2023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 2.6.2 菱形的判定同步分层训练提升题
一、选择题
1．如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH.若AB=2，BC=4，则四边形EFGH的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH ，
∴FH⊥EG，FH与EG互相平分，EG=BC=4，FH=AB=2，
∴ 四边形EFGH是菱形，
∴ 四边形EFGH的面积为EG·FH= ×4×2=4.
故答案为：B.
【分析】易证四边形EFGH是菱形，利用四边形EFGH的面积为EG·FH进行计算即可.
2．（2023九上·小店月考）已知平行四边形的对角线与交于点，下列结论不正确的是（ ）
A．当时，是菱形 B．当时，是菱形
C．当时，是矩形 D．当时，是矩形
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】
A：当时，ABCD是菱形，选项正确，不合题意；
B：当时，ABCD是菱形，选项正确，不合题意；
C：当时，ABCD是矩形，选项正确，不合题意；
D：当时，ABCD是矩形，选项错误，符合题意；
故答案为D
【分析】本题考查菱形的判定，根据其判定定理可得答案，熟悉菱形的判定定理是关键。①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；⑤对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，据此可做出判断。
3．已知，O是矩形ABCD 对角线的交点，作 DE∥AC，AE∥BD，连结BE.有下列说法：①四边形DEAO为菱形；②AE=AB；③∠BAE=120°；④若∠BED=90°，则AD=BE.其中正确的是 （ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵DEAC，AEBD，
∴四边形DEAO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴四边形DEAO为菱形，故①正确；
②当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，故②错误；
③当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，故③错误；
④如图，连接OE，
∵∠BED＝90°，O是矩形ABCD对角线BD的中点，
∴OE＝OB＝OD，
∵四边形DEAO为菱形，
∴DE＝OD，
∴△DEO是等边三角形，
∴∠EDO＝60°，
∴∠ADO＝∠EDO＝30°，∠EBD＝90°－60°＝30°，
∴∠ADB＝∠EBD，
又∵∠BAD＝∠DEB＝90°，BD＝DB，
∴△ABD≌△EDB（AAS），
∴AD＝BE，故④正确；
故选：B．
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质．已知DEAC，AEBD，可证明四边形DEAO是平行四边形，再根据四边形ABCD是矩形，可推出OA＝OD，进而证明四边形DEAO为菱形，①正确；当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，②错误；当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，③错误；连接OE，求出OE＝OB＝OD，结合DE＝OD可证明△DEO是等边三角形，可得∠ADB＝∠EBD＝30°，再结合∠BAD＝∠DEB＝90°，BD＝DB可证明△ABD≌△EDB即可得出④正确．
4．（2023九上·青羊月考）在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是（ ）
A．测量一组对边是否平行且相等 B．测量四个内角是否相等
C．测量两条对角线是否互相垂直 D．测量四条边是否相等
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】
A：四边形为平行四边形；
B：四边形为矩形；
C：不能确定为菱形；
D：四边形为菱形；
故答案为D
【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形的判定，熟悉方法是关键，两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
5．（2023九上·从江期中）如图所示，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．∠B=60° B．∠ACB=60° C．AC=BC D．AB=BC
【答案】C
【知识点】菱形的判定；平移的性质
【解析】【解答】解： 将△ABC沿BC方向平移得到△DCE， 连接AD，
∴AD∥CE，AD=BC=CE，
∴ 四边形ACED为平行四边形，
∴当AC=BC，即AC=AD，
∴ 四边形ACED为菱形 ，
故答案为：C.
【分析】根据平移的性质可证四边形ACED为平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断.
6．（2023九上·太原月考）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD．测得A、B的距离为6，A、C的距离为4，则B、D的距离是（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC，CF⊥AB，则AE=BF，
∵△ABC的面积=·BC·AE=·AB·CF，
∴AB=BC，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
连接BD、AC交于点O，AC=4，
∴OA=2，BO=OD，BD⊥AC，
∴BO==，
∴BD=2BO=，
故答案为：C.
【分析】过点A作AE⊥BC，CF⊥AB，则AE=BF，证明四边形ABCD是菱形，连接BD、AC交于点O，可得OA=2，BO=OD，BD⊥AC，由勾股定理求出BO的长，即得BD的长.
7．（2023九上·光明月考）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，下列结论不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠BAO＝∠DAO时，它是菱形 D．当AC＝BD时，它是菱形
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD为平行四边形，且
∴四边形ABCD为菱形，故本项不符合题意；
B、∵四边形ABCD为平行四边形，且
∴四边形ABCD为菱形，故本项不符合题意；
C、如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
∵
∴
∴
∴四边形ABCD为菱形，故本项不符合题意；
D、∵四边形ABCD为平行四边形，且
∴四边形ABCD为矩形，故本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据菱形的判定定理和矩形的判定定理这项判断即可.
8．（2023九上·深圳月考）如图，在中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作，，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若AD平分，则四边形AEDF是菱形
B．若，则四边形AEDF是菱形
C．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
D．若，则四边形AEDF是矩形
【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵
∴四边形AEDF为平行四边形，
∵AD平分则四边形AEDF为菱形，则本项符合题意；
B、无法判断四边形AEDF为菱形，则本项不符合题意；
C、AD垂直平分BC，无法判断四边形AEDF为矩形，则本项不符合题意；
D、无法判断四边形AEDF为矩形，则本项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据矩形和菱形的判定定理，即可求解.
二、填空题
9．在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，添加一个条件 ，即可判定该四边形是菱形.
【答案】AB=BC(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【解答】 添加一个条件AB=BC.理由如下：
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
故答案为：AB=BC（答案不唯一）.
【分析】根据平行四边形是判定方法可得四边形ABCD是平行四边形，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断求解（答案不唯一）.
10．（2023九上·渠县月考）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且互相垂直，添加一个条件能判定四边形ABCD为菱形. 你添加的条件是 ．
【答案】AC、BD互相平分
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴ 四边形ABCD为菱形；
∴添加的条件： AC、BD互相平分
故答案为： AC、BD互相平分 .
【分析】对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，据此添加即可.
11．（2023九上·中牟月考）如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵EB∥CD，EC∥AB，
∴四边形CEBD是平行四边形，
在△ABC中，，BC=4，，
则，，
即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∵点D是AB的中点，
∴，
∴四边形CEBD是菱形，
四边形CEBD的周长．
故答案为：.
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形；根据勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角可得△ABC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的四条边都相等即可求得四边形CEBD的周长.
12．（2023八下·牡丹江期末）如图，在中，点是的中点，点分别在线段及其延长线上，且，请你添加一个条件 ，使四边形是菱形
【答案】AB=AC
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：添加条件是AB=AC，理由如下：
∵AB=AC，D是BC中点，
∴，BD=CD，
∵DE=DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵，
∴四边形BECF为菱形.
故答案为：AB=AC.
【分析】根据等腰三角形的性质和已知条件求出EF⊥BC，利用BD=CD和DE=DF推出四边形BECF为平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断.
13．（2023九上·房山开学考） 如图，在 中，为的中点，点，为 同一边上任意两个不重合的动点不与端点重合，，的延长线分别与 的另一边交于点，，连接，，
下面四个推断：
；
；
若 是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；
对于任意的 ，存在无数个四边形是矩形；
其中，所有正确的有 填写序号
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接，，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
同理可得，
四边形是平行四边形，
，与不一定相等，故错误，正确，
若四边形是菱形，
，
点，为边上任意两个不重合的动点不与端点重合，
，
不存在四边形是菱形，故错误，
当时，则，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形，故正确，
故答案为：、．
【分析】利用平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形和矩形的判定方法等对每个推断逐一判断即可。
三、解答题
14．（2024八上·朝阳期末）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，∠EFC＝2∠ABE．
求证：四边形DBFE是菱形．
【答案】证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠EFC＝2∠ABE＝∠ABC，
∴EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴DE＝DB，
∴四边形DBFE是菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据角平分线的性质证得，，进而可得，于是有，可证得四边形是平行四边形，再根据等角对等边可得， 根据菱形的定义可得四边形DBFE是菱形 ．
15．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°.
（1）求证：△ABF≌△CDE.
（2）连结AE，CF，已知 ▲ (从条件①：∠ABD=30°.条件②：AB=BC中选择一个作为已知，填序号)，请判断四边形AECF的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
∵ BE=EF=FD，
∴BF=DE，
在△ABF和△CDE中
∴ △ABF≌△CDE（AAS）
（2）解：①或②，四边形 AECF 是菱形，
如图，
已知①即 ∠ABD=30° ，
理由：
∵△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，∠AFB=∠CED
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ABD=30°，∠BAF=90°，BE=EF，
∴AE=BF，AF=BF，
∴AE=AF，
∴四边形AECF是菱形；
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠ABF=∠CDE，利用已知可得到BF=DE，再利用AAS可证得结论.
（2）已知①即 ∠ABD=30° ，利用全等三角形的性质及平行线的性质可证得AF=CE，AF∥CE，由此可推出四边形AECF是平行四边形；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半去证明AE=AF，据此可证得四边形AECF是菱形.
四、综合题
16．（2019·上海模拟）如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC=2AB．
求证 ：
（1）四边形ABDF是菱形；
（2）AC=2DG．
【答案】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线（三角形中位线的定义），
∴DE∥AB，DE= AB（三角形中位线性质）．
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形（平行四边形定义）．
∵BC=2AB，BC=2BD，
∴AB=BD．
∴四边形ABDF是菱形．
（2）证明：∵四边形ABDF是菱形， ∴AF=AB=DF（菱形的四条边都相等）．
∵DE= AB，
∴EF= AF．
∵G是AF的中点．
∴GF= AF，
∴GF=EF．
∴△FGD≌△FEA， ∴GD=AE，
∵AC=2EC=2AE，
∴AC=2DG．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）首先根据三角形的中位线定理，得DE∥AB，结合AF∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判断该四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）根据菱形的性质可以进一步得到△FGD≌△FEA，则GD＝AE，即可证明结论．
17．（2023八下·瑶海期末）如图，在中，，为边上的中线，过C点作，连接，且．
（1）求证：四边形为菱形
（2）若，，求四边形的面积
【答案】（1）证明：
∵，为边上的中线，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又，
∴四边形为菱形．
（2）解：∵，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，根据，即可得证；
（2）勾股定理求得BC，进而根据三角形面积公式以及菱形的性质即可求解．
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 2.6.2 菱形的判定同步分层训练提升题
一、选择题
1．如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH.若AB=2，BC=4，则四边形EFGH的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
2．（2023九上·小店月考）已知平行四边形的对角线与交于点，下列结论不正确的是（ ）
A．当时，是菱形 B．当时，是菱形
C．当时，是矩形 D．当时，是矩形
3．已知，O是矩形ABCD 对角线的交点，作 DE∥AC，AE∥BD，连结BE.有下列说法：①四边形DEAO为菱形；②AE=AB；③∠BAE=120°；④若∠BED=90°，则AD=BE.其中正确的是 （ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
4．（2023九上·青羊月考）在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是（ ）
A．测量一组对边是否平行且相等 B．测量四个内角是否相等
C．测量两条对角线是否互相垂直 D．测量四条边是否相等
5．（2023九上·从江期中）如图所示，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．∠B=60° B．∠ACB=60° C．AC=BC D．AB=BC
6．（2023九上·太原月考）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD．测得A、B的距离为6，A、C的距离为4，则B、D的距离是（ ）
A． B．8 C． D．
7．（2023九上·光明月考）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，下列结论不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠BAO＝∠DAO时，它是菱形 D．当AC＝BD时，它是菱形
8．（2023九上·深圳月考）如图，在中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作，，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若AD平分，则四边形AEDF是菱形
B．若，则四边形AEDF是菱形
C．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
D．若，则四边形AEDF是矩形
二、填空题
9．在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，添加一个条件 ，即可判定该四边形是菱形.
10．（2023九上·渠县月考）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且互相垂直，添加一个条件能判定四边形ABCD为菱形. 你添加的条件是 ．
11．（2023九上·中牟月考）如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是 ．
12．（2023八下·牡丹江期末）如图，在中，点是的中点，点分别在线段及其延长线上，且，请你添加一个条件 ，使四边形是菱形
13．（2023九上·房山开学考） 如图，在 中，为的中点，点，为 同一边上任意两个不重合的动点不与端点重合，，的延长线分别与 的另一边交于点，，连接，，
下面四个推断：
；
；
若 是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；
对于任意的 ，存在无数个四边形是矩形；
其中，所有正确的有 填写序号
三、解答题
14．（2024八上·朝阳期末）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，∠EFC＝2∠ABE．
求证：四边形DBFE是菱形．
15．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°.
（1）求证：△ABF≌△CDE.
（2）连结AE，CF，已知 ▲ (从条件①：∠ABD=30°.条件②：AB=BC中选择一个作为已知，填序号)，请判断四边形AECF的形状，并说明理由.
四、综合题
16．（2019·上海模拟）如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC=2AB．
求证 ：
（1）四边形ABDF是菱形；
（2）AC=2DG．
17．（2023八下·瑶海期末）如图，在中，，为边上的中线，过C点作，连接，且．
（1）求证：四边形为菱形
（2）若，，求四边形的面积
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH ，
∴FH⊥EG，FH与EG互相平分，EG=BC=4，FH=AB=2，
∴ 四边形EFGH是菱形，
∴ 四边形EFGH的面积为EG·FH= ×4×2=4.
故答案为：B.
【分析】易证四边形EFGH是菱形，利用四边形EFGH的面积为EG·FH进行计算即可.
2．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】
A：当时，ABCD是菱形，选项正确，不合题意；
B：当时，ABCD是菱形，选项正确，不合题意；
C：当时，ABCD是矩形，选项正确，不合题意；
D：当时，ABCD是矩形，选项错误，符合题意；
故答案为D
【分析】本题考查菱形的判定，根据其判定定理可得答案，熟悉菱形的判定定理是关键。①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；⑤对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，据此可做出判断。
3．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵DEAC，AEBD，
∴四边形DEAO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴四边形DEAO为菱形，故①正确；
②当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，故②错误；
③当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，故③错误；
④如图，连接OE，
∵∠BED＝90°，O是矩形ABCD对角线BD的中点，
∴OE＝OB＝OD，
∵四边形DEAO为菱形，
∴DE＝OD，
∴△DEO是等边三角形，
∴∠EDO＝60°，
∴∠ADO＝∠EDO＝30°，∠EBD＝90°－60°＝30°，
∴∠ADB＝∠EBD，
又∵∠BAD＝∠DEB＝90°，BD＝DB，
∴△ABD≌△EDB（AAS），
∴AD＝BE，故④正确；
故选：B．
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质．已知DEAC，AEBD，可证明四边形DEAO是平行四边形，再根据四边形ABCD是矩形，可推出OA＝OD，进而证明四边形DEAO为菱形，①正确；当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，②错误；当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，③错误；连接OE，求出OE＝OB＝OD，结合DE＝OD可证明△DEO是等边三角形，可得∠ADB＝∠EBD＝30°，再结合∠BAD＝∠DEB＝90°，BD＝DB可证明△ABD≌△EDB即可得出④正确．
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】
A：四边形为平行四边形；
B：四边形为矩形；
C：不能确定为菱形；
D：四边形为菱形；
故答案为D
【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形的判定，熟悉方法是关键，两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
5．【答案】C
【知识点】菱形的判定；平移的性质
【解析】【解答】解： 将△ABC沿BC方向平移得到△DCE， 连接AD，
∴AD∥CE，AD=BC=CE，
∴ 四边形ACED为平行四边形，
∴当AC=BC，即AC=AD，
∴ 四边形ACED为菱形 ，
故答案为：C.
【分析】根据平移的性质可证四边形ACED为平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC，CF⊥AB，则AE=BF，
∵△ABC的面积=·BC·AE=·AB·CF，
∴AB=BC，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
连接BD、AC交于点O，AC=4，
∴OA=2，BO=OD，BD⊥AC，
∴BO==，
∴BD=2BO=，
故答案为：C.
【分析】过点A作AE⊥BC，CF⊥AB，则AE=BF，证明四边形ABCD是菱形，连接BD、AC交于点O，可得OA=2，BO=OD，BD⊥AC，由勾股定理求出BO的长，即得BD的长.
7．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD为平行四边形，且
∴四边形ABCD为菱形，故本项不符合题意；
B、∵四边形ABCD为平行四边形，且
∴四边形ABCD为菱形，故本项不符合题意；
C、如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
∵
∴
∴
∴四边形ABCD为菱形，故本项不符合题意；
D、∵四边形ABCD为平行四边形，且
∴四边形ABCD为矩形，故本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据菱形的判定定理和矩形的判定定理这项判断即可.
8．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵
∴四边形AEDF为平行四边形，
∵AD平分则四边形AEDF为菱形，则本项符合题意；
B、无法判断四边形AEDF为菱形，则本项不符合题意；
C、AD垂直平分BC，无法判断四边形AEDF为矩形，则本项不符合题意；
D、无法判断四边形AEDF为矩形，则本项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据矩形和菱形的判定定理，即可求解.
9．【答案】AB=BC(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【解答】 添加一个条件AB=BC.理由如下：
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
故答案为：AB=BC（答案不唯一）.
【分析】根据平行四边形是判定方法可得四边形ABCD是平行四边形，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断求解（答案不唯一）.
10．【答案】AC、BD互相平分
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴ 四边形ABCD为菱形；
∴添加的条件： AC、BD互相平分
故答案为： AC、BD互相平分 .
【分析】对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，据此添加即可.
11．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵EB∥CD，EC∥AB，
∴四边形CEBD是平行四边形，
在△ABC中，，BC=4，，
则，，
即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∵点D是AB的中点，
∴，
∴四边形CEBD是菱形，
四边形CEBD的周长．
故答案为：.
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形；根据勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角可得△ABC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的四条边都相等即可求得四边形CEBD的周长.
12．【答案】AB=AC
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：添加条件是AB=AC，理由如下：
∵AB=AC，D是BC中点，
∴，BD=CD，
∵DE=DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵，
∴四边形BECF为菱形.
故答案为：AB=AC.
【分析】根据等腰三角形的性质和已知条件求出EF⊥BC，利用BD=CD和DE=DF推出四边形BECF为平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断.
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接，，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
同理可得，
四边形是平行四边形，
，与不一定相等，故错误，正确，
若四边形是菱形，
，
点，为边上任意两个不重合的动点不与端点重合，
，
不存在四边形是菱形，故错误，
当时，则，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形，故正确，
故答案为：、．
【分析】利用平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形和矩形的判定方法等对每个推断逐一判断即可。
14．【答案】证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠EFC＝2∠ABE＝∠ABC，
∴EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴DE＝DB，
∴四边形DBFE是菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据角平分线的性质证得，，进而可得，于是有，可证得四边形是平行四边形，再根据等角对等边可得， 根据菱形的定义可得四边形DBFE是菱形 ．
15．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
∵ BE=EF=FD，
∴BF=DE，
在△ABF和△CDE中
∴ △ABF≌△CDE（AAS）
（2）解：①或②，四边形 AECF 是菱形，
如图，
已知①即 ∠ABD=30° ，
理由：
∵△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，∠AFB=∠CED
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ABD=30°，∠BAF=90°，BE=EF，
∴AE=BF，AF=BF，
∴AE=AF，
∴四边形AECF是菱形；
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠ABF=∠CDE，利用已知可得到BF=DE，再利用AAS可证得结论.
（2）已知①即 ∠ABD=30° ，利用全等三角形的性质及平行线的性质可证得AF=CE，AF∥CE，由此可推出四边形AECF是平行四边形；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半去证明AE=AF，据此可证得四边形AECF是菱形.
16．【答案】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线（三角形中位线的定义），
∴DE∥AB，DE= AB（三角形中位线性质）．
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形（平行四边形定义）．
∵BC=2AB，BC=2BD，
∴AB=BD．
∴四边形ABDF是菱形．
（2）证明：∵四边形ABDF是菱形， ∴AF=AB=DF（菱形的四条边都相等）．
∵DE= AB，
∴EF= AF．
∵G是AF的中点．
∴GF= AF，
∴GF=EF．
∴△FGD≌△FEA， ∴GD=AE，
∵AC=2EC=2AE，
∴AC=2DG．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）首先根据三角形的中位线定理，得DE∥AB，结合AF∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判断该四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）根据菱形的性质可以进一步得到△FGD≌△FEA，则GD＝AE，即可证明结论．
17．【答案】（1）证明：
∵，为边上的中线，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又，
∴四边形为菱形．
（2）解：∵，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，根据，即可得证；
（2）勾股定理求得BC，进而根据三角形面积公式以及菱形的性质即可求解．
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