湘教版数学八年级下册 1.3 直角三角形全等的判定同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2016八上·徐闻期中）如图，∠B=∠E=90°，AB=DE，AC=DF，则△ABC≌△DEF的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC与Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
故选：D．
【分析】根据直角三角形的判定定理进行选择．
2．（2023八上·中江期中） 如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝145°，则∠EDF的度数为（ ）
A．45° B．55° C．35° D．65°
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E
∴∠BED=∠CDF=90°
又∵BD=CF，BE=CD
∴△BED≡△CDF（HL）
∴∠CFD=∠BDE
又∵∠AFD=145°
∴∠CFD=∠BDE=35°
∴∠EDF=180°-35°-90°=55°
故答案 为：B
【分析】先利用HL定理证明△BED≡△CDF，可得∠CFD=∠BDE，再根据∠AFD=145°，可得∠CFD=∠BDE=35°，即可求出∠EDF的度数。
3．（2023八上·北仑期中）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．AB∥DE D．AD＝CF
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：由题意得：∵∠B=∠E=90°，AB=DE（两个三角形各自的直角边）.
这时，只需添加条件：AC=DF或AD=CF，即可根据“HL”来判定
故答案为：D.
【分析】题中已说明这两个三角形是直角三角形，又告诉咱们两个直角边：AB=DE，只需添加一个条件让这两个三角形的斜边也相等，即可用“HL”来判定这两个直角三角形全等.
4．（2023八上·五华期中）如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE=CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是 （ ）
A．AAS B．HL C．SAS D．ASA
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠CEB=∠BFC=90°，
在Rt△CBF和Rt△BCE中，
，
∴Rt△CBF和Rt△BCE（HL），
故答案为：B.
【分析】利用“HL”证明三角形全等的判定方法分析求解即可.
5．如图，于点于点，AC与BD交于点.若，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵AB⊥AC，BD⊥CD，
∴∠A=∠D=90°，
在Rt△ABC与Rt△DCB中，
∵AC=DB，BC=CB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∴AC-OC=BD-OB，
即AO=DO，
故A、B、D三个选项都是正确的，不符合题意，
∵AO=OD，而OB＞AO，
∴BO＞OD，故C选项错误，符合题意.
故答案为：C.
【分析】由垂直定义得∠A=∠D=90°，从而利用HL判断出Rt△ABC≌Rt△DCB，由全等三角形的对应角相等得∠ACB=∠DBC，再由等角对等边得OB=OC，然后根据线段的和差及等式性质推出AO=DO，由直角三角形的斜边最长可得BO＞OD，从而逐个判断得出答案.
6．（2023八上·涪城月考）如图，要用“”判定和全等的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，
，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL），
故答案为：C.
【分析】利用“HL”证明三角形全等的判定方法分析求解即可.
7．（2023八上·长沙开学考）如图，若，则的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．HL
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵∠B=∠C=90°
∴在Rt△ACD与Rt△ABD中
∴△ACD≡△ABD（HL）
∴D符合题意。
故答案为：D
【分析】由题意知该题为直角三角形，在利用斜边直角边定理证明即可。
8．（2022七下·宝鸡期末）如图，在 中， ，点D是BC边的中点，连接AD，点P在AD上，连接BP，CP，过点D作 ， ，垂足分别为E、F，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ①∵点D是BC边的中点， 即 ，正确 ；
② ∵AB=AC，BD=CD，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，∴ （HL），正确；
③无法确定DE和PE是否相等，错误；
④ 由②得PB=PC，则 是等腰三角形，正确.
综上所述，正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三线合一定理得出AD是BC的垂直平分线，利用HL证明，然后再逐项分析判断，即可作答.
二、填空题
9．（2023八下·顺德期中）如图，已知，请你添加一个条件，使得≌你添加的条件是： 写出一个符合题意的即可
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵
∴在和中
∴
故答案为：.
【分析】根据三角形全等的判定，即可解答.
10．（2024八上·铁西期末）如图，点在上，于点，交于点，，．若，则 °．
【答案】55
【知识点】余角、补角及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】如图所示
，
故填：55
【分析】从问题入手，观察图形，所求角和都是的余角，同角的余角相等，故问题可转化为求；根据题中给出的垂直和线段相等条件易证两三角形全等，，根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和定理可求，故可求。
11．（2023八上·合肥月考）在中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，交于点.解决下列问题，
（1）如图1，若，，且，则 ；
（2）如图2，延长至，使.若，，，则线段的长为 .
【答案】（1）26°
（2）11
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）（HL），∴∠ADM=∠ACB=26°，即∠ADE=26°；
（2）由题意得，BG=BE=3，则CG=11，由作图可知，（SAS），∴AG=AE，∠GAB=∠EAB，又∵∠BAE=∠MAE，∴∠GAE=2∠BAE，又 ∠CAD=2∠BAE，所以∠GAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD，即∠GAC=∠EAD，，∴DE=CG=11。
【分析】（1）通过证明，即可求出∠ADE的度数；
（2）根据作图，先证明，得到AG=AE，BG=BE，继而求出CG的长，在通过证明，最终求出DE=CG=11。
12．（2023八上·龙南期中）如图所示，在等腰中，为的中点，点在上，，若点是等腰的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是 .
【答案】或
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵，，，
∴，
∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点，
∴，
过D作，，
∴，
分两种情况：
① 点P在线段HC上时，如图所示。
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
② 当点P在线段AH上时，如图所示。
同理可得，
∴，
∴，
故答案为： 或，
．
【分析】根据等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质求解。连接AD，过D作，，分两种情况：点P在线段HC上或点P在线段AH上，利用HL证或，再利用全等三角形的对应角相等求解。
13．（2023九下·松原月考）如图，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，交于点P、Q，作直线PQ，连接PA、PB、QA、QB.若，则四边形APBQ的面积为 .
【答案】24
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意知，
是的垂直平分线，如图所示：
，
，
，
，
四边形APBQ为菱形，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】由题意知，进而得到是的垂直平分线，再根据直角三角形全等的判定与性质即可得到，进而根据平行线的判定和菱形的判定即可得到四边形APBQ为菱形，从而结合题意运用勾股定理即可求解。
三、解答题
14．（2024八上·黔南期末）如图，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，CM＝BN，连接AN，DM．
求证：
（1）△ABM≌△DCN；
（2）AN∥DM．
【答案】（1）证明：∵BN=CM，
∴BN-MN=CM-MN，
∴BM=CN，
∵AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，
∴∠AMB=∠DNC=90°，
在Rt△ABM和Rt△DCN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△DCN（HL）；
（2）证明：∵Rt△ABM≌Rt△DCN，
∴∠B=∠C，
在△ABN和△DCM中，
，
∴△ABN≌△DCM（SAS），
∴∠ANB=∠DMC，
∴AN//DM.
【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用线段的和差求出BM=CN，再利用“HL”证出Rt△ABM≌Rt△DCN即可；
（2）利用全等三角形的性质可得∠B=∠C，再利用“SAS”证出△ABN≌△DCM可得∠ANB=∠DMC，再证出AN//DM即可.
15．（2024八上·从江月考）如图所示，在四边形ABCD中，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于点E.
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AE=3ED=6，求AB的长.
【答案】（1）证明：如图所示，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F.
∵CE⊥AD，
∴∠DEC=∠CFB=90°.
∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠D=∠CBF.
∵CD=CB，∴△CDE≌△CBF.
∴CE=CF.
∴AC平分∠DAB.
（2）解：由(1)得BF=DE.
∵CE=CF，CA=CA，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL).
∴AE=AF.
∴AB=AF-BF=AE-DE.
∵AE=6，DE=2，∴AB=4.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1） 过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，根据垂直的定义可得∠DEC=∠CFB=90°，利用平角的定义结合已知条件可得∠D=∠CBF，结合CB=CD，可利用SSA证明△CDE≌△CBF，得到CE=CF，从而得出结论；
（2）由(1)利用全等三角形的性质可得BF=DE，结合条件利用HL证明Rt△ACE≌Rt△ACF ，得到AE=AF，根据线段的和差关系以及已知条件即可求解.
四、综合题
16．（2020八上·嘉兴期中）已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA=DB，DM⊥BP于点M.
（1）若AC=6，DM=2，求△ACD的面积；
（2）求证：AC=BM+CM.
【答案】（1）解：作DN⊥AC于点N.
∵D为△ABC外角∠ACP平分线上一点
（2）解：∴在Rt△CDN与Rt△CDM中，
∴在Rt△ADN与Rt△BDM中，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）作DN⊥AC于点N，根据角平分线性质得DM=DN，再由三角形面积公式即可求得答案.
（2）根据直角三角形全等的判定——HL可得△CDN≌△CDM，△ADN≌△BDM，再由全等三角形性质得CM=CN，AN=BM，等量代换即可得证.
17．（2019八上·涵江月考）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
【答案】（1）证明：先证Rt△ABF ≌ Rt△CDE
∴BF=DE
再证Rt△BMF ≌ Rt△DME
∴MB=MD，ME="MF
（2）解：成立，根据（1）同理可得
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵ DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，
∵ AB=CD，AF=CE，
∴Rt△ABF ≌ Rt△CDE ，
∴BF=DE，
∵∠BMF=∠DME，
∴△BMF ≌ △DME ，
∴ MB=MD，ME=MF；
（2）∵ DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，
∵ AB=CD，AF=CE，
∴Rt△ABF ≌ Rt△CDE ，
∴BF=DE，
∵∠BMF=∠DME，∠MFB=∠MED=90°，
∴△BMF ≌ △DME ，
∴ MB=MD，ME=MF.
【分析】（1）根据“HL”证出Rt△ABF ≌ Rt△CDE ，得出BF=DE，再根据“AAS"证出Rt△BMF ≌ Rt△DME ，得出MB=MD，ME=MF，即可求解；
（2）根据“HL”证出Rt△ABF ≌ Rt△CDE ，得出BF=DE，再根据“AAS"证出Rt△BMF ≌ Rt△DME ，得出MB=MD，ME=MF，即可求解.
1 / 1湘教版数学八年级下册 1.3 直角三角形全等的判定同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2016八上·徐闻期中）如图，∠B=∠E=90°，AB=DE，AC=DF，则△ABC≌△DEF的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
2．（2023八上·中江期中） 如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝145°，则∠EDF的度数为（ ）
A．45° B．55° C．35° D．65°
3．（2023八上·北仑期中）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．AB∥DE D．AD＝CF
4．（2023八上·五华期中）如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE=CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是 （ ）
A．AAS B．HL C．SAS D．ASA
5．如图，于点于点，AC与BD交于点.若，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·涪城月考）如图，要用“”判定和全等的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2023八上·长沙开学考）如图，若，则的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．HL
8．（2022七下·宝鸡期末）如图，在 中， ，点D是BC边的中点，连接AD，点P在AD上，连接BP，CP，过点D作 ， ，垂足分别为E、F，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2023八下·顺德期中）如图，已知，请你添加一个条件，使得≌你添加的条件是： 写出一个符合题意的即可
10．（2024八上·铁西期末）如图，点在上，于点，交于点，，．若，则 °．
11．（2023八上·合肥月考）在中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，交于点.解决下列问题，
（1）如图1，若，，且，则 ；
（2）如图2，延长至，使.若，，，则线段的长为 .
12．（2023八上·龙南期中）如图所示，在等腰中，为的中点，点在上，，若点是等腰的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是 .
13．（2023九下·松原月考）如图，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，交于点P、Q，作直线PQ，连接PA、PB、QA、QB.若，则四边形APBQ的面积为 .
三、解答题
14．（2024八上·黔南期末）如图，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，CM＝BN，连接AN，DM．
求证：
（1）△ABM≌△DCN；
（2）AN∥DM．
15．（2024八上·从江月考）如图所示，在四边形ABCD中，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于点E.
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AE=3ED=6，求AB的长.
四、综合题
16．（2020八上·嘉兴期中）已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA=DB，DM⊥BP于点M.
（1）若AC=6，DM=2，求△ACD的面积；
（2）求证：AC=BM+CM.
17．（2019八上·涵江月考）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC与Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
故选：D．
【分析】根据直角三角形的判定定理进行选择．
2．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E
∴∠BED=∠CDF=90°
又∵BD=CF，BE=CD
∴△BED≡△CDF（HL）
∴∠CFD=∠BDE
又∵∠AFD=145°
∴∠CFD=∠BDE=35°
∴∠EDF=180°-35°-90°=55°
故答案 为：B
【分析】先利用HL定理证明△BED≡△CDF，可得∠CFD=∠BDE，再根据∠AFD=145°，可得∠CFD=∠BDE=35°，即可求出∠EDF的度数。
3．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：由题意得：∵∠B=∠E=90°，AB=DE（两个三角形各自的直角边）.
这时，只需添加条件：AC=DF或AD=CF，即可根据“HL”来判定
故答案为：D.
【分析】题中已说明这两个三角形是直角三角形，又告诉咱们两个直角边：AB=DE，只需添加一个条件让这两个三角形的斜边也相等，即可用“HL”来判定这两个直角三角形全等.
4．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠CEB=∠BFC=90°，
在Rt△CBF和Rt△BCE中，
，
∴Rt△CBF和Rt△BCE（HL），
故答案为：B.
【分析】利用“HL”证明三角形全等的判定方法分析求解即可.
5．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵AB⊥AC，BD⊥CD，
∴∠A=∠D=90°，
在Rt△ABC与Rt△DCB中，
∵AC=DB，BC=CB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∴AC-OC=BD-OB，
即AO=DO，
故A、B、D三个选项都是正确的，不符合题意，
∵AO=OD，而OB＞AO，
∴BO＞OD，故C选项错误，符合题意.
故答案为：C.
【分析】由垂直定义得∠A=∠D=90°，从而利用HL判断出Rt△ABC≌Rt△DCB，由全等三角形的对应角相等得∠ACB=∠DBC，再由等角对等边得OB=OC，然后根据线段的和差及等式性质推出AO=DO，由直角三角形的斜边最长可得BO＞OD，从而逐个判断得出答案.
6．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，
，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL），
故答案为：C.
【分析】利用“HL”证明三角形全等的判定方法分析求解即可.
7．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵∠B=∠C=90°
∴在Rt△ACD与Rt△ABD中
∴△ACD≡△ABD（HL）
∴D符合题意。
故答案为：D
【分析】由题意知该题为直角三角形，在利用斜边直角边定理证明即可。
8．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ①∵点D是BC边的中点， 即 ，正确 ；
② ∵AB=AC，BD=CD，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，∴ （HL），正确；
③无法确定DE和PE是否相等，错误；
④ 由②得PB=PC，则 是等腰三角形，正确.
综上所述，正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三线合一定理得出AD是BC的垂直平分线，利用HL证明，然后再逐项分析判断，即可作答.
9．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵
∴在和中
∴
故答案为：.
【分析】根据三角形全等的判定，即可解答.
10．【答案】55
【知识点】余角、补角及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】如图所示
，
故填：55
【分析】从问题入手，观察图形，所求角和都是的余角，同角的余角相等，故问题可转化为求；根据题中给出的垂直和线段相等条件易证两三角形全等，，根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和定理可求，故可求。
11．【答案】（1）26°
（2）11
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）（HL），∴∠ADM=∠ACB=26°，即∠ADE=26°；
（2）由题意得，BG=BE=3，则CG=11，由作图可知，（SAS），∴AG=AE，∠GAB=∠EAB，又∵∠BAE=∠MAE，∴∠GAE=2∠BAE，又 ∠CAD=2∠BAE，所以∠GAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD，即∠GAC=∠EAD，，∴DE=CG=11。
【分析】（1）通过证明，即可求出∠ADE的度数；
（2）根据作图，先证明，得到AG=AE，BG=BE，继而求出CG的长，在通过证明，最终求出DE=CG=11。
12．【答案】或
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵，，，
∴，
∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点，
∴，
过D作，，
∴，
分两种情况：
① 点P在线段HC上时，如图所示。
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
② 当点P在线段AH上时，如图所示。
同理可得，
∴，
∴，
故答案为： 或，
．
【分析】根据等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质求解。连接AD，过D作，，分两种情况：点P在线段HC上或点P在线段AH上，利用HL证或，再利用全等三角形的对应角相等求解。
13．【答案】24
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意知，
是的垂直平分线，如图所示：
，
，
，
，
四边形APBQ为菱形，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】由题意知，进而得到是的垂直平分线，再根据直角三角形全等的判定与性质即可得到，进而根据平行线的判定和菱形的判定即可得到四边形APBQ为菱形，从而结合题意运用勾股定理即可求解。
14．【答案】（1）证明：∵BN=CM，
∴BN-MN=CM-MN，
∴BM=CN，
∵AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，
∴∠AMB=∠DNC=90°，
在Rt△ABM和Rt△DCN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△DCN（HL）；
（2）证明：∵Rt△ABM≌Rt△DCN，
∴∠B=∠C，
在△ABN和△DCM中，
，
∴△ABN≌△DCM（SAS），
∴∠ANB=∠DMC，
∴AN//DM.
【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用线段的和差求出BM=CN，再利用“HL”证出Rt△ABM≌Rt△DCN即可；
（2）利用全等三角形的性质可得∠B=∠C，再利用“SAS”证出△ABN≌△DCM可得∠ANB=∠DMC，再证出AN//DM即可.
15．【答案】（1）证明：如图所示，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F.
∵CE⊥AD，
∴∠DEC=∠CFB=90°.
∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠D=∠CBF.
∵CD=CB，∴△CDE≌△CBF.
∴CE=CF.
∴AC平分∠DAB.
（2）解：由(1)得BF=DE.
∵CE=CF，CA=CA，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL).
∴AE=AF.
∴AB=AF-BF=AE-DE.
∵AE=6，DE=2，∴AB=4.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1） 过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，根据垂直的定义可得∠DEC=∠CFB=90°，利用平角的定义结合已知条件可得∠D=∠CBF，结合CB=CD，可利用SSA证明△CDE≌△CBF，得到CE=CF，从而得出结论；
（2）由(1)利用全等三角形的性质可得BF=DE，结合条件利用HL证明Rt△ACE≌Rt△ACF ，得到AE=AF，根据线段的和差关系以及已知条件即可求解.
16．【答案】（1）解：作DN⊥AC于点N.
∵D为△ABC外角∠ACP平分线上一点
（2）解：∴在Rt△CDN与Rt△CDM中，
∴在Rt△ADN与Rt△BDM中，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）作DN⊥AC于点N，根据角平分线性质得DM=DN，再由三角形面积公式即可求得答案.
（2）根据直角三角形全等的判定——HL可得△CDN≌△CDM，△ADN≌△BDM，再由全等三角形性质得CM=CN，AN=BM，等量代换即可得证.
17．【答案】（1）证明：先证Rt△ABF ≌ Rt△CDE
∴BF=DE
再证Rt△BMF ≌ Rt△DME
∴MB=MD，ME="MF
（2）解：成立，根据（1）同理可得
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵ DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，
∵ AB=CD，AF=CE，
∴Rt△ABF ≌ Rt△CDE ，
∴BF=DE，
∵∠BMF=∠DME，
∴△BMF ≌ △DME ，
∴ MB=MD，ME=MF；
（2）∵ DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，
∵ AB=CD，AF=CE，
∴Rt△ABF ≌ Rt△CDE ，
∴BF=DE，
∵∠BMF=∠DME，∠MFB=∠MED=90°，
∴△BMF ≌ △DME ，
∴ MB=MD，ME=MF.
【分析】（1）根据“HL”证出Rt△ABF ≌ Rt△CDE ，得出BF=DE，再根据“AAS"证出Rt△BMF ≌ Rt△DME ，得出MB=MD，ME=MF，即可求解；
（2）根据“HL”证出Rt△ABF ≌ Rt△CDE ，得出BF=DE，再根据“AAS"证出Rt△BMF ≌ Rt△DME ，得出MB=MD，ME=MF，即可求解.
1 / 1
