2023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 2.2.1 平行四边形的性质同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八下·仓山期末）如图，在中，于，对角线，相交于点，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．（2023八上·吉林开学考）如图所示，在平行四边形ABCD中，M是CD的中点，AB=2BC，BM＝1，AM＝2，则CD的长为（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2023九上·游仙开学考）如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，DE交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E的度数为 ( )
A．102° B．112° C．122° D．92°
4．（2023九上·南宁开学考）如图，在中，AE平分且交BC于点，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·中山开学考）在平行四边形中，比大，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·桐城期末）如图，，且平分，平分交于点M，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020八下·广东月考）如图，在平行四边形ABCD中，AD=7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=4，则AB长为（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
8．（2023八下·黔东南期末）如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处．若，，则的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
二、填空题
9．如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交 AD 于点F，CE平分∠BCD，交 AD于点E.若AB=8，EF=1，则BC长为 .
10．（2023九上·临川期中）在 ABCD中，AB＝4，∠ABC，∠BCD的平分线BE，CF分别与直线AD交于点E，F，当点A，D，E，F相邻两点间的距离相等时，BC的长为 ．
11．（2023九上·香坊期中）在平行四边形中，，，边上的高为4，则平行四边形周长等于 ．
12．（2023九上·黄埔开学考）如图，在 中，的平分线交于，，则的度数为 ．
13．（2023九上·宝安开学考）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时，恰为等边三角形，则图中重叠部分的面积为 ．
三、解答题
14．如图，在 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点 求证：AC⊥BD.
15．如图，在 ABCD中，点E在边BC上，连结DE，AE，EA恰好是∠BED的平分线，点F在DE上，EF=EB，连结AF.求证：
（1）△ABE≌△AFE.
（2）∠FAD=∠CDE.
四、综合题
16．（2023·长沙）如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的长和的面积．
17．（2023八下·二七期末）如图，在四边形中，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度向点运动，两点同时出发，当点到达点时，掉头沿方向继续运动，直至点到达点，两点同时停止运动．若设运动时间为．
（1）直接写出： ， ；（用含的式子表示）
（2）当为何值时，四边形为平行四边形？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴点O是AC的中点，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴OE=AC，，
∴OE=2.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质可证得点O是AC的中点，利用垂直的定义可证得△AEC是直角三角形，利用勾股定理求出AC的长，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出OE的长.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵M是CD的中点，
∴CM=DM=CD=AB=BC=AD，
∴∠DAM=∠DMA，∠CBM=∠CMB，
∵∠C+∠D=180°，
∴∠C=2∠DMA，∠D=2∠CMB，
∴∠DMA+∠CMB=（∠C+∠D）=90°，
∴△AMB是直角三角形，
∵BM=1，AM=2，
∴CD=AB=，
故答案为：D.
【分析】先利用角的运算和等量代换可得∠DMA+∠CMB=（∠C+∠D）=90°，即可得到△AMB是直角三角形，再利用勾股定理及平行四边形的性质可得CD=AB=.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵由折叠的性质可得：∠ABD=∠DBE=48°，∠ADB =∠BDF，
∴∠DBC =∠BDF，
∵∠DFC =40°，
∴∠DBC=∠BDF=20°，
∴∠E = 180°-∠BDF-∠DBE=112°，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质求出AD//BC，再根据折叠的性质求出∠ABD=∠DBE=48°，∠ADB =∠BDF，最后利用三角形的内角和等于180°计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=58°
∴∠B=∠D=58°，AB//CD
∴∠BAD=122°
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=61°
∴∠AEC=∠B+∠BAE=58°+61°=119°
故答案为：C.
【分析】关键就是为利用三角形外角定理准备条件.利用平行四边形的性质得出对角∠B=∠D=58°，对边AB//CD，两直线平行，同旁内角互补，可得出∠BAD=122°，有角平分线的性质可知∠BAE=61°，最后根据三角形外角定理可知∠AEC=119°.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，①
∵∠A=∠B+40°，②
联立解方程组①②可得：∠A=110°，∠B=70°，
∴∠D=∠B=70°.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对边平行，对角相等可得AD∥BC，∠B=∠D，由平行线的性质和已知条件可得关于∠A、∠B的二元一次方程组，解方程组可求解.
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：A：∵∠ACB+∠ACF=180°， 且平分，平分 ，
∴∠ACE+∠ACD=，
即∠ECD=90°；
所以A一定正确；
B：∵平分，
∴∠DCF=∠DCA，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠ABC，∠DCA=∠BAC，
∴∠ABC=∠BAC；
所以B一定正确；
C：∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
又由B知：∠ABC=∠BAC，
∴∠ADC=∠BAC；
所以C一定正确；
D：∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠AEC，
又∵∠ACE=∠BCE，
∴∠AEC=∠ACE，
∴∠CAD=∠AEC+∠ACE=2∠CED，
∵∠CAD与∠BAC不一定相等，
∴∠BAC=2∠CED不一定正确。
故答案为：D。
【分析】根据平行四边形的性质，平行线的性质，以及角平分线的定义可分别证明各选项，找出不一定正确的结论即可。
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠DEC，
∴CD=DE=AD－AE=3，
故答案为：B．
【分析】根据平行线四边形的性质得到AD//BC，再根据角平分线，得到三角形DEC是等腰三角形，得到DE=DC，再利用线段的计算求出DE即可。
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ，
∴，CD=AB=2
∵折叠，
∴AE=AD，CD=CE=2
∴三角形AED是等边三角形，DE=4，
∴的周长为 4×3=12，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质可，根据折叠的性质可得AE=AD，则三角形AED是等边三角形，进而根据CD=CE=2，可得DE=4，进而即可求解．
9．【答案】15
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，，
，，
，
平分，
，
，
，
同理，
，
，
，
故答案为：15．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质．已知四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得：和；又知平分，根据角平分线的定义得∠ABF=∠AFB，∠DCE=∠CED，进而推断出AB=AF，DC=DE，根据图形可得：，先求出，代入可求出BC.
10．【答案】12或6或2
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①当BE、 CF 不相交时，如图，
∵BE平分 ，
∴
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
∵点A ，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴
∴
②当BE、CF 相交，但点 E 、 F 在线段AD上时，如图，
∵点A，D，E，F相邻两点间的距离相等
∴
同理可证：
∵
∴
∴
∴
③当 BE 、 CF 相交，且点 E 在点 D 右侧，点 F 在点 A 左侧时，如图，
∵点 A ， D ， E ， F 相邻两点间的距离相等，
∴AF=AD=DE ，
同理可证：
∴
∴，
∴
∴
综上， BC的长为12或6或2.
故答案为：12或6或2.
【分析】分三种情况： BE、 CF 不相交； BE、CF 相交，但点 E、F 在线段 AD 上； BE 、 CF 相交，且点E点在D右侧，点F在点A左侧．①当 BE 、CF 不相交时，根据题意可得AE=EF=DF=AB=4，则BC=3AE=12；②当BE、CF 相交，但点E、F在线段AD上时，根据题意可得AB=AE=4， CD=DF=4，解得 AF=2，则 BC=3AF=6；③当 BE、 CF 相交，且点E在点D右侧，点 F 在点 A左侧时，根据题意可得AB=AE=4， DF=CD=4， AF+AD+AD+DE=8，解得AD=2，则BC=2.
11．【答案】20或12
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，平行四边形的高可能在内部，也可能在外部，分两种情况讨论：
当平行四边形的高在内部时，如图1所示：
在平行四边形中，边上的高为4，，，∴.
由勾股定理得
∴的周长等于.
当平行四边形的高在外部时，如图2所示：
∵ 在中，边上的高为4，，，
由勾股定理可得，
∴，
的周长等于：.
则的周长等于20或12.
故答案为：20或12．
【分析】根据高在平行四边形的内部和外部两种情况求解，先根据勾股定理求得EC、BE，再根据平行四边形的周长公式求解即可.
12．【答案】120°
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴∠AEB=180°-∠BED=30°，
在 中 ，AD∥BC，
∴∠EBC=∠AEB=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC=60°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠ABC=120°，
故答案为：120°.
【分析】由邻补角的定义可得∠AEB=180°-∠BED=30°，由平行四边形的性质可得AD∥BC，利用平行线的性质可得∠EBC=∠AEB=30°，根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠EBC=60°，再根据平行线的性质即可求解.
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：因为△CDE 为等边三角形，
所以
所以为等边三角形，
由四边形ABCD为平行四边形，且∠B=60°，
所以∠BAD=120°，所以，
所以，A，B三点在同一条直线上，
又因为AC是对折线，
所以AC垂直且平分，
所以，
过点C 作CF⊥AD，
则∠DCF=30°，
由三角函数得，
重叠部分的面积 为．
故答案为：.
【分析】根据翻折的性质，可得为等边三角形，由且∠B=60°得到，A，B三点共线，所以AC垂直且平分，由垂直平分线的性质得，求出AE边上的高，代入三角形面积公式，即可得到重叠部分的面积 ．
14．【答案】证明：∵为平行四边形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴ AC⊥BD
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理的逆定理.因为四边形为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分可得：，进而求出的长度，又知，可推出，根据勾股定理的逆定理可推断出AC⊥BD.
15．【答案】（1）证明：∵ EA是∠BED的平分线 ，
∴∠AEB=∠AEF，
∵AE=AE，BE=EF，
∴△AEB≌△AEF（SAS）；
（2）证明：在 ABCD中， AD∥BC，∠B+∠C=180°，
∴∠DAE=∠BEA=∠AEF，∠ADF=∠DEC，
∴DA=DE，
∵△AEB≌△AEF，
∴∠B=∠AFE，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠B+∠C=180°，
∴∠AFD=∠C，
∴△AFD≌△DCE（AAS），
∴∠FAD=∠CDE.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△AEB≌△AEF；
（2）根据AAS证明△AFD≌△DCE，利用全等三角形的对应边相等即可求解.
16．【答案】（1）证明：在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴；
过D作交的延长线于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质即可得到，进而根据角平分线的性质得到，再结合题意运用等腰三角形的性质即可求解；
（2）先根据题意得到；过D作交的延长线于H，根据含30°角的直角三角形的性质结合题意即可得到AH的长，进而根据勾股定理即可求出DH，再根据三角形的面积即可求解。
17．【答案】（1）t；(8-t)
（2）解：当 点从点出发向点运动时，
四边形为平行四边形
当点沿方向运动，
四边形为平行四边形
当为3s或6s时，四边形为平行四边形
【知识点】平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：(1)由题意可得，
，
，
故答案为：t；(8-t).
【分析】(1)根据点从点出发以的速度向点运动，运动时间为可得AQ的长，再由AD长可表示出DQ.
(2)利用平行四边形的性质可知相等，再用t表示出边长列出方程求解.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 2.2.1 平行四边形的性质同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八下·仓山期末）如图，在中，于，对角线，相交于点，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴点O是AC的中点，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴OE=AC，，
∴OE=2.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质可证得点O是AC的中点，利用垂直的定义可证得△AEC是直角三角形，利用勾股定理求出AC的长，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出OE的长.
2．（2023八上·吉林开学考）如图所示，在平行四边形ABCD中，M是CD的中点，AB=2BC，BM＝1，AM＝2，则CD的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵M是CD的中点，
∴CM=DM=CD=AB=BC=AD，
∴∠DAM=∠DMA，∠CBM=∠CMB，
∵∠C+∠D=180°，
∴∠C=2∠DMA，∠D=2∠CMB，
∴∠DMA+∠CMB=（∠C+∠D）=90°，
∴△AMB是直角三角形，
∵BM=1，AM=2，
∴CD=AB=，
故答案为：D.
【分析】先利用角的运算和等量代换可得∠DMA+∠CMB=（∠C+∠D）=90°，即可得到△AMB是直角三角形，再利用勾股定理及平行四边形的性质可得CD=AB=.
3．（2023九上·游仙开学考）如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，DE交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E的度数为 ( )
A．102° B．112° C．122° D．92°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵由折叠的性质可得：∠ABD=∠DBE=48°，∠ADB =∠BDF，
∴∠DBC =∠BDF，
∵∠DFC =40°，
∴∠DBC=∠BDF=20°，
∴∠E = 180°-∠BDF-∠DBE=112°，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质求出AD//BC，再根据折叠的性质求出∠ABD=∠DBE=48°，∠ADB =∠BDF，最后利用三角形的内角和等于180°计算求解即可。
4．（2023九上·南宁开学考）如图，在中，AE平分且交BC于点，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=58°
∴∠B=∠D=58°，AB//CD
∴∠BAD=122°
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=61°
∴∠AEC=∠B+∠BAE=58°+61°=119°
故答案为：C.
【分析】关键就是为利用三角形外角定理准备条件.利用平行四边形的性质得出对角∠B=∠D=58°，对边AB//CD，两直线平行，同旁内角互补，可得出∠BAD=122°，有角平分线的性质可知∠BAE=61°，最后根据三角形外角定理可知∠AEC=119°.
5．（2023九上·中山开学考）在平行四边形中，比大，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，①
∵∠A=∠B+40°，②
联立解方程组①②可得：∠A=110°，∠B=70°，
∴∠D=∠B=70°.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对边平行，对角相等可得AD∥BC，∠B=∠D，由平行线的性质和已知条件可得关于∠A、∠B的二元一次方程组，解方程组可求解.
6．（2023七下·桐城期末）如图，，且平分，平分交于点M，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：A：∵∠ACB+∠ACF=180°， 且平分，平分 ，
∴∠ACE+∠ACD=，
即∠ECD=90°；
所以A一定正确；
B：∵平分，
∴∠DCF=∠DCA，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠ABC，∠DCA=∠BAC，
∴∠ABC=∠BAC；
所以B一定正确；
C：∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
又由B知：∠ABC=∠BAC，
∴∠ADC=∠BAC；
所以C一定正确；
D：∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠AEC，
又∵∠ACE=∠BCE，
∴∠AEC=∠ACE，
∴∠CAD=∠AEC+∠ACE=2∠CED，
∵∠CAD与∠BAC不一定相等，
∴∠BAC=2∠CED不一定正确。
故答案为：D。
【分析】根据平行四边形的性质，平行线的性质，以及角平分线的定义可分别证明各选项，找出不一定正确的结论即可。
7．（2020八下·广东月考）如图，在平行四边形ABCD中，AD=7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=4，则AB长为（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠DEC，
∴CD=DE=AD－AE=3，
故答案为：B．
【分析】根据平行线四边形的性质得到AD//BC，再根据角平分线，得到三角形DEC是等腰三角形，得到DE=DC，再利用线段的计算求出DE即可。
8．（2023八下·黔东南期末）如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处．若，，则的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ，
∴，CD=AB=2
∵折叠，
∴AE=AD，CD=CE=2
∴三角形AED是等边三角形，DE=4，
∴的周长为 4×3=12，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质可，根据折叠的性质可得AE=AD，则三角形AED是等边三角形，进而根据CD=CE=2，可得DE=4，进而即可求解．
二、填空题
9．如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交 AD 于点F，CE平分∠BCD，交 AD于点E.若AB=8，EF=1，则BC长为 .
【答案】15
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，，
，，
，
平分，
，
，
，
同理，
，
，
，
故答案为：15．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质．已知四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得：和；又知平分，根据角平分线的定义得∠ABF=∠AFB，∠DCE=∠CED，进而推断出AB=AF，DC=DE，根据图形可得：，先求出，代入可求出BC.
10．（2023九上·临川期中）在 ABCD中，AB＝4，∠ABC，∠BCD的平分线BE，CF分别与直线AD交于点E，F，当点A，D，E，F相邻两点间的距离相等时，BC的长为 ．
【答案】12或6或2
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①当BE、 CF 不相交时，如图，
∵BE平分 ，
∴
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
∵点A ，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴
∴
②当BE、CF 相交，但点 E 、 F 在线段AD上时，如图，
∵点A，D，E，F相邻两点间的距离相等
∴
同理可证：
∵
∴
∴
∴
③当 BE 、 CF 相交，且点 E 在点 D 右侧，点 F 在点 A 左侧时，如图，
∵点 A ， D ， E ， F 相邻两点间的距离相等，
∴AF=AD=DE ，
同理可证：
∴
∴，
∴
∴
综上， BC的长为12或6或2.
故答案为：12或6或2.
【分析】分三种情况： BE、 CF 不相交； BE、CF 相交，但点 E、F 在线段 AD 上； BE 、 CF 相交，且点E点在D右侧，点F在点A左侧．①当 BE 、CF 不相交时，根据题意可得AE=EF=DF=AB=4，则BC=3AE=12；②当BE、CF 相交，但点E、F在线段AD上时，根据题意可得AB=AE=4， CD=DF=4，解得 AF=2，则 BC=3AF=6；③当 BE、 CF 相交，且点E在点D右侧，点 F 在点 A左侧时，根据题意可得AB=AE=4， DF=CD=4， AF+AD+AD+DE=8，解得AD=2，则BC=2.
11．（2023九上·香坊期中）在平行四边形中，，，边上的高为4，则平行四边形周长等于 ．
【答案】20或12
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，平行四边形的高可能在内部，也可能在外部，分两种情况讨论：
当平行四边形的高在内部时，如图1所示：
在平行四边形中，边上的高为4，，，∴.
由勾股定理得
∴的周长等于.
当平行四边形的高在外部时，如图2所示：
∵ 在中，边上的高为4，，，
由勾股定理可得，
∴，
的周长等于：.
则的周长等于20或12.
故答案为：20或12．
【分析】根据高在平行四边形的内部和外部两种情况求解，先根据勾股定理求得EC、BE，再根据平行四边形的周长公式求解即可.
12．（2023九上·黄埔开学考）如图，在 中，的平分线交于，，则的度数为 ．
【答案】120°
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴∠AEB=180°-∠BED=30°，
在 中 ，AD∥BC，
∴∠EBC=∠AEB=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC=60°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠ABC=120°，
故答案为：120°.
【分析】由邻补角的定义可得∠AEB=180°-∠BED=30°，由平行四边形的性质可得AD∥BC，利用平行线的性质可得∠EBC=∠AEB=30°，根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠EBC=60°，再根据平行线的性质即可求解.
13．（2023九上·宝安开学考）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时，恰为等边三角形，则图中重叠部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：因为△CDE 为等边三角形，
所以
所以为等边三角形，
由四边形ABCD为平行四边形，且∠B=60°，
所以∠BAD=120°，所以，
所以，A，B三点在同一条直线上，
又因为AC是对折线，
所以AC垂直且平分，
所以，
过点C 作CF⊥AD，
则∠DCF=30°，
由三角函数得，
重叠部分的面积 为．
故答案为：.
【分析】根据翻折的性质，可得为等边三角形，由且∠B=60°得到，A，B三点共线，所以AC垂直且平分，由垂直平分线的性质得，求出AE边上的高，代入三角形面积公式，即可得到重叠部分的面积 ．
三、解答题
14．如图，在 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点 求证：AC⊥BD.
【答案】证明：∵为平行四边形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴ AC⊥BD
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理的逆定理.因为四边形为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分可得：，进而求出的长度，又知，可推出，根据勾股定理的逆定理可推断出AC⊥BD.
15．如图，在 ABCD中，点E在边BC上，连结DE，AE，EA恰好是∠BED的平分线，点F在DE上，EF=EB，连结AF.求证：
（1）△ABE≌△AFE.
（2）∠FAD=∠CDE.
【答案】（1）证明：∵ EA是∠BED的平分线 ，
∴∠AEB=∠AEF，
∵AE=AE，BE=EF，
∴△AEB≌△AEF（SAS）；
（2）证明：在 ABCD中， AD∥BC，∠B+∠C=180°，
∴∠DAE=∠BEA=∠AEF，∠ADF=∠DEC，
∴DA=DE，
∵△AEB≌△AEF，
∴∠B=∠AFE，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠B+∠C=180°，
∴∠AFD=∠C，
∴△AFD≌△DCE（AAS），
∴∠FAD=∠CDE.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△AEB≌△AEF；
（2）根据AAS证明△AFD≌△DCE，利用全等三角形的对应边相等即可求解.
四、综合题
16．（2023·长沙）如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的长和的面积．
【答案】（1）证明：在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴；
过D作交的延长线于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质即可得到，进而根据角平分线的性质得到，再结合题意运用等腰三角形的性质即可求解；
（2）先根据题意得到；过D作交的延长线于H，根据含30°角的直角三角形的性质结合题意即可得到AH的长，进而根据勾股定理即可求出DH，再根据三角形的面积即可求解。
17．（2023八下·二七期末）如图，在四边形中，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度向点运动，两点同时出发，当点到达点时，掉头沿方向继续运动，直至点到达点，两点同时停止运动．若设运动时间为．
（1）直接写出： ， ；（用含的式子表示）
（2）当为何值时，四边形为平行四边形？
【答案】（1）t；(8-t)
（2）解：当 点从点出发向点运动时，
四边形为平行四边形
当点沿方向运动，
四边形为平行四边形
当为3s或6s时，四边形为平行四边形
【知识点】平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：(1)由题意可得，
，
，
故答案为：t；(8-t).
【分析】(1)根据点从点出发以的速度向点运动，运动时间为可得AQ的长，再由AD长可表示出DQ.
(2)利用平行四边形的性质可知相等，再用t表示出边长列出方程求解.
1 / 1
