2023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 1.2 直角三角形的性质与判定（Ⅱ）同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024九下·阎良开学考）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，若，则线段的长为（ ）
A．6 B． C．． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中∠ACB=90°，
∴AB=，
∵△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，
∴BC=DE=1，AD=AB=，∠BAD=90°，
∴在Rt△ABD中，
BD.
故答案为：B.
【分析】由旋转的性质可得BC=DE，AD=AB，∠BAD=90°，在Rt△ABC中，用勾股定理求出AB的值，在Rt△ABD中，用勾股定理即可求出BD的值.
2．（2024九下·从江开学考）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为（ ）
A．2 B． C．3 D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】连接BD，如图，
△ADE由△ABC绕点A逆时针旋转而成，
AE=AC=4，DE=3，
BE=1，
故答案为：B.
【分析】连接BD，根据旋转的性质得到AE=4，DE=3，利用勾股定理即可求解.
3．（2024八上·深圳期末）以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．，3，5 C．1，2，3 D．2，3，4
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：正确.
B：，错误.
C：
D：
故答案为A.
【分析】用勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形.
4．（2024八上·南山期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意，，
在中，由勾股定理得；，
∵，
在中，由勾股定理得；（），
故答案为：D.
【分析】在中，由勾股定理得；，在中，由勾股定理得；，计算求解即可．
5．（2024九上·伊通期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵在中，，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，
∴，
∴，
在中，
．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理可求，根据旋转可求，再用勾股定理求值即可．
6．（2024八上·靖边期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （ ）
A．海里/时 B．20海里/时 C．海里/时 D．海里/时
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设它们离开港口2时后，甲轮船行驶到点B，乙轮船行驶到点A，
由题意可得，，(海里)，(海里)，
由勾股定理可得，OA(海里)，
∴乙轮船的平均速度为2(海里/时)．
故答案为：D．
【分析】先根据题意分析出，的长，再根据勾股定理求得的长，最后用路程时间求得乙轮船的平均速度即可.
7．（2023八上·长春期中）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A、B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，AB两点之间水平距离是4，则AP+PB最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时AP+PB最小；
则PA=PA'，
∴AP+PB=PA'+PA=A'B，
过点B作BC⊥AA'于点C，
则OA'=OA=2，OC=1，BC=4，
∴A'C=OA'+OC=2+1=3，
∴
∴AP+PB最小值=5．
故答案为：C．
【分析】作A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时AP+PB最小，AP+PB的最小值=A'B，再利用勾股定理求解．
8．（2022八上·德惠期末）下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．中，
B．中，，
C．中，
D．中，三边之比为
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、中，，设，
则：，解得：，
∴，
∴不是直角三角形，符合题意；
B、中，，则：，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
C、中，，则：，∴是直角三角形，不符合题意；
D、中，三边之比为，
设三角形的三边长分别为：，
∵，
∴是直角三角形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
二、填空题
9．（2024八上·嘉兴期末）一艘轮船8：00从A港出发向西航行，10：00折向北航行，平均航速均为20千米/时，则11：30时该轮船离A港的距离为 ．
【答案】50千米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：航线示意图如图：
8到10点由A向西航行到B，路程为2×20=40（千米）；
10点到11点30分由B向北航行到C，路程为1.5×20=30（千米）；
∵△ABC是直角三角形.
∴11点30分到A港距离：（千米）
故答案为：50千米.
【分析】根据题意画出航线示意图，得到直角三角形，利用速度×时间得到AB和BC段路程，利用勾股定理求出斜边即可.
10．（2024八上·黄石港期末）如图，在中，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在AB上取点F'，使AF'=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H；如图：
在Rt△ABC中，，
∴；
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAF＝∠EAF'，
在△AEF和△AEF'中，
，
∴△AEF≌△AEF'（SAS），
∴EF=EF'，
∴EF+CE=EF'+EC．
∴当C、E、F'共线，且点F'与H重合时，FE+EC的值最小，
最小值为；
故答案为：.
【分析】根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出AB的值，根据三角形的面积公式求出CH的值，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得EF=EF'，根据两点之间线段最短及点到直线距离垂线段最短即可求解.
11．（2024八上·上城期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点．
（1）若△DEF的周长是8，则△ABC的周长是 ；
（2）若AE：EC＝3：2，则AF：EF＝ ．
【答案】（1）16
（2）2：1
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）解：∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF.
∵BE⊥AC，点D为AB的中点，
∴Rt△BCE中，BC= 2EF，Rt△ABE中，AB=2DE.
∵AF⊥BC，点D是AB的中点.
∴Rt△ABF中，AB=2DF，
∵AB=AC，
∴2EF+2DE+2DF=BC+AB+AB=BC+AB+AC.
即△ABC的周长是△DEF的周长的2倍，
∵△DEF的周长是8，
∴△ABC的周长是16.
故答案为：16；
( 2) ∵AE：EC=3：2，设AE=3x，EC=2x，
∴AC=AB=5x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE=4x，
∴在Rt△BCE中，
∵CE =2x，BE=4x，
∴.
∴.
∴在Rt△ABF中，
∴
故答案为：2：1.
【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半，得AB=2DF=2DE，BC=2EF，于是可根据△DEF的周长得△ABC的周长；
（2）根据AE： EC=3： 2可设AE=3x，EC=2x，从而可利用勾股定理分别表示出AF和EF的长，问题可解决.
12．（2024八上·拱墅期末）如图，已知在Rt△ABC中，，，，点D，E分别在边上，连接，，将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点，处，且边与在同一条直线上，连接，当△ADC’是以为腰的等腰三角形时，则BD= ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：①当设则
∵
∴
∵
∴
∴
②
∵
∴B'为DC'中点，
∵
∴
设则
∴
∵，
∴，
∴，
综上所述，当时，△ADC′是以为腰的等腰三角形，
故答案为：.
【分析】由题意可知需分两种情况讨论，①当设则然后根据勾股定理列方程求解，②设则得到：根据""，据此列方程求解.
13．（2024八上·青羊期末）图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的，那么的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；探索图形规律
【解析】【解答】∵
∴由勾股定理可得：
......
∴
∴
故答案为：
【分析】根据勾股定理求出，，的长，总结规律可得。当n=8时代入计算即可求出答案.
三、解答题
14．（2023八上·花垣期中） 如图，欲在公路l同一侧挖两个土坑A、B，要求分别距公路10m、30m，且CD＝30m，挖出的土要运到公路边P处堆放，且要求点P到A、B距离之和最短．
（1）找到堆放点P的位置；
（2）求PA+PB的最小值．
【答案】（1）解：作点A的对称点A' ，连接A'B交直线l于点P，则点P即为所求；
（2）解：由（1）知，点P即为堆放P的位置，此时，PA+PB的最小值=A'B，过A'作A'H⊥BD交BD的延长线于H，则A'H=CD=30m， DH=A'C，
∵AC=10m，BD=30m，
∴A'C = AC = DH= 10m，
∴BH=40m，
∴A'B=√A'H2+BH2=√302+402=50(m)
即PA+PB的最小值为50m.
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）作点A的对称点A' ，连接A'B交直线l于点P，则，因此点P即为所求；
（2）过A'作A'H⊥BD交BD的延长线于H，构造直角三角形，利用勾股定理求A'B的长度。
15．（2024八上·盐田期末）已知与都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，求证．
【答案】（1）解：是等腰直角三角形，
，
，
∴
，
，
，
，
（2）证明：连接，如图：
与都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即，
在中，根据勾股定理得：，
，
．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用平行得到∠ACB=90°=∠CAD，再由∠E=∠ECA=∠DCA=∠D=45°得到AE=AC=AD.于是DE=2AC.
（2）由于这个结论满足直角三角形的三边关系，但三边不在同一个三角形中，所以构造包含这三边的等长线段的直角三角形问题就可以得到解决.连接BD后，很容易证得AE=BD，再证得∠EDB=90°，于是可以得到AD2+DB2=AB2，考虑到AB与AC的数量关系，结论就可以证明.
四、综合题
16．（2019九上·北京期中）如图1是实验室中的一种摆动装置， 在地面上，支架 是底边为 的等腰直角三角形，摆动臂长 可绕点A旋转，摆动臂 可绕点D旋转， ， .
（1）在旋转过程中：
①当 三点在同一直线上时，求 的长；
②当 三点在同一直角三角形的顶点时，求 的长.
（2）若摆动臂 顺时针旋转 ，点 的位置由 外的点 转到其内的点 处，连结 ，如图2，此时 ， ，求 的长.
【答案】（1）解：① ，或 .
②显然 不能为直角，
当 为直角时，
，∴ .
当 为直角时，
，∴ .
（2）解：连结 ，
由题意得 ， ，
∴ ， ，
又∵ ，∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
即 .
又∵ ， ，∴ ，
∴ .
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）①分两种情形分别求解即可．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2=AD2-DM2，计算即可，当∠ADM=90°时，根据AM2=AD2+DM2，计算即可．（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2=CD1即可．
17．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十七章勾股定理 复习专练）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
【答案】（1）解：是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9
BC2＝9
∴CH2+BH2＝BC2
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路。
（2）解：设AC＝x
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2
解这个方程，得x＝2.5，
答：原来的路线AC的长为2.5千米。
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）CH是否为从村庄C到河边最近的路，只要能说明三角形CHB是直角三角形即可，依据题目中给出的CB、CH与HB的长，计算能否满足勾股定理的逆定理，满足即为最近的路，不满足则不是最近的路；
（2）可设AC的长为x米，由AB=AC可用含x的代数式将AH表示出来，即x-1.8，由（1）中的结论可知三角形CHB为直角三角形，所以三角形AHC也为直角三角形，将AC、CH与AH代入勾股定理中即可求得x的值。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 1.2 直角三角形的性质与判定（Ⅱ）同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024九下·阎良开学考）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，若，则线段的长为（ ）
A．6 B． C．． D．
2．（2024九下·从江开学考）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为（ ）
A．2 B． C．3 D．2
3．（2024八上·深圳期末）以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．，3，5 C．1，2，3 D．2，3，4
4．（2024八上·南山期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·伊通期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
6．（2024八上·靖边期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （ ）
A．海里/时 B．20海里/时 C．海里/时 D．海里/时
7．（2023八上·长春期中）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A、B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，AB两点之间水平距离是4，则AP+PB最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2022八上·德惠期末）下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．中，
B．中，，
C．中，
D．中，三边之比为
二、填空题
9．（2024八上·嘉兴期末）一艘轮船8：00从A港出发向西航行，10：00折向北航行，平均航速均为20千米/时，则11：30时该轮船离A港的距离为 ．
10．（2024八上·黄石港期末）如图，在中，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ．
11．（2024八上·上城期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点．
（1）若△DEF的周长是8，则△ABC的周长是 ；
（2）若AE：EC＝3：2，则AF：EF＝ ．
12．（2024八上·拱墅期末）如图，已知在Rt△ABC中，，，，点D，E分别在边上，连接，，将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点，处，且边与在同一条直线上，连接，当△ADC’是以为腰的等腰三角形时，则BD= ．
13．（2024八上·青羊期末）图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的，那么的长为 ．
三、解答题
14．（2023八上·花垣期中） 如图，欲在公路l同一侧挖两个土坑A、B，要求分别距公路10m、30m，且CD＝30m，挖出的土要运到公路边P处堆放，且要求点P到A、B距离之和最短．
（1）找到堆放点P的位置；
（2）求PA+PB的最小值．
15．（2024八上·盐田期末）已知与都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，求证．
四、综合题
16．（2019九上·北京期中）如图1是实验室中的一种摆动装置， 在地面上，支架 是底边为 的等腰直角三角形，摆动臂长 可绕点A旋转，摆动臂 可绕点D旋转， ， .
（1）在旋转过程中：
①当 三点在同一直线上时，求 的长；
②当 三点在同一直角三角形的顶点时，求 的长.
（2）若摆动臂 顺时针旋转 ，点 的位置由 外的点 转到其内的点 处，连结 ，如图2，此时 ， ，求 的长.
17．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十七章勾股定理 复习专练）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中∠ACB=90°，
∴AB=，
∵△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，
∴BC=DE=1，AD=AB=，∠BAD=90°，
∴在Rt△ABD中，
BD.
故答案为：B.
【分析】由旋转的性质可得BC=DE，AD=AB，∠BAD=90°，在Rt△ABC中，用勾股定理求出AB的值，在Rt△ABD中，用勾股定理即可求出BD的值.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】连接BD，如图，
△ADE由△ABC绕点A逆时针旋转而成，
AE=AC=4，DE=3，
BE=1，
故答案为：B.
【分析】连接BD，根据旋转的性质得到AE=4，DE=3，利用勾股定理即可求解.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：正确.
B：，错误.
C：
D：
故答案为A.
【分析】用勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意，，
在中，由勾股定理得；，
∵，
在中，由勾股定理得；（），
故答案为：D.
【分析】在中，由勾股定理得；，在中，由勾股定理得；，计算求解即可．
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵在中，，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，
∴，
∴，
在中，
．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理可求，根据旋转可求，再用勾股定理求值即可．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设它们离开港口2时后，甲轮船行驶到点B，乙轮船行驶到点A，
由题意可得，，(海里)，(海里)，
由勾股定理可得，OA(海里)，
∴乙轮船的平均速度为2(海里/时)．
故答案为：D．
【分析】先根据题意分析出，的长，再根据勾股定理求得的长，最后用路程时间求得乙轮船的平均速度即可.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时AP+PB最小；
则PA=PA'，
∴AP+PB=PA'+PA=A'B，
过点B作BC⊥AA'于点C，
则OA'=OA=2，OC=1，BC=4，
∴A'C=OA'+OC=2+1=3，
∴
∴AP+PB最小值=5．
故答案为：C．
【分析】作A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时AP+PB最小，AP+PB的最小值=A'B，再利用勾股定理求解．
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、中，，设，
则：，解得：，
∴，
∴不是直角三角形，符合题意；
B、中，，则：，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
C、中，，则：，∴是直角三角形，不符合题意；
D、中，三边之比为，
设三角形的三边长分别为：，
∵，
∴是直角三角形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
9．【答案】50千米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：航线示意图如图：
8到10点由A向西航行到B，路程为2×20=40（千米）；
10点到11点30分由B向北航行到C，路程为1.5×20=30（千米）；
∵△ABC是直角三角形.
∴11点30分到A港距离：（千米）
故答案为：50千米.
【分析】根据题意画出航线示意图，得到直角三角形，利用速度×时间得到AB和BC段路程，利用勾股定理求出斜边即可.
10．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在AB上取点F'，使AF'=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H；如图：
在Rt△ABC中，，
∴；
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAF＝∠EAF'，
在△AEF和△AEF'中，
，
∴△AEF≌△AEF'（SAS），
∴EF=EF'，
∴EF+CE=EF'+EC．
∴当C、E、F'共线，且点F'与H重合时，FE+EC的值最小，
最小值为；
故答案为：.
【分析】根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出AB的值，根据三角形的面积公式求出CH的值，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得EF=EF'，根据两点之间线段最短及点到直线距离垂线段最短即可求解.
11．【答案】（1）16
（2）2：1
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）解：∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF.
∵BE⊥AC，点D为AB的中点，
∴Rt△BCE中，BC= 2EF，Rt△ABE中，AB=2DE.
∵AF⊥BC，点D是AB的中点.
∴Rt△ABF中，AB=2DF，
∵AB=AC，
∴2EF+2DE+2DF=BC+AB+AB=BC+AB+AC.
即△ABC的周长是△DEF的周长的2倍，
∵△DEF的周长是8，
∴△ABC的周长是16.
故答案为：16；
( 2) ∵AE：EC=3：2，设AE=3x，EC=2x，
∴AC=AB=5x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE=4x，
∴在Rt△BCE中，
∵CE =2x，BE=4x，
∴.
∴.
∴在Rt△ABF中，
∴
故答案为：2：1.
【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半，得AB=2DF=2DE，BC=2EF，于是可根据△DEF的周长得△ABC的周长；
（2）根据AE： EC=3： 2可设AE=3x，EC=2x，从而可利用勾股定理分别表示出AF和EF的长，问题可解决.
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：①当设则
∵
∴
∵
∴
∴
②
∵
∴B'为DC'中点，
∵
∴
设则
∴
∵，
∴，
∴，
综上所述，当时，△ADC′是以为腰的等腰三角形，
故答案为：.
【分析】由题意可知需分两种情况讨论，①当设则然后根据勾股定理列方程求解，②设则得到：根据""，据此列方程求解.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；探索图形规律
【解析】【解答】∵
∴由勾股定理可得：
......
∴
∴
故答案为：
【分析】根据勾股定理求出，，的长，总结规律可得。当n=8时代入计算即可求出答案.
14．【答案】（1）解：作点A的对称点A' ，连接A'B交直线l于点P，则点P即为所求；
（2）解：由（1）知，点P即为堆放P的位置，此时，PA+PB的最小值=A'B，过A'作A'H⊥BD交BD的延长线于H，则A'H=CD=30m， DH=A'C，
∵AC=10m，BD=30m，
∴A'C = AC = DH= 10m，
∴BH=40m，
∴A'B=√A'H2+BH2=√302+402=50(m)
即PA+PB的最小值为50m.
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）作点A的对称点A' ，连接A'B交直线l于点P，则，因此点P即为所求；
（2）过A'作A'H⊥BD交BD的延长线于H，构造直角三角形，利用勾股定理求A'B的长度。
15．【答案】（1）解：是等腰直角三角形，
，
，
∴
，
，
，
，
（2）证明：连接，如图：
与都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即，
在中，根据勾股定理得：，
，
．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用平行得到∠ACB=90°=∠CAD，再由∠E=∠ECA=∠DCA=∠D=45°得到AE=AC=AD.于是DE=2AC.
（2）由于这个结论满足直角三角形的三边关系，但三边不在同一个三角形中，所以构造包含这三边的等长线段的直角三角形问题就可以得到解决.连接BD后，很容易证得AE=BD，再证得∠EDB=90°，于是可以得到AD2+DB2=AB2，考虑到AB与AC的数量关系，结论就可以证明.
16．【答案】（1）解：① ，或 .
②显然 不能为直角，
当 为直角时，
，∴ .
当 为直角时，
，∴ .
（2）解：连结 ，
由题意得 ， ，
∴ ， ，
又∵ ，∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
即 .
又∵ ， ，∴ ，
∴ .
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）①分两种情形分别求解即可．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2=AD2-DM2，计算即可，当∠ADM=90°时，根据AM2=AD2+DM2，计算即可．（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2=CD1即可．
17．【答案】（1）解：是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9
BC2＝9
∴CH2+BH2＝BC2
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路。
（2）解：设AC＝x
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2
解这个方程，得x＝2.5，
答：原来的路线AC的长为2.5千米。
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）CH是否为从村庄C到河边最近的路，只要能说明三角形CHB是直角三角形即可，依据题目中给出的CB、CH与HB的长，计算能否满足勾股定理的逆定理，满足即为最近的路，不满足则不是最近的路；
（2）可设AC的长为x米，由AB=AC可用含x的代数式将AH表示出来，即x-1.8，由（1）中的结论可知三角形CHB为直角三角形，所以三角形AHC也为直角三角形，将AC、CH与AH代入勾股定理中即可求得x的值。
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