2023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 2.5.1 矩形的性质同步分层训练提升题
一、选择题
1．如图，将矩形 ABCD 沿对角线BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交AD 于点 F.已知∠BDC =62°，则∠DFE的度数为（ ）
A．28° B．31° C．56° D．62°
【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠ADC=∠C=90°，
∴∠ADB=90°-∠BDC=90°-62°=28°，
∵将矩形 ABCD 沿对角线BD 折叠，点 C 落在点 E 处，
∴∠BDE=∠BDC=62°，∠E=∠C=90°，
∴∠EDF=∠EDB-∠FDB=62°-28°=34°，
∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-34°=56°.
故答案为：C.
【分析】利用矩形的性质可证得∠ADC=∠C=90°，据此可求出∠ADB的度数，利用折叠的性质可证得∠BDE=∠BDC=62°，∠E=∠C=90°，根据∠EDF=∠EDB-∠FDB，代入计算求出∠EDF的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余可求出∠DFE的度数.
2．（2021·道里模拟）如图，ABCD是一张矩形纸片，点E是AD边上的一点，将纸片沿直线BE翻折，点A落在DC边上的点F处，若AB＝10，AD＝8，则DE的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，AB＝10，AD＝8
∴ ， ，
∵将纸片沿直线BE翻折，点A落在DC边上的点F处
∴ ，
在 中，
∴
设
∴
在 中，
∴ ，解得
∴ ，
故答案为：D．
【分析】根据折叠的性质求出 ， ， ，再利用勾股定理求出CF的长度，设，则DE=8-x，再在 中， 利用勾股定理得到，再代入计算即可。
3．如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，过点B作BF⊥EC，垂足为F.若CD=1，CF=2，则线段AE的长为（ ）
A． B．-1 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，
∴∠DEC=∠FCB，
∵BF⊥EC，
∴∠BFC=∠CDE，
∵把△BCM沿CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，
∴BC=EC，
在△BFC和△CDE中
∴△BFC≌△CDE（AAS）
∴DE=CF=2，
∴CE=，
∴AD=BC=CE=，
∴AE=AD-DE=-2.
故答案为：-2.
【分析】由矩形的性质可得BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，由折叠的性质可得BC=EC，结合已知用角角边可证△BFC≌△CDE，则DE=CF，在直角三角形CDE中，用勾股定理求出CE的值，然后根据线段的构成AE=AD-DE可求解.
4．如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD与BC重合，得到折痕EF，将纸片展平，再次折叠纸片，使点 A 落在EF 上的点N 处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，再展平纸片，连结 MN，BN.下列结论一定正确的是 （ ）
A．AE=MN B．AB=MB
C．BM 与EN 互相平分 D．∠BNE=30°
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠知：AM=MN，很显然AE≠MN，故A错误；
在Rt△ABM中，BM＞AB，故B错误；
由折叠及矩形的性质可得：四边形ABNM不是平行四边形，
∴ BM 与EN不互相平分 ，故C错误；
由折叠知：AB=BN，AE=BE，
∴BN=2BE，
在Rt△BEN中，则∠BNE=30° ，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据折叠及矩形的性质可得AM=MN，AB=BN=2BE，四边形ABNM不是平行四边形，很显然AE≠MN，据此判断A，再利用平行四边形的性质及直角三角形的性质判断B、C、D即可.
5．如图，在矩形ABCD中﹐点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连结EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F.若CD=1，CF=2，则线段AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：由翻折得：BC=CE，
∵∠EDC=∠CFB=90°，
∠DEC=∠FCB，
∴ △EDC≌△CFB（AAS），
∴ DE=FC=2，
∴ CE==，
∴ BC=CE=，
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD=BC=，
∴ AE=AD-DE=-2.
故答案为：A.
【分析】依据AAS判定△EDC≌△CFB推出DE=FC=2，根据勾股定理得CE，由翻折得BC=CE，根据矩形的性质得AD=BC，再由AE=AD-DE即可求得.
6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使点C和点A重合，则折痕EF的长为（ ）
A． B． C．15 D．16
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接AF
由题意得EF为AC的垂直平分线，
∴AF=CF
设CF=x，则BF=4-x
在中，由勾股定理得，即，解得，
在中，，，
在中，由勾股定理得，
.
故答案为：A.
【分析】连接AF，由题意得EF为AC的垂直平分线，得AF=CF，设CF=x，在中，根据勾股定理得，在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，即可得解.
7．矩形的一个角的平分线把矩形的一边分成1 cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为（ ）
A．3 cm2 B．4 cm2
C．12 cm2 D．4 cm2或12 cm2
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠AEB，
∴AB=AE，
（1）当AE=1cm时，则AB=CD=1cm，AD=BC=1cm+3cm=4cm，
S矩形ABCD=1cm×4cm=4cm2．
（2）当AE=3cm时，AB=CD=3cm，AD=BC=4cm，
S矩形ABCD=3cm×4cm=12cm2．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质，角平分线的性质可以得知AB=AE，此时分两种情况来讨论，分别算出面积可得到答案.
8．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=12.如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分△BED的面积为（ ）
A．18 B．22.5 C．36 D．45
【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得，
四边形ABCD是矩形，，
，
，
，
，
设，
，
，解得，
.
故答案为：B.
【分析】由折叠的性质可得，利用矩形的性质证得，进而通过AAS判定，设，利用勾股定理列出方程求得x的值，然后根据三角形的面积公式计算出△BED的面积.
二、填空题
9．如图，在矩形 ABCD的边AD 上找一点 P，使点 P 到B，C两点的距离之和最短，则点 P 的位置应该在 .
【答案】AD的中点处
【知识点】矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：作点B关于AD的对称点B′，连接B′C，交AD于点P，
∴AB′=AB，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD=AB′，∠BAD=∠B′AP=∠D=90°，
在△APB′和△DCP中
∴△APB′≌△DCP（AAS），
∴AP=PD，
∴点P在AD的中点处.
故答案为：AD的中点处
【分析】作点B关于AD的对称点B′，连接B′C，交AD于点P，可得到AB′=AB，利用矩形的性质可知AB=CD=AB′，∠BAD=∠B′AP=∠D=90°；再利用AAS证明△APB′≌△DCP，利用全等三角形的性质可推出AP=PD，据此可得到点P在AD的中点处.
10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ACD=30°.如果△ABC的周长比△AOB 的周长大 10，那么矩形 ABCD的对角线AC 的长为 .
【答案】20
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠ADC=90°，
∵ ∠ACD=30°，
∴ ∠ACB=60°，
∵ OC=OB，
∴ △BOC为等边三角形，
∴ OC=OB=BC，
∵△ABC的周长比△AOB 的周长大 10，
且△ABC的周长=AB+AO+OC+BC，△AOB 的周长=AB+AO+OB，
∴ BC=10，
即OB=10，
∴ AC=2OB=20.
【分析】根据矩形的性质得∠ADC=90°，根据等边三角形的判定和性质得OB=BC，根据题意即可求得BC，再根据矩形的性质得AC=2OB即可求得.
11．（2023八上·江源期末）如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝m，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE度数 （用含m的代数式表示）．
【答案】180°﹣3m
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图1：∵四边形ABCD是长方形，
∴DE//CF，
∴∠DEF+∠CFE=180°，
∵∠DEF＝m，
∴∠CFE=180°-m，
如图2：∵∠EFG=∠DEF=m，
∴∠CFG=180°-2m，
如图3：∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2m-m=180°-3m，
故答案为：180°-3m.
【分析】根据长方形的性质求出DE//CF，再根据平行线的性质求出∠DEF+∠CFE=180°，最后计算求解即可。
12．如图，将长为4 cm、宽为2 cm的矩形纸片ABCD沿着EF翻折，使点A与点C重合，则折痕EF的长为 cm.
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作，
，
四边形ABCD是矩形，
，，
四边形AGFD是矩形，
，
设，
，
由折叠的性质可得，，
，解得，
，
同理可得，
，
，
.
故答案为：.
【分析】作，易证四边形AGFD是矩形，由折叠的性质可得，，设，可得，利用勾股定理解得x值，进而得到DF、BE的长度，再通过矩形的性质得到FG、GE的长度，进而求得EF的长.
13．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，M是边AB 上一动点（不含端点），将ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连结DP，则DP的最大值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，由题意可得点N在以AD为半径的上运动，
故当CN与相切时，AP有最大值，此时点M、P重合，DP的长度最大，
四边形ABCD是矩形，，
，
设，则，
由折叠的性质可得，
，
，
，解得，
，
.
故答案为：.
【分析】由题意可得当CN与相切时，AP有最大值，此时DP的长度最大，设，由折叠的性质可得，利用勾股定理求得CN的长度，进而得到，再通过勾股定理列出方程，求得AM的长度，进而计算出DP的最大值.
三、解答题
14．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连结EF，BF．EF与对角线AC相交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求证：OE=OF；
（2）若AC=6，求AB的长，
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥ CD，
∴∠CAE=∠ACF，∠CFO=∠AEO．在OAOE和△COF中，
∴ △AOE≌△COF(ASA) ， ∴OE=OF．
（2）解：连结OB，如图所示，
∵BF=BE，OE=OF，∴BO⊥EF．由(1)知，△AOE≌△COF，∴OA=OC．∵四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，∴BO=AC=OA，
∴∠BAC=∠OBA．又∠BEF = 2∠BAC，∴∠ BEF=2∠OBE．
在Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE= 90° ，
∴∠OBE=30°，∴∠BAC=30°，∴BC=-AC=3，
∴AB=
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AB∥ CD，再根据平行线的性质得∠CAE=∠ACF，∠CFO=∠AEO，可证明△AOE≌△COF，即可得 OE=OF；
（2）连结OB，由等腰三角形得性质得BO⊥EF，由(1)知，△AOE≌△COF，得OA=OC，结合直角三角形的性质得出∠OBE=30°，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可得解.
15．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，M，N在对角线AC上，且AM=CN，E，F分别是AD， BC的中点
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF=90° ，求AG的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠MAB= ∠NCD．
在△ABM和△CDN中，
∴△ABM≌△CDN( SAS)．
（2）解：如图，连结EF，交AC于点O．连结CE，GF．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°．
∵AB=3，BC=4，∴AC==5．
∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE= BF"，
∴四边形ABFE是矩形，
∴EF=AB=3．
在△AEO和△CFO中，∴△AEO≌△CFO ( AAS)，
∴EO=FO，AO=CO，
∴O为EF，AC的中点．∵∠EGF=90°，∴OG=EF=，
∴AG=OA-OG=1或AC' =0A+0G'=4，即AC的长为1或4．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到进而即可利用"SAS"证明；
（2）连结EF，交AC与点O．连结CE，GF，根据矩形的性质可得到，然后利用勾股定理即可求出AC的长度，再利用"AAS"证明得到进而根据"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"得到进而得到AG=OA-OG=1或AC'=OA+OG'=4，即可求解.
四、综合题
16．（2022八下·新兴期末）如图，将长方形ABCD沿AC对折，使△ABC落在△AEC的位置，且CE与AD相交于点F.
（1）求证：EF=DF；
（2）若AB=，BC=3，求折叠后的重叠部分(阴影部分)的面积.
【答案】（1）证明：如图，∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使ΔABC落在ΔACE的位置，
∴AE=AB，∠E=∠B=90°，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，
∴AE=DC，
而∠AFE=∠DFC，
∴RtΔAEF≌RtΔCDF，
∴EF=DF
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=3，CD=AB=，
∵RtΔAEF≌RtΔCDF，
∴FC=FA，
设FA=x，则FC=x，FD=3-x，
在RtΔCDF中，，即，解得x=2，
∴折叠后的重叠部分的面积=AF·CD=×2×=.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）先证明RtΔAEF≌RtΔCDF，再利用全等三角形的性质可得EF=DF；
（2）设FA=x，则FC=x，FD=3-x，利用勾股定理列出方程求解即可。
17．（2019八下·临泉期末）如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．
（1）求证：BF=DF；
（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O．
①求证：四边形BFDG是菱形；
②若AB=3，AD=4，求FG的长．
【答案】（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，
又AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠DBE=∠ADB，
∴DF=BF
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴FD∥BG，
又∵DG∥BE，
∴四边形BFDG是平行四边形，
∵DF=BF，
∴四边形BFDG是菱形；
②∵AB=3，AD=4，
∴BD=5．
∴OB= BD= ．
假设DF=BF=x，∴AF=AD-DF=4-x．
∴在直角△ABF中，AB2+AF2=BF2，即32+（4-x）2=x2，
解得x= ，
即BF= ，
∴FO= = = ，
∴FG=2FO= ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 2.5.1 矩形的性质同步分层训练提升题
一、选择题
1．如图，将矩形 ABCD 沿对角线BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交AD 于点 F.已知∠BDC =62°，则∠DFE的度数为（ ）
A．28° B．31° C．56° D．62°
2．（2021·道里模拟）如图，ABCD是一张矩形纸片，点E是AD边上的一点，将纸片沿直线BE翻折，点A落在DC边上的点F处，若AB＝10，AD＝8，则DE的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，过点B作BF⊥EC，垂足为F.若CD=1，CF=2，则线段AE的长为（ ）
A． B．-1 C． D．
4．如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD与BC重合，得到折痕EF，将纸片展平，再次折叠纸片，使点 A 落在EF 上的点N 处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，再展平纸片，连结 MN，BN.下列结论一定正确的是 （ ）
A．AE=MN B．AB=MB
C．BM 与EN 互相平分 D．∠BNE=30°
5．如图，在矩形ABCD中﹐点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连结EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F.若CD=1，CF=2，则线段AE的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使点C和点A重合，则折痕EF的长为（ ）
A． B． C．15 D．16
7．矩形的一个角的平分线把矩形的一边分成1 cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为（ ）
A．3 cm2 B．4 cm2
C．12 cm2 D．4 cm2或12 cm2
8．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=12.如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分△BED的面积为（ ）
A．18 B．22.5 C．36 D．45
二、填空题
9．如图，在矩形 ABCD的边AD 上找一点 P，使点 P 到B，C两点的距离之和最短，则点 P 的位置应该在 .
10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ACD=30°.如果△ABC的周长比△AOB 的周长大 10，那么矩形 ABCD的对角线AC 的长为 .
11．（2023八上·江源期末）如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝m，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE度数 （用含m的代数式表示）．
12．如图，将长为4 cm、宽为2 cm的矩形纸片ABCD沿着EF翻折，使点A与点C重合，则折痕EF的长为 cm.
13．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，M是边AB 上一动点（不含端点），将ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连结DP，则DP的最大值为 .
三、解答题
14．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连结EF，BF．EF与对角线AC相交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求证：OE=OF；
（2）若AC=6，求AB的长，
15．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，M，N在对角线AC上，且AM=CN，E，F分别是AD， BC的中点
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF=90° ，求AG的长．
四、综合题
16．（2022八下·新兴期末）如图，将长方形ABCD沿AC对折，使△ABC落在△AEC的位置，且CE与AD相交于点F.
（1）求证：EF=DF；
（2）若AB=，BC=3，求折叠后的重叠部分(阴影部分)的面积.
17．（2019八下·临泉期末）如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．
（1）求证：BF=DF；
（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O．
①求证：四边形BFDG是菱形；
②若AB=3，AD=4，求FG的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠ADC=∠C=90°，
∴∠ADB=90°-∠BDC=90°-62°=28°，
∵将矩形 ABCD 沿对角线BD 折叠，点 C 落在点 E 处，
∴∠BDE=∠BDC=62°，∠E=∠C=90°，
∴∠EDF=∠EDB-∠FDB=62°-28°=34°，
∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-34°=56°.
故答案为：C.
【分析】利用矩形的性质可证得∠ADC=∠C=90°，据此可求出∠ADB的度数，利用折叠的性质可证得∠BDE=∠BDC=62°，∠E=∠C=90°，根据∠EDF=∠EDB-∠FDB，代入计算求出∠EDF的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余可求出∠DFE的度数.
2．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，AB＝10，AD＝8
∴ ， ，
∵将纸片沿直线BE翻折，点A落在DC边上的点F处
∴ ，
在 中，
∴
设
∴
在 中，
∴ ，解得
∴ ，
故答案为：D．
【分析】根据折叠的性质求出 ， ， ，再利用勾股定理求出CF的长度，设，则DE=8-x，再在 中， 利用勾股定理得到，再代入计算即可。
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，
∴∠DEC=∠FCB，
∵BF⊥EC，
∴∠BFC=∠CDE，
∵把△BCM沿CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，
∴BC=EC，
在△BFC和△CDE中
∴△BFC≌△CDE（AAS）
∴DE=CF=2，
∴CE=，
∴AD=BC=CE=，
∴AE=AD-DE=-2.
故答案为：-2.
【分析】由矩形的性质可得BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，由折叠的性质可得BC=EC，结合已知用角角边可证△BFC≌△CDE，则DE=CF，在直角三角形CDE中，用勾股定理求出CE的值，然后根据线段的构成AE=AD-DE可求解.
4．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠知：AM=MN，很显然AE≠MN，故A错误；
在Rt△ABM中，BM＞AB，故B错误；
由折叠及矩形的性质可得：四边形ABNM不是平行四边形，
∴ BM 与EN不互相平分 ，故C错误；
由折叠知：AB=BN，AE=BE，
∴BN=2BE，
在Rt△BEN中，则∠BNE=30° ，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据折叠及矩形的性质可得AM=MN，AB=BN=2BE，四边形ABNM不是平行四边形，很显然AE≠MN，据此判断A，再利用平行四边形的性质及直角三角形的性质判断B、C、D即可.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：由翻折得：BC=CE，
∵∠EDC=∠CFB=90°，
∠DEC=∠FCB，
∴ △EDC≌△CFB（AAS），
∴ DE=FC=2，
∴ CE==，
∴ BC=CE=，
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD=BC=，
∴ AE=AD-DE=-2.
故答案为：A.
【分析】依据AAS判定△EDC≌△CFB推出DE=FC=2，根据勾股定理得CE，由翻折得BC=CE，根据矩形的性质得AD=BC，再由AE=AD-DE即可求得.
6．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接AF
由题意得EF为AC的垂直平分线，
∴AF=CF
设CF=x，则BF=4-x
在中，由勾股定理得，即，解得，
在中，，，
在中，由勾股定理得，
.
故答案为：A.
【分析】连接AF，由题意得EF为AC的垂直平分线，得AF=CF，设CF=x，在中，根据勾股定理得，在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，即可得解.
7．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠AEB，
∴AB=AE，
（1）当AE=1cm时，则AB=CD=1cm，AD=BC=1cm+3cm=4cm，
S矩形ABCD=1cm×4cm=4cm2．
（2）当AE=3cm时，AB=CD=3cm，AD=BC=4cm，
S矩形ABCD=3cm×4cm=12cm2．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质，角平分线的性质可以得知AB=AE，此时分两种情况来讨论，分别算出面积可得到答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得，
四边形ABCD是矩形，，
，
，
，
，
设，
，
，解得，
.
故答案为：B.
【分析】由折叠的性质可得，利用矩形的性质证得，进而通过AAS判定，设，利用勾股定理列出方程求得x的值，然后根据三角形的面积公式计算出△BED的面积.
9．【答案】AD的中点处
【知识点】矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：作点B关于AD的对称点B′，连接B′C，交AD于点P，
∴AB′=AB，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD=AB′，∠BAD=∠B′AP=∠D=90°，
在△APB′和△DCP中
∴△APB′≌△DCP（AAS），
∴AP=PD，
∴点P在AD的中点处.
故答案为：AD的中点处
【分析】作点B关于AD的对称点B′，连接B′C，交AD于点P，可得到AB′=AB，利用矩形的性质可知AB=CD=AB′，∠BAD=∠B′AP=∠D=90°；再利用AAS证明△APB′≌△DCP，利用全等三角形的性质可推出AP=PD，据此可得到点P在AD的中点处.
10．【答案】20
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠ADC=90°，
∵ ∠ACD=30°，
∴ ∠ACB=60°，
∵ OC=OB，
∴ △BOC为等边三角形，
∴ OC=OB=BC，
∵△ABC的周长比△AOB 的周长大 10，
且△ABC的周长=AB+AO+OC+BC，△AOB 的周长=AB+AO+OB，
∴ BC=10，
即OB=10，
∴ AC=2OB=20.
【分析】根据矩形的性质得∠ADC=90°，根据等边三角形的判定和性质得OB=BC，根据题意即可求得BC，再根据矩形的性质得AC=2OB即可求得.
11．【答案】180°﹣3m
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图1：∵四边形ABCD是长方形，
∴DE//CF，
∴∠DEF+∠CFE=180°，
∵∠DEF＝m，
∴∠CFE=180°-m，
如图2：∵∠EFG=∠DEF=m，
∴∠CFG=180°-2m，
如图3：∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2m-m=180°-3m，
故答案为：180°-3m.
【分析】根据长方形的性质求出DE//CF，再根据平行线的性质求出∠DEF+∠CFE=180°，最后计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作，
，
四边形ABCD是矩形，
，，
四边形AGFD是矩形，
，
设，
，
由折叠的性质可得，，
，解得，
，
同理可得，
，
，
.
故答案为：.
【分析】作，易证四边形AGFD是矩形，由折叠的性质可得，，设，可得，利用勾股定理解得x值，进而得到DF、BE的长度，再通过矩形的性质得到FG、GE的长度，进而求得EF的长.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，由题意可得点N在以AD为半径的上运动，
故当CN与相切时，AP有最大值，此时点M、P重合，DP的长度最大，
四边形ABCD是矩形，，
，
设，则，
由折叠的性质可得，
，
，
，解得，
，
.
故答案为：.
【分析】由题意可得当CN与相切时，AP有最大值，此时DP的长度最大，设，由折叠的性质可得，利用勾股定理求得CN的长度，进而得到，再通过勾股定理列出方程，求得AM的长度，进而计算出DP的最大值.
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥ CD，
∴∠CAE=∠ACF，∠CFO=∠AEO．在OAOE和△COF中，
∴ △AOE≌△COF(ASA) ， ∴OE=OF．
（2）解：连结OB，如图所示，
∵BF=BE，OE=OF，∴BO⊥EF．由(1)知，△AOE≌△COF，∴OA=OC．∵四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，∴BO=AC=OA，
∴∠BAC=∠OBA．又∠BEF = 2∠BAC，∴∠ BEF=2∠OBE．
在Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE= 90° ，
∴∠OBE=30°，∴∠BAC=30°，∴BC=-AC=3，
∴AB=
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AB∥ CD，再根据平行线的性质得∠CAE=∠ACF，∠CFO=∠AEO，可证明△AOE≌△COF，即可得 OE=OF；
（2）连结OB，由等腰三角形得性质得BO⊥EF，由(1)知，△AOE≌△COF，得OA=OC，结合直角三角形的性质得出∠OBE=30°，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可得解.
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠MAB= ∠NCD．
在△ABM和△CDN中，
∴△ABM≌△CDN( SAS)．
（2）解：如图，连结EF，交AC于点O．连结CE，GF．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°．
∵AB=3，BC=4，∴AC==5．
∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE= BF"，
∴四边形ABFE是矩形，
∴EF=AB=3．
在△AEO和△CFO中，∴△AEO≌△CFO ( AAS)，
∴EO=FO，AO=CO，
∴O为EF，AC的中点．∵∠EGF=90°，∴OG=EF=，
∴AG=OA-OG=1或AC' =0A+0G'=4，即AC的长为1或4．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到进而即可利用"SAS"证明；
（2）连结EF，交AC与点O．连结CE，GF，根据矩形的性质可得到，然后利用勾股定理即可求出AC的长度，再利用"AAS"证明得到进而根据"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"得到进而得到AG=OA-OG=1或AC'=OA+OG'=4，即可求解.
16．【答案】（1）证明：如图，∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使ΔABC落在ΔACE的位置，
∴AE=AB，∠E=∠B=90°，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，
∴AE=DC，
而∠AFE=∠DFC，
∴RtΔAEF≌RtΔCDF，
∴EF=DF
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=3，CD=AB=，
∵RtΔAEF≌RtΔCDF，
∴FC=FA，
设FA=x，则FC=x，FD=3-x，
在RtΔCDF中，，即，解得x=2，
∴折叠后的重叠部分的面积=AF·CD=×2×=.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）先证明RtΔAEF≌RtΔCDF，再利用全等三角形的性质可得EF=DF；
（2）设FA=x，则FC=x，FD=3-x，利用勾股定理列出方程求解即可。
17．【答案】（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，
又AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠DBE=∠ADB，
∴DF=BF
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴FD∥BG，
又∵DG∥BE，
∴四边形BFDG是平行四边形，
∵DF=BF，
∴四边形BFDG是菱形；
②∵AB=3，AD=4，
∴BD=5．
∴OB= BD= ．
假设DF=BF=x，∴AF=AD-DF=4-x．
∴在直角△ABF中，AB2+AF2=BF2，即32+（4-x）2=x2，
解得x= ，
即BF= ，
∴FO= = = ，
∴FG=2FO= ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．
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