2023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 2.4 三角形的中位线同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八下·耿马期末）在中，点、、分别是三边的中点，若的周长为，则周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∵点、、分别是三边的中点，
∴DE、DF和EF分别是△ABC的中位线，
∴DE=BC，DF=AC，EF=AB，
∵的周长为，
∴EF+DE+DF=16
∴C△ABC=AB+BC+AC=2EF+2DE+2DF=2（EF+DE+DF）=2C△DEF=2×16=32，
故答案为：D.
【分析】根据题意得出DE、DF和EF分别是△ABC的中位线，可得DE=BC，DF=AC，EF=AB，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可.
2．（2023八下·西山期末）如图，在中，、分别为、的中点，点在上，且，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵AC=12，
∴DE=AC=6，
∵AF⊥BF，D为AB的中点，
∴DF是Rt△ABF斜边上的中线，
∵AB=7，
∴DF=AB=3.5，
∴EF=DE-DF=6-3.5=2.5.
故答案为：D.
【分析】根据中位线定理得DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DF的长，再相减即可求解.
3．如图，□ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，AE平分∠BAD，交 BC 于点 E，连结 OE.已知 . 有下列结论：
①；②；③ ；④. 其中正确的是 （ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ ∠ABE=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠BAD=60°，
∴ △ADE为等边三角形，
∴ AB=BE=AE，
∵ AB=BC，
∴ AE为△ABC的中线，且AE=BC，
∴ ∠BAC=90°，
∴ ∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°，故①正确；
∴，故②正确；
在Rt△AOB中，OB＞AB，故③正确；
∵ AO=CO，BE=CE，
∴ OE=AB，
∵ AB=BC，
∴ OE=BC，故④正确，
综上，正确的有①②④.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质得∠ABE=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得∠BAE的度数，根据等边三角形的判定和性质推出AB=BE=AE，根据直角三角形的判定得∠BAC=90°，即可判断① ；根据平行四边形的面积公式即可判断② ；根据直角三角形中斜边大于直角边即可判断③ ；根据三角形的中位线的性质即可判断④ .
4．（2020八下·滨海期末）如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，若BC＝6，则OE的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB＝OD，
∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE，
∴OE是△BCD的中位线，
∵BC＝6，
∴OE＝ BC＝3．
故答案为：C．
【分析】先说明OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．
5．（2023八下·安达期末）下列说法中错误的是（ ）
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B．等底等高三角形的面积相等
C．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
D．如果三角形两条边的长分别是a、b，第三边长为c，则有a2+b2=c2
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，本项正确；
B、等底等高三角形的面积相等，本项正确；
C、三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，本项正确；
D、如果三角形两条边的长分别是a、b，第三边长为c，则有，那该三角形一定是直角三角
形，本项错误；
故答案为：D.
【分析】根据三角形的相关性质，逐项判断语句是否正确.
6．（2016·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6．
又∵DE垂直平分AC交AB于点E，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DE= BC=3．
故选：D．
【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理求得BC边的长度，然后由三角形中位线定理知DE= BC．本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
7．（2023八下·鞍山期末）如图，中，点，分别是边，上的点，且，将沿翻折，使点的对称点落在边上，若，，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：解：连接AA′交MN于点G，如图：
∵△A′MN由△AM翻折而成，且点A的对称点A′落在BC边上，
∴MN是线段AA′的垂直平分线，
∴A′M=AM，A′N=AN，
又∵MN∥BC，
∴MG是△ABA′的中位线，
∴MN是△ABC的中位线，
∴，，，
∴△A′MN的周长=A′M+A′N+MN=2.3+2+2.1=6.4（cm）．
故答案为：A.
【分析】根据轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分可知MN是线段AA′的垂直平分线；根据垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段可得A′M=AM，A′N=AN；根据中位线的定义：经过三角形一边中点与另一边平行的直线与第三边相交，交点与中点之间的线段为三角形的中位线，可得MG是△ABA′的中位线，MN是△ABC的中位线；根据中位线的性质：平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半，可求得MN的值，分别求出A′M，A′N，即可求解得出结论．
8．（2023七下·利辛期末）如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间距离等于23米，则A、C两点间的距离为（ ）
A．46 B．23 C．50 D．25
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点E、F分别是AB和BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AC=2EF，
∵EF=23m，
∴AC=2EF=2×23=46m，
故答案为：A.
【分析】利用三角形中位线定理求解即可.
二、填空题
9．（2023九上·长沙开学考）如图，中，D、F分别是AC、BC的中点，E在DF上，且，若，，则 ．
【答案】1
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵D、F分别是AC、BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=AB=×8=4，
∵，，
∴EF=BC=×6=3，
∴DE=DF-EF=4-3=1，
故答案为：1.
【分析】先利用三角形中位线的性质求出DF的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质求出EF的长，最后利用线段的和差求出DE的长即可.
10．（2023九上·开州期中）如图，在矩形中，，，对角线相交于点E，将沿着翻折到，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AF，AF交BD于点G，
根据折叠的性质可得，BD垂直平分AF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，AE=CE，
∴EG为△ACF的中位线，
∴CF=2EG，
在直角三角形ABD中，由勾股定理得，BD=10，
∴AE=BE=5，
设EG为m，则BG为5-m，
∴62-（5-m）2=52-m2，
∴m=，
∴CF=2EG=2m=；
故答案为：.
【分析】连接AF，由折叠的性质即可证明EG为△ACF的中位线，结合勾股定理列出方程求解即可。
11．（2023八下·新都期末）如图，在中，D，E，F分别是的中点．若，则四边形的周长是 ．
【答案】10
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E，F分别是的中点，
∴EF和DE分别是△ABC的中位线，
∴FE//BC，DE//AB，EF=BC=3，DE=AB=2，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴四边形的周长=2×（EF+DE）=2×（3+2）=10，
故答案为：10.
【分析】先证出EF和DE分别是△ABC的中位线，可得EF=BC=3，DE=AB=2，再利用平行四边形的周长公式求解即可.
12．（2023九上·福田开学考）如图，△ABC中，AB＝AC，P是BC延长线上一点，CF⊥AP于F，D，E分别为BC和AC的中点，连ED，EF，若∠APB＝40°，则∠DEF＝ 度．
【答案】100
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵CF⊥AP，
∴∠AFC=90°=∠CFP，
又∵∠P=40°，
∴∠BCF=∠P+∠CFP=130°；
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵D、E是BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠B=∠EDC，
∴∠EDC=∠ACB，
∴∠DEC=180°-2∠ECD；
在Rt△ACF中，点E是斜边AC的中点，
∴EF=EC，
∴∠ECF=∠EFC，
∴∠CEF=180°-2∠ECF，
∴∠DEF=∠DEC+∠CEF=360°-2∠ECD-2∠ECF=360°-2（∠ECD+∠ECF）=360°-2∠BCF=360°-2×130°=100°.
故答案为：100.
【分析】先由垂直定义得∠AFC=90°=∠CFP，由三角形外角相等得∠BCF=∠P+∠CFP=130°；由等边对等角得∠B=∠ACB，由三角形中位线定理得DE∥AB，由平行线的性质及等量代换得∠EDC=∠ACB，根据三角形的内角和定理得∠DEC=180°-2∠ECD；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EF=EC，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠CEF=180°-2∠ECF，进而根据角的和差列式计算可得答案.
13．（2023九上·福田开学考）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AF，
∵G， H分别为AE，EF的中点，
∴，
要使GH最小，只要AF最小，
当AF⊥BC时，AF最小，
∵GH的最小值为3，
∴AF=6，
∵∠B= 45°，
∴∠BAF= 45°，
∴BF= AF= 6，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴. BC=AB=；
故答案为：.
【分析】连接AF，利用中位线的性质GH =二AF，要使GH最小，只要AF最小，当AF⊥BC时，AF最小为6，由∠B = 45° 确定△ABF为等腰直角三角形，得出AF=BF= 6，由勾股定理得：AB2=BF2+AF2求出BC即可.
三、解答题
14．如图，在△ABC中，∠BAC=70°，∠ABC 和∠ACB的平分线相交于点 D，E，F，G，H 分别是线段 AB，AC，BD，CD的中点.
（1）求∠BDC的度数.
（2）连结 EG，EF，HG，HF，求证：四边形EGHF 是平行四边形.
【答案】（1）解：∵ ∠BAC=70°，
∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°，
∵ BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴ ∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴ ∠DBC+∠DCB=（∠ABC+ACB）=55°，
∴ ∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=125°；
（2）证明：连接AD，如图
∵ E，F，G，H 分别是线段 AB，AC，BD，CD的中点，
∴ EG，FH，EF，GH分别是△ABD，△ACD，△ABC，△BCD的中位线，
∴ EG=FH=AD，EF=GH=BC，
∴ 四边形EGHF是平行四边形.
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可求得；
（2）根据三角形的中位线的性质可得EG=FH=AD，EF=GH=BC，进而根据两组对边分别相等得四边形是平行四边形即可证明.
15．如图，在△ABC中，BC=AC，E，F分别是边AB，AC 的中点，连结 EF 并延长，交△ABC 外角∠ACD的平分线于点G，连结AG，CE.
（1）AG 与CG有怎样的位置关系 请说明理由.
（2）求证：四边形 AECG 是平行四边形.
【答案】（1）解：AG⊥CG，理由如下：
∵ E，F分别是边AB，AC 的中点
∴EF∥BC，EF=FG
∴∠EGC=∠GCD，∠AEG=∠B
∵CG平分∠ACD
∴∠ACG=∠GCD
∴∠EGC=∠ACG
∴FG=FC
∵AF=CF
∴AF=FG
∴∠FAG=∠AGF
∴∠FAG+∠AGF+∠FGC+∠ACG=180°
∴∠FAG+∠ACG=∠AGF+∠FGC=90°
∴AG⊥CG；
（2）证明：由（1）可知AF＝CF＝FG，EF＝BC；
∵BC＝AC
∴FG＝EF
∵EF＝FG，AF＝CF
∴四边形AECG是平行四边形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线的性质得EF∥BC，EF=FG；根据等量代换原则得∠EGC=∠ACG；根据等腰三角形的判定和性质，可得FG=FC；根据等量代换原则，可得AF=FG；根据等腰三角形的性质得∠FAG=∠AGF，进而可推出∠AGF+∠FGC=90°，根据垂直的定义可得结论；
（2）根据对角线互相平分的四边形判定四边形AECG是平行四边形.
四、综合题
16．（2023八下·怀化期末）如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接，．
（1）求证：；
（2）过点作于点，求证：．
【答案】（1）解：证明：∵在中，，，
∴；
又∵点D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
（2）证明：∵在中，，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴．又，
∴，
∵是的中位线，，
∴，
∴在和中，有，，
∴，
即．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，再根据三角形中位线定理即可得到，进而即可求解；
（2）先根据题意即可得到，进而根据等边三角形的判定与性质即可得到，从而结合题意运用三角形中位线定理即可得到，再根据直角三角形全等的判定即可求解。
17．（2023八下·连平月考）如图，等边的边长是2，分别为的中点，延长至点，使，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形
（2）求的长．
【答案】（1）证明：分别为的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，
四边形DCEF是平行四边形；
（2）解：四边形DCEF是平行四边形，
为的中点，等边三角形的边长为2，
，
.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用中位线定理得到DE和BC的数量与位置关系，再通过一组对边平行且相等证得四边形DCEF是平行四边形；
（2）先利用中点定义求出班的，进而利用勾股定理求得CD的长度，再通过平行四边形的对边相等得到EF的长.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 2.4 三角形的中位线同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八下·耿马期末）在中，点、、分别是三边的中点，若的周长为，则周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·西山期末）如图，在中，、分别为、的中点，点在上，且，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，□ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，AE平分∠BAD，交 BC 于点 E，连结 OE.已知 . 有下列结论：
①；②；③ ；④. 其中正确的是 （ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
4．（2020八下·滨海期末）如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，若BC＝6，则OE的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
5．（2023八下·安达期末）下列说法中错误的是（ ）
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B．等底等高三角形的面积相等
C．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
D．如果三角形两条边的长分别是a、b，第三边长为c，则有a2+b2=c2
6．（2016·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．（2023八下·鞍山期末）如图，中，点，分别是边，上的点，且，将沿翻折，使点的对称点落在边上，若，，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·利辛期末）如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间距离等于23米，则A、C两点间的距离为（ ）
A．46 B．23 C．50 D．25
二、填空题
9．（2023九上·长沙开学考）如图，中，D、F分别是AC、BC的中点，E在DF上，且，若，，则 ．
10．（2023九上·开州期中）如图，在矩形中，，，对角线相交于点E，将沿着翻折到，连接，则的长为 ．
11．（2023八下·新都期末）如图，在中，D，E，F分别是的中点．若，则四边形的周长是 ．
12．（2023九上·福田开学考）如图，△ABC中，AB＝AC，P是BC延长线上一点，CF⊥AP于F，D，E分别为BC和AC的中点，连ED，EF，若∠APB＝40°，则∠DEF＝ 度．
13．（2023九上·福田开学考）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 ．
三、解答题
14．如图，在△ABC中，∠BAC=70°，∠ABC 和∠ACB的平分线相交于点 D，E，F，G，H 分别是线段 AB，AC，BD，CD的中点.
（1）求∠BDC的度数.
（2）连结 EG，EF，HG，HF，求证：四边形EGHF 是平行四边形.
15．如图，在△ABC中，BC=AC，E，F分别是边AB，AC 的中点，连结 EF 并延长，交△ABC 外角∠ACD的平分线于点G，连结AG，CE.
（1）AG 与CG有怎样的位置关系 请说明理由.
（2）求证：四边形 AECG 是平行四边形.
四、综合题
16．（2023八下·怀化期末）如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接，．
（1）求证：；
（2）过点作于点，求证：．
17．（2023八下·连平月考）如图，等边的边长是2，分别为的中点，延长至点，使，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形
（2）求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∵点、、分别是三边的中点，
∴DE、DF和EF分别是△ABC的中位线，
∴DE=BC，DF=AC，EF=AB，
∵的周长为，
∴EF+DE+DF=16
∴C△ABC=AB+BC+AC=2EF+2DE+2DF=2（EF+DE+DF）=2C△DEF=2×16=32，
故答案为：D.
【分析】根据题意得出DE、DF和EF分别是△ABC的中位线，可得DE=BC，DF=AC，EF=AB，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵AC=12，
∴DE=AC=6，
∵AF⊥BF，D为AB的中点，
∴DF是Rt△ABF斜边上的中线，
∵AB=7，
∴DF=AB=3.5，
∴EF=DE-DF=6-3.5=2.5.
故答案为：D.
【分析】根据中位线定理得DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DF的长，再相减即可求解.
3．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ ∠ABE=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠BAD=60°，
∴ △ADE为等边三角形，
∴ AB=BE=AE，
∵ AB=BC，
∴ AE为△ABC的中线，且AE=BC，
∴ ∠BAC=90°，
∴ ∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°，故①正确；
∴，故②正确；
在Rt△AOB中，OB＞AB，故③正确；
∵ AO=CO，BE=CE，
∴ OE=AB，
∵ AB=BC，
∴ OE=BC，故④正确，
综上，正确的有①②④.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质得∠ABE=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得∠BAE的度数，根据等边三角形的判定和性质推出AB=BE=AE，根据直角三角形的判定得∠BAC=90°，即可判断① ；根据平行四边形的面积公式即可判断② ；根据直角三角形中斜边大于直角边即可判断③ ；根据三角形的中位线的性质即可判断④ .
4．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB＝OD，
∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE，
∴OE是△BCD的中位线，
∵BC＝6，
∴OE＝ BC＝3．
故答案为：C．
【分析】先说明OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，本项正确；
B、等底等高三角形的面积相等，本项正确；
C、三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，本项正确；
D、如果三角形两条边的长分别是a、b，第三边长为c，则有，那该三角形一定是直角三角
形，本项错误；
故答案为：D.
【分析】根据三角形的相关性质，逐项判断语句是否正确.
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6．
又∵DE垂直平分AC交AB于点E，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DE= BC=3．
故选：D．
【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理求得BC边的长度，然后由三角形中位线定理知DE= BC．本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：解：连接AA′交MN于点G，如图：
∵△A′MN由△AM翻折而成，且点A的对称点A′落在BC边上，
∴MN是线段AA′的垂直平分线，
∴A′M=AM，A′N=AN，
又∵MN∥BC，
∴MG是△ABA′的中位线，
∴MN是△ABC的中位线，
∴，，，
∴△A′MN的周长=A′M+A′N+MN=2.3+2+2.1=6.4（cm）．
故答案为：A.
【分析】根据轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分可知MN是线段AA′的垂直平分线；根据垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段可得A′M=AM，A′N=AN；根据中位线的定义：经过三角形一边中点与另一边平行的直线与第三边相交，交点与中点之间的线段为三角形的中位线，可得MG是△ABA′的中位线，MN是△ABC的中位线；根据中位线的性质：平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半，可求得MN的值，分别求出A′M，A′N，即可求解得出结论．
8．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点E、F分别是AB和BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AC=2EF，
∵EF=23m，
∴AC=2EF=2×23=46m，
故答案为：A.
【分析】利用三角形中位线定理求解即可.
9．【答案】1
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵D、F分别是AC、BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=AB=×8=4，
∵，，
∴EF=BC=×6=3，
∴DE=DF-EF=4-3=1，
故答案为：1.
【分析】先利用三角形中位线的性质求出DF的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质求出EF的长，最后利用线段的和差求出DE的长即可.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AF，AF交BD于点G，
根据折叠的性质可得，BD垂直平分AF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，AE=CE，
∴EG为△ACF的中位线，
∴CF=2EG，
在直角三角形ABD中，由勾股定理得，BD=10，
∴AE=BE=5，
设EG为m，则BG为5-m，
∴62-（5-m）2=52-m2，
∴m=，
∴CF=2EG=2m=；
故答案为：.
【分析】连接AF，由折叠的性质即可证明EG为△ACF的中位线，结合勾股定理列出方程求解即可。
11．【答案】10
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E，F分别是的中点，
∴EF和DE分别是△ABC的中位线，
∴FE//BC，DE//AB，EF=BC=3，DE=AB=2，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴四边形的周长=2×（EF+DE）=2×（3+2）=10，
故答案为：10.
【分析】先证出EF和DE分别是△ABC的中位线，可得EF=BC=3，DE=AB=2，再利用平行四边形的周长公式求解即可.
12．【答案】100
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵CF⊥AP，
∴∠AFC=90°=∠CFP，
又∵∠P=40°，
∴∠BCF=∠P+∠CFP=130°；
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵D、E是BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠B=∠EDC，
∴∠EDC=∠ACB，
∴∠DEC=180°-2∠ECD；
在Rt△ACF中，点E是斜边AC的中点，
∴EF=EC，
∴∠ECF=∠EFC，
∴∠CEF=180°-2∠ECF，
∴∠DEF=∠DEC+∠CEF=360°-2∠ECD-2∠ECF=360°-2（∠ECD+∠ECF）=360°-2∠BCF=360°-2×130°=100°.
故答案为：100.
【分析】先由垂直定义得∠AFC=90°=∠CFP，由三角形外角相等得∠BCF=∠P+∠CFP=130°；由等边对等角得∠B=∠ACB，由三角形中位线定理得DE∥AB，由平行线的性质及等量代换得∠EDC=∠ACB，根据三角形的内角和定理得∠DEC=180°-2∠ECD；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EF=EC，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠CEF=180°-2∠ECF，进而根据角的和差列式计算可得答案.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AF，
∵G， H分别为AE，EF的中点，
∴，
要使GH最小，只要AF最小，
当AF⊥BC时，AF最小，
∵GH的最小值为3，
∴AF=6，
∵∠B= 45°，
∴∠BAF= 45°，
∴BF= AF= 6，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴. BC=AB=；
故答案为：.
【分析】连接AF，利用中位线的性质GH =二AF，要使GH最小，只要AF最小，当AF⊥BC时，AF最小为6，由∠B = 45° 确定△ABF为等腰直角三角形，得出AF=BF= 6，由勾股定理得：AB2=BF2+AF2求出BC即可.
14．【答案】（1）解：∵ ∠BAC=70°，
∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°，
∵ BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴ ∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴ ∠DBC+∠DCB=（∠ABC+ACB）=55°，
∴ ∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=125°；
（2）证明：连接AD，如图
∵ E，F，G，H 分别是线段 AB，AC，BD，CD的中点，
∴ EG，FH，EF，GH分别是△ABD，△ACD，△ABC，△BCD的中位线，
∴ EG=FH=AD，EF=GH=BC，
∴ 四边形EGHF是平行四边形.
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可求得；
（2）根据三角形的中位线的性质可得EG=FH=AD，EF=GH=BC，进而根据两组对边分别相等得四边形是平行四边形即可证明.
15．【答案】（1）解：AG⊥CG，理由如下：
∵ E，F分别是边AB，AC 的中点
∴EF∥BC，EF=FG
∴∠EGC=∠GCD，∠AEG=∠B
∵CG平分∠ACD
∴∠ACG=∠GCD
∴∠EGC=∠ACG
∴FG=FC
∵AF=CF
∴AF=FG
∴∠FAG=∠AGF
∴∠FAG+∠AGF+∠FGC+∠ACG=180°
∴∠FAG+∠ACG=∠AGF+∠FGC=90°
∴AG⊥CG；
（2）证明：由（1）可知AF＝CF＝FG，EF＝BC；
∵BC＝AC
∴FG＝EF
∵EF＝FG，AF＝CF
∴四边形AECG是平行四边形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线的性质得EF∥BC，EF=FG；根据等量代换原则得∠EGC=∠ACG；根据等腰三角形的判定和性质，可得FG=FC；根据等量代换原则，可得AF=FG；根据等腰三角形的性质得∠FAG=∠AGF，进而可推出∠AGF+∠FGC=90°，根据垂直的定义可得结论；
（2）根据对角线互相平分的四边形判定四边形AECG是平行四边形.
16．【答案】（1）解：证明：∵在中，，，
∴；
又∵点D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
（2）证明：∵在中，，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴．又，
∴，
∵是的中位线，，
∴，
∴在和中，有，，
∴，
即．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，再根据三角形中位线定理即可得到，进而即可求解；
（2）先根据题意即可得到，进而根据等边三角形的判定与性质即可得到，从而结合题意运用三角形中位线定理即可得到，再根据直角三角形全等的判定即可求解。
17．【答案】（1）证明：分别为的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，
四边形DCEF是平行四边形；
（2）解：四边形DCEF是平行四边形，
为的中点，等边三角形的边长为2，
，
.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用中位线定理得到DE和BC的数量与位置关系，再通过一组对边平行且相等证得四边形DCEF是平行四边形；
（2）先利用中点定义求出班的，进而利用勾股定理求得CD的长度，再通过平行四边形的对边相等得到EF的长.
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