湘教版数学八年级下册 2.5.2 矩形的判定同步分层训练提升题
一、选择题
1．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是（ ）
A．一般平行四边形 B．一般四边形
C．对角线垂直的四边形 D．矩形
2．（2023九上·顺德期中）依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·坪山月考）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．若要使四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD必须满足条件（ ）
A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AC＝BD D．AC⊥BD
4．（2023九上·太原月考）如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·南岸月考）如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．∠ABD＝∠CBD B．∠ABC＝90°
C．AC⊥BD D．AB＝BC
6．（2023九上·滕州开学考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·西安开学考）如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，连接，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·铁西期末）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：
①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题
9．（2023九上·西安开学考）如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且不与写、重合．过作于，于，连接，则的最小值等于 ．
10．如图，在由小正方形组成的网格图中，不含盖阴影部分的矩形的个数是 .
11．（2023八下·南山期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥AC，延长BE到点D，使得 BD＝AC，连接AD，CD，若AB＝4，AD＝5，则CD的长为 ．
12．（2022九上·北京市开学考）如图，线段AD为的中线，点P为线段AB上的动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则EF的最小值为 ．
13．（2023八下·天津市期末）如图，中，，，P是上一动点，于点E，于点F，M为的中点．
（1）四边形的形状是 ；
（2）的最小值是 ．
三、解答题
14．如图，在 ABCD 中，E，F 为 BC 上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：
（1）△ABF≌△DCE.
（2）四边形 ABCD 是矩形.
15．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F 分别是OA，OC 的中点.
（1）求证：BE=DF.
（2）设 当k为何值时，四边形 DEBF是矩形 请说明理由.
四、综合题
16．（2023·杨浦模拟）已知：在直角梯形中，，，沿直线翻折，点A恰好落在腰上的点E处．
（1）如图，当点E是腰的中点时，求证：是等边三角形；
（2）延长交线段的延长线于点F，连接，如果，求证：四边形是矩形．
17．（2023八下·克孜勒苏柯尔克孜期末）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，若，求的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵HA、EB分別平分，
∴，即，
同理，
∴四边形EHGF是矩形.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的性质可推出，即，同理可推出其它几个角也为直角，即可得解.
2．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，
但不能说明四边形为矩形，故该选项符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
C、∵，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴四边形是矩形，故该选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解．
3．【答案】D
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，BD，如下图：
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF，GH分别是和的中位线，
∴
∴四边形EFGH为平行四边形，
要使平行四边形为矩形，则只需要一个内角为直角，
例如：则
∵
∴
故答案为：D.
【分析】连接AC，BD，根据三角形中位线定理得到即可证明四边形EFGH为平行四边形，又根据要使平行四边形为矩形，则只需要一个内角为直角，据此即可求解.
4．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵ 四边形的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：C.
【分析】由对角线互相平分可得四边形ABCD是平行四边形，根据对角线相等的平行四边是矩形进行判断即可.
5．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠ADB=∠CBD，∵∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴A不符合题意；
B、∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，∴B符合题意；
C、∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴C不符合题意；
D、∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质，矩形和菱形的判定方法逐项分析判断即可.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接MP ∵∠BAC=90° AB=6 AC=8
∴BC==10
∵PE⊥AB PF⊥AC ∴四边形AFPE是矩形
∴ EF=AP EF与AP互相平分
∵M为EF的中点
∴AM=AP
∵ AP⊥BC时，AP最短，同样AM也是最短
∴S ABC=AB·AC=BC·AP
∴AP===4.8
∴AP最短时，AP=4.8，
∴当AM最短时，AM=AP=
即AM的最小值是.
故答案为：B.
【分析】连接MP，根据矩形的判定定理得到四边形AFPE是矩形，EF=AP。根据当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小(因为根据直线外一点与直线上任意一点所连的线段中，垂线最短）根据勾股定理求出BC，再利用三角形的面积公式求出AP ，以此求出AM的值.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图在 矩形中，，由矩形的性质勾股定理可得：，由根据矩形的对角线互相平分可得：，又因为 点、分别是、的中点 ，所以由中位线定理得：.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质和勾股定理可求得：，又利用矩形的对角线互相平分得到：，然后在利用中位线定理求解即可.
8．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了，这种检测方法用到的数学根据是对角线相等的平行四边形是矩形，
故答案为：B
【分析】根据矩形的判定即可求解。
9．【答案】4.8
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵菱形ABCD，
∴OB=BD=8，OC=AC=6，AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF=OP，
当OP⊥BC时，OP的值最小即EF的值最小，
∵即，
解之：OP=4.8，
∴EF的最小值为4.8.
故答案为：4.8.
【分析】利用菱形的性质可求出OB，OC的长，同时可证得∠BOC=90°，利用垂直的定义可证得∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°，可推出四边形PEOF是矩形，利用矩形的性质可证得EF=OP，要使EF的值最小，利用垂线段最短可知当OP⊥BC时，OP的值最小即EF的值最小；利用三角形的面积公式求出OP的值，即可求解.
10．【答案】26
【知识点】矩形的判定；探索图形规律
【解析】【解答】解：最小矩形有3+3+4=10个；
两个小正方形组成的矩形有10个；
三个小正方形组成的矩形有1+1+2=4个；
四个小正方形组成的矩形有2个；
总共的矩形为10+10+4+2=26个.
故答案为：26.
【分析】正方形是特殊的矩形，分类讨论，分一个小正方形组成的矩形，两个小正方形组成的矩形，三个小正方形组成的矩形，四个小正方形组成的矩形四种情况分别数出个数，然后相加计算即可得解.
11．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过D作DH⊥BC于H，过点D作DG⊥AB交BA的延长线于G，如下图：
∴，
∵，
∴
∴，
又∵
∴
∴
∴，
∴，
∵
∴四边形BHDG是矩形，
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】过D作DH⊥BC于H，过点D作DG⊥AB交BA的延长线于G，证明得到：DG=AB=4，BC=BG，利用勾股定理求出AG=3，从而得到BC=BG=7，再证明四边形BHDG是矩形，得到DH=BG，BH=DG，则CH=BC-BH=3，即可利用勾股定理得到CD的长.
12．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接EF和DP
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，
∵PE⊥AD，PF⊥BD，∴∠ADF=∠PED=∠PFD=90°，
∴四边形PEDF是矩形，∴EF=DP，
当DP⊥AB时，DP最短，即EF值最小，
在Rt△ADB 中，AB=5，DB=4，∴AD=3，
∵，∴
故答案为：.
【分析】由题可知△ABC是等腰三角形，又AD是底边上的中线，利用等腰三角形的性质可知AD⊥BC，
又 于点E，于点 F，可知四边形EDFP是矩形，再由矩形性质可以把EF转化为DP，当DP最短时，EF也最小。而点P在AB上移动，当DP⊥AB时DP最短，利用勾股定理和三角形的面积可求DP最小值。
13．【答案】（1）矩形
（2）
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠AEP=90°，∠AFP=90°
又∵∠BAC=90°
∴四边形AEPF是矩形；
（2）∵∠BAC=90°，AB=AC=2
∴BC=
=2
根据垂线段最短，当AP为BC边上的高时，AP最短
设AP=h
则×2×2=×2xh
解得：h=
即：AP=
∵四边形ABCD是矩形
∴AP=EF
∵∠BAC=90°，M为的EF中点
∴AM=EF
∴AM=AP
=
故答案为：矩形；.
【分析】（1）根据矩形的判定定理即可得出答案；
（2）由矩形的性质可得AP=EF，由直角三角形的性质可得AM=EF，AM=AP。根据垂线段最短，当AP⊥BC时，AP最短，进而得到 AM也最短，根据大三角形的面积求出AP的长即可得出AM的值。
14．【答案】（1）证明：∵BE＝CF，BF＝BE+EF，CE＝CF+EF，
∴BF＝CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC．
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SSS）．
（2）证明：△ABF≌△DCE，
∴∠B＝∠C．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠B+∠C＝180°．
∴∠B＝∠C＝90°．
∴四边形ABCD是矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）先由题意可得BF＝CE，然后利用“SSS”可证明△ABF≌△DCE，即可解答．
（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，然后证明∠B=90°，即可解答．
15．【答案】（1）证明：如图，连接DE，BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，AO＝OC，
∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴EOOA，OFOC，
∴EO＝FO，
∵BO＝OD，EO＝FO，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF；
（2）解：当k＝2时，四边形DEBF是矩形，理由如下：
当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形，
∴当OD＝OE时，四边形DEBF是矩形，
∵AE＝OE，
∴AC＝2BD，
∴当k＝2时，四边形DEBF是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可得到BO＝OD，AO=CO，然后由F分别为AO，OC的中点，可得EO＝FO，从而可证得四边形BFDE是平行四边形从而可得到BE＝DF即可解答.
（2）先确定当OE＝OD时，四边形DEBF是矩形，从而得k的值．
16．【答案】（1）证明：由折叠得：，
∵点E是腰的中点
∴是的垂直平分线
是等边三角形
（2）证明：过点D作，垂足为H，
，
，，
，
∴四边形是矩形，
，，
由折叠得：，，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形．
【知识点】等边三角形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据角的运算求出，可证出是等边三角形；
（2）过点D作，垂足为H，先证出四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形是矩形。
17．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：∵
∴
又∵
∴
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质及矩形的判定定理即可求出答案。
（2）根据三角形内角和定理求出，再利用勾股定理即可求出答案。
1 / 1湘教版数学八年级下册 2.5.2 矩形的判定同步分层训练提升题
一、选择题
1．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是（ ）
A．一般平行四边形 B．一般四边形
C．对角线垂直的四边形 D．矩形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵HA、EB分別平分，
∴，即，
同理，
∴四边形EHGF是矩形.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的性质可推出，即，同理可推出其它几个角也为直角，即可得解.
2．（2023九上·顺德期中）依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，
但不能说明四边形为矩形，故该选项符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
C、∵，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴四边形是矩形，故该选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解．
3．（2023九上·坪山月考）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．若要使四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD必须满足条件（ ）
A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AC＝BD D．AC⊥BD
【答案】D
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，BD，如下图：
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF，GH分别是和的中位线，
∴
∴四边形EFGH为平行四边形，
要使平行四边形为矩形，则只需要一个内角为直角，
例如：则
∵
∴
故答案为：D.
【分析】连接AC，BD，根据三角形中位线定理得到即可证明四边形EFGH为平行四边形，又根据要使平行四边形为矩形，则只需要一个内角为直角，据此即可求解.
4．（2023九上·太原月考）如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵ 四边形的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：C.
【分析】由对角线互相平分可得四边形ABCD是平行四边形，根据对角线相等的平行四边是矩形进行判断即可.
5．（2023九上·南岸月考）如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．∠ABD＝∠CBD B．∠ABC＝90°
C．AC⊥BD D．AB＝BC
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠ADB=∠CBD，∵∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴A不符合题意；
B、∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，∴B符合题意；
C、∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴C不符合题意；
D、∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质，矩形和菱形的判定方法逐项分析判断即可.
6．（2023九上·滕州开学考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接MP ∵∠BAC=90° AB=6 AC=8
∴BC==10
∵PE⊥AB PF⊥AC ∴四边形AFPE是矩形
∴ EF=AP EF与AP互相平分
∵M为EF的中点
∴AM=AP
∵ AP⊥BC时，AP最短，同样AM也是最短
∴S ABC=AB·AC=BC·AP
∴AP===4.8
∴AP最短时，AP=4.8，
∴当AM最短时，AM=AP=
即AM的最小值是.
故答案为：B.
【分析】连接MP，根据矩形的判定定理得到四边形AFPE是矩形，EF=AP。根据当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小(因为根据直线外一点与直线上任意一点所连的线段中，垂线最短）根据勾股定理求出BC，再利用三角形的面积公式求出AP ，以此求出AM的值.
7．（2023九上·西安开学考）如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，连接，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图在 矩形中，，由矩形的性质勾股定理可得：，由根据矩形的对角线互相平分可得：，又因为 点、分别是、的中点 ，所以由中位线定理得：.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质和勾股定理可求得：，又利用矩形的对角线互相平分得到：，然后在利用中位线定理求解即可.
8．（2023八下·铁西期末）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：
①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了，这种检测方法用到的数学根据是对角线相等的平行四边形是矩形，
故答案为：B
【分析】根据矩形的判定即可求解。
二、填空题
9．（2023九上·西安开学考）如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且不与写、重合．过作于，于，连接，则的最小值等于 ．
【答案】4.8
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵菱形ABCD，
∴OB=BD=8，OC=AC=6，AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF=OP，
当OP⊥BC时，OP的值最小即EF的值最小，
∵即，
解之：OP=4.8，
∴EF的最小值为4.8.
故答案为：4.8.
【分析】利用菱形的性质可求出OB，OC的长，同时可证得∠BOC=90°，利用垂直的定义可证得∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°，可推出四边形PEOF是矩形，利用矩形的性质可证得EF=OP，要使EF的值最小，利用垂线段最短可知当OP⊥BC时，OP的值最小即EF的值最小；利用三角形的面积公式求出OP的值，即可求解.
10．如图，在由小正方形组成的网格图中，不含盖阴影部分的矩形的个数是 .
【答案】26
【知识点】矩形的判定；探索图形规律
【解析】【解答】解：最小矩形有3+3+4=10个；
两个小正方形组成的矩形有10个；
三个小正方形组成的矩形有1+1+2=4个；
四个小正方形组成的矩形有2个；
总共的矩形为10+10+4+2=26个.
故答案为：26.
【分析】正方形是特殊的矩形，分类讨论，分一个小正方形组成的矩形，两个小正方形组成的矩形，三个小正方形组成的矩形，四个小正方形组成的矩形四种情况分别数出个数，然后相加计算即可得解.
11．（2023八下·南山期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥AC，延长BE到点D，使得 BD＝AC，连接AD，CD，若AB＝4，AD＝5，则CD的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过D作DH⊥BC于H，过点D作DG⊥AB交BA的延长线于G，如下图：
∴，
∵，
∴
∴，
又∵
∴
∴
∴，
∴，
∵
∴四边形BHDG是矩形，
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】过D作DH⊥BC于H，过点D作DG⊥AB交BA的延长线于G，证明得到：DG=AB=4，BC=BG，利用勾股定理求出AG=3，从而得到BC=BG=7，再证明四边形BHDG是矩形，得到DH=BG，BH=DG，则CH=BC-BH=3，即可利用勾股定理得到CD的长.
12．（2022九上·北京市开学考）如图，线段AD为的中线，点P为线段AB上的动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则EF的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接EF和DP
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，
∵PE⊥AD，PF⊥BD，∴∠ADF=∠PED=∠PFD=90°，
∴四边形PEDF是矩形，∴EF=DP，
当DP⊥AB时，DP最短，即EF值最小，
在Rt△ADB 中，AB=5，DB=4，∴AD=3，
∵，∴
故答案为：.
【分析】由题可知△ABC是等腰三角形，又AD是底边上的中线，利用等腰三角形的性质可知AD⊥BC，
又 于点E，于点 F，可知四边形EDFP是矩形，再由矩形性质可以把EF转化为DP，当DP最短时，EF也最小。而点P在AB上移动，当DP⊥AB时DP最短，利用勾股定理和三角形的面积可求DP最小值。
13．（2023八下·天津市期末）如图，中，，，P是上一动点，于点E，于点F，M为的中点．
（1）四边形的形状是 ；
（2）的最小值是 ．
【答案】（1）矩形
（2）
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠AEP=90°，∠AFP=90°
又∵∠BAC=90°
∴四边形AEPF是矩形；
（2）∵∠BAC=90°，AB=AC=2
∴BC=
=2
根据垂线段最短，当AP为BC边上的高时，AP最短
设AP=h
则×2×2=×2xh
解得：h=
即：AP=
∵四边形ABCD是矩形
∴AP=EF
∵∠BAC=90°，M为的EF中点
∴AM=EF
∴AM=AP
=
故答案为：矩形；.
【分析】（1）根据矩形的判定定理即可得出答案；
（2）由矩形的性质可得AP=EF，由直角三角形的性质可得AM=EF，AM=AP。根据垂线段最短，当AP⊥BC时，AP最短，进而得到 AM也最短，根据大三角形的面积求出AP的长即可得出AM的值。
三、解答题
14．如图，在 ABCD 中，E，F 为 BC 上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：
（1）△ABF≌△DCE.
（2）四边形 ABCD 是矩形.
【答案】（1）证明：∵BE＝CF，BF＝BE+EF，CE＝CF+EF，
∴BF＝CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC．
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SSS）．
（2）证明：△ABF≌△DCE，
∴∠B＝∠C．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠B+∠C＝180°．
∴∠B＝∠C＝90°．
∴四边形ABCD是矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）先由题意可得BF＝CE，然后利用“SSS”可证明△ABF≌△DCE，即可解答．
（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，然后证明∠B=90°，即可解答．
15．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F 分别是OA，OC 的中点.
（1）求证：BE=DF.
（2）设 当k为何值时，四边形 DEBF是矩形 请说明理由.
【答案】（1）证明：如图，连接DE，BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，AO＝OC，
∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴EOOA，OFOC，
∴EO＝FO，
∵BO＝OD，EO＝FO，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF；
（2）解：当k＝2时，四边形DEBF是矩形，理由如下：
当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形，
∴当OD＝OE时，四边形DEBF是矩形，
∵AE＝OE，
∴AC＝2BD，
∴当k＝2时，四边形DEBF是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可得到BO＝OD，AO=CO，然后由F分别为AO，OC的中点，可得EO＝FO，从而可证得四边形BFDE是平行四边形从而可得到BE＝DF即可解答.
（2）先确定当OE＝OD时，四边形DEBF是矩形，从而得k的值．
四、综合题
16．（2023·杨浦模拟）已知：在直角梯形中，，，沿直线翻折，点A恰好落在腰上的点E处．
（1）如图，当点E是腰的中点时，求证：是等边三角形；
（2）延长交线段的延长线于点F，连接，如果，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）证明：由折叠得：，
∵点E是腰的中点
∴是的垂直平分线
是等边三角形
（2）证明：过点D作，垂足为H，
，
，，
，
∴四边形是矩形，
，，
由折叠得：，，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形．
【知识点】等边三角形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据角的运算求出，可证出是等边三角形；
（2）过点D作，垂足为H，先证出四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形是矩形。
17．（2023八下·克孜勒苏柯尔克孜期末）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，若，求的长度．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：∵
∴
又∵
∴
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质及矩形的判定定理即可求出答案。
（2）根据三角形内角和定理求出，再利用勾股定理即可求出答案。
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