2023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 1.4 角平分线的性质同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2022·威宁模拟）如图，在中，，，为边的中点，平分，交于点，交于点，则的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
2．（2022·威宁模拟）如图，，平分，若，则的度数为
A． B． C． D．
3．（2024八上·关岭期末）如图，点在内部的一条射线上，于点，且．已知点到射线的最小距离为4，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·嘉兴期末）根据如图所示的尺规作图痕迹，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·黔南期末）某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线OA重合，另一把直尺的边与射线OB重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点P，作射线OP，小明说：“射线OP就是∠AOB的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
C．三角形的三条高交于三点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
6．（2023七上·花溪月考）如图所示，两个直角∠AOB，∠COD有相同的顶点O，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠AOC+∠BOD=90°；③若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；④∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023八上·花垣期中） 花垣华鑫学校有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
8．（2024八上·汉阳期末）如图，点E是内一点，平分，过点E作于D，连．若，，则的面积是（ ）
A．20 B．30 C．25 D．15
二、填空题
9．（2024八上·播州期末）如图，在中，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点、分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，则的值为 ．
10．（2024八上·昆明期末）在中，，平分，，则点到的距离为 ．
11．（2024八上·浙江期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ．
12．（2024八上·蔡甸期末）如图，在中，AD是它的角平分线，点是线段AD上的任一点（不与A、重合），，交BC于点，，交BC于点，若点到PE的距离为3，，则
13．（2024·湖南模拟）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格点M，连接并延长交圆于点C，连接．请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出弦，使平分．
三、解答题
14．（2024八上·播州期末）如图，在四边形中，于点，，且平分，平分．
（1）求证：为的中点；
（2）若，，求四边形的面积．
15．（2023八上·花垣期中） 已知．
（1）用尺规完成下列作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①作的平分线AE；
②在AE上任取一点F，作AF的垂直平分线分别与AM、AN交于P、Q；
（2）在（1）的条件下线段AP与AQ有什么数量关系，并说明理由．
四、综合题
16．（2021七下·吉林期中）如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，OF平分∠BOD。
（1）直接写出∠AOC的补角；
（2）若∠AOC=40°，求∠EOF的度数。
17．（2019八下·兰州期末）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠B=∠BCA=40°，
∵平分，
∴∠FCD=20°，
∵为边的中点，
∴AD⊥BC，即∠CDA=90°，
∴∠CFA=∠FCD+∠CDA=110°．
故答案为：C.
【分析】先根据等腰三角形的性质可得∠B=∠BCA=40°，再根据角平分线的性质得到∠DCF=20°，进而结合等腰三角形三线合一的性质及为边的中点可得∠CDA=90°，最后根据三角形外角的性质即可求解。
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：，，
，
平分，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质可得==50°，再根据角平分线的性质得到，进而结合题意运用角的运算即可求解。
3．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形内角和定理；角平分线的判定
【解析】【解答】根据题意可得，点P到∠AOB两边的距离相等，
∴射线OP是∠AOB的平分线，
∵在Rt△OQP中，∠OPQ=65°，
∴∠QOP=90°-∠OPQ=90°-65°=25°，
∴∠AOB=2∠QOP=2×25°=50°，
故答案为：C.
【分析】先证出射线OP是∠AOB的平分线，利用角的运算求出∠QOP=90°-∠OPQ=90°-65°=25°，最后求出∠AOB=2∠QOP=2×25°=50°即可.
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：如图：
根据作图痕痕迹，可知作了∠A的角平分线AD，以及线段AD的垂直平分线.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
又∵EF垂直平分AD，
∴EA=ED，FA=FD.
∴∠BAD=∠EDA，∠CAD=∠FDA.
∴∠EDA=∠CAD=∠FDA.
∵∠EDA=∠CAD，
∴ED//AF.
∵∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA
∴△AED≌△AFD.
∴AE=AF.，故A、C、D都一定成立，不符合题意；
题目没有条件能说明DE⊥AB，故B不一定成立.
故答案为：B.
【分析】看懂尺规作图痕迹表示的是角平分线和线段的垂直平分线， 由线段垂直平分线的性质得EA=ED，FA=FD，由等边对等角及角平分线的定义可推出∠EDA=∠CAD=∠FDA，进而根据内错角相等两直线平行可得ED∥AF，再根据ASA判断出△AED≌△AFD，得AE=AF，从而即可逐项判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F，如图所示：
∵直尺的宽度相等，
∴PE=PF，
∵PE⊥OB，PF⊥OA，
∴OP平分∠AOB，
故答案为：A.
【分析】过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F，再利用角平分线的判定方法分析求解即可.
6．【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的性质
【解析】【解答】解： ①∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD，
故①正确；
②若∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠AOC+∠BOC=90°，
∴∠BOD=∠BOC=45°，但∠BOD、∠BOC不一定是45°，
故②错误；
③∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=45°，①得∠AOC=∠BOD，
∴∠BOD=∠BOC=45°，
∴OB平分∠COD，
故③正确；
④设∠COB的平分线为OM，则∠COM=∠BOM，①得∠AOC=∠BOD，∴∠COM+∠AOC=∠BOM+∠BOD，即∠AOM=∠DOM
∴OM平分∠AOD，故④正确.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，可判断①；根据∠AOC+∠BOD=90°，可得∠AOC=∠BOC=45°，但∠BOD、∠BOC不一定是45°，可判断②；由OC平分∠AOB，得∠AOC=∠BOC=45°，结合①中结论可得OB平分∠COD，故可判断③；设∠COB的平分线为OM，结合①中结论可得OM平分∠AOD，故可判断④.
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴三条角平分线的交点到三边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点，
故答案为：C．
【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，据此求解。
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EH⊥AB于H，如图：
∵BE平分∠ABC，ED⊥BC，EH⊥AB，
∴EH=ED=5，
∵AB=10，
∴△AEB的面积=；
故答案为：C.
【分析】过E作EH⊥AB于H，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得EH=ED=5，根据三角形的面积公式进行计算即可.
9．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥AC于点M，
∵∠AEC=90°，∠C=30°，
∴AC=2AE，
由画法得AP是∠CAE的平分线，
DM⊥AC，DE⊥AE，
∴DM=DE，
∴.
故答案为：.
【分析】过点D作DM⊥AC于点M，先根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半得出AC=2AE，根据作图可知AP是∠CAE的平分线，由角平分线的性质得DM=DE，再由三角形的面积公式即可得出结论.
10．【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作交E，则DE即为所求，
因为，平分，
所以CD=DE（角的平分线上的点到角的两边距离相等），
因为，
所以DE=5.
故答案为：5.
【分析】过D作交E，再根据角平分线的性质定理即可得出结论.
11．【答案】3
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点P作PN⊥OB，如图，
∵
∴OP平分∠AOB，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：3.
【分析】过点P作PN⊥OB，进而逆用角平分线的性质得到OP平分∠AOB，根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到进而即可求解.
12．【答案】9
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EOD=∠BAD，∠FPD=∠CAD，
∴∠EPD=∠FPD，
故点D到PE、PF的距离相等，
∵点D到PE的距离为3，
∴点D到PF的距离为3，
∴；
故答案为：9.
【分析】根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠BAD=∠CAD，根据两直线平行，同位角相等可得∠EOD=∠BAD，∠FPD=∠CAD，推得∠EPD=∠FPD，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D到PF的距离为3，根据三角形的面积公式即可求解.
13．【答案】即为所求；
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：连接交于点，连接交圆于点，连接即可
【分析】根据作图-角平分线，连接交于点，连接交圆于点，连接，进而即可求解。
14．【答案】（1）证明：如图，作于点，
，
．
，
，
，，
平分，平分，
，，
，
为的中点；
（2）解：在和中，
，
≌，
，
同理，，
，
在四边形中，，，
四边形是梯形，
四边形的面积，
为的中点，，
，
四边形的面积
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形的应用；角平分线的性质
【解析】【分析】（1） 作于点， 由平行的性质得∠B=∠C=90°，根据角平分线的性质得ME=MC=MB，从而求解；
（2）根据HL求得 ≌，因此得，同理，，因此AB+CD=AD=10cm，BC=2CM=8cm，根据梯形面积公式即可求解.
15．【答案】（1）解：①如图所示，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AM，AN交于点H、G，再分别以H、G为圆心，以大于HG长的一半为半径画弧，二者交于点O，过点O作射线AE即为所求；
②如图所示，分别以A、F为圆心，以大于AF长的一半为半画弧，二者分别交于J、K，连接JK分别交AM于P，AN于Q，AE于T；
（2）解：AP=AQ，理由如下：
∵JK是线段AF的垂线平分线，
∴∠PTA=∠QTA=90°，
∵AE是∠MAN的角平分线，
∴∠MAE=∠NAE，
又∵AT=AT，
∴△ATP≌△ATQ（ASA），
∴AP=AQ．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）①以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AM，AN交于两点，再分别以两交点为圆心，以大于两交点长的一半为半径画弧，二者交于一点，过点A作射线经过两圆弧交点，即为的角平分线；
②分别以A、F为圆心，以大于长的一半画弧，二者分别交于两点，连接两交点，分别交于点，于点，则即为的垂直平分线；
（2）根据垂直平分线和角平分线的性质准备条件，利用ASA证明△ATP≌△ATQ ，根据全等三角形的对应边相等得出结论。
16．【答案】（1）解：∠AOC的补角是∠AOD、∠BOC
（2）解：∵∠AOC=40°，∴∠BOD=∠AOC=40°，∵OF平分∠BOD，∴∠BOF=20°，∵OE⊥AB，∴∠EOB=90°，∴∠EOF=90°-20°=70°
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据补角的含义，写出答案即可；
（2）根据题意，由角平分线的性质结合直角的性质，计算得到答案即可。
17．【答案】（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）证明：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中， ，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可证CE=CF，利再用HL可证得结论。
（2）利用HL证明Rt△FAC≌Rt△EAC，可得到AE=AF，再由（1） 的结论，可证得BE=DF，然后再根据AB=AE+BE，AD=AF-DF，代入整理就可证得结论。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 1.4 角平分线的性质同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2022·威宁模拟）如图，在中，，，为边的中点，平分，交于点，交于点，则的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠B=∠BCA=40°，
∵平分，
∴∠FCD=20°，
∵为边的中点，
∴AD⊥BC，即∠CDA=90°，
∴∠CFA=∠FCD+∠CDA=110°．
故答案为：C.
【分析】先根据等腰三角形的性质可得∠B=∠BCA=40°，再根据角平分线的性质得到∠DCF=20°，进而结合等腰三角形三线合一的性质及为边的中点可得∠CDA=90°，最后根据三角形外角的性质即可求解。
2．（2022·威宁模拟）如图，，平分，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：，，
，
平分，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质可得==50°，再根据角平分线的性质得到，进而结合题意运用角的运算即可求解。
3．（2024八上·关岭期末）如图，点在内部的一条射线上，于点，且．已知点到射线的最小距离为4，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形内角和定理；角平分线的判定
【解析】【解答】根据题意可得，点P到∠AOB两边的距离相等，
∴射线OP是∠AOB的平分线，
∵在Rt△OQP中，∠OPQ=65°，
∴∠QOP=90°-∠OPQ=90°-65°=25°，
∴∠AOB=2∠QOP=2×25°=50°，
故答案为：C.
【分析】先证出射线OP是∠AOB的平分线，利用角的运算求出∠QOP=90°-∠OPQ=90°-65°=25°，最后求出∠AOB=2∠QOP=2×25°=50°即可.
4．（2024八上·嘉兴期末）根据如图所示的尺规作图痕迹，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：如图：
根据作图痕痕迹，可知作了∠A的角平分线AD，以及线段AD的垂直平分线.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
又∵EF垂直平分AD，
∴EA=ED，FA=FD.
∴∠BAD=∠EDA，∠CAD=∠FDA.
∴∠EDA=∠CAD=∠FDA.
∵∠EDA=∠CAD，
∴ED//AF.
∵∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA
∴△AED≌△AFD.
∴AE=AF.，故A、C、D都一定成立，不符合题意；
题目没有条件能说明DE⊥AB，故B不一定成立.
故答案为：B.
【分析】看懂尺规作图痕迹表示的是角平分线和线段的垂直平分线， 由线段垂直平分线的性质得EA=ED，FA=FD，由等边对等角及角平分线的定义可推出∠EDA=∠CAD=∠FDA，进而根据内错角相等两直线平行可得ED∥AF，再根据ASA判断出△AED≌△AFD，得AE=AF，从而即可逐项判断得出答案.
5．（2024八上·黔南期末）某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线OA重合，另一把直尺的边与射线OB重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点P，作射线OP，小明说：“射线OP就是∠AOB的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
C．三角形的三条高交于三点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F，如图所示：
∵直尺的宽度相等，
∴PE=PF，
∵PE⊥OB，PF⊥OA，
∴OP平分∠AOB，
故答案为：A.
【分析】过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F，再利用角平分线的判定方法分析求解即可.
6．（2023七上·花溪月考）如图所示，两个直角∠AOB，∠COD有相同的顶点O，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠AOC+∠BOD=90°；③若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；④∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的性质
【解析】【解答】解： ①∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD，
故①正确；
②若∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠AOC+∠BOC=90°，
∴∠BOD=∠BOC=45°，但∠BOD、∠BOC不一定是45°，
故②错误；
③∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=45°，①得∠AOC=∠BOD，
∴∠BOD=∠BOC=45°，
∴OB平分∠COD，
故③正确；
④设∠COB的平分线为OM，则∠COM=∠BOM，①得∠AOC=∠BOD，∴∠COM+∠AOC=∠BOM+∠BOD，即∠AOM=∠DOM
∴OM平分∠AOD，故④正确.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，可判断①；根据∠AOC+∠BOD=90°，可得∠AOC=∠BOC=45°，但∠BOD、∠BOC不一定是45°，可判断②；由OC平分∠AOB，得∠AOC=∠BOC=45°，结合①中结论可得OB平分∠COD，故可判断③；设∠COB的平分线为OM，结合①中结论可得OM平分∠AOD，故可判断④.
7．（2023八上·花垣期中） 花垣华鑫学校有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴三条角平分线的交点到三边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点，
故答案为：C．
【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，据此求解。
8．（2024八上·汉阳期末）如图，点E是内一点，平分，过点E作于D，连．若，，则的面积是（ ）
A．20 B．30 C．25 D．15
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EH⊥AB于H，如图：
∵BE平分∠ABC，ED⊥BC，EH⊥AB，
∴EH=ED=5，
∵AB=10，
∴△AEB的面积=；
故答案为：C.
【分析】过E作EH⊥AB于H，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得EH=ED=5，根据三角形的面积公式进行计算即可.
二、填空题
9．（2024八上·播州期末）如图，在中，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点、分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥AC于点M，
∵∠AEC=90°，∠C=30°，
∴AC=2AE，
由画法得AP是∠CAE的平分线，
DM⊥AC，DE⊥AE，
∴DM=DE，
∴.
故答案为：.
【分析】过点D作DM⊥AC于点M，先根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半得出AC=2AE，根据作图可知AP是∠CAE的平分线，由角平分线的性质得DM=DE，再由三角形的面积公式即可得出结论.
10．（2024八上·昆明期末）在中，，平分，，则点到的距离为 ．
【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作交E，则DE即为所求，
因为，平分，
所以CD=DE（角的平分线上的点到角的两边距离相等），
因为，
所以DE=5.
故答案为：5.
【分析】过D作交E，再根据角平分线的性质定理即可得出结论.
11．（2024八上·浙江期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ．
【答案】3
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点P作PN⊥OB，如图，
∵
∴OP平分∠AOB，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：3.
【分析】过点P作PN⊥OB，进而逆用角平分线的性质得到OP平分∠AOB，根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到进而即可求解.
12．（2024八上·蔡甸期末）如图，在中，AD是它的角平分线，点是线段AD上的任一点（不与A、重合），，交BC于点，，交BC于点，若点到PE的距离为3，，则
【答案】9
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EOD=∠BAD，∠FPD=∠CAD，
∴∠EPD=∠FPD，
故点D到PE、PF的距离相等，
∵点D到PE的距离为3，
∴点D到PF的距离为3，
∴；
故答案为：9.
【分析】根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠BAD=∠CAD，根据两直线平行，同位角相等可得∠EOD=∠BAD，∠FPD=∠CAD，推得∠EPD=∠FPD，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D到PF的距离为3，根据三角形的面积公式即可求解.
13．（2024·湖南模拟）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格点M，连接并延长交圆于点C，连接．请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出弦，使平分．
【答案】即为所求；
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：连接交于点，连接交圆于点，连接即可
【分析】根据作图-角平分线，连接交于点，连接交圆于点，连接，进而即可求解。
三、解答题
14．（2024八上·播州期末）如图，在四边形中，于点，，且平分，平分．
（1）求证：为的中点；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：如图，作于点，
，
．
，
，
，，
平分，平分，
，，
，
为的中点；
（2）解：在和中，
，
≌，
，
同理，，
，
在四边形中，，，
四边形是梯形，
四边形的面积，
为的中点，，
，
四边形的面积
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形的应用；角平分线的性质
【解析】【分析】（1） 作于点， 由平行的性质得∠B=∠C=90°，根据角平分线的性质得ME=MC=MB，从而求解；
（2）根据HL求得 ≌，因此得，同理，，因此AB+CD=AD=10cm，BC=2CM=8cm，根据梯形面积公式即可求解.
15．（2023八上·花垣期中） 已知．
（1）用尺规完成下列作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①作的平分线AE；
②在AE上任取一点F，作AF的垂直平分线分别与AM、AN交于P、Q；
（2）在（1）的条件下线段AP与AQ有什么数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：①如图所示，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AM，AN交于点H、G，再分别以H、G为圆心，以大于HG长的一半为半径画弧，二者交于点O，过点O作射线AE即为所求；
②如图所示，分别以A、F为圆心，以大于AF长的一半为半画弧，二者分别交于J、K，连接JK分别交AM于P，AN于Q，AE于T；
（2）解：AP=AQ，理由如下：
∵JK是线段AF的垂线平分线，
∴∠PTA=∠QTA=90°，
∵AE是∠MAN的角平分线，
∴∠MAE=∠NAE，
又∵AT=AT，
∴△ATP≌△ATQ（ASA），
∴AP=AQ．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）①以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AM，AN交于两点，再分别以两交点为圆心，以大于两交点长的一半为半径画弧，二者交于一点，过点A作射线经过两圆弧交点，即为的角平分线；
②分别以A、F为圆心，以大于长的一半画弧，二者分别交于两点，连接两交点，分别交于点，于点，则即为的垂直平分线；
（2）根据垂直平分线和角平分线的性质准备条件，利用ASA证明△ATP≌△ATQ ，根据全等三角形的对应边相等得出结论。
四、综合题
16．（2021七下·吉林期中）如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，OF平分∠BOD。
（1）直接写出∠AOC的补角；
（2）若∠AOC=40°，求∠EOF的度数。
【答案】（1）解：∠AOC的补角是∠AOD、∠BOC
（2）解：∵∠AOC=40°，∴∠BOD=∠AOC=40°，∵OF平分∠BOD，∴∠BOF=20°，∵OE⊥AB，∴∠EOB=90°，∴∠EOF=90°-20°=70°
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据补角的含义，写出答案即可；
（2）根据题意，由角平分线的性质结合直角的性质，计算得到答案即可。
17．（2019八下·兰州期末）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.
【答案】（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）证明：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中， ，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可证CE=CF，利再用HL可证得结论。
（2）利用HL证明Rt△FAC≌Rt△EAC，可得到AE=AF，再由（1） 的结论，可证得BE=DF，然后再根据AB=AE+BE，AD=AF-DF，代入整理就可证得结论。
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