2023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 2.6.1 菱形的性质同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023·南湖模拟）如图，在菱形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·天津市期末）如图，若菱形的周长，则菱形的一边的中点E到对角线交点O的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在面积为24 的菱形ABCD中，AC+BD=14，则AB的长为 （ ）
A．5 B．3 C．6 D．7
4．（2023·深圳模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．30 C． D．
5．（2023九上·深圳期中）如图，用七支长度相同的铅笔，排成一个菱形和一个等边，使得点，分别在和上，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·威远期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，点E为的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．36
7．（2017九上·泰州开学考）在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，（如图）则∠EAF等于（ ）
A．75° B．45° C．60° D．30°
8．（2023九上·龙湾开学考）图是第届国际数学奥林匹克竞赛会标，图是其主体的中间部分图案，它是一个轴对称图形已知，，作菱形，使点，，分别在，，上，且点在上若，则整个图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024九上·曲靖期末）一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 ．
10．（2023·温州模拟）如图，以菱形的顶点A为圆心，长为半径画弧，交对角线于点E.若，，则菱形的周长为 .
11．（2023九上·深圳期中）如图，若菱形ABCD的面积为cm，∠A=120，将菱形ABCD折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为EF，则EF= cm，
12．（2023九上·金堂期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC=6，BO=4，则OE= ．
13．（2023·黔东南模拟） 如图，在菱形中，对角线，的长分别为，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为 ．
三、解答题
14．（2024九上·织金期末）如图，同一平面内三条不同的直线AB，CD，MN，，直线MN与另外两条直线分别交于点M，N，点E，F分别为AB，CD上两点，且满足MF平分．，NE平分．
（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；
（2）若四边形ENFM为菱形，求出的大小．
15．【经典母题】
如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.求菱形各个内角的度数.
四、综合题
16．（2021八下·岳阳期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．
求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
17．（2022八下·黄州期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质可得AB∥CD，∠ABD=∠CBD，由平行线的性质可得∠C+∠ABD+∠CBD=180°，然后结合∠C的度数进行计算.
2．【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵菱形ABCD，O是菱形对角线的交点，
∴O是AC的中点，
∵E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴，
∵菱形的周长，
∴BC=16÷4=4，
∴OE=BC=2，
故答案为：B.
【分析】先利用菱形的性质可得O是AC的中点，再证出OE是△ABC的中位线，再利用菱形的周长求出边长，最后利用三角形的中位线求出OE=BC=2即可.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC×BD=24
∴AC×BD=48
∵AC＋BD=14
∴AC＝14-BD
∴BD（14-BD）=48，解得BD＝6或8；
∴AC=8或6
∵AC＞BD，四边形ABCD是菱形
∴AC=8，BD＝6，AC⊥BD；
∴AB=
故答案为：A.
【分析】根据菱形的面积公式，可得AC×BD＝48，结合AC+BD=14，求出AC和BD的值，根据勾股定理即可求出AB的值.
4．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD.
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=AC=6，
故菱形的周长是4×6=24.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质和∠B的度数判断△ABC是等边三角形，从而得到AB=AC=6，于是可得周长.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知DA=DE=DC=DF，∠DEF=∠DFE=60°，∠A=∠C，∠A+∠B=180°
∴∠DEA=∠A，∠DFC=∠C，
∴∠BEF=180°-∠DEA-∠DEF=180°-∠A-60°=120°-∠A，
∠BFE=180°-∠DFC-∠DFE=180°-∠C-60°=120°-∠C=120°-∠A，
∴∠B=180°-∠BEF-∠BFE=180°-(120°-∠A)-(120°-∠A)=2∠A-60°
∵∠A+∠B=180°
∴∠A+2∠A-60°=180°
∴∠A=80°，
∴∠B=100°
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质可知∠DEF=∠DFE=60°，根据菱形的性质可知∠A=∠C，∠A+∠B=180°，根据七条线段相等可知DA=DE=DC=DF，得∠DEA=∠A，∠DFC=∠C，结合三角形内角和定理求出∠A，再计算∠B.
6．【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由菱形ABCD可知，O是BD的中点，
∵E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴BC＝2OE＝6，
∴菱形ABCD的周长是：6×4＝24。
故答案为：C
【分析】根据菱形的性质可以知道O是AC和BD的中点，再结合E是CD中点得出OE是△BCD的中位线得出BC的长，从而计算出周长。
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，且E、F分别为BC、CD的中点，
∴AB=AC，AD=AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴AB=BC=AC，AC=CD=AD，
∴∠B=∠D=60°，
∴∠BAE=∠DAF=30°，∠BAD=180°﹣∠B=120°，
∴∠EAF=∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF=60°．
故答案为：C．
【分析】连接AC，根据已知易证△ABC是等边三角形，由AE⊥BC，得出∠EAC=30°，同理可得∠FAC=30°，即可求出∠EAF的度数。
8．【答案】C
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，整个图形是轴对称图形，
所以
又因为，所以
所以是等边三角形，所以
又因为
所以
从而，和为边长是的全等的等边三角形，菱形的面积是等边三角形面积的倍.
又知边长为的等边三角形的面积为，所以面积
菱形的面积
因此的面积和的面积均为
因此整个图形的故答案为：
故答案为：C.
【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，利用轴对称图形的性质可得出对应边相等和对应角相等，进而判断出三角形为等边三角形，应用等边三角形的面积公式可求出三角形的面积，从而求出整个图形的面积.
9．【答案】
【知识点】菱形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵菱形是中心对称图形，
∴一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是180°，
故答案为：180°.
【分析】利用中心对称图形的性质及图形旋转对称的特征分析求解即可.
10．【答案】8
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连交于点O，
∵菱形，
∴，，
设，则，
∴，
∴，，
∵以A为圆心，长为半径画弧，交对角线于点E
∴，
∵，
∴在中，，
∵在中，，
∴，
解得
∵，
∴，
∴，
∴菱形的周长为，
故答案为：.
【分析】连接BD交AC于点O，根据菱形的性质可得OA=OC=AC，∠BOC=90°，设CE=x，则AE=2x，AC=3x，OA=OC=x，OE=AE-OA=x，由题意可得AB=AE=2x，然后在Rt△BOE、Rt△BOA中，根据勾股定理可得x的值，然后求出AB的值，据此不难得到菱形ABCD的周长.
11．【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接AC、BD，如图所示
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
根据题意折叠可知AE=EO，AF=OF，
∴E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF=BD（中位线）
∵S菱形ABCD=·BD·AC=，∠A=120°，
∴BD·AC=，∠BAC=60°，∠ABO=30°，
∵∠ABO=90°-∠BAC=90°-60°=30°，
∴OB=OA，则BD=AC，
∴AC2=，
∴AC=2，
∴BD=，
∴EF=BD=cm.
故答案为：.
【分析】由翻折变换很容易得出EF=BD，根据菱形的面积可以得出BD和AC的关系式，而OB=OA，找出这些关系后就能轻松求解．
12．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=， ，
∵
∴
∴
∵E为边BC的中点，
∴
故答案为：.
【分析】由菱形的性质得到由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出OE的长。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质
【解析】【解答】解：连接与交于点，延长到，使得，连接，
四边形是菱形，
，，，
，
由平移性质知，，
，，
，
，
当点、、三点共线时，的值最小，
的最小值为：．
故答案为：．
【分析】连接与交于点，延长到，使得，连接，当点、、三点共线时，的值最小，根据勾股定理即可求解．
14．【答案】（1）证明：平分，．
又，
，，．
平分，．
．
，，
，．
，∴四边形ENFM为平行四边形；
（2）解：，，
由（1）知，，
四边形ENFM为菱形．
，，为等边三角形。
，。
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法证出四边形ENFM为平行四边形即可；
（2）利用菱形的性质可得，再证出为等边三角形可得.
15．【答案】解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD，∠B=∠D，∠BAD+∠B=180°，AB=BC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，E是BC的中点，
∴AE是BC的垂直平分线，
∴AC=AB
即AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠B=∠D=60°，
∴∠BAD=∠BCD=120°.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的对角相等，四条边都相等，对边平行得∠BAD=∠BCD，∠B=∠D，∠BAD+∠B=180°，AB=BC，AD∥BC，根据经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线可得AE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AC=AB，推得AC=AB=BC，根据三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个角都是60°可以得出∠B的度数，即可求解.
16．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC= ×180°=60°，
∴∠ABO= ∠ABC=30°，
∵菱形ABCD的周长是8cm．
∴AB=2cm，
∴OA= AB=1cm
∴
∴AC=2OA=2cm，BD=2OB=2 cm
（2）解：S菱形ABCD= （cm2）．
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得AB=BC，AD∥BC，由平行线的性质可得∠ABC+∠BAD=180°，结合已知条件可求得∠ABC==60°，∠ABO=30°，由菱形的周长可得AB，进而求得OA、OB，据此可得对角线长；
（2）根据菱形的面积为对角线乘积的一半进行求解.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，
∵BE＝ AC，
∴BE＝OC，
∵BE∥AC，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵∠BOC＝90°，
∴四边形BECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝2，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2，
由（1）得：四边形BECO是矩形，
∴BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，
在Rt△DBE中，由勾股定理得：
DE＝＝＝．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，结合已知条件可得BE＝OC，然后根据矩形的判定定理进行证明；
（2）根据菱形的性质可得AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，结合∠ABC＝60°可得△ABC是等边三角形，则BC＝AC＝2，利用勾股定理可得OB，然后求出BD，根据矩形的性质可得BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，然后利用勾股定理计算即可.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 2.6.1 菱形的性质同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023·南湖模拟）如图，在菱形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质可得AB∥CD，∠ABD=∠CBD，由平行线的性质可得∠C+∠ABD+∠CBD=180°，然后结合∠C的度数进行计算.
2．（2023八下·天津市期末）如图，若菱形的周长，则菱形的一边的中点E到对角线交点O的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵菱形ABCD，O是菱形对角线的交点，
∴O是AC的中点，
∵E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴，
∵菱形的周长，
∴BC=16÷4=4，
∴OE=BC=2，
故答案为：B.
【分析】先利用菱形的性质可得O是AC的中点，再证出OE是△ABC的中位线，再利用菱形的周长求出边长，最后利用三角形的中位线求出OE=BC=2即可.
3．如图，在面积为24 的菱形ABCD中，AC+BD=14，则AB的长为 （ ）
A．5 B．3 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC×BD=24
∴AC×BD=48
∵AC＋BD=14
∴AC＝14-BD
∴BD（14-BD）=48，解得BD＝6或8；
∴AC=8或6
∵AC＞BD，四边形ABCD是菱形
∴AC=8，BD＝6，AC⊥BD；
∴AB=
故答案为：A.
【分析】根据菱形的面积公式，可得AC×BD＝48，结合AC+BD=14，求出AC和BD的值，根据勾股定理即可求出AB的值.
4．（2023·深圳模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．30 C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD.
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=AC=6，
故菱形的周长是4×6=24.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质和∠B的度数判断△ABC是等边三角形，从而得到AB=AC=6，于是可得周长.
5．（2023九上·深圳期中）如图，用七支长度相同的铅笔，排成一个菱形和一个等边，使得点，分别在和上，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知DA=DE=DC=DF，∠DEF=∠DFE=60°，∠A=∠C，∠A+∠B=180°
∴∠DEA=∠A，∠DFC=∠C，
∴∠BEF=180°-∠DEA-∠DEF=180°-∠A-60°=120°-∠A，
∠BFE=180°-∠DFC-∠DFE=180°-∠C-60°=120°-∠C=120°-∠A，
∴∠B=180°-∠BEF-∠BFE=180°-(120°-∠A)-(120°-∠A)=2∠A-60°
∵∠A+∠B=180°
∴∠A+2∠A-60°=180°
∴∠A=80°，
∴∠B=100°
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质可知∠DEF=∠DFE=60°，根据菱形的性质可知∠A=∠C，∠A+∠B=180°，根据七条线段相等可知DA=DE=DC=DF，得∠DEA=∠A，∠DFC=∠C，结合三角形内角和定理求出∠A，再计算∠B.
6．（2023九上·威远期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，点E为的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．36
【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由菱形ABCD可知，O是BD的中点，
∵E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴BC＝2OE＝6，
∴菱形ABCD的周长是：6×4＝24。
故答案为：C
【分析】根据菱形的性质可以知道O是AC和BD的中点，再结合E是CD中点得出OE是△BCD的中位线得出BC的长，从而计算出周长。
7．（2017九上·泰州开学考）在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，（如图）则∠EAF等于（ ）
A．75° B．45° C．60° D．30°
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，且E、F分别为BC、CD的中点，
∴AB=AC，AD=AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴AB=BC=AC，AC=CD=AD，
∴∠B=∠D=60°，
∴∠BAE=∠DAF=30°，∠BAD=180°﹣∠B=120°，
∴∠EAF=∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF=60°．
故答案为：C．
【分析】连接AC，根据已知易证△ABC是等边三角形，由AE⊥BC，得出∠EAC=30°，同理可得∠FAC=30°，即可求出∠EAF的度数。
8．（2023九上·龙湾开学考）图是第届国际数学奥林匹克竞赛会标，图是其主体的中间部分图案，它是一个轴对称图形已知，，作菱形，使点，，分别在，，上，且点在上若，则整个图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，整个图形是轴对称图形，
所以
又因为，所以
所以是等边三角形，所以
又因为
所以
从而，和为边长是的全等的等边三角形，菱形的面积是等边三角形面积的倍.
又知边长为的等边三角形的面积为，所以面积
菱形的面积
因此的面积和的面积均为
因此整个图形的故答案为：
故答案为：C.
【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，利用轴对称图形的性质可得出对应边相等和对应角相等，进而判断出三角形为等边三角形，应用等边三角形的面积公式可求出三角形的面积，从而求出整个图形的面积.
二、填空题
9．（2024九上·曲靖期末）一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵菱形是中心对称图形，
∴一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是180°，
故答案为：180°.
【分析】利用中心对称图形的性质及图形旋转对称的特征分析求解即可.
10．（2023·温州模拟）如图，以菱形的顶点A为圆心，长为半径画弧，交对角线于点E.若，，则菱形的周长为 .
【答案】8
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连交于点O，
∵菱形，
∴，，
设，则，
∴，
∴，，
∵以A为圆心，长为半径画弧，交对角线于点E
∴，
∵，
∴在中，，
∵在中，，
∴，
解得
∵，
∴，
∴，
∴菱形的周长为，
故答案为：.
【分析】连接BD交AC于点O，根据菱形的性质可得OA=OC=AC，∠BOC=90°，设CE=x，则AE=2x，AC=3x，OA=OC=x，OE=AE-OA=x，由题意可得AB=AE=2x，然后在Rt△BOE、Rt△BOA中，根据勾股定理可得x的值，然后求出AB的值，据此不难得到菱形ABCD的周长.
11．（2023九上·深圳期中）如图，若菱形ABCD的面积为cm，∠A=120，将菱形ABCD折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为EF，则EF= cm，
【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接AC、BD，如图所示
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
根据题意折叠可知AE=EO，AF=OF，
∴E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF=BD（中位线）
∵S菱形ABCD=·BD·AC=，∠A=120°，
∴BD·AC=，∠BAC=60°，∠ABO=30°，
∵∠ABO=90°-∠BAC=90°-60°=30°，
∴OB=OA，则BD=AC，
∴AC2=，
∴AC=2，
∴BD=，
∴EF=BD=cm.
故答案为：.
【分析】由翻折变换很容易得出EF=BD，根据菱形的面积可以得出BD和AC的关系式，而OB=OA，找出这些关系后就能轻松求解．
12．（2023九上·金堂期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC=6，BO=4，则OE= ．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=， ，
∵
∴
∴
∵E为边BC的中点，
∴
故答案为：.
【分析】由菱形的性质得到由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出OE的长。
13．（2023·黔东南模拟） 如图，在菱形中，对角线，的长分别为，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质
【解析】【解答】解：连接与交于点，延长到，使得，连接，
四边形是菱形，
，，，
，
由平移性质知，，
，，
，
，
当点、、三点共线时，的值最小，
的最小值为：．
故答案为：．
【分析】连接与交于点，延长到，使得，连接，当点、、三点共线时，的值最小，根据勾股定理即可求解．
三、解答题
14．（2024九上·织金期末）如图，同一平面内三条不同的直线AB，CD，MN，，直线MN与另外两条直线分别交于点M，N，点E，F分别为AB，CD上两点，且满足MF平分．，NE平分．
（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；
（2）若四边形ENFM为菱形，求出的大小．
【答案】（1）证明：平分，．
又，
，，．
平分，．
．
，，
，．
，∴四边形ENFM为平行四边形；
（2）解：，，
由（1）知，，
四边形ENFM为菱形．
，，为等边三角形。
，。
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法证出四边形ENFM为平行四边形即可；
（2）利用菱形的性质可得，再证出为等边三角形可得.
15．【经典母题】
如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.求菱形各个内角的度数.
【答案】解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD，∠B=∠D，∠BAD+∠B=180°，AB=BC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，E是BC的中点，
∴AE是BC的垂直平分线，
∴AC=AB
即AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠B=∠D=60°，
∴∠BAD=∠BCD=120°.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的对角相等，四条边都相等，对边平行得∠BAD=∠BCD，∠B=∠D，∠BAD+∠B=180°，AB=BC，AD∥BC，根据经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线可得AE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AC=AB，推得AC=AB=BC，根据三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个角都是60°可以得出∠B的度数，即可求解.
四、综合题
16．（2021八下·岳阳期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．
求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC= ×180°=60°，
∴∠ABO= ∠ABC=30°，
∵菱形ABCD的周长是8cm．
∴AB=2cm，
∴OA= AB=1cm
∴
∴AC=2OA=2cm，BD=2OB=2 cm
（2）解：S菱形ABCD= （cm2）．
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得AB=BC，AD∥BC，由平行线的性质可得∠ABC+∠BAD=180°，结合已知条件可求得∠ABC==60°，∠ABO=30°，由菱形的周长可得AB，进而求得OA、OB，据此可得对角线长；
（2）根据菱形的面积为对角线乘积的一半进行求解.
17．（2022八下·黄州期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，
∵BE＝ AC，
∴BE＝OC，
∵BE∥AC，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵∠BOC＝90°，
∴四边形BECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝2，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2，
由（1）得：四边形BECO是矩形，
∴BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，
在Rt△DBE中，由勾股定理得：
DE＝＝＝．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，结合已知条件可得BE＝OC，然后根据矩形的判定定理进行证明；
（2）根据菱形的性质可得AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，结合∠ABC＝60°可得△ABC是等边三角形，则BC＝AC＝2，利用勾股定理可得OB，然后求出BD，根据矩形的性质可得BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，然后利用勾股定理计算即可.
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