.
故答案为：10°.
【分析】由直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，由折叠知∠CA'D=∠A=50°，利用三角形外角的性质可得∠A'DB=∠CA'D-∠B，据此计算即可.
14．【答案】（1）解：设．则．
则得，，
即
（2）解：∵垂直平分．∴．
又∵的周长．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由 是的垂直平分线，可得AD=BD，利用等边对等角可得∠DBA=∠A，可设 ，由角平分线的定义可得 ，根据直角三角形两锐角互余可得 ，解之即可.
（2）由的周长，据此即可求解．
15．【答案】（1）15
（2）解：①由题知，，
，
，
，
；
②由题知：，
．
【知识点】角的运算；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（1），，
，
故答案为：15；
【分析】（1）根据直角三角形的性质算出、的度数，再由角的和差关系进行计算即可；
（2）①根据直角三角形的性质算出、的度数，再由角的和差关系进行计算即可；
②利用进行计算即可．
16．【答案】（1）解：在和中，
，
；
（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，
，
，
，
，
，
，
，
草坪造型的面积，
所以，草坪造型的面积为.
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）由题意用边边边可证△ABC≌△CDA；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AE=AB，则S△ABC=BC×AE，由全等三角形的面积相等可得S△ABC=S△CDA，于是草坪造型的面积=S△ABC+S△CDA可求解.
17．【答案】（1）
（2）30米
（3）解：可行，理由如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∴只要测得就能得到河宽，
故第三小组的方案可行．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）由题意知：∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°-∠ACB=45°，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
∴ 第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段BC的长，
故答案为：BC.
（2）由题意得∠DBC=70°， ，
∴∠A=∠DBC-∠ACB=70°-35°=35°，
∴∠A=∠ACB，
∴AB=BC=30米，
故答案为：30.
【分析】（1）由题意知∠ABC=90°，∠ACB=45°，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=45°，即得∠BAC=∠ACB，利用等角对等边即得AB=BC，继而得解；
（2）利用三角形外角的性质可得∠A=∠DBC-∠ACB=70°-35°=35°，即得∠A=∠ACB，利用等角对等边即得AB=BC，继而得解；
（3）根据ASA证明△ABO≌△DCO，可得AB=CD，据即可判断.
1 / 1湘教版数学八年级下册 1.1 直角三角形的性质与判定（Ⅰ）同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024八上·遵义期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AC，若CD＝2，则BD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】连接AD，如图所示：
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE垂直平分AC，CD=2，∠C=30°，
∴∠DAC=∠C=30°，AD=CD=2，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-30°=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2AD=2×2=4，
故答案为：B.
【分析】先利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出∠B=∠C=30°，再利用角的运算求出∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-30°=90°，最后利用含30°角的直角三角线的性质可得BD=2AD=2×2=4，从而得解.
2．（2024九下·榕江月考）如图所示，已知△OAB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（ ）
A．150° B．120° C．90° D．60°
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；图形的旋转；直角三角形的性质
【解析】【解答】△OAB是正三角形，OC⊥OB，
△OCD由△OAB绕点O按逆时针方向旋转而得，
旋转角为
故答案为：A.
【分析】先根据等边三角形以及垂直的定义求得再由旋转的性质得到代入数据计算即可求解.
3．（2024八上·从江月考）如图所示的是“人字形”钢架，其中斜梁AB=AC，顶角∠BAC=120°，跨度BC=10 m，AD为支柱(即底边BC的中线)，两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF等于（ ）
A．10 m B．5 m C．2.5 m D．9.5 m
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】AB=AC，∠BAC=120°，AD是中线，
BC=10 m，
DE⊥AB，DF⊥AC，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可求得再结合DE⊥AB，DF⊥AC，利用直角三角形30°性质定理求得DE、DF的值，从而求解.
4．（2020八上·全州期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD=13 cm，则AC的长是（ ）
A．13 cm B．6.5 cm C．30 cm D．6 cm
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D（已知）
∴AD=BD=13cm（线段垂直平分线的性质）
∴∠DAE=∠B=15°（等腰三角形的性质）
∴∠ADC=30°（外角性质）
∴
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，根据等边对等角得出∠DAE=∠B=15°，根据三角形外角性质得出∠ADC=30°，进而根据含0°直角三角形的边之间的关系得出 ，即可求出AC的长.
5．（2024八上·昆明期末）如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边沿所在的直线成30°角，如图所示，则三角板的直角边的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过C作，CD=3cm，
在直角三角形ADC中，
因为，
所以AC=2CD=，
故答案为：B.
【分析】过另外一个顶点C作垂线CD，可得直角三角形，根据直角三角形中角所对的边等于斜边的一半，即可得出结论.
6．如图，直线AB∥CD，DE⊥BC于点E，若∠CDE=57°，则∠1的度数是（ ）
A．57° B．33° C．23° D．47°
【答案】B
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
又∵∠CDE=57°，
∴∠DCE=90°-∠CDE=90°-57°=33°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DCE=33°，
故答案为：B．
【分析】首先根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠DCE=33°，然后根据两直线平行，内错角相等即可解答．
7．（2024八上·怀化期末）在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'=30°，AB=A'B'=6，AC=A'C'=4，已知∠C=n°，则∠C'=（ ）
A．30° B．n°
C．n°或180°-n° D．30°或150°
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作BC的垂线交BC 于点D，过点A' 作B' C' 的垂线交B' C ' 于点D' ，
当点D在线段BC上，点D' 在线段B' C '上时，如图所示：
∠B=∠B'=30°，AB=A'B'=6，
AD=A'D'=AB=3，
在和中，
AD=A'D'=3， AC=A'C'=4 ，∠ADC=∠A'D'C'=90°，
（HL）
∠C'= ∠C=n°；
当点D在线段BC上，点D' 在线段B' C'的延长线上时，如图所示：
同理可得：（HL）
∠ACD=n°，
∠A'C'B'=180°-n°.
综上可得： ∠C'= n°或 ∠C'= 180°-n°.
故答案为：C.
【分析】过点A作BC的垂线交BC 于点D，过点A' 作B' C' 的垂线交B' C ' 于点D' ，根据含30°的直角三角形的性质求得AD=A'D'=AB=3，分两种情况讨论，点D' 在线段B' C '上时，或点D' 在线段B' C'的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质即可求解.
8．（2023八上·朔州月考）在物理实验中，一位同学研究一个小木块在斜坡上滑下时的运动状态．如图，在中，，，小木块（斜坡上，且，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】在中，，，
∠A=90°-15°=75°，
，
=∠A=75°，
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的性质求得∠A=75°，再利用平行线的性质即可求解.
二、填空题
9．（2020八上·长乐期中）如图，一棵树在离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为 米．
【答案】9
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，根据题意BC=3米，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴BC+AB=3+6=9（米）．
故答案为：9．
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可知：AB=2BC，再计算即可。
10．（2024八上·播州期末）如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点且，，则的长是 ．
【答案】4
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：连接AE，如图，
∵AC边的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，
∴EA=EC，
∵∠C=15°，
∴∠EAC=∠ECA=15°，
∴∠AEB=∠EAC+∠ECA=30°，
∵∠B=90°，
在Rt△ABC中，
∵AB=2cm，AB=2cm，
∴AE=2AB=4cm，
∴EC=AE=4cm.
故答案为：4.
【分析】连接AE，由AC边的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E可知AE=CE，再根据等边对等角得∠EAC=∠ECA=15°，再根据三角形的外角的性质得∠AEB=∠EAC+∠ECA=30°，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，即可得出结论.
11．（2022·嘉兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∠ABC=90°，∠A=60°，
∴∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，
又∵BC=3，DE=1，
∴AB=BC=，AD=DE=，
∴BD=AB-AD=-=.
故答案为：.
【分析】由平行线性质及∠ABC=90°，∠A=60°得∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，再由含30°角所对直角边等于斜边一半推得AB=BC=，AD=DE=，进而求出BD的长即可.
12．（2024八上·深圳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若CD＝1，则BD的长是 ．
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E，
根据作图得知AD为∠CAB的角平分线，故DE=CD=1，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2.
故答案为：2.
【分析】 本题是考查了角平分线的尺规作图，通过角平分线的性质可以知道DE=CD，从而求出BD的值.
13．（2024八上·双辽期末）如图，中，，将其折叠，使点落在边上的处，折痕为，则 .
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠B=90°-50°=40°，
由折叠知：∠CA'D=∠A=50°，
∵∠CA'D=∠B+∠A'DB，
∴∠A'DB=∠CA'D-∠B=50°-40°=10°.
故答案为：10°.
【分析】由直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，由折叠知∠CA'D=∠A=50°，利用三角形外角的性质可得∠A'DB=∠CA'D-∠B，据此计算即可.
三、解答题
14．（2024八上·镇赉县期末）如图，在中，，平分交于点D，是的垂直平分线，交于点E．
（1）求的度数．
（2）如果，，求的周长
【答案】（1）解：设．则．
则得，，
即
（2）解：∵垂直平分．∴．
又∵的周长．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由 是的垂直平分线，可得AD=BD，利用等边对等角可得∠DBA=∠A，可设 ，由角平分线的定义可得 ，根据直角三角形两锐角互余可得 ，解之即可.
（2）由的周长，据此即可求解．
15．（2024七上·铁西期末）一副三角板、，如图1放置，三角板的一边重合．
（1）请直接写出图1中， 度；
（2）如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，
①若旋转到时，请求出的度数；
②若旋转到时，请求出的度数．
【答案】（1）15
（2）解：①由题知，，
，
，
，
；
②由题知：，
．
【知识点】角的运算；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（1），，
，
故答案为：15；
【分析】（1）根据直角三角形的性质算出、的度数，再由角的和差关系进行计算即可；
（2）①根据直角三角形的性质算出、的度数，再由角的和差关系进行计算即可；
②利用进行计算即可．
四、综合题
16．（2022·百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝
（1）求证：△ABC≌△CDA ；
（2）求草坪造型的面积.
【答案】（1）解：在和中，
，
；
（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，
，
，
，
，
，
，
，
草坪造型的面积，
所以，草坪造型的面积为.
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）由题意用边边边可证△ABC≌△CDA；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AE=AB，则S△ABC=BC×AE，由全等三角形的面积相等可得S△ABC=S△CDA，于是草坪造型的面积=S△ABC+S△CDA可求解.
17．（2023八下·昭通期末）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上．
测量示意图
（1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段 的长度．
（2）第二小组测得米，则 ．
（3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗 如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
【答案】（1）
（2）30米
（3）解：可行，理由如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∴只要测得就能得到河宽，
故第三小组的方案可行．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）由题意知：∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°-∠ACB=45°，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
∴ 第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段BC的长，
故答案为：BC.
（2）由题意得∠DBC=70°， ，
∴∠A=∠DBC-∠ACB=70°-35°=35°，
∴∠A=∠ACB，
∴AB=BC=30米，
故答案为：30.
【分析】（1）由题意知∠ABC=90°，∠ACB=45°，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=45°，即得∠BAC=∠ACB，利用等角对等边即得AB=BC，继而得解；
（2）利用三角形外角的性质可得∠A=∠DBC-∠ACB=70°-35°=35°，即得∠A=∠ACB，利用等角对等边即得AB=BC，继而得解；
（3）根据ASA证明△ABO≌△DCO，可得AB=CD，据即可判断.
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